PROBLEMAS Y EJERCICIOS
DE MECÁNICA CUÁNTICA
EDICIONES CIENTÍFICAS UNIVERSITARIAS
TEXTO CIENTÍFICO UNIVERSITARIO
uis de la ...
EDICIONES CIENTÍFICAS UNIVERSITARIAS
Serie Texto Científico Universitario
Problemas y ejercicios de mecánica cuántica
Luis de la Peña realizó sus estudios de ingeniero en comunicaciones
y electrónica en la Escuela Superior de Ingeniería Mec...
LUIS DE LA PEÑA • MIRNA VILLAVICENCIO
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
DE MECÁNICA CUÁNTICA
Universidad Nacional Autónoma de México
...
Primera edición, 2003
Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra
—incluido el diseño tipográfico y de portada—...
´Indice general
´Indice de figuras XXIX
Prefacio XXXI
I. La mec´anica cu´antica primitiva 1
I.1. Problemas del texto . . . ...
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
II. Propiedades estad´ısticas y ondulatorias del movimiento de
part´ıculas 2...
´Indice general
IV.5. Funci´on delta de Dirac en coordenadas polares . . 58
IV.6. Funci´on delta de Dirac en coordenadas e...
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
VI. Barreras y pozos unidimensionales 95
VI.1. Problemas del texto . . . . ....
´Indice general
VII.6. M´etodo WKB para el pozo rectangular infinito . . 135
VII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . ....
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
VIII.18. Propiedes de los operadores de proyecci´on . . . . 158
VIII.19. Des...
´Indice general
IX.17. Versi´on tensorial del teorema del virial . . . . . . 190
IX.18. Regla de suma de Thomas-Reiche-Kuh...
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
XI. El oscilador arm´onico unidimensional 225
XI.1. Problemas del texto . . ...
´Indice general
XI.27. Los estados coherentes son de m´ınima dispersi´on . 258
XI.28. Estados coherentes en la representac...
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
XII.24. Acoplamiento de un momento angular y un mo-
mento espinorial . . . ....
´Indice general
XIII.6. Coeficientes que aparecen en el c´alculo de elemen-
tos de matriz angulares . . . . . . . . . . . ....
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
XIII.35. Determinaci´on del espectro del ´atomo hidrogenoi-
de con el m´etod...
´Indice general
XIV.23. Cambio repentino de la carga nuclear en un ´atomo
hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
XVI. Sistemas de part´ıculas iguales 467
XVI.1. Problemas del texto . . . . ...
´Indice general
XVII.10. Transiciones peri´odicas producidas por una pertur-
baci´on adiab´atica . . . . . . . . . . . . ....
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
XVIII.3. Estimaci´on variacional de la energ´ıa de disociaci´on
del H . . . ...
´Indice general
XIX.13. Momento dipolar el´ectrico de una mol´ecula diat´o-
mica heteronuclear . . . . . . . . . . . . . ....
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
XX.25. Fracci´on de part´ıculas dispersadas dentro de un
cono agudo . . . . ...
´Indice general
XXI.17. Matriz de densidad de part´ıcula libre en la repre-
sentaci´on de momentos . . . . . . . . . . . ....
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
XXII.10. Hamiltoniano de Dirac en la represetaci´on de Fol-
dy-Wouthuysen . ...
´Indice general
Ap´endices matem´aticos 769
A.1. Algunas constantes y unidades f´ısicas . . . . . . . . . . 769
A.2. Ident...
´Indice de figuras
I.1. Energ´ıa media de los osciladores de Planck como funci´on
de la frecuencia, a una temperatura dada....
Prefacio
E
n este volumen se discute con detalle la soluci´on de cada uno de los
problemas sugeridos al lector en el texto...
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
to. Sigue en cada caso una segunda secci´on en que se resuelven y discuten d...
I. La mec´anica cu´antica primitiva
I.1. Problemas del texto
I.1 Obtenga las expresiones l´ımite de la distribuci´on de Pl...
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
que es precisamente la expresi´on obtenida por Rayleigh y Jeans. N´otese que...
La mec´anica cu´antica primitiva
Al integrar esta cantidad sobre todas las frecuencias obtenemos la densidad
de energ´ıa d...
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
(el signo menos indica que a un aumento en la frecuencia corresponde una dis...
La mec´anica cu´antica primitiva
calculando la frecuencia νm para la cual la derivada de ρ(ν) dada por (I.11) se
anula, lo...
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
E3 E2
E1
c
E
Figura I.1 Energ´ıa media de los osciladores de Planck como fun...
La mec´anica cu´antica primitiva
1 mm.6 La energ´ıa de un cuanto de esta longitud de onda es
E = hc/λm = 2.057 × 10−22
J =...
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
como las p´erdidas de energ´ıa cin´etica del electr´on debidas a sus colisio...
La mec´anica cu´antica primitiva
es simple mostrar que la segunda derivada de ∆E con respecto a θ evaluada en
θ = π toma u...
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
K, p
E1, p1
p0
Figura I.2 Dispersi´on Compton de un fot´on por un electr´on....
La mec´anica cu´antica primitiva
De aqu´ı sigue
1
p1
−
1
p0
=
1
mec
(1 − cos θ) , (I.57)
que expresado en t´erminos de la ...
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
I.10 Un n´ucleo de nitr´ogeno en reposo (M0 14mp) emite un fot´on de 6.2 MeV...
La mec´anica cu´antica primitiva
Como por otro lado
p2
f =
E2
f
c2
− m2
0c2
, (I.72)
eliminando Ef entre ambas expresiones...
Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
Para una ´orbita circular, el momento angular del electr´on es
L = mvr (I.77...
Problemas y  ejercicios de mecánica cuántica
Problemas y  ejercicios de mecánica cuántica
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Problemas y ejercicios de mecánica cuántica

  1. 1. PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA EDICIONES CIENTÍFICAS UNIVERSITARIAS TEXTO CIENTÍFICO UNIVERSITARIO uis de la eña • irna illavicencio
  2. 2. EDICIONES CIENTÍFICAS UNIVERSITARIAS Serie Texto Científico Universitario Problemas y ejercicios de mecánica cuántica
  3. 3. Luis de la Peña realizó sus estudios de ingeniero en comunicaciones y electrónica en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctri- ca (esime) del Instituto Politécnico Nacional, y el doctorado en cien- cias físico-matemáticas en la Universidad Estatal Lomonosov de Moscú. Desde 1958 labora en el Instituto de Física de la Universidad Nacional Autónoma de México (unam), del cual es investigador emérito. En 1984 se le otorgó la Medalla Académica de la Sociedad Mexicana de Física, en 1989 el Premio Universidad Nacional (en In- vestigación en Ciencias Exactas) y en 2002 el Premio Nacional de Ciencias y Artes en el área de Ciencias Físico-Matemáticas y Naturales. Mirna Villavicencio realizó sus estudios de licenciatura y maestría en la Facultad de Ciencias de la unam. Desde 1993 es profesora asociada del Departamento de Física de la Facultad de Ciencias de la unam.
  4. 4. LUIS DE LA PEÑA • MIRNA VILLAVICENCIO PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA Universidad Nacional Autónoma de México Fondo de Cultura Económica méxico
  5. 5. Primera edición, 2003 Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra —incluido el diseño tipográfico y de portada—, sea cual fuere el medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito del editor Agradecemos sus comentarios y sugerencias al correo electrónico laciencia@fce.com.mx Conozca nuestro catálogo en http://www.fondodeculturaeconomica.com D. R. © 2003, Universidad Nacional Autónoma de México Edificio de la Coordinación Científica, circuito exterior Ciudad Universitaria, México, D.F. http://www.unam.mx D. R. © 2003, Fondo de Cultura Económica Carretera Picacho-Ajusco, 227; 14200 México, D. F. ISBN 968-16-7035-3 Impreso en México • Printed in Mexico Peña, Luis de la, y Mirna Villavicencio Problemas y ejercicios de mecánica cuántica / Luis de la Peña y Mirna Villavicencio — México : FCE, UNAM, 2003 xxxii, 815 p. ; 28 21 cm — (Colec. Sección de Obras de Ciencia y Tecnología) Texto para nivel licenciatura, maestría y doctorado ISBN 968-16-7035-3 1. Física — Mecánica cuántica I. Villavicencio, Mirna coaut. II. Ser III. t LC QC 174.12 P46 Dewey 530.12 P562p
  6. 6. ´Indice general ´Indice de figuras XXIX Prefacio XXXI I. La mec´anica cu´antica primitiva 1 I.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1. L´ımites de la distribuci´on de Planck . . . . . . . . 1 I.2. Ley de Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3. Ley de desplazamiento de Wien . . . . . . . . . . 3 I.4. Frecuencia de corte para los osciladores de Planck 5 I.5. Radiaci´on c´osmica de fondo . . . . . . . . . . . . 6 I.6. Energ´ıa de un cuanto de luz visible . . . . . . . . 7 I.7. Funci´on de trabajo del potasio . . . . . . . . . . . 7 I.8. P´erdida m´axima de energ´ıa del fot´on en el efecto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.9. Dispersi´on Compton . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.10. Energ´ıa de retroceso de un n´ucleo que emite un fot´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 I.11. Dispersi´on y absorci´on de fotones por cargas libres 12 I.12. Potencia radiada en una ´orbita circular de Bohr . 13 I.13. Orbitas el´ıpticas en el modelo de Bohr . . . . . . 14 I.14. Cuantizaci´on de Wilson-Sommerfeld para poten- cial proporcional a rk . . . . . . . . . . . . . . . . 16 I.15. Cuantizaci´on de Wilson-Sommerfeld para poten- cial proporcional a 1/r3/2 . . . . . . . . . . . . . . 18 I.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 I.16. Energ´ıa emitida por un cuerpo negro . . . . . . . 18 I.17. Efecto fotoel´ectrico en aluminio . . . . . . . . . . 18 I.18. Retrodispersi´on de rayos X en el efecto Compton 19 I.19. Un ejemplo de aplicaci´on del principio de corres- pondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 I.20. Cuantizaci´on de Wilson-Sommerfeld para un po- tencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ∗I.21. Fluctuaciones de la energ´ıa de un campo de radia- ci´on en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 I.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 vii
  7. 7. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica II. Propiedades estad´ısticas y ondulatorias del movimiento de part´ıculas 25 II.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 II.1. Comparaci´on de longitudes de onda de de Broglie 25 II.2. Longitud de onda de de Broglie y masa . . . . . . 26 II.3. Modelo de Bohr y longitud de onda de de Broglie 26 II.4. Radio de la primera ´orbita de Bohr y longitud de onda de luz visible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II.5. Combinaci´on de dos distribuciones normales . . . 28 II.6. Propiedades de una distribuci´on gaussiana . . . . 31 II.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 II.7. Longitud de onda de de Broglie de electrones rela- tivistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 II.8. Masa relativista del electr´on y masa efectiva del fot´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 II.9. Longitud de onda de de Broglie en t´erminos de la energ´ıa cin´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 II.10. Potencial cuadrado unidimensional y relaci´on de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 II.11. Difracci´on de Bragg de primer orden . . . . . . . 35 II.12. Presi´on de radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 II.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 III. Ecuaci´on estacionaria de Schr¨odinger 39 III.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 III.1. Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 39 III.2. Transformada integral de Fourier de diversas fun- ciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 III.3. Soluci´on de algunos problemas de valores propios 42 ∗III.4. Densidad triangular de electrones en un pozo de potencial unidimensional . . . . . . . . . . . . . . 44 III.5. M´etodo de normalizaci´on de Gram-Schmidt . . . 46 III.6. Valor medio de x y de x2 en una caja de potencial unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 III.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 III.7. Eigenfunciones para un pozo cuadrado infinito y operador de momento . . . . . . . . . . . . . . . . 50 III.8. Evoluci´on de la funci´on de onda para part´ıculas en un pozo de potencial infinito . . . . . . . . . . . . 50 III.9. M´ınima desviaci´on cuadr´atica media de la posici´on 51 III.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 IV. La part´ıcula libre 53 IV.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 IV.1. Propiedades de la funci´on delta de Dirac . . . . . 53 IV.2. Una representaci´on integral de la funci´on delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 IV.3. Relaci´on entre la distibuci´on normal y la funci´on delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 IV.4. Funci´on delta de Dirac y variables ignorables . . . 57 viii
  8. 8. ´Indice general IV.5. Funci´on delta de Dirac en coordenadas polares . . 58 IV.6. Funci´on delta de Dirac en coordenadas esf´ericas . 59 IV.7. Indefinici´on del origen del potencial en la ecuaci´on estacionaria de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . 60 IV.8. Posici´on y velocidad medias para un paquete de part´ıculas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 IV.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 IV.9. Transformada de Fourier de la funci´on de onda de part´ıculas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 IV.10. Evoluci´on de un paquete de part´ıculas libres . . . 63 ∗IV.11. Propagaci´on sin distorsi´on de un paquete de part´ıcu- las libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 IV.12. Velocidad de fase asociada a una onda de de Broglie 66 IV.13. Velocidad de fase y velocidad de grupo de ondas en agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 IV.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 V. Ecuaci´on completa de Schr¨odinger 71 V.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 V.1. Generalizaci´on de la ecuaci´on de continuidad cu´an- tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 V.2. Propiedades de continuidad de la derivada de la funci´on de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 V.3. Propagador de la ecuaci´on de Schr¨odinger . . . . 72 V.4. Propiedades integrales del propagador . . . . . . . 74 V.5. Densidad de flujo en un pozo rectangular infinito 75 V.6. Fase de la funci´on de onda como potencial de ve- locidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 V.7. An´alisis de un estado no estacionario . . . . . . . 76 V.8. Evoluci´on de un paquete bajo la acci´on de un cam- po constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 V.9. Evoluci´on de un paquete inicialmente uniforme . . 79 V.10. Evoluci´on de un paquete inicialmente gaussiano . 79 V.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 V.11. Evoluci´on de un paquete inicialmente gaussiano. L´ımite cl´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 V.12. Evoluci´on de una funci´on de onda para un pozo rectangular infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 V.13. Cuantizaci´on de Schr¨odinger para un potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 V.14. Ecuaci´on de Schr¨odinger y transfomaciones de Ga- lileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 V.15. Relaci´on de de Broglie y relatividad galileana . . 87 V.16. Conexi´on con la interpretaci´on de Bohm de la mec´anica cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 V.17. L´ımite no relativista de la ecuaci´on de Klein-Gor- don para part´ıcula libre . . . . . . . . . . . . . . . 91 V.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 ix
  9. 9. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica VI. Barreras y pozos unidimensionales 95 VI.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 VI.1. N´umero de estados ligados en un pozo cuadrado unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 VI.2. Pozo de potencial sim´etrico. N´umero de estados ligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 VI.3. Potencial atractivo delta de Dirac . . . . . . . . . 97 VI.4. Coeficientes de transmisi´on y reflexi´on para un po- zo rectangular finito . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 VI.5. Coeficientes de transmisi´on y reflexi´on para una barrera de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 VI.6. Primeros estados de un pozo doble sim´etrico rec- tangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 VI.7. Coeficientes de transmisi´on y reflexi´on para el pozo del problema anterior . . . . . . . . . . . . . . . . 106 VI.8. Pozo de potencial tridimensional rectangular finito 106 VI.9. Propiedades de la matriz S para potenciales unidi- mensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 VI.10. Matriz S para un pozo rectangular unidimensional 110 VI.11. Pozo rectangular finito con barrera infinita . . . . 112 VI.12. Coeficientes de transmisi´on y reflexi´on e inversi´on temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 VI.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 VI.13. Forma de las resonancias para la barrera rectangular 114 ∗VI.14. Fuerza media sobre las paredes de un pozo cuadra- do infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 VI.15. Coeficientes de transmisi´on y reflexi´on para una barrera delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 116 VI.16. Potencial modelado por dos funciones delta de Dirac 117 VI.17. Valor medio de la posici´on a tiempo arbitrario en un pozo cuadrado infinito . . . . . . . . . . . . . . 118 VI.18. Tiempo medio de cruce en una barrera de potencial 119 VI.19. Velocidad de flujo en presencia de una barrera . . 121 VI.20. Incidencia obl´ıcua de part´ıculas sobre un escal´on de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 VI.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 VII. M´etodos aproximados I: m´etodo WKB, teor´ıa y aplicacio- nes. 129 VII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 VII.1. Coeficiente de transmisi´on para una barrera rec- tangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 VII.2. Estados ligados para un potencial lineal unidimen- sional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 VII.3. M´etodo WKB y potencial de Hylleraas. Coefici- ciente de transmisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . 132 VII.4. M´etodo WKB y condiciones de cuantizaci´on con barrera infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 VII.5. M´etodo WKB y condiciones de cuantizaci´on para un potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . 134 x
  10. 10. ´Indice general VII.6. M´etodo WKB para el pozo rectangular infinito . . 135 VII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 VII.7. Soluci´on de ecuaciones diferenciales utilizando el m´etodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 VII.8. M´etodo WKB aplicado a un potencial proporcional a x4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 VII.9. N´umero de niveles discretos de energ´ıa en un po- tencial atractivo general . . . . . . . . . . . . . . 137 VII.10. Coeficiente de transmisi´on para una barrera de Hy- lleraas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 VII.11. Efecto t´unel macrosc´opico . . . . . . . . . . . . . 138 ∗VII.12. Estructura del espectro de problemas unidimensio- nales y m´etodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . 139 ∗VII.13. Funciones propias del pozo de potencial cil´ındrico 140 VII.14. M´etodo WKB y vida media en un pozo de poten- cial esf´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 VII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 VIII. Operadores y variables din´amicas 145 VIII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 VIII.1. Separaci´on de un operador unitario . . . . . . . . 145 VIII.2. Operadores unitarios en t´erminos de operadores hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 VIII.3. Combinaciones hermitianas de dos operadores her- mitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 VIII.4. Hermiticidad del hamiltoniano de Schr¨odinger . . 147 VIII.5. Propiedades del conmutador. Identidad de Jacobi 148 VIII.6. Propiedades adicionales del conmutador . . . . . 149 VIII.7. Algunas propiedades de conmutaci´on de los opera- dores inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 VIII.8. Conmutador del producto de operadores que con- mutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 VIII.9. C´alculo de los conmutadores fundamentales [ˆx, ˆH] y [ˆp, ˆH] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 VIII.10. Representaci´on de un operador con espectro con- tinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 VIII.11. Representaciones diversas de la relaci´on de com- pletez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 VIII.12. Propiedad asociativa de los elementos de matriz en la notaci´on de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 VIII.13. Conmutaci´on y eigenfunciones comunes de opera- dores. Notaci´on de Dirac . . . . . . . . . . . . . . 153 VIII.14. Expresi´on general para la dispersi´on de un opera- dor hermitiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 VIII.15. Desigualdades de Heisenberg para un pozo rectan- gular infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 VIII.16. Estimaci´on del radio caracter´ıstico del ´atomo de hidr´ogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 VIII.17. Ecuaci´on diferencial para paquetes de m´ınima dis- persi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 xi
  11. 11. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica VIII.18. Propiedes de los operadores de proyecci´on . . . . 158 VIII.19. Desarrollo de la funci´on de Green en t´erminos de funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . 160 VIII.20. Desigualdades de Heisenberg para los operadores p, sen λx y cos λx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 VIII.21. Expresiones asint´oticas para un paquete minimal de electrones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 VIII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 VIII.22. Eigenvalores y condiciones de frontera en un caso simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 ∗VIII.23. Determinaci´on de vectores y valores propios de un operador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 VIII.24. Hermiticidad del operador de paridad . . . . . . . 166 VIII.25. Operador de traslaci´on espacial . . . . . . . . . . 167 VIII.26. Propiedades del operador ˆAn . . . . . . . . . . . . 168 VIII.27. Valores bien definidos de una variable din´amica y eigenvalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 VIII.28. Operador de conjugaci´on de carga y sus eigenestados 170 VIII.29. Relaci´on entre las representaciones de momentos y de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 VIII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 IX. Propiedades din´amicas de los sistemas cu´anticos 175 IX.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 IX.1. a) Separaci´on de un operador en sus partes hermi- tiana y antihermitiana b) Operadores ˆr, ˆp, ˆL y de paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 IX.2. Propiedades de los par´entesis de Poisson. Identidad de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 IX.3. Conmutador de un operador con una funci´on de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 IX.4. Una propiedad del operador exponencial de un pro- ducto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 IX.5. Evoluci´on del operador de energ´ıa cin´etica . . . . 179 IX.6. Teorema de Ehrenfest con un campo magn´etico externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 IX.7. Transformaciones locales de norma . . . . . . . . 181 IX.8. C´alculo de [ˆqi, ˆpn j ] y [qi, f(p)] . . . . . . . . . . . . 183 IX.9. Invariancia del espectro de un operador ante trans- formaciones unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . 184 IX.10. Ecuaci´on de movimiento de un operador en la des- cripci´on de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . 184 IX.11. Equivalencia entre las descripciones de Schr¨odinger y Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 IX.12. Teorema cu´antico del virial . . . . . . . . . . . . . 185 IX.13. Desigualdades de Heisenberg a tiempos diferentes 186 IX.14. Desigualdades de Heisenberg a tiempos diferentes 187 IX.15. Cambio brusco en las dimensiones de una caja de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 IX.16. Evoluci´on de la variancia de la posici´on en general 189 xii
  12. 12. ´Indice general IX.17. Versi´on tensorial del teorema del virial . . . . . . 190 IX.18. Regla de suma de Thomas-Reiche-Kuhn . . . . . 191 IX.19. Regla de suma con dos observables diferentes . . . 192 IX.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 IX.20. Conmutaci´on de operadores, eigenfunciones comu- nes y degeneraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 IX.21. Soluci´on de una paradoja asociada al teorema de Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 IX.22. Descripci´on de Heisenberg de una part´ıcula sujeta a una fuerza constante . . . . . . . . . . . . . . . 194 IX.23. Invariancia de la ecuaci´on de continuidad ante transformaciones de norma . . . . . . . . . . . . . 196 ∗IX.24. Efecto Aharonov-Bohm y similares . . . . . . . . 197 IX.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 X. T´opicos complementarios de la teor´ıa de representaciones 203 X.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 X.1. Cambio de representaci´on . . . . . . . . . . . . . 203 X.2. Invariancia de la paridad de un estado ante un cambio de representaci´on . . . . . . . . . . . . . . 204 X.3. No diagonalidad de la derivada de la delta de Dirac 204 X.4. Soluci´on del potencial delta de Dirac en la repre- sentaci´on de momentos . . . . . . . . . . . . . . . 205 X.5. Operadores de proyecci´on para un sistema de dos part´ıculas de esp´ın 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 206 X.6. Operadores de proyecci´on en t´erminos de diadas . 206 X.7. Proyectores con traza arbitraria . . . . . . . . . . 207 X.8. Probabilidad de un estado como valor esperado de un proyector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 X.9. Producto de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . 209 X.10. Conmutador de operadores en diferentes espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 X.11. Producto tensorial y proyectores . . . . . . . . . . 210 X.12. La funci´on A(r)/r en la representaci´on de momentos 210 X.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 X.13. Periodicidad temporal de un sistema descrito por un hamiltoniano diagonal . . . . . . . . . . . . . . 211 ∗X.14. Propiedades generales de observables cuyo conmu- tador es una constante . . . . . . . . . . . . . . . 211 X.15. Descripci´on en el espacio de Hilbert de una cadena lineal de n part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . 213 X.16. Invariancia de eigenvalores ante una traslaci´on temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 X.17. Cambio brusco de una caja de potencial y distri- buci´on de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . 216 X.18. Part´ıcula en un campo de fuerzas uniforme. Repre- sentaci´on de momentos . . . . . . . . . . . . . . . 217 X.19. Transformaciones galileanas en el espacio de mo- mentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 X.20. Construcci´on de una transformaci´on unitaria con el invariante ˆx2 + ˆp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 X.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 xiii
  13. 13. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica XI. El oscilador arm´onico unidimensional 225 XI.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 XI.1. Soluci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger del oscila- dor arm´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 XI.2. Normalizaci´on de la funci´on de onda de un paquete de osciladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 XI.3. Dispersi´on de la posici´on y el momento del paquete coherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 XI.4. Evoluci´on del paquete coherente de osciladores . . 228 XI.5. Energ´ıa del estado base del oscilador arm´onico y desigualdades de Heisenberg . . . . . . . . . . . . 229 XI.6. Teorema del virial para estados estacionarios del oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 XI.7. Variancia de la posici´on para el estado base del oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 XI.8. Desigualdad de Heisenberg para un estado estacio- nario del oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 XI.9. Paquete minimal de osciladores arm´onicos en t´er- minos de eigenestados . . . . . . . . . . . . . . . . 234 XI.10. Degeneraci´on del espectro del oscilador arm´onico isotr´opico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 XI.11. Potencia radiada por un oscilador arm´onico cl´asico y cu´antico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 XI.12. Propiedades b´asicas de los operadores de creaci´on y aniquilaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 XI.13. Conmutador de los operadores de creaci´on y ani- quilaci´on y el hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . 239 XI.14. Elementos de matriz del operador de posici´on y de su cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 XI.15. Representaci´on matricial de los operadores de crea- ci´on y aniquilaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 XI.16. Representaci´on matricial de los operadores de po- sici´on y momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 XI.17. Operadores de dezplazamiento . . . . . . . . . . . 242 XI.18. Hamiltoniano del oscilador con t´ermino lineal en los operadores ˆa y ˆa† . . . . . . . . . . . . . . . . 244 XI.19. Estados propios del operador de aniquilaci´on . . . 245 XI.20. Cambio brusco de la frecuencia de un oscilador arm´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 XI.21. Propagador de Feynman para el oscilador arm´onico 248 XI.22. Frecuencias normales para dos osciladores acoplados 250 XI.23. Desigualdades de Heisenberg para tiempos diferen- tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 XI.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 ∗XI.24. Representaci´on del operador de creaci´on del osci- lador arm´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 XI.25. Funci´on de Green del oscilador arm´onico . . . . . 255 XI.26. Dispersi´on constante simult´anea de la posici´on y el momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 xiv
  14. 14. ´Indice general XI.27. Los estados coherentes son de m´ınima dispersi´on . 258 XI.28. Estados coherentes en la representaci´on de coorde- nadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 XI.29. Determinaci´on simple de la evoluci´on de un estado coherente del oscilador . . . . . . . . . . . . . . . 260 XI.30. El oscilador arm´onico en el espacio de momentos 261 XI.31. Teorema de desenmara˜namiento . . . . . . . . . . 262 XI.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 XII. Introducci´on a la teor´ıa del momento angular 267 XII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 XII.1. Hermiticidad de los operadores de momento angular 267 XII.2. Operador de momento angular en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 XII.3. Coeficiente de normalizaci´on de los arm´onicos es- f´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 XII.4. Momento angular de un sistema de dos part´ıculas 269 XII.5. Relaciones de conmutaci´on del momento angular relativo y cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 XII.6. Propiedades de la componente radial del operador de momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 XII.7. Relaciones de conmutaci´on de la componente ra- dial del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 XII.8. Problema de valores propios para el momento radial 272 XII.9. Algunas relaciones de conmutaci´on del operador de momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 XII.10. Relaci´on algebraica entre los operadores de mo- mento lineal y momento angular . . . . . . . . . . 274 XII.11. Relaciones de conmutaci´on de los operadores de momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 XII.12. Conmutaci´on de un operador con los operadores de momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . 276 XII.13. Elementos de matriz del momento angular . . . . 277 XII.14. Matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 XII.15. Propiedades de anticonmutaci´on de las matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 XII.16. Productos de matrices de Pauli . . . . . . . . . . 280 XII.17. Base para la representaci´on de matrices de dimen- si´on 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 XII.18. Operadores de proyecci´on para esp´ın 1/2 . . . . . 282 XII.19. Representaci´on matricial del momento angular pa- ra j = 1 y j = 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 XII.20. Matrices de Pauli en una direcci´on arbitraria . . . 285 XII.21. Representaci´on matricial de los operadores de mo- mento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 XII.22. Condici´on para que las componentes del momento angular est´en definidas . . . . . . . . . . . . . . . 287 XII.23. Relaciones de recurrencia entre coeficientes de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 xv
  15. 15. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica XII.24. Acoplamiento de un momento angular y un mo- mento espinorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 XII.25. Coeficientes de acoplamiento de un momento an- gular j = 1 y un esp´ın 1/2 . . . . . . . . . . . . . . 290 XII.26. Coeficientes de ClebschGordan para acoplamiento de j = 1/2 y j = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 XII.27. Propiedades de los coeficientes de acoplamiento con un esp´ın 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 XII.28. Funciones de estado del singulete y el triplete de dos espines 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 XII.29. Ortogonalidad de los estados del acoplamiento de j = 1 y s = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 XII.30. Relaci´on del tri´angulo para momentos angulares acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 XII.31. Acci´on del operador de ascenso para un sistema de dos part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 XII.32. Momento angular de un fot´on . . . . . . . . . . . 296 XII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 XII.33. Sistemas que emiten part´ıculas de esp´ın semientero 297 XII.34. Consecuencias de la invariancia ante el operador de rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 XII.35. Momento angular y operadores cartesianos de as- censo y descenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 XII.36. Haz polarizado de part´ıculas de esp´ın 1 . . . . . . 300 XII.37. Proyecci´on de un espinor sobre un eje arbitrario . 301 XII.38. Un problema de eigenvalores para operadores de esp´ın 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 XII.39. Vectores propios de un sistema de tres espines 1/2 303 XII.40. Evoluci´on temporal de un sistema con dos estados 306 XII.41. Niveles de energ´ıa de electrones en un campo mag- n´etico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 XII.42. Operador de rotaciones de un cuerpo r´ıgido . . . 308 XII.43. Funciones de Wigner para j = 1/2 y 1 . . . . . . . 310 XII.44. Estados de isoesp´ın de sistemas de un pi´on y un nucle´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 XII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 XIII. Potenciales centrales. El ´atomo de hidr´ogeno 317 XIII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 XIII.1. Ecuaciones de Heisenberg para el problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 XIII.2. Separaci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger para el problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . 318 XIII.3. Separaci´on de la funci´on de onda de un sistema de dos part´ıculas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 XIII.4. Mol´ecula diat´omica en un potencial gravitatorio y en un potencial el´ectrico . . . . . . . . . . . . . . 320 XIII.5. Coordenadas normales de dos osciladores arm´oni- cos acoplados el´asticamente . . . . . . . . . . . . 322 xvi
  16. 16. ´Indice general XIII.6. Coeficientes que aparecen en el c´alculo de elemen- tos de matriz angulares . . . . . . . . . . . . . . . 324 XIII.7. Estimaci´on de la energ´ıa del estado base del ´atomo de hidr´ogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 XIII.8. Normalizaci´on de la funci´on radial del ´atomo hi- drogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 XIII.9. Funci´on hipergeom´etrica confluente y polinomios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 XIII.10. Funci´on hipergeom´etrica confluente y funci´on ra- dial del oscilador isotr´opico . . . . . . . . . . . . . 329 XIII.11. M´aximo de la densidad radial hidrogenoide para l = n − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 XIII.12. Excentricidad de las ´orbitas hidrogenoides . . . . 332 XIII.13. Valor esperado de rn, n = −3, . . . , 2, para el ´atomo hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 XIII.14. Relaci´on de recurrencia de Kramers . . . . . . . . 338 XIII.15. Relaci´on de recurrencia de Kramers para un po- tencial ∼ rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 XIII.16. Valor esperado de rn en el estado base hidrogenoide 341 XIII.17. ´Atomo hidrogenoide con potencial adicional γ/r2 341 XIII.18. Relaci´on entre el momento magn´etico y el momen- to angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 XIII.19. Componentes para y diamagn´etica del momento magn´etico at´omico . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 XIII.20. Campo magn´etico medio generado por el movi- miento orbital del electr´on . . . . . . . . . . . . . 345 XIII.21. Coeficientes de Einstein del hidr´ogeno . . . . . . . 346 XIII.22. Vida media del estado 3s hidrogenoide . . . . . . 347 XIII.23. Vida media de estados hidrogenoides que decaen con emisi´on en el visible . . . . . . . . . . . . . . 348 XIII.24. Inexistencia de estados ligados excitados del deu- ter´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 XIII.25. Desfasamiento de la onda s debido a un potencial esf´erico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 XIII.26. Onda plana y eigenestados de ˆLz . . . . . . . . . 350 XIII.27. Representaci´on de la delta de Dirac en t´erminos de funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 XIII.28. Estados degenerados y conmutaci´on de operadores 350 XIII.29. Relaci´on entre los espectros del potencial de Morse y del hidr´ogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 XIII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 XIII.30. Una funci´on hidrogenoide y sus n´umeros cu´anticos 355 XIII.31. Valor medio de la energ´ıa cin´etica para un ´atomo hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 XIII.32. Potencial exponencial y estado base del deuter´on 357 XIII.33. Estados estacionarios de un oscilador isotr´opico bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 XIII.34. Estados coherentes de un oscilador isotr´opico bidi- mensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 xvii
  17. 17. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica XIII.35. Determinaci´on del espectro del ´atomo hidrogenoi- de con el m´etodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . 364 XIII.36. Estados ligados en un potencial central del tipo delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 ∗XIII.37. Periodo medio asociado al movimiento orbital . . 367 XIII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 XIV. M´etodos aproximados II: teor´ıa de perturbaciones inde- pendientes del tiempo. Efecto Stark 373 XIV.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 XIV.1. Oscilador unidimensional con perturbaci´on ax3+bx4 373 XIV.2. Elementos de matriz de una observable a primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 XIV.3. Perturbaci´on gravitatoria de un rotor plano . . . 380 ∗XIV.4. Tratamiento exacto y perturbativo de un p´endulo plano cu´antico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 XIV.5. Tratamiento perturbativo del efecto Zeeman normal 386 XIV.6. Transformaci´on unitaria entre estados degenerados y perturbativos correctos . . . . . . . . . . . . . . 386 XIV.7. Efecto Stark lineal y n´umero cu´antico principal . 387 ∗XIV.8. Tratamiento del efecto Stark lineal y cuadr´atico con el m´etodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . 387 XIV.9. Ecuaci´on diferencial para el efecto Stark cuadr´atico 390 XIV.10. Soluci´on de la ecuaci´on diferencial para el efecto Stark cuadr´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 XIV.11. Efecto Stark para los niveles hidrogenoides con n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 XIV.12. Intensidades de las componentes Stark de la l´ınea Hα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 XIV.13. Efecto Stark a segundo orden para niveles hidro- genoides con n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 XIV.14. Elementos de matriz para dos osciladores arm´oni- cos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 XIV.15. Correcci´on a la energ´ıa de dos osciladores acopla- dos a segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 XIV.16. Funciones de onda para el problema anterior . . . 406 XIV.17. Funciones de onda correctas y modos normales pa- ra el problema anterior . . . . . . . . . . . . . . . 408 XIV.18. Tratamiento exacto y perturbativo de dos oscila- dores arm´onicos acoplados . . . . . . . . . . . . . 410 XIV.19. Espectro de emisi´on de dos osciladores arm´onicos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 XIV.20. Osciladores arm´onicos acoplados con un potencial gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 XIV.21. Correcci´on a la energ´ıa debida a una perturbaci´on general hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 XIV.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 XIV.22. Soluci´on exacta y perturbativa de un sistema de dos estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 xviii
  18. 18. ´Indice general XIV.23. Cambio repentino de la carga nuclear en un ´atomo hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 XIV.24. Efecto Zeeman para ´atomo hidrogenoide con un potencial arm´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 ∗XIV.25. Efecto Stark a quinto orden en el estado base de un ´atomo hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . 423 XIV.26. Efectos del tama˜no finito del n´ucleo y de la correc- ci´on relativista a la masa . . . . . . . . . . . . . . 426 XIV.27. Transformaci´on can´onica de Bogoliubov . . . . . . 427 XIV.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 XV. El esp´ın del electr´on 433 XV.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 XV.1. Relaciones de conmutaci´on de momentos angulares 433 XV.2. Funciones de las matrices de Pauli . . . . . . . . . 434 XV.3. Generalizaci´on de la f´ormula de Euler con matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 XV.4. Matrices que anticonmutan con las matrices de Pauli 436 XV.5. Operador de rotaci´on y las matrices de Pauli . . . 436 XV.6. Espinores que son eigenestados del esp´ın en el pla- no xOy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 XV.7. Matriz de rotaci´on para un espinor . . . . . . . . 439 XV.8. Ecuaci´on de Pauli para part´ıcula libre . . . . . . . 440 XV.9. Ecuaciones para las componentes de un espinor de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 XV.10. Factorizaci´on de la funci´on de onda de Pauli . . . 443 XV.11. Valor esperado de la proyecci´on del esp´ın sobre el eje Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 XV.12. Correcci´on relativista a la energ´ıa cin´etica en el ´atomo hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 XV.13. Correcci´on debida a la estructura nuclear en el ´atomo hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 XV.14. Acoplamiento esp´ın-´orbita en el oscilador tridi- mensional isotr´opico . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 XV.15. Eigenvectores de un sistema de tres electrones . . 448 XV.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 XV.16. Integrales de movimiento para part´ıcula en un campo magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 XV.17. Densidad de probabilidad y de flujo asociadas a la ecuaci´on de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 XV.18. Precesi´on de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . 454 XV.19. Resonancia magn´etica con part´ıculas de esp´ın 1/2 456 XV.20. M´etodo de Rabi para la medici´on del momento magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 XV.21. Sistema con interacci´on esp´ın-esp´ın en un campo magn´etico homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . 460 XV.22. Descripci´on general de un sistema de dos niveles . 461 XV.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 xix
  19. 19. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica XVI. Sistemas de part´ıculas iguales 467 XVI.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 XVI.1. Hermiticidad del operador de intercambio . . . . 467 XVI.2. Proyectores de estados sim´etricos y antisim´etricos 468 XVI.3. Perturbaci´on debida a un potencial sim´etrico y efectos de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . 470 XVI.4. Funciones de onda para un sistema de tres part´ıcu- las sin interacci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 XVI.5. Intercambio de dos osciladores acoplados . . . . . 473 XVI.6. Coordenadas normales de un sistema de tres boso- nes de esp´ın cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 XVI.7. Eigenfunciones para un sistema de tres bosones iguales de esp´ın cero . . . . . . . . . . . . . . . . 475 XVI.8. Dos osciladores iguales, sin esp´ın, acoplados por un potencial gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 XVI.9. Eigenfunciones de un sistema de cuatro osciladores desacoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 XVI.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 XVI.10. Estados base de un sistema de dos electrones inde- pendientes confinados . . . . . . . . . . . . . . . . 482 XVI.11. Sistema unidimensional de tres electrones en inte- racci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 XVI.12. Estados sim´etricos y antisim´etricos de dos part´ıcu- las con esp´ın s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 XVI.13. Movimiento relativo de un sistema de dos part´ıcu- las iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 XVI.14. Conmutadores del operador de intercambio de dos part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 XVI.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 XVII. M´etodos aproximados III: Absorci´on y emisi´on de radia- ci´on 489 XVII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 XVII.1. Relaci´on entre el m´etodo variacional y la teor´ıa de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 XVII.2. Soluciones variacionales del oscilador arm´onico . . 489 XVII.3. Soluciones variacionales para el estado base del oscilador arm´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 XVII.4. Tratamiento variacional y WKB del rotor plano . 496 XVII.5. Tratamiento variacional de una part´ıcula en un potencial de Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . 499 XVII.6. Tratamiento variacional y WKB de un oscilador arm´onico truncado . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 XVII.7. An´alisis variacional de los estados ligados de un potencial atractivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 XVII.8. Determinaci´on de la energ´ıa de un ´atomo con el m´etodo Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . 506 ∗XVII.9. Fuerzas de van der Waals entre dos mol´eculas neu- tras simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 xx
  20. 20. ´Indice general XVII.10. Transiciones peri´odicas producidas por una pertur- baci´on adiab´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 XVII.11. Probabilidad de transici´on debida a una perturba- ci´on impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 XVII.12. Transiciones producidas por una perturbaci´on s´u- bita de un oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 XVII.13. Probabilidad de transici´on para un sistema de dos estados degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 XVII.14. Coeficiente B de Einstein para procesos de absor- ci´on resonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 XVII.15. Probabilidad de transici´on cuadrupolar espont´anea en un ´atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 XVII.16. Reglas de selecci´on para transiciones cuadrupola- res el´ectricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 XVII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 XVII.17. Estimaci´on variacional de la energ´ıa del estado ba- se hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 XVII.18. Tratamiento variacional de un ´atomo hidrogenoide con perturbaci´on γ/r2 . . . . . . . . . . . . . . . 525 XVII.19. An´alisis variacional para una barrera impenetrable y potencial lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 XVII.20. An´alisis variacional del quarkonio . . . . . . . . . 528 XVII.21. Transiciones de un oscilador en un campo el´ectrico uniforme y pulsante . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 XVII.22. Transiciones de un ´atomo de H en un campo el´ectri- co uniforme y pulsante . . . . . . . . . . . . . . . 530 XVII.23. Probabilidad de excitaci´on de un ´atomo cuyo n´u- cleo recibe un impulso . . . . . . . . . . . . . . . 530 ∗XVII.24. Part´ıcula con esp´ın en dos campos magn´eticos cru- zados, uno peri´odico . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 ∗XVII.25. Teor´ıa de perturbaciones en la descripci´on de inte- racci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 XVII.26. Evoluci´on de una integral de movimiento debida a una perturbaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 XVII.27. Transiciones en un ´atomo excitado con Z electrones y s´olo dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 XVII.28. M´etodo Hartree-Fock para un sistema de dos fer- miones acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 ∗XVII.29. Efectos de un campo cuantizado sobre un ´atomo de dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 ∗XVII.30. Modelo de Jaynes y Cummings . . . . . . . . . . 549 ∗∗XVII.31. El efecto fotoel´ectrico tratado en primera cuanti- zaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 XVII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 XVIII. Estructura at´omica. Modelo de capas nuclear 555 XVIII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 XVIII.1. Configuraci´on electr´onica del F, Ca y Rb . . . . . 555 XVIII.2. Ecuaci´on de Schr¨odinger para el movimiento inter- no de N cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 xxi
  21. 21. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica XVIII.3. Estimaci´on variacional de la energ´ıa de disociaci´on del H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 XVIII.4. Transiciones dipolares entre los estados orto- y para- del helio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 ∗XVIII.5. F´ormula general de Rydberg, incluyendo el defecto cu´antico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 XVIII.6. N´umeros m´agicos nucleares predichos por el mo- delo de oscilador arm´onico . . . . . . . . . . . . . 563 XVIII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 XVIII.7. Relaci´on entre los sistemas de unidades internacio- nal y at´omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 ∗XVIII.8. Probabilidad del estado base at´omico del tritio frente al decaimiento beta . . . . . . . . . . . . . 564 XVIII.9. Estimaci´on de la energ´ıa del estado base de un ´atomo helioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 XVIII.10. Funciones de onda de la configuracion 1s2s de un ´atomo de He . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 XVIII.11. Potencial efectivo de repulsi´on entre electrones de un ´atomo de He excitado . . . . . . . . . . . . . . 569 ∗XVIII.12. C´alculo variacional de la energ´ıa del estado base del litio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570 XVIII.13. Configuraci´on electr´onica de las tierras raras . . . 572 ∗XVIII.14. Reglas de Slater para la carga nuclear efectiva . . 573 XVIII.15. Carga nuclear efectiva de un electr´on 3d y un elec- tron 4s del hierro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 XVIII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 XIX. Mol´eculas 577 XIX.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 XIX.1. Traslape de las funciones de un electr´on referidas a dos n´ucleos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 XIX.2. Determinaci´on de la energ´ıa del i´on H+ 2 . . . . . . 579 XIX.3. Estado base de la mol´ecula de hidr´ogeno . . . . . 580 XIX.4. Fuerzas de van der Waals y potencial de enlace de la m´olecula de H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 XIX.5. Legitimizaci´on del principio de Franck y Condon . 581 XIX.6. Determinaci´on a cuarto orden de la energ´ıa de una mol´ecula diat´omica . . . . . . . . . . . . . . . . . 582 XIX.7. Potencial de Morse y energ´ıa electr´onica hasta cuarto orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 XIX.8. Transici´on vibracional en una mol´ecula de LiH . . 585 XIX.9. Distancia de equilibrio entre los ´atomos de la mo- l´ecula de HCl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 XIX.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 XIX.10. Espectro rotacional y vibracional de un modelo de mol´ecula diat´omica . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 XIX.11. Potencial efectivo para oscilaciones peque˜nas de la mol´ecula diat´omica . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 XIX.12. Uso de coordenadas el´ıpticas en el c´alculo de la energ´ıa del i´on H+ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 xxii
  22. 22. ´Indice general XIX.13. Momento dipolar el´ectrico de una mol´ecula diat´o- mica heteronuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 ∗XIX.14. Propiedad de aditividad de las fuerzas de van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 XIX.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 XX. Teor´ıa de la dispersi´on 595 XX.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 XX.1. Sistemas de laboratorio y CM en un problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 XX.2. Secci´on eficaz el´astica en el sistema de laboratorio y el de CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 XX.3. Generalizaci´on al caso de colisiones binarias inel´as- ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 XX.4. Retroceso del blanco en una colisi´on el´astica . . . 599 XX.5. Distribuci´on angular de las part´ıculas blanco en una colisi´on el´astica . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 XX.6. Atenuaci´on lineal por un blanco grueso . . . . . . 601 XX.7. Dispersi´on por una barrera esf´erica unforme. Apro- ximaci´on de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 XX.8. Efecto Ramsauer-Townsend en un pozo esf´erico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 XX.9. Dispersi´on de neutrones lentos por protones. Esta- do base del deuter´on . . . . . . . . . . . . . . . . 607 XX.10. Dispersi´on de part´ıculas extensas por blancos con estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608 XX.11. Dispersi´on de protones por una hoja delgada de aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 XX.12. Dispersi´on de neutrones por una hoja fina de n´u- cleos pesados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 XX.13. Estados ligados en un pozo esf´erico uniforme pro- fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 XX.14. Desfasamientos en la aproximaci´on de Born . . . 615 XX.15. Unitaridad de la matriz ˆS y conservaci´on del flujo de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 XX.16. Teorema ´optico para dispersi´on el´astica . . . . . . 618 XX.17. Teorema ´optico para dispersi´on inel´astica . . . . . 620 XX.18. Dispersi´on p−n en la aproximaci´on de rango efectivo 621 XX.19. Ecuaciones de Lippman-Schwinger . . . . . . . . . 622 XX.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 XX.20. Dispersi´on de part´ıculas cl´asicas por un potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 XX.21. F´ormula de Rutherford para el caso cl´asico . . . . 626 XX.22. Desarrollo de Born hasta segundo orden en la re- presentaci´on de coordenadas . . . . . . . . . . . . 627 XX.23. Secci´on diferencial de dispersi´on y teor´ıa de per- turbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 XX.24. Primera aproximaci´on de Born para el potencial coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630 xxiii
  23. 23. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica XX.25. Fracci´on de part´ıculas dispersadas dentro de un cono agudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 XX.26. Dispersi´on el´astica de electrones hacia adelante . 632 XX.27. Desfasamiento de la onda s debido a un potencial delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 XX.28. Dispersi´on el´astica de deuterones por deuterones en el sistema CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 XX.29. Dispersi´on de neutrones lentos con inversi´on del esp´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 XX.30. Efecto del esp´ın total del sistema en la dispersi´on de neutrones por protones . . . . . . . . . . . . . 634 ∗XX.31. Efectos de la conservaci´on del isoesp´ın en la dis- persi´on el´astica π − N . . . . . . . . . . . . . . . 635 XX.32. Desfasamientos debidos a un potencial central y m´etodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 XX.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 XXI. La matriz de densidad 641 XXI.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 XXI.1. Invariancia de la traza del producto de operadores frente a su reordenamiento . . . . . . . . . . . . . 641 XXI.2. Condici´on para que una matriz de densidad des- criba un estado puro . . . . . . . . . . . . . . . . 641 XXI.3. La matriz de densidad media de un estado puro describe una mezcla . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 XXI.4. Imposibilidad de la reducci´on unitaria de una mez- cla a un estado puro . . . . . . . . . . . . . . . . 643 XXI.5. Ejemplos de operadores que representan una ma- triz de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 XXI.6. Matriz de densidad general para un sistema con dos estados ortonormales . . . . . . . . . . . . . . 645 XXI.7. Acci´on de los proyectores de esp´ın 1/2 sobre una matriz de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 XXI.8. Operador de densidad y vector de polarizaci´on pa- ra un estado puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 XXI.9. Matriz de densidad para un sistema de tres estados 648 XXI.10. Distribuci´on de Planck, incluyendo la energ´ıa de punto cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 XXI.11. Teorema del virial para un ensamble can´onico de osciladores bos´onicos . . . . . . . . . . . . . . . . 650 XXI.12. Momento paramagn´etico de un ´atomo. F´ormula de CurieLangevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 XXI.13. Matriz de densidad para un ensamble can´onico de osciladores arm´onicos . . . . . . . . . . . . . . . . 653 XXI.14. Soluci´on de la ecuaci´on de Bloch para osciladores arm´onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 XXI.15. L´ımites T → 0 y T → ∞ del ensamble can´onico de osciladores arm´onicos . . . . . . . . . . . . . . . . 656 XXI.16. Soluci´on de la ecuaci´on de Bloch para part´ıcula libre 657 xxiv
  24. 24. ´Indice general XXI.17. Matriz de densidad de part´ıcula libre en la repre- sentaci´on de momentos . . . . . . . . . . . . . . . 658 XXI.18. Matriz de densidad y propagador de part´ıcula libre 659 XXI.19. Valor medio de la derivada temporal del operador de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 XXI.20. Ecuaci´on de von Neumann en la representaci´on de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 XXI.21. Condici´on para que una matriz de densidad redu- cida sea idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . 661 XXI.22. Teor´ıa de perturbaciones de la matriz de densidad a primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663 XXI.23. Peso de un estado como valor medio de un proyector 666 XXI.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 XXI.24. Evoluci´on unitaria de un estado puro . . . . . . . 666 XXI.25. Transformaci´on de un estado puro en una mezcla al tomar promedios . . . . . . . . . . . . . . . . . 668 XXI.26. Propiedades de la traza del cuadrado de la matriz de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668 XXI.27. Matriz de densidad para part´ıculas en una caja de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669 XXI.28. Matriz de densidad para un electr´on en un campo magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 ∗XXI.29. Operador de densidad reducido de un sistema con dos subsistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 XXI.30. Determinaci´on de la matriz de densidad para un haz de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674 ∗XXI.31. Matriz de densidad para un ´atomo de dos estados con Z electrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 XXI.32. Distribuci´on de Wigner para una y dos part´ıculas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678 XXI.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 XXII. Ecuaciones cu´anticas relativistas 683 XXII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683 XXII.1. Ecuaci´on de Klein-Gordon para un potencial atrac- tivo isotr´opico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683 XXII.2. Representaciones de Dirac-Pauli, Kramers-Weyl y Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688 XXII.3. Transici´on de la representaci´on de Dirac-Pauli a la de Kramers-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690 XXII.4. Ecuaciones de Heisenberg para las matrices αk . . 692 XXII.5. Operador de Dirac de acoplamiento esp´ın-´orbita . 693 XXII.6. Construcci´on de los espinores esf´ericos de la teor´ıa de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697 XXII.7. Soluci´on a la ecuaci´on de Dirac para el pozo esf´eri- co uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699 XXII.8. Reglas de selecci´on del ´atomo hidrogenoide en la teor´ıa de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704 XXII.9. Conmutador del hamiltoniano de Dirac de part´ıcu- la libre y el operador ˆσσσ . . . . . . . . . . . . . . . 708 xxv
  25. 25. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica XXII.10. Hamiltoniano de Dirac en la represetaci´on de Fol- dy-Wouthuysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708 XXII.11. Ecuaciones de movimiento para acoplamiento mi- nimal en la teor´ıa de Dirac . . . . . . . . . . . . . 712 XXII.12. Zitterbewegung de una part´ıcula en un campo magn´etico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 XXII.13. Soluciones del problema anterior para el esp´ın σi(t) 717 ∗XXII.14. Movimiento de una part´ıcula en un campo el´ectrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719 ∗XXII.15. Operadores en la representaci´on de Foldy-Wout- huysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 XXII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 XXII.16. Ecuaci´on de Klein-Gordon y conservaci´on del n´u- mero de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 XXII.17. Eigenfunciones de Dirac para un electr´on en un campo