Se presenta un problema matemático resuelto por el método de Gauss.

1. Método de Gauss Pilar Hidalgo Beltrán

2. Resolución de problemas por el método de Gauss Tres personas A, B y C le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86€. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2€ que paga B, C paga 3€. Se pide: Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuanto paga cada persona. Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.

3. Resolución de problemas por el método de Gauss Planteamiento del problema. Llamemos A, B y C a las cantidades de dinero que pone cada uno. Las ecuaciones van saliendo del siguiente modo: Puesto que en total ponen 86€, la primera ecuación será: A + B + C = 86

4. Resolución de problemas por el método de Gauss Si A pone el triple que B y C juntos, la segunda ecuación será: A = 3 · (B + C) Si por cada 2€ de B, C colabora con 3€, entonces: 3B = 2C Juntando todas las ecuaciones tenemos el sistema.

5. Resolución de problemas por el método de Gauss A + B + C = 86 A = 3 · (B + C) Operando y organizando un poco 3B = 2C nos queda: A + B + C = 86 A – 3B – 3C = 0 3B – 2C = 0

6. Método de Gauss b) Resolución. El método de Gauss consiste en triangular la matriz de modo que en la tercera ecuación sólo quede una incógnita, en la segunda dos y en la primera 3. Para ello hacemos combinaciones lineales de las ecuaciones y las colocamos las ecuaciones en el orden que mejor nos convenga.

7. Método de Gauss A – 3B – 3C = 0 En primer lugar restaré A + B + C = 86 a la segunda ecuación 3B – 2C = 0 la primera. A - 3B – 3C = 0 Ahora simplifico la segunda 4B + 4C = 86 ecuación entre 2 y sumo a la 3B – 2C = 0 tercera.

8. Método de Gauss A – 3C – 3B = 0 Ahora basta con sacar el valor 2C + 2B = 43 de B de la 3ª, meterlo en la 5B = 43 2ª para sacar C, y ambos en la 1ª para sacar A. B = 8.6 € C = (43 – 2B)/2; C = 12.9 € A = 3C + 3B; A = 64.5 €

9. Método de Gauss Agrupando las respuestas, tenemos la solución del problema: A = 64.5 € B = 8.6 € C = 12.9 €