1. UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS
IV:
En esta unidad se dibujarán las superficies de poliedros y
DESARROLLO cuerpos redondos sobre un plano para luego elaborar los
DE POLIEDROS
REGULARES
modelos. Los temas de esta unidad son:
Desarrollo de Poliedros Regulares:
Generalidades.
Ejercicios Resueltos.
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Ejercicio 5
221
2. UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS
IV:
En esta unidad se dibujarán las superficies de poliedros y
DESARROLLO cuerpos redondos sobre un plano para luego elaborar los
DE POLIEDROS
REGULARES
modelos. Los temas de esta unidad son:
DESARROLLO Desarrollo de Poliedros No Regulares:
DE POLIEDROS
NO REGULARES
Generalidades.
Ejercicios Resueltos.
Ejercicio 1 Ejercicio 5
Ejercicio 2 Ejercicio 6
Ejercicio 3 Ejercicio 7
Ejercicio 4 Ejercicio 8
222
3. UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS
IV:
En esta unidad se dibujarán las superficies de poliedros y
DESARROLLO cuerpos redondos sobre un plano para luego elaborar los
DE POLIEDROS
REGULARES
modelos. Los temas de esta unidad son:
DESARROLLO Desarrollo de Cuerpos Redondos:
DE POLIEDROS
NO REGULARES
Generalidades.
Ejercicios Resueltos.
DESARROLLO
DE CUERPOS
REDONDOS
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
223
4. UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS
IV:
En esta unidad se dibujarán las superficies de poliedros y
DESARROLLO cuerpos redondos sobre un plano para luego elaborar los
DE POLIEDROS
REGULARES
modelos. Los temas de esta unidad son:
DESARROLLO Ejercicios Propuestos:
DE POLIEDROS
NO REGULARES
Ejercicios sobre los temas de la Unidad IV.
DESARROLLO
DE CUERPOS
REDONDOS
EJERCICIOS
PROPUESTOS
224
5. UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS
Desarrollo de Sólidos: Poliedros Regulares
Se entiende por Desarrollo de Cuerpos Sólidos a extender toda su superficie
sobre un mismo plano.
La utilización de desarrollos de sólidos es importante en gran cantidad de
trabajos, dado que para la fabricación de muchos volúmenes huecos se parte de
una superficie desarrollada.
En esta unidad se verá el desarrollo de algunos cuerpos que se han trabajado
anteriormente.
Poliedros Regulares: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro,
Icosaedro.
En todos los desarrollos, si se recorta y se dobla por las aristas uniendo las
mismas, se puede construir cualquier volumen de los diferentes cuerpos
geométricos que se desarrollan en esta unidad temática.
225
6. a) b)
c)
d) e)
a) Desarrollo de un Tetraedro (cuatro caras); b) Desarrollo de un Cubo o Hexaedro (seis caras);
c) Desarrollo de un Octaedro (ocho caras); d) Desarrollo de un Dodecaedro ( doce caras);
e) Desarrollo de un Icosaedro (veinte caras).
226
7. UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS
Ejercicios Resueltos: Desarrollo de Poliedros Regulares
1. Realizar el desarrollo de un Tetraedro Regular que tenga arista igual a 60 mm.
Solución:
Construir un triangulo equilátero de lado igual al doble de la arista del tetraedro.
Unir los puntos medios de los lados, por medio líneas rectas.
Así se obtienen los cuatro triángulos equiláteros (caras del tetraedro) que forman el
desarrollo de este sólido.
227
8. 2. Realizar el desarrollo de un Hexaedro (Cubo) que tenga arista igual a 40 mm.
Solución:
Dibujar seis cuadrados iguales con lado igual a la arista, de manera que formen el
desarrollo de este sólido.
228
9. 3. Realizar el desarrollo de un Octaedro que tenga arista igual a 55 mm.
Solución:
Dibujar ocho triángulos equiláteros con lado igual a la arista, de manera que formen el
desarrollo de este sólido, según la figura indicada.
229
10. 4. Realizar el desarrollo de un Dodecaedro que tenga arista igual a 35 mm.
Solución:
Dibujar doce pentágonos regulares con lado igual a la
arista, de manera que formen el desarrollo de este sólido,
según la figura indicada.
230
11. 5. Realizar el desarrollo de un Icosaedro que tenga arista igual a 52 mm.
Solución:
Dibujar veinte triángulos equiláteros con lado igual a la
arista, de manera que formen el desarrollo de este sólido,
según la figura indicada.
231
12. UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS
Desarrollo de Sólidos: Poliedros No Regulares
Poliedros No Regulares: Pirámide y Prisma.
En este punto se verá el desarrollo de estos sólidos, además se recomienda
que realicen los ejercicios resueltos y propuestos, así como también construir
sus desarrollos en cartón o cartulina.
a) b) c)
a) Desarrollo de una Pirámide regular de base hexagonal; b) Desarrollo de un Prisma de base triangular;
c) Desarrollo de un Paralelepípedo (prisma de base cuadrada).
232
13. Desarrollo de Pirámides: para determinar el desarrollo de una pirámide se necesita
hallar la verdadera magnitud de la base ABC. La pirámide tiene base horizontal la cual
se proyecta en verdadero tamaño.
El verdadero tamaño de todas las aristas que van al vértice (AV, BV, CB), utilizando
los triángulos de rebatimiento con la diferencia de cota en el mismo sitio o con el
vértice común.
Las caras laterales (triángulos ABV, BCV, CAV), con dos lados iguales a aristas
laterales, el tercer lado igual a la arista de la base entre aristas laterales respectivas.
El número de caras laterales es igual al de los lados de la base.
233
14. Si la pirámide es regular recta, todas las caras laterales son iguales entre sí, los
cuales son triángulos isósceles.
Si la pirámide es truncada, se determina el desarrollo de la pirámide completa y
posterior a ello se suprime la parte correspondiente.
234
15. Desarrollo de un Prisma recto: las caras laterales son rectángulos de longitud igual
a la altura del prisma en proyección vertical y de ancho igual a los lados de la base.
Proyección Ortogonal Desarrollo del Prisma recto
235
16. Desarrollo de un Prisma Oblicuo: Usando una sección plana normal (perpendicular), el eje del
prisma se desarrolla según una recta.
El procedimiento consta de realizar un cambio de plano, haciendo el prisma frontal en donde se
obtienen las aristas en verdadero tamaño.
Luego se determina la sección plana normal (en el prisma frontal el plano es perpendicular al eje
del prisma).
Se realiza un segundo cambio de plano en la cual se obtiene el ancho de las caras para
posteriormente realizar el desarrollo con éstas y longitudinalmente las aristas correspondientes por
encima y por debajo de la sección normal (se ven en la tercera proyección).
236
17. UNIDAD IV: DESARROLLO DE SOLIDOS
Ejercicios Resueltos: Desarrollo Poliedros No Regulares
1. Se da: una pirámide recta con base
hexagonal, horizontal, regular con centro
en el punto O(60;65;00), el lado de la base
mide 50 mm y la altura es de 100 mm. Se
pide: el desarrollo de la pirámide.
Solución:
Con los datos suministrados en el
enunciado del ejercicio, representarlos en
proyección ortogonal.
237
18. Posteriormente, circunscribir en la
circunferencia la base hexagonal,
colocar nomenclatura (A, B, C,…)
preferiblemente en sentido de las agujas
del reloj y unir con V, en el plano
horizontal, subir los puntos vértices de la
base hasta el plano vertical y unir con V
obteniéndose la pirámide.
238
19. Determinar la verdadera
magnitud de las aristas, esto con la
finalidad de realizar el desarrollo del
sólido.
Trazar un eje perpendicular a la
línea de tierra a una distancia corta
en relación al dibujo del sólido.
Luego tomar la medida en
proyección horizontal, que hay
entre los puntos de la base y el
vértice de la pirámide (en este caso
por ser una pirámide regular recta,
todas las medidas son iguales), y
llevarla desde el punto de
intersección entre la línea de tierra
y el eje O.
239
20. Se coloca aparte (en el DIN) la base
hexagonal y se van construyendo las
caras de la pirámide colocando las
aristas en verdadero tamaño (paso
anterior).
Se traza un arco y se corta con
la medida del lado de la base,
luego se unen al vértice y se
obtiene el desarrollo del sólido.
El número de caras del sólido es igual al número de
lados que tenga la base.
240
21. Se completa el desarrollo de la pirámide recta de base hexagonal.
241
22. 2. Se da: una pirámide regular recta de base pentagonal, horizontal, con centro en
O(70; 70;00) y un punto en A(35; 30;00); el vértice de la pirámide es V(70;70;120). El plano
[(150; 00; 00), de canto, (10; 00; 100)]. Se pide: verdadero tamaño de la sección, desarrollo
del sólido y visibilidad del sólido truncado.
Solución:
Paso 1: Se representan en proyección ortogonal los datos del ejercicio.
Paso 2: Se construye la pirámide de base pentagonal.
Paso 3: Se ubican los puntos de corte del plano sobre la pirámide (utilizando
nomenclatura) los cuales están en la proyección vertical; luego se llevan a la proyección
horizontal, obteniéndose la sección en proyección ortogonal.
Paso 4: Se determina la verdadera magnitud de la sección.
Paso 5: Se construye el desarrollo de la pirámide completa, tal como se procedió en el
ejercicio anterior.
Paso 6: Se trazan los puntos de corte sobre las aristas laterales de la pirámide, así como
en el desarrollo del sólido completo.
Paso 7: Se construye por triangulación la sección en verdadera magnitud y así se obtiene
el desarrollo del sólido truncado.
Paso 8: Se representa en firme el sólido entre la base y la sección.
242
25. Paso 5, 6, 7 y 8.
Para los puntos de corte en el desarrollo, se trasladan las alturas hasta las aristas en verdadero tamaño y luego se llevan
al desarrollo completo de la pirámide.
245
26. 3. Se da: una pirámide oblicua con
vértice V(145;35;85) y base hexagonal
regular horizontal, con centro
O(50; 55; 00) y un vértice en
A(45; 20; 00). Se pide: el desarrollo de
la pirámide.
Solución:
Con los datos del ejercicio,
representarlos en proyección ortogonal.
246
27. Construir la pirámide oblicua de Determinar el verdadero tamaño de las
base hexagonal. aristas como en los casos anteriores.
Como es una pirámide oblicua, las aristas en verdadero
tamaño serán igual a la cantidad de lados de la base.
247
28. Se completa el procedimiento para el verdadero tamaño de las aristas.
248
29. Se coloca aparte (en el DIN) la base hexagonal y se van construyendo las caras de la
pirámide por triangulación colocando las aristas en verdadero tamaño.
Se termina el desarrollo de la
pirámide oblicua.
249
30. 4. Se da: una pirámide oblicua de base triangular con centro en O(80;60;00) y un vértice
A(80; 30; 00), regular, horizontal; el vértice de la pirámide es V(30; 15; 60). Un plano
[(120;00;00), de canto, (20; 00;50)]. Se pide: hallar la sección producida por el plano sobre
la pirámide (verdadero tamaño), el desarrollo del sólido truncado y la visibilidad.
Solución:
Se representan en proyección ortogonal los datos del ejercicio.
Se construye la pirámide de base triangular
Se ubican los puntos de corte del plano sobre la pirámide (utilizando nomenclatura) los
cuales están en la proyección vertical; luego se llevan a la proyección horizontal,
obteniéndose la sección en proyección ortogonal.
Se determina la verdadera magnitud de la sección.
Se construye el desarrollo de la pirámide completa, así como el ejercicio anterior.
Se trazan los puntos de corte sobre las aristas laterales de la pirámide, así como en el
desarrollo del sólido completo.
Se construye por triangulación la sección en verdadera magnitud y así se obtiene el
desarrollo del sólido truncado.
Se representa en firme el sólido entre la base y la sección.
250
32. 5. Se da: un prisma recto con base
pentagonal, horizontal, regular con centro en
el punto O(60; 65; 00), el lado de la base mide
50 mm y la altura 100 mm. Se pide: el
desarrollo del sólido.
Solución:
Construir la base pentagonal de lado
50 mm, y determinar el centro del pentágono.
252
34. Se trazan los rectángulos
iguales al número de lados de
la base, que serán las caras
laterales del prisma.
Posteriormente se colocan
las bases, una en la parte
superior y otra en la inferior
coincidiendo con dos de los
lados de los rectángulos. Así
se obtiene el desarrollo del
prisma.
254
35. 6. Se da: un prisma recto con base pentagonal, horizontal, regular con centro en el
punto O(60; 65; 00), el lado de la base mide 50 mm y la altura 100 mm. El plano
[(120; 00; 00) de canto, (00; 00; 65)]. Se pide: el desarrollo del sólido truncado.
Visibilidad.
Solución:
Se procede similar al prisma recto.
Se realizan todos los pasos anteriores.
Luego se determina el verdadero tamaño de la sección del prisma.
Para el desarrollo se realiza el de la superficie lateral primero, se trazan
perpendiculares por sus vértices, de acuerdo a los lados de la base del prisma.
Las alturas se llevan desde el corte del plano al prisma a las aristas laterales del
desarrollo y luego se coloca la base y la sección.
255
37. 7. Se da: un prisma oblicuo cuyo eje
es el segmento OO´ y cuya base es
un hexágono regular, horizontal, con
vértice en A(162; 50; 00) y centro en
O(145; 45; 00) O’ (90; 85; 70).
Se pide: el desarrollo del prisma,
tomando 42 mm desde la base
inferior.
Solución:
Con los datos del ejercicio,
representarlos en proyección
ortogonal.
257
38. Se dibuja el prisma oblicuo
en proyección ortogonal.
Usar nomenclatura.
258
39. Se determina el verdadero tamaño de Se traza un plano normal al prisma que se
las aristas, por un cambio de plano. proyecta como un plano de canto (perpendicular
al eje del sólido en tercera proyección, y en este
caso a 42 mm de la base inferior).
259
40. Por medio de un segundo cambio de Se realiza el desarrollo de las caras laterales,
plano, se determina el verdadero dividiendo una línea recta de acuerdo a los lados de
tamaño de la sección normal. la sección normal en verdadera magnitud,
seguidamente se trazan perpendiculares y se limitan
con la longitud de las aristas en verdadero tamaño y
por último se colocan las bases inferior y superior.
260
41. 8. Se da: un prisma oblicuo de base cuadrada, regular, horizontal, con centro en
O(40; 35; 00) y un vértice en A(15; 30; 00), O’(85; 50; 55) es el centro de la base
superior.
Se pide: hallar la sección normal al prisma, que pase por el punto medio del eje OO’, el
desarrollo del prisma entre la base inferior y la sección normal y representar en firme el
sólido truncado.
Solución:
Se realizan todo el procedimiento del ejercicio anterior, sólo que en el desarrollo del
prisma oblicuo truncado, se trabaja con las longitudes de las aristas laterales que van
de la base inferior a la sección normal (la cual se mide en la tercera proyección).
Por último, se representa en firme el sólido truncado en la proyección ortogonal.
261
43. UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS
Desarrollo de Sólidos: Cuerpos Redondos
Cuerpos Redondos: Cono y Cilindro.
Estos tipos de sólidos se pueden desarrollar debido a que pertenecen a los
sólidos curvos desarrollables, que tienen como condición que el sólido sea
reglado con las generatrices vecinas que sean coplanares ( de forma cónica o
cilíndrica).
a) b)
a) Desarrollo de un Cono recto; b) Desarrollo de un Cilindro recto.
263
44. Desarrollo de un Cono de Revolución Recto: Está compuesto por un circulo
perteneciente a la base y un sector circular (superficie lateral del cono) cuyo perímetro
coincide con la circunferencia que delimita al círculo de la base.
El ángulo del arco se determina por la siguiente ecuación:
2π ∗ r ∗ 360º r
α= = 360º∗
2 ∗ π ∗ lg lg
264
45. Desarrollo de un Cono Oblicuo: El procedimiento para realizar el desarrollo se
denomina triangulación de la superficie y consta de dividir la base del cono en varios
segmentos y determinar los verdaderos tamaños de las generatrices correspondientes,
a los extremos de éstos, replanteándolos luego en forma conveniente (longitud A-B en
la base será igual a la longitud A-B del arco de la superficie lateral y así sucesivamente).
265
46. Desarrollo de un Cilindro de Revolución Recto: Está compuesto por dos circulo
pertenecientes a la base inferior y superior y la superficie lateral del cilindro cuyo
perímetro coincide con la circunferencia que delimita a los círculo de las bases.
El perímetro de la superficie lateral del cilindro se determina por la siguiente ecuación:
P = 2 ∗π ∗ r
266
47. Desarrollo de un Cilindro Oblicuo: Su
procedimiento es similar al de un prisma
oblicuo.
Se realiza un cambio de plano, colocando
al cilindro frontal en donde se obtienen las
generatrices en verdadero tamaño.
Posteriormente se determina la sección
plana normal perpendicular al eje.
Se realiza un segundo cambio de plano en
la cual se obtiene la sección elíptica normal
para hacer el desarrollo, haciendo una
rectificación del perímetro de la sección
normal al eje (usando compás de dos
puntas)
Se miden las longitudes de las generatrices
en la tercera proyección que están en
verdadero tamaño (por encima y por debajo
de la sección normal).
Se colocan las bases circulares del cilindro.
267
48. UNIDAD IV: DESARROLLO DE SOLIDOS
Ejercicios Resueltos: Desarrollo Cuerpos Redondos
1. Se da: un cilindro recto con centro
en O (45; 50; 00), el radio es de 35
mm y la altura de 65 mm.
Se pide: el desarrollo del cilindro.
Solución:
Representar los datos del ejercicio
en proyección ortogonal
268
49. Se construye en proyección
ortogonal el cilindro recto.
El desarrollo del cilindro se
realiza colocando como superficie
lateral del sólido la forma de un
rectángulo, en el que el perímetro
de la base es una circunferencia
igual a P= 2 * π * r. La altura es la
misma de la proyección ortogonal.
Luego se colocan las bases
(inferior y superior) del sólido.
269
51. 2. Se da: un cono recto de altura 60
mm con radio de 50 mm. Los puntos A
y B son generatrices de su base en el
plano vertical. La base se encuentra en
verdadero tamaño. El punto O(60; 70;
00) es el centro de la base del cono.
Se pide: el desarrollo del sólido.
Solución:
Representar los datos del ejercicio
en proyección ortogonal
271
52. Se construye el cono en proyección ortogonal. Para el desarrollo del cono, se trabaja con la longitud
de la generatriz, trazando un arco cuya longitud de
circunferencia sea igual a α y luego colocar el circulo de
la base.
272
54. 3. Se da: un cono oblicuo con vértice
V(90; 50; 80) y radio de 30 mm. Los
puntos A y B son generatrices de su
base en el plano vertical; la base se
encuentra en verdadero tamaño, el
centro del cono es O(35; 50; 00).
Se pide: el desarrollo del cono.
Solución:
Representar los datos del ejercicio
en proyección ortogonal
274
55. Se construye el cono oblicuo en proyección Se subdividen generatrices colocando nomenclatura,
ortogonal. para posteriormente hacer el desarrollo. Se realiza en
forma tal que cumpla con la simetría en el sólido.
275
56. Se traza un eje y se determinan
los verdaderos tamaños de las
generatrices del cono, llevándose
las proyecciones horizontales VA,
VB, VC, VD, VE, VF, VG sobre la
línea de tierra y la altura es la
misma del sólido.
276
57. Por medio de triangulación se
realiza el desarrollo del cono
oblicuo, dividiendo la base del
cono en varios segmentos y
colocando los verdaderos
tamaños de las generatrices
correspondientes, a los
extremos de éstos, desde el
punto más cercano al más
alejado al vértice del cono (V).
277
58. 4. Se da: un cilindro oblicuo con eje OO’ y base horizontal, circular, con centro en
O (35; 35; 00) y radio 25 mm. El centro de la base superior O’(85; 50; 60).
Se pide: el desarrollo del cilindro.
Solución:
Se representa el cilindro oblicuo con los datos del ejercicio.
Se realiza un primer cambio de plano, colocando al cilindro frontal, obteniéndose
las generatrices en verdadero tamaño.
Se determina la sección plana normal perpendicular al eje, el cual está a la mitad
de OO’.
Se realiza un segundo cambio de plano en la cual se obtiene la sección elíptica
normal para hacer el desarrollo, haciendo una rectificación del perímetro de la sección
normal al eje (usando compás de dos puntas)
Se miden las longitudes de las generatrices en la tercera proyección que están en
verdadero tamaño (por encima y por debajo de la sección normal).
Finalmente, se colocan las bases circulares del cilindro.
278
60. UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS
Ejercicios Propuestos: Desarrollo de Poliedros y Cuerpos Redondos
1. Se da: una pirámide regular recta de base hexagonal, horizontal, con centro en
O(60; 70; 00) y un punto de la base en A(85; 43; 00), la altura de la pirámide es de 82 mm.
Se pide: el desarrollo.
2. Se da: una pirámide de base triangular con centro en O(80;60;00) y un vértice
A(80; 30;00) la base es regular, horizontal. El vértice de la pirámide es V(30; 15;60). Un
plano NP [N(120;00;00), de canto, P(20; 00;50)]. Se pide: el desarrollo del sólido
seccionado.
3. Se da: una pirámide recta de base hexagonal, regular, horizontal, con centro de la base
en O(80;90;00), un punto de la base es A(80;45;00) y el vértice de la pirámide es
V(80;90;120). Así también, se da un plano α [M(150;00;00), de canto, N(30; 00; 100)]. Se
pide: la proyección ortogonal del sólido (trazo previo), la sección que produce α sobre la
pirámide en verdadera magnitud, el desarrollo del sólido truncado y representar en firme la
visibilidad de la pirámide seccionada en proyección oblicua frontal con ω=135º y qy=1/2.
4. Se da: una pirámide regular recta, de base hexagonal, con centro en O(100; 60;00), un
punto de la base es A(120;30;00) y el vértice de la pirámide es V(100;60;00). Se da un
plano RST dado por sus trazas [R(25;00;00) S(130;00;180) T(75;120;00)]. Se pide: la
proyección ortogonal de la pirámide (trazo previo), determinar la sección que produce el
plano en la pirámide en verdadera magnitud, representar en firme el sólido entre la
sección y la base (sólido truncado) y el desarrollo del sólido truncado.
280
61. 5. Se da: una pirámide oblicua con vértice V(180; 80; 100) y base hexagonal, regular,
horizontal, con centro en O(55; 70; 00) y un vértice de la base en A(50; 20; 00). El plano β
[M(180; 10; 05), N( 65; 80; 60), P(100; 110; 10)]. Se pide: la sección producida por el
plano β sobre la pirámide, el desarrollo de la pirámide truncada y representar en firme la
parte de la pirámide entre la base y el plano β.
6. Se da: un prisma recto, hexagonal, regular, de altura 110 mm, que tenga centro de la
base horizontal inferior en O(60; 70; 00) y un vértice en A(65; 10; 00). El plano
[R(130; 00; 00), de canto, S(00; 00; 100)]. Se pide: el desarrollo del sólido truncado y
visibilidad.
7. Se da: un prisma oblicuo de base pentagonal, horizontal, con centro de la base inferior
en O(100; 50; 00) y un punto de esta base en A(125; 28; 00), el punto O’(35; 30; 50)
es centro de la base superior. Se pide: el desarrollo del prisma sabiendo que la sección
normal está a la mitad de la longitud de recorrido del eje OO’. Visibilidad.
8. Se da: un prisma oblicuo de base hexagonal, regular, horizontal, con el eje OO' y
vértice de la base inferior en A. O(50; 60; 00), O'(110; 25; 70), A(50; 80; 00). Se pide: el
desarrollo del prisma sabiendo que la sección normal está a la mitad de la longitud de
recorrido del eje OO’. Visibilidad.
281
62. 9. Se da: un cono recto de revolución, con base horizontal, cuyo centro es O(50; 50;00) y
diámetro 60 mm. La altura del sólido es de 77 mm. Se pide: el desarrollo del cono.
10. Se da: un cono oblicuo con vértice V(110; 60; 90) y radio de 35 mm. Los puntos A y B
son generatrices de su base en el plano vertical, la base se encuentra en verdadero
tamaño, el centro del cono es O(45; 65;00). Se pide: el desarrollo del cono.
11. Se da: un cilindro recto cuyo eje es OO`, O(80; 75; 00) y O`(80; 75; 100), el diámetro
de la base es 75 mm. Se pide: el desarrollo del cilindro.
12. Se da: un cilindro oblicuo con eje OO’ y base horizontal, circular, con centro en
O(45; 55; 00) y radio 30 mm. El centro de la base superior O’(105; 70; 72). Se pide: el
desarrollo del cilindro.
282
