Cuaderno de Actividades: Física I   4) Dinámica de un sistema de            partículasLic. Percy Víctor Cañote Fajardo    99
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  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física I 4) Dinámica de un sistema de partículasLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 99
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física I4) Dinámica de un sistema de partículas r4,1) Cantidad de movimiento p de un sistema de partículasn partículas r r r r r psp ≡ p ≡ p1 + p2 + K + pn r mi ≡ ∑ pi i r vi r i≡n r r m p ≡ ∑ mi vi u [ p ] ≡ kg i ≡1 s rr4,2) Impulso de una fuerza, I FDefinición: Es una CFV que considera el efecto integral de la fuerza en el tiempo. r F rr tf r I t1F t2 ≡ ∫ Fdt → ti m r uurCaso particular: F ≡ cte rr r I t1F t2 ≡ F ∆ , ∆ ≡ t 2 −t1 → t t r u  I  ≡ Ns  Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 100
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física I ( ) rF r r4,3) R ≡ R I R, p El impulso de la fuerza resultante se relaciona con los cambios de lacantidad de movimiento lineal de tal forma que tendríamos otra formaalternativa de expresar la segunda ley de Newton, en este caso, para fuerzasque dependen del tiempo. r F ≡ FRrFr rI 1 partícula p r r r  dp  rI FR ≡ ∫ FR dt ≡ ∫   dt ≡ ∆p  dt  rr r I F ≡ ∆pEste resultado que puede entenderse para una partícula puede extendersepara un SP, veamos, la fuerza resultante sobre cada partícula podríaconsiderarse constituida por una fracción interna y externa, la parte interna deestas fuerzas, es decir, entre las partículas del SP, se cancelarían en estrictocumplimiento de la Tercera Ley de Newton, quedando solo la fuerza resultanteexterna actuando sobre el SP, por lo tanto, SP rFr r I R r p rFr r r I R , EXT ≡ ∆p FR ≡ FR ,EXT r r uur r FR , EXT r rSegún la última ecuación para que el p ≡ pSP ≡ cte el I ≡o, r r uur r FR ,EXT r r p ≡ pSP ≡ cte ← I ≡o rEsto quiere decir que para un SP donde no exista FR , EXT o el efecto integral de rella se cancele, el pSP deberá de conservarse.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 101
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física I4,4) Centro de masa de un SP, CMSea un sistema de partículas de “n” partículas, r r rr m1r1 + K + mi ri + K + mn rnrcm ≡ m1 + K + mi + mn r 1 r 1 r ∑ mi ri ≡ M∫ rcm ≡ M ρ dv r i r 1 r 1 r ∑m v ≡ M∫ vcm ≡ M i i ρ dv v i r 1 r 1 r ∑mi ai ≡ M∫ acm ≡ M ρ dv a i¿Como se vincula el CM con el SP?En el contexto cinemático, r r r p ≡ psp ≡ ∑ mi vi ⇔ CM i r 1 s vcm ≡ { p} → r r p ≡ M vcm MY en el dinámico, r r d r d r r r r FR ≡ FR ,ext ≡ p ≡ (mvCM ) ≡ M acm → FR ,ext ≡ M acm dt dtLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 102
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física IDe estos resultados se puede inferir rápidamente que le SP puede rreemplazarse por una partícula con la masa del SP, M, moviéndose según rcm , r r r FR p ≡ mv r FR ,CM r vCM mi ≡ M CMObservaciones:i) Ahora, si i → ∞: SP continuo ≡ cuerpo (CR): Σ→∫ En las sumas discretas las mi son reemplazadas por ρ dv , donde ρ : densidad volumétrica de masa dv: elemento de volumenii) En muchos casos es recomendable hacer la descripción del fenómeno desde el sistema CM, debido a que las ecuaciones pueden simplificarse r r r sustancialmente ,por ejemplo, la vCM siempre es cero, esto es, v CM ≡ 0 .¿? Como describo el CM en base a simetrías del SP (cuerpo)¿? El CM da información acerca de como esta distribuida la masa del SP¿? Se puede calcular el CM de manera sencilla¿? Como interviene el CM en el movimiento de los cuerpos¿? Como utilizamos el CM en nuestra vida cotidiana¿? Intervendrá en CM en otros campos de la Física¿? Se usara CM tecnológicamenteLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 103
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física I4,5) Energía para un sistema de partículasi) Energía Cinética, Ek 1 Ek ≡ Ek , sp ≡ ∑Ek ,i ≡ ∑ mi vi2 i i 2 Relación entre Ek,0 y Ek,cm 1 2 Ek ,o ≡ Mvcm + Ek ,cm 2ii) Energía Potencial, Ep E p , sp ≡ E p ≡ ∑E p ,i i Si la E p ,i fuese E pg ,i , entonces, E pg ≡ ∑E pg ,i ≡ MgzCM iiii) Energía Mecánica, EM EM , sp ≡ EM ≡ ∑EM ,i i4,6) Momento Angular, LLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 104
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física IrL → descripción rotacional de los movimientosr r rrF → rotaciones… τ F ≡ τ FR ,exti) L para una partícula m r v r r r r r r r  L0 ≡ r xp ≡ mr xr 0LAB ≡ FIJOii) L para un SP r r r r r r r L ≡ Lsp ≡ ∑Li ≡ ∑ri xpi ≡ ∑mi ri xri  i i i r rRelación entre Lo y Lcm 0 ≡ CM r r r r  Lo ≡ MrCM xrCM + LCM4,7) Torque para un sistema de partículas,τLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 105
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física Ii) n =1 m • r r r r r r τ 0 = rxF 0 Fii) n partículas m1 ° mi r n r n r r τ 0 = ∑τ i = ∑ ri xFi r i =1 i =1 0 ri r Fi r rRelación entre τ y Lr r r d rp → L : rotacional, están vinculados por FR = p dtr rrF → τ F : rotacional, están vinculados por ¿? r r R = R ( L,τ ) r r d r r dL τR = L → τ R ,ext = dt dt o r r Esta ecuación simple que vincula a τ y L es valida cuando, i) O: fijo en el espacio ii) O: el CM, 0 = 0’ =CM iii) O:v0 // vcm ; ‘0’ se mueve // al cmLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 106
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física I r d r d r r r r r Ahora, de ii) FR ,ext = p = { mv } = m { a} = Ma cm , esto es, FR ,ext = Macm , dt dt esta ecuación también debe de cumplirse para mostrar la simetría completa entre lo trasnacional y lo rotacional. Para ciertas direcciones especiales se cumple, r r L = Iw ejes principales de inercia I: momento de inercia r r τ R ,ext = I α Los momentos de inercia son, por lo tanto, equivalentes a las masas, dan información acerca de la oposición que muestra un SP (cuerpo) a las rotaciones en ciertas direcciones, también están fuertemente ligados a la simetría del SP (cuerpo) así como a la distribución de las masas, por supuesto. El I para un SP en cierta dirección dada por el eje ξ, se determina de la siguiente forma, ξ ri mi I ξ ≡ ∑ mi ri 2 iLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 107
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física IS4P22) La figura muestra un sistema de dos partículas en el instante inicial ( t r j (ˆ r ) ( ) = 0 s), donde r1 = 4i + 3 ˆ + 2k m, r2 = 5i + 12 ˆ m, m1 = 2m2 = 1kg y las ˆ ˆ j r ˆ r ˆ j ˆ velocidades en función del tiempo son v1 = tk m/s y v2 = 5ti − 6 ˆ + k ( ) m/s. Halle para t = 1 s, a) El centro de masa b) La fuerza sobre el sistema c) El momentum angular respecto de O d) El momentum angular del centro de masa e) El momento de inercia respecto del eje z. f) La energía cinética respecto del centro de masa g) La energía cinética respecto de O h) Interprete la diferencia entre c y d, también entre f y g.SOLUCION: r r1 (0) ≡√ v2 r2 (0) ≡√ m2 m1 ≡ 1 r m2 ≡ 0,5 r2 m1 r v1 ≡ t k r r1 r ( j ˆ v2 ≡ 5ti − 6 ˆ + k ˆ ) r v1 ra) rCM ≡ ? t ≡ 1s r 1 r r rCM (t ) ≡ { m1r1 ( t ) + m2 r2 ( t ) } M r r r rb) F ≡ ?, F ≡ f1 + f 2 r rc) L ≡ L0 r r r r r r r L ≡ L1 + L2 ≡ m1 ri xv1 + m2 r2 xv 2 / t ≡ 1Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 108
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física I r r rd) LCM ≡ L0 ≡ L′ r r r  ≡ m1v1 + m2 v 2 / t ≡ 1 r vCM ≡ rCM m1 + m2e) I = ¿?f) Ek del sistema de partículas / o’ ≡ CM Ek ≡ Ek,CM 1 1 Ek ,cm ≡ m1v 1 + m2v 2 2 2 2 2 cm ≡ móvil: r r r r v 1 ≡ v1,cm ≡ v1 − vcm r r r v1 ≡ v0′ / 0 + v 1 r r r v 2 ≡ v2 − vcm 1 Ek ,cm ≡ Ek − MvCM 2 2 1 1 Ek ≡ m1v12 + m2 v2 2 2 2 =√√ , t ≡ 1g) Ek r r h) c) – d): I - Icm≡ M rcm xrcm 1 2 f) – g): Ek – Ekicm ≡ m v cm 2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 109
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física I4,8) Aplicación importante de sistema de partículas: Choques o colisiones. El fenómeno es muy importante puesto que nos permite acceder a conocimiento valioso acerca de,→ Estructura de la materia: Experimento de E Rutherford α Modelo planetario Aceleradores de partículas: AL de Stanford, anillo del CERN (Teoría M) P P: INF n 1012 eV→ Caracterización de materiales: e=√ θi=√ µ θr=√ µ : se puede conocer!→ Eventos de extinción masiva, EEM Extinción de saurios. Desaparición de la especie humana: colisión con asteroide masivo para 2027. rEste fenómeno es producido por fuerzas impulsivas FI , las cuales secaracterizan por: - Ser muy intensas 103-4 r - ∆t: tiempo de actuación de los FIr del orden ∼ 10-3 a 10-4Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 110
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física I Y -FI FI X Línea de colisión o impacto: x r En la aproximación de los FI se considera la conservación del p para todochoque.p ≡ cte p ≡ pLos choques pueden clasificarse espacialmente de la siguiente manera,i) Choques frontales o unidimensionales:Cuando las velocidades antes y después de la colisión se encuentran en una L.Esta línea L es la línea de colisión o impacto, Lc. v1 v2 x x: Línea de colisión o impactoii) Choques oblicuos o bidimensionales: rLas v de las partículas en un plano, este plano es determinado por la L decolisión y cualquier otra L ⊥ a ella. r r r1 v11 y p v2 x r r r v1 p v2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 111
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física Iiii) Choques Espaciales o Tridimensionalesrv s en el R3.Los choques también pueden describirse en función de las Ekinvolucradas,i) Choques elásticos Ek = cte → Eki ≡ Ekfii) Choques inelásticos Ek ≠ cte → Eki = Ekf + Q; Q: forma de energía no cinética, por ejemplo energía potencial de deformación.Es frecuente introducir el coeficiente de restitución del choque, e, cantidaddefinida por Newton que valora las velocidades relativas antes y después de lacolisión, v12 = −ev12 , v12 ≡ v1 − v2Donde: e: coeficiente de restitución v12: velocidad de 1 respecto de 2 antes de la colisión, v12 = v1-v2 v 12 : velocidad de 1 respecto de 2 después de la colisión, v’12 = v’1-v’2 v 2 − v 1 e= v1 − v2Esta ecuación valida para el choque frontal puede ser aplicada en el casobidimensional respecto de la L de colisión o impacto,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 112
  15. 15. Cuaderno de Actividades: Física I r r r v 1 y p v 2 r r v 2 − v 1 v 2 x − v 1x v 1x v 2 x x e= = v1 − v2 x v1x − v2 x r r r v1 p v2 r r v1x v2 x rEn los choques por lo general se miden las v s o en ciertos casos las masas,→vs =?v 1 , v 2 = ? r r1) p = p → p = p r r r r → m1v1 + m2 v2 = m1v 1 + m2 v 22) Es e Ek = Ek’ o e=1o Ek = Ek’+Q 0≤e<1 1 2 1 2 1 1 v 2 − v 1 v − v 1x Ek = mv1 + mv2 = m1v1 + m2 v2 1 2 e= = 2x 2 2 2 2 v1 − v2 x v1x − v2 x Y rS4P12) Dos discos circulares A y B se están moviendo VA sobre una superficie horizontal lisa cuando chocan r VB según un impacto central oblicuo, como se indica A B XLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 113
  16. 16. Cuaderno de Actividades: Física I en la figura. El disco A pesa 10 kg y el disco B 6 kg . Antes del choque r r r la velocidad de A fue V A = 5i + 5j m / s y la velocidad de B fue r r r V B = - 12i + 5j m / s . Si el coeficiente de restitución para estos dos discos es 0,7, determine las velocidades de los discos después del choque y el porcentaje total de energía cinética perdida.SOLUCION: Y r VA mA = 10 r VB mB = 6 vA = (5 i + 5 ˆ ) m/s ˆ j A B X vB = -12 i +5 ˆ ˆ j e= 0,7a) x : Lc , se analizaran los cambios del p solo en x , r r r r1°) p ≡ p → p = p / x r r r r mA v A + mB vB = mAv A + mB v B {ˆ j } { ˆ j } ˆ j{ } { 10 5i + 5 ˆ + 6 −12i + 5 ˆ = 10 v Ax i + v Ay ˆ + 6 v Bx i + vBy ˆ ˆ j } x : 50 − 72 = 10v Ax + 6v Bx ≡ −22 v2 x − v1 x 1 = A 2°) e = 0, 7 = : v1x − v2 x 2 = B vBx − v Ax 0, 7 = v Ax − vBx vBx − vAx = → vBx − vAx ≡ 17 × 0, 7 ≡ 11, 9 { 5} − { −12}vBx ≡ ? v Ax ≡ ? r→ v A = v Ax i + 5 ˆ ˆ j ∧ vB = vBx i + 5 ˆ ˆ jLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 114
  17. 17. Cuaderno de Actividades: Física I Ek − Ekb) x 100% EkEk = 1 2 2 2 1 mA { v Ax + v Ay } + mB { vBx + vBy } 2 2 2 E k = 1 2 { 2 2 }1 2 2 { 2 mA v Ax + v Ay + mB v Bx + v By }S4P2) El sistema que se muestra esta formado por dos cuerpos A y B, unidos por una cuerda y un resorte comprimido tal como se muestra en la figura. Todo el sistema se mueve con velocidad constante V 0 = 6 m/s sobre una superficie horizontal sin fricción y la energía potencial del sistema es 27,12 J. Si se rompe la cuerda, determine la velocidad que tiene cada cuerpo inmediatamente después de que esto sucede. Considere mA = 0,90 kg y mB = 1,36 kg. Y V A A A 60° 60° V0 B X’ B V BSOLUCION: Piso horizontal lisoLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 115
  18. 18. Cuaderno de Actividades: Física IV0 = 6Epe = 27,12 v A =?mA = 0,9 mB = 1,36 v B =? r uur r r p ≡ cte : p ≡ p′r r r r r rp ≡ mAv A + mB vB ≡ mAv A + mB vB ≡ p rEM = cte ← wFNC ≡ 0 ← FNC = NEM = E’M 1 1 1 1EM ≡ mAv A + mB vB + E pe = mAv 2 + mB vB 2 2 A 2 2 2 2 2Desde el CM:→ v A , vB : Epe →Ek r r→ p : p desde el CM r r r r r r r p ≡ 0 ← p ≡ MvCM → p = m0 ≡ 0 m A v A ≡ m B v B (l) → E M ≡ cte 1 1 EM ≡ 0 + E pe ≡ mAv A + mB vB ≡ E M (ll) 2 2 2 2 vA ≡ ?, vB ≡ ? Calculando velocidades desde Or r rv A ≡ vCM + v ALic. Percy Víctor Cañote Fajardo 116
  19. 19. Cuaderno de Actividades: Física Ir r rvB + vCM + vBr rv A ≡ ?, vB ≡ ?S4P4) Un niño de m kg de masa se encuentra inicialmente parado sobre un tablón de M A B kg de masa y L m de longitud, como X muestra la figura. Si el niño empieza a O LLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 117
  20. 20. Cuaderno de Actividades: Física I r ˆ moverse con una v ≡ − v 0 i m/s (respecto de O) y la superficie X es lisa, determine: a) La velocidad del tablón (respecto de O. b) La posición del niño (desde O) cuando llegue al extremo A del tablón. c) La posición del tablón (punto medio del tablón) cuando el niño este en A. d) ¿Qué ocurre con el CM del sistema niño-tablón?SOLUCION:a) V -v0 M m o X m 0 ≡ MV + m(-v0) → V ≡   v0 M b)-(v0 + V) m o’ O xA X L L MLvn / t ≡ − ( v0 + V ) → t ≡ ≡ ≡ v0 + V v + m v v0 ( M + m ) 0 0 Mt: tiempo para que el niño se desplace desde B hasta A, o sea, tiempo para que el niño se encuentre en la posición xA. Calculamos dicha posición usando al tablón,  m  ML mL→ xA ≡ V × t ≡   v0 × → xA ≡  M  v0 ( M + m ) ( M + m) mL L Lc) De b) xo ≡ + ≡ { M + 3m} ( M + m) 2 2( M + m)Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 118
  21. 21. Cuaderno de Actividades: Física Id) vcm ≡ 0S4P7) Un sistema consiste de cuatro partículas de Y igual masa “m” que están unidas por medio de barras rígidas de igual longitud “l” y de m masa despreciable. El sistema está l inicialmente en reposo sobre una superficier horizontal lisa. Se aplica un impulso I , X r como se indica en la figura, I = I i , para t r = 0. Determine: I r a) La velocidad del CM, r . cm r b) La velocidad angular del sistema, w .SOLUCION: y m 0 x l cm r I ˆI ≡ Ii r ra) vcm ≡ ?r FR , EXT r r rI ≡ I ≡ ∆P r r r r r r∆P ≡ P(t ) − P (0) → P ≡ { 4m} vcm − 0 r r r r∆P ≡ { 4m} vcm ≡ I → r vcm ≡ I 4mLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 119
  22. 22. Cuaderno de Actividades: Física I r rb) w≡? r r r dL r ∆wCM: τ R ,ext ≡ ≡ Iα ≡ I dt ∆t r r r r∆t → 0 τ R ,ext ∆t ≡ ( F lk ˆ)∆t ≡ ( I )l ≡ I ∆w (Problema escalar) { ( Fl )∆t ≡ ( F ∆t )l ≡ I l ≡ 4ml 2 } { w − 0} → w≡ I 4mlS4P11) Una bala de masa m y velocidad v pasa a través de la esfera de un péndulo de masa M saliendo con una velocidad v/2. La esfera pendular cuelga del extremo de la cuerda 0 de longitud l. ¿Cuál es el menor valor de v para el cual la esfera complete una l circunferencia? v v 2SOLUCION: r r rPor conservación del L debido a que el τ R ,ext ≡ 0,r uurL ≡ cte vL ≡ mlv ≡ L ≡ MlV + ml 2Asumiendo que la esfera adquiere una velocidad V inmediatamente después. r uur v  p ≡ cte : mv ≡ MV + m , ojo : IDEM  2 Por conservación de la Energía. Igualando EKA ≡ E pgB , BLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 120
  23. 23. Cuaderno de Actividades: Física I l V A M 1EKA ≡ mv 2 ≡ E pgB ≡ mg (2l ) → v ≡ 4lg 2Con lo cual para que la esfera pueda completar la vuelta se requerirá, V > 2 gl r uur, y conjugando esta condición con la ecuación que se desprende de L ≡ cte , m mv v ≡ MV → V ≡ 2 2M mv 4M→ > 2 gl → v> m gl 2MS4P10) Una granada de masa M está cayendo con una velocidad v0, y se halla a una altura h, cuando explota en dos fragmentos iguales que inicialmente se mueven horizontalmente en el sistema-CM. La 2 explosión tiene un valor Q igual a Mv0 . Determine los puntos donde los fragmentos chocarán con el suelo con relación al punto directamente debajo de la granada en el momento de la explosión. SOLUCION: y M/2 M/2 h M -v’ v’ v0 CM CM: x0 x R x0 Pr r M  M p ≡ 0:0 ≡   v1 −   v2 → v1 ≡ v2 ≡ v  2   2  1 M  1 M  M Q ≡ M v0 ≡  2  (v ) +  2  (v ) ≡ 2 (v ) 2 → v ≡ 2v0 2 2  2 2  2Ahora, el tiempo de movimiento de los fragmentos, t,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 121
  24. 24. Cuaderno de Actividades: Física I v y ( 0 ) ≡ −v0  y ( t ) ≡ y ( 0 ) + v y (0)t − 5t 2 en el eje y el CM realiza MRUV y ( t ) ≡ 0  0 ≡ h − v0t − 5t 2 y ( 0 ) ≡ h  → 5t 2 + v0t − h ≡ 0  −v0 ± v0 + 20h 2t1,2 ≡ 10 v0 + 20h − v0 2t≡ 10Con lo que,  v 2 + 20h − v   0xR ≡ x0 − 2v 0t → xR ≡ x0 − 2v 0  0   10   y  v 2 + 20h − v   0 xR ≡ x0 + 2v 0t → xR ≡ x0 + 2v 0  0   10   ¿? Como seria si se analizara desde O rO : v1 ≡ v i − v0 ˆ ˆ j r v2 ≡ −v i − v0 ˆ ˆ jPor conservación de la energía, 1 M12 Mv0 + Mv0 + Mgh ≡  2 2 2 2 { v 2 + v02 } + M gh +  1 M { v 2 + v02 } + M gh 2  2 2   2   3 M 2 M v0 ≡ 2 2 { v 2 + v02 } → 2v02 ≡ v 2→ v ≡ 2 v0…Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 122

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