1. ECUACIONES 1.- Definiciones generales. 2.- Ecuaciones de primer grado. 2.1.- Resolución. 2.2.- Aplicaciones a problemas. 3.- Ecuaciones de segundo grado. 3.1.- Resolución. 3.2.- Ecuaciones incompletas. 3.3.- Aplicaciones a problemas. 4.- Otras ecuaciones. 4.1.- Ecuaciones factorizadas. 4.2.- Ecuaciones con radicales. 4.3.- Ecuaciones racionales.

3. Miembro: Es cada una de las dos expresiones algebraicas separadas por el signo =.

4. Término: Cada uno de los sumandos que componen los miembros de la ecuación.

5. Grado: Es el mayor de los exponentes de las incógnitas, una vez realizadas todas las operaciones (reducir términos semejantes) Solución de una ecuación La solución de una ecuación es el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta.

6. EJEMPLO . Distingue los elementos de esta ecuación: 14x + (19x +18) = x 2 +7x +1 Incógnita: x Primer miembro: x + (19x+18) Segundo miembro: x 2 +7x+1 Términos: 14x, 19x, 18, x2, 7x, 1 Grado: 2

7. 2. Ecuaciones de primer grado. Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma ax+b=0, con a # 0.

8. EJEMPLO.

9. 2.2.- Aplicación a problemas. Si al doble de un número le sumamos la cuarta parte de dicho número, el resultado es 189. ¿Cuál es el número? Resolución: 1º Asignamos la incógnita: En nuestro caso, x será el número que me piden. 2º Planteamos la ecuación que me dice el enunciado. Doble del número : 2x Cuarta parte de un número : x/4 Suma del doble mas la cuarta parte : 2x+x/4 3º Resolvemos la ecuación: 2x+x/4 = 189 ⇒(8x+x)/4 = 189 9x = 189. 4 ⇒ 9x = 756 ⇒ x = 89

10. 3. Ecuaciones de segundo grado. Las ecuaciones de segundo grado son de la forma: ax 2 + bx + c =0 Para resolverlas empleamos la fórmula:

11. 3. Ecuaciones de segundo grado. ¿Qué forma tiene una ecuación de segundo grado? Si representamos una ecuación de segundo grado (dando valores), se obtiene una parábola. Ejemplo: Representad x2+2x-1 = 0

12. 3.2.-Ecuaciones de 2º grado incompletas. Cuando b, c ó los dos son 0 estamos ante una ecuación de segundo grado incompleta. En estos casos no es necesario aplicar la fórmula ya que resulta más sencillo proceder de la siguiente manera Si b=0: ax 2 + c =0 ⇒ ax 2 =-c ⇒ x 2 =-c/a⇒ Ejemplo: x 2 /2 +2 = 0 x 2 = 4 Soluciones x=2 ; x=-2

13. 3.2.-Ecuaciones de 2º grado incompletas. Si c = 0: ax 2 + bx =0. Sacando x factor común : x (ax+b)=0 x=0 x=-b/a 2x 2 - 6x=0 x(2x - 6)=0 Soluciones: x=0 x=3 Ejemplo:

14. Otras ecuaciones de 2º grado. En ocasiones, las ecuaciones de 2º grado no vienen expresadas directamente para aplicar la fórmula de resolución.

16. Su producto es x.(x+1). El producto es igual a 210 x.(x+1) = 210

17. Resolvemos la ecuación, x 2 + x - 210 = 0.

18. 3.3.- Aplicación a problemas 2º Problemas de aplicación del Teorema de Pitágoras. Recordemos el teorema de Pitágoras: ¿¿ Por qué es útil el Teorema de Pitágoras para resolver problemas de ecuaciones de segundo grado??

19. 3.3.- Aplicación a problemas "En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 3 cm más que el cateto mayor, y éste mide 3 cm más que el menor ¿Cuánto miden los tres lados?" Vemos que la forma de relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo es a través del Teorema de Pitágoras: Llamamos "x" al cateto menor. De esta forma, "x+3" será el cateto mayor y "x+3+3=x+6" la hipotenusa.

20. 3.3.- Aplicación a problemas Aplicamos el teorema de Pitágoras: (x+6) 2 =(x+3) 2 +x 2 x 2 +36+12x=x 2 +9+6x+x 2 x 2 -6x-27=0 Se resuelve y se obtiene x1=-3 x2= 9 De las dos soluciones, se toma sólo la positiva. Por lo tanto, la solución es: cateto menor 9 cm, el mayor 12 cm y la hipotenusa 15 cm.

21. 3.3.- Aplicación a problemas 3º Problemas de aplicación a cálculo de volúmenes. Recordemos que:

22. 3.3.- Aplicación a problemas "El área total de un cilindro de 22m de altura es 1110π m 2 . Hallar el radio." Como hemos visto antes, el área total del cilindro es 2 veces el área de la base mas el área lateral.

23. 3.3.- Aplicación a problemas 4º Problemas financieros. "Un inversor deposita 10000 euros a un cierto porcentaje. Al cabo de un año añade 20000 euros y mantiene todo el capital al mismo porcentaje. Al finalizar el 2º año le devuelven 32025 euros ¿A qué porcentaje impuso su capital?" Está claro que la incógnita aquí es el índice de crecimiento anual (es decir, el tanto por ciento).

24. 3.3.- Aplicación a problemas Comienzo Final 1 er AÑO 10000 2º AÑO 10000x+20000 (10000x+20000).x 10000.x

25. 3.3.- Aplicación a problemas Por lo tanto, (10000x+20000)x=32025 10000x 2 +20000x-32025 = 0 Se resuelve la ecuación y de las dos soluciones que tiene, sólo una es una raíz positiva. x=1'05. Si el índice de crecimiento anual es 1'05, entonces el porcentaje de aumento anual es del 5%.

27. Sólo es necesario igualar cada uno de los factores a 0 para resolverlas.

28. 4.1.- ECUACIONES FACTORIZADAS.

29. 4.2.- Ecuaciones con radicales. Para resolver ecuaciones con radicales, vamos a ver un ejemplo: Primer paso: Se aisla el radical en un miembro, pasando al otro lado los demás.

30. 4.2.- Ecuaciones con radicales. Segundo paso: Se elevan al cuadrado los dos miembros.

31. 4.2.- Ecuaciones con radicales. Tercer paso: Ya sin radicales, se resuelve de manera ordinaria

32. 4.3.- Ecuaciones con la x en el denominador Veamos cómo se resuelven con un ejemplo: Primer paso: Se multiplican todos los miembros por el m.c.m. de los denominadores (en este caso, el producto de x.(x-2).

33. 4.3.- Ecuaciones con la x en el denominador Segundo paso: Una vez suprimidos los denominadores, se resuelven de manera ordinaria.