Exposición sobre una aplicación de la Transformada de Fourier con implicaciones didácticas.

1. Aprendiendo de las Matemáticas
Medios, Métodos, Modelos y Sistemas
Aplicados a la Educación Superior Tecnológica
Pensamiento Complejo y Metacognición
Instituto Tecnológico de la Laguna
M. C. J. Agustín Flores Avila Email: nitsuga47gpd@yahoo.com.mx
10/21/12

2. Aprendiendo de las Matemáticas
 Esta propuesta tiene como base el principio
teórico conocido como Juego de Marcos en el
sentido de presentar el objeto de conocimiento
mediante diversos enfoques para, en función
de aproximaciones diferentes al mismo,
extraer el conocimiento de manera fraccionaria
y englobarlo después en su totalidad.
2 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

3. Aprendiendo de las Matemáticas
 Por desgracia, la parte constructiva y más
motivante de esta disciplina, que es la de sus
APLICACIONES, se extravía en los objetivos
del corto plazo o se enmascara mediante
“técnicas de solución de problemas
catalogados de antemano, cuyos enunciados
de manera predeterminada señalan al
estudiante las recetas que debe aplicar” [1].
3 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

4. Aprendiendo de las Matemáticas
 El problema fundamental de las aplicaciones, en
cualquier curso de matemáticas, es que es
prácticamente imposible abrigar esperanzas de éxito si
dejamos de lado la representación de los conceptos y
el significado de las operaciones matemáticas. Nuestra
hipótesis de partida en este trabajo, es que el
problema de la construcción del conocimiento
matemático es un problema de representación y
significado.
4 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

5. Aprendiendo de las Matemáticas
 Partiendo de la premisa anterior, en el curso
de Matemáticas V que a los alumnos de
Ingeniería Mecánica se les imparte en nuestra
institución y que comprende parte de Análisis
de Fourier, estudiamos una serie de problemas
en los que el significado adquiere particular
relevancia y nos permite Aprender de las
Matemáticas.
5 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

6. Aprendiendo de las Matemáticas
 Enesta ponencia exponemos un ejemplo de
una estrategia didáctica que estamos
empleando para abordar las aplicaciones,
desde una perspectiva constructivista, de esta
rama de las matemáticas. No obstante que el
problema es muy simple, su análisis enriquece
en gran medida la enseñanza de las
matemáticas.
6 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

7. Aprendiendo de las Matemáticas.
Problema
 El problema lo enunciamos en los siguientes
términos:
 "Describa la posición x(t) de un cuerpo de
masa m que se mueve en el vacío si se le
aplica una fuerza impulsiva unitaria δ(t) en t =
0".
7 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

8. Aprendiendo de las Matemáticas
Gráfica
δ(t)
0
8 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

9. Aprendiendo de las Matemáticas
Planteamiento
 De acuerdo con el principio de D'Alambert [3], en un
Sistema Mecánico Traslacional, la fuerza externa
aplicada se distribuye en cada uno de sus
componentes según las leyes correspondientes.
 En este caso, como el sistema es un cuerpo que se
mueve bajo el influjo de una fuerza externa, entonces,
las Leyes de Newton [4, Pag.10] de la Mecánica
Clásica son las aplicables. A saber:
9 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

10. Aprendiendo de las Matemáticas
Leyes Físicas
 1ª Ley:
 "Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de
movimiento rectilíneo uniforme a menos que se vea obligado
a alterar este estado por fuerzas aplicadas a él".
 2ª Ley:
 "La variación del momento lineal con el tiempo es
proporcional a la fuerza aplicada, y su dirección es la de esta
fuerza".
 3ª Ley.
 "A cada acción se opone siempre una reacción igual y de
sentido contrario".
10 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

11. Aprendiendo de las Matemáticas
Modelo Matemático
 Por la naturaleza del problema, el Modelo
Matemático que lo representa está
determinado únicamente por la 2ª Ley de
Newton, que usualmente se expresa como:
F = m a . . . (1).
11 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

12. Aprendiendo de las Matemáticas
Ecuación Diferencial
 Por el cálculo elemental, sabemos que la aceleración a es
la segunda derivada [x''(t)] del desplazamiento x(t) con
respecto al tiempo t. Utilizando este conocimiento y, como
la fuerza aplicada F es un Impulso Unitario δ(t), la
mencionada ley (1) queda dada por:
δ(t) = m x''(t) . . . (2).
Una sencilla Ecuación Diferencial de Primer Grado y
Segundo Orden cuya solución es relativamente fácil.
12 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

13. Aprendiendo de las Matemáticas
Resolución de . . .
 Por la teoría elemental de las Ecuaciones
Diferencial, sabemos que existen diferentes
técnicas para resolverla, como son, entre
otras, Integración Sucesiva, Métodos
Numéricos, Transformada de Laplace,
Transformada de Fourier, etc..
13 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

14. Aprendiendo de las Matemáticas
Resolución de . . .
 Aparentemente -en realidad así lo es-, por lo antes
dicho, obtener la solución de (2) viene a ser trivial. Sin
embargo, dependiendo del método empleado se llega
a obtener información adicional que mucho enriquece
la enseñanza de la Ciencia Matemática.
 Para el objetivo que nos hemos fijado, vamos a
resolver (2) utilizando la técnica clásica de la
Transformada de Laplace [3 y 5] y la de Fourier [3 y 6].
Una vez obtenida la solución compararemos
resultados y enunciaremos algunas observaciones.
14 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

15. Aprendiendo de las Matemáticas
Transformada de Laplace
 Por la Teoría de la Transformada de Laplace sabemos
que:
 a).- La Transformada del Impulso Unitario δ(t) es 1.
 b).- Para efectos de resolución definimos la
Transformada de x(t) como X(s).
 c).- La transformada de x''(t) es S2 X(s). (Recordar que
estamos considerando que las condiciones iniciales
son cero).
15 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

16. Aprendiendo de las Matemáticas
Transformada de Laplace
 Por lo tanto, si le aplicamos a (2) la transformada de
Laplace obtenemos que:
δ(t) = m x''(t)
se transforma en
1 = m S2 X(s) . . . (3).
 Es un conocimiento elemental para nuestros estudiantes de
Ingeniería, que el Método de la Transformada de Laplace
transforma una ecuación diferencial en una expresión
algebraica de fácil resolución.
16 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

17. Aprendiendo de las Matemáticas
Transformada de Laplace
 Así, despejando X(s) de (3), obtenemos que:
X(s) = 1/( m S2 ) . . . (4)
 Ahora, si obtenemos la Transformada Inversa de (4)
llegaremos a la función buscada, que queda como:
x(t) = (1/m) t u(t) . . . (5).
17 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

18. Aprendiendo de las Matemáticas
Solución
 Donde u(t) representa la función escalón unitario
utilizada para definir funciones con dominios en
tiempos positivos.
 Este resultado nos indica que la posición x(t) del
cuerpo es inversamente proporcional a su masa m y
directamente proporcional al tiempo t. El cuerpo se
mueve con una velocidad constante de v = (1/m)u(t)
(primera derivada de x(t) con respecto a t) y se aleja
indefinidamente del origen. ¡Nunca se detiene!. Se
desplaza ad infinitum obedeciendo la 1ª Ley de
Newton.
18 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

19. Aprendiendo de las Matemáticas
Comentarios
 Este resultado ya había sido anticipado por la primera
Ley de Newton. Como nada se opone a su
desplazamiento, el cuerpo tiende a conservar su
estado de movimiento rectilíneo uniforme. Por lo
demás, los viajes espaciales confirman este mismo
resultado.
 La matemática de acuerdo con la realidad o la realidad
de acuerdo con la matemática, que no por secundario
[7] pierde relevancia en su enseñanza
19 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

20. Aprendiendo de las Matemáticas
Transformada de Fourier
 3.3.b.- Transformada de Fourier.
 Este método conserva tantas semejanzas con el de
Laplace, que la transformada de algunas funciones es
idéntica en ambos, con el simple intercambio de la
variable s por la compleja jω.
 a).- En particular, la transformada del Impulso Unitario
δ(t) es 1 en ambos casos.
 b).- La transformada de x(t) en Fourier se define como
X(ω).
 c).- La transformada de x''(t) en Fourier está dada por
(jω)2 X(ω).
20 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

21. Aprendiendo de las Matemáticas
Transformada de Fourier
 Entonces, aplicando el Método de la Transformada de
Fourier a la Ecuación Diferencial (2), obtenemos que:
δ(t) = m x''(t)
se transforma en
1 = m (jω)2 X(ω) . . . (6).
Que al desarrollarla queda dada por:
1 = - m ω 2 X(ω) . . . (6.a)
21 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

22. Aprendiendo de las Matemáticas
Transformada de Fourier
 Resolviendo para X(ω) tenemos la expresión:
 X(ω) = - 1/( mω 2 ) . . . (7).
 Vemos que hasta esta etapa de la solución las
diferencias no existen. Las expresiones (4) y
(7) son idénticas, intercambiando, como ya se
indicó, la variable s por la compleja jω.
22 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

23. Aprendiendo de las Matemáticas
Solución
 Sin embargo, al momento de obtener la
Transformada Inversa de la expresión (7),
aparece una pequeña diferencia que es de
suma importancia. Esta Transformada Inversa
está dada por:
x(t) = (1/m)[ t u(t) - (t / 2) ] . . . (8).
23 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

24. Aprendiendo de las Matemáticas
Comentarios
 Esta es la solución buscada, y para efectos de
resultados aquí terminaría nuestro problema.
Sin embargo, como no deseamos quedarnos
solamente con los resultados, sino que
aspiramos a ir "más allá" a partir del
significado de los resultados y "realmente ver"
las Enseñanzas de las Matemáticas, son
válidos los siguientes comentarios.
24 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

25. Aprendiendo de las Matemáticas
Comentarios
 El resultado obtenido mediante Fourier tiene el término
- t/(2m) adicional con respecto a Laplace.
 Este término tan simple implica una gran variante, ya
que representa una función cuyo dominio son todos los
reales. Es decir, está definida desde - ∞ hasta + ∞.
Para clarificar su importancia expresemos (8) de la
siguiente manera:
25 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

26. Aprendiendo de las Matemáticas
Comentarios
 − 1 ⋅ t  if t < 0
x( t) :=  
 2m 
 1 ⋅ t  if t ≥ 0
 2m 
 
26 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

27. Aprendiendo de las Matemáticas
Comentarios
 ¿Ahora sí vemos realmente una de las
Enseñanzas de Las Matemáticas?.
 Lo que nos está diciendo Fourier con su
resultado, es que un cuerpo que se mueva en
el vacío bajo los efectos de una simple Fuerza
Impulsiva Unitaria, es un sistema lineal que
proporciona una respuesta incluso antes de
que se aplique la señal de excitación.
27 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

28. Aprendiendo de las Matemáticas
Comentarios
 En el resultado tenemos una respuesta de -
(1/2m)t para tiempos negativos (¿?). ¿Es esto
posible?. ¡Por supuesto que no!.
 ¿Qué explicación podemos dar a este
resultado a todas luces absurdo?.
 Existen tres posibles según el análisis de A.
Beisser [8].
28 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

29. Aprendiendo de las Matemáticas
Explicación A
 Elresultado es incorrecto. Estamos estudiando
un problema utilizando Leyes Físicas y
Técnicas Matemáticas en un contexto en el
que no son válidas.
29 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

30. Aprendiendo de las Matemáticas
Comentario
 Sabemos que las Leyes de Newton son aplicables a
fenómenos que ocurran en el vacío y en condiciones
semejantes a las del problema planteado. (Como
sabemos, las Leyes de Newton fueron la base para
desarrollar la Mecánica Celeste). Por otro lado, el
Análisis de Fourier es el Lenguaje Matemático de la
Teoría de las Comunicaciones cuyo medio natural es
el vacío y, por lo tanto, es aplicable al problema.
30 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

31. Aprendiendo de las Matemáticas
Conclusión
 Elproblema está bien abordado desde el
punto de vista Teórico.
 Esta explicación no es válida
31 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

32. Aprendiendo de las Matemáticas
Explicación B
 El resultado es correcto. El problema
planteado define un Sistema Lineal NO
CAUSAL, es decir, uno que no puede existir en
la realidad o que no se puede construir, según
menciona Hwei P. Hsu [6].
32 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

33. Aprendiendo de las Matemáticas
Comentario
 Las sondas espaciales Voyager 1 y 2 que
hacia 1989 traspasaron las fronteras de
nuestro sistema solar alejándose a razón de
520 y 470 millones de Kms. por año y los
satélites geoestacionarios que orbitan la tierra
sin necesidad de una fuerza motriz propia, sino
solamente obedeciendo la 1ª Ley de Newton,
desmiente la explicación anterior.
33 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

34. Aprendiendo de las Matemáticas
Conclusión
 Esta explicación no es válida.
34 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

35. Aprendiendo de las Matemáticas
Explicación C
 El resultado es correcto (nunca debimos dudar
de esto). Lo que necesitamos, en el marco
teórico de las Leyes de Newton, es
reinterpretarlo y encontrarle algún sentido a la
respuesta en el "tiempo negativo” para seguir
"aprendiendo" de las matemáticas.
35 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

36. Aprendiendo de las Matemáticas
Comentario
 Recordemos lo que nos dice la 3ª Ley de Newton: "a
cada acción se opone siempre una reacción igual y de
sentido contrario".[4] En el problema usted se
encuentra, junto con el cuerpo, en algún punto
imaginario situado en el vacío y que define nuestro
origen x = 0. En el instante t = 0 le aplica un Impulso
Unitario δ(t) (por ejemplo un martillazo) poniéndolo en
movimiento en el sentido "positivo" con una velocidad
constante v = (1/2m) y una cantidad de movimiento p =
½ . Esta es la acción.
36 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

37. Aprendiendo de las Matemáticas
Comentario
¿Cual es la reacción?. 3ª Ley de Newton: Usted recibe
un martillazo del objeto obligándolo a moverse en
sentido contrario, es decir, en la dirección negativa con
una cantidad de movimiento p = ½ idéntica. La
componente positiva proporciona la posición, la
velocidad y el sentido del movimiento del cuerpo y la
componente negativa proporciona la misma
información pero . . . ¡de usted! . . . y ambas medidas
con respecto al origen imaginario.
37 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

38. Aprendiendo de las Matemáticas
Comentario
Esto significa que el cuerpo no puede estar
aislado, sino que debe existir "alguien" que le
aplique el impulso: si no ¿Cómo se mueve?.
Fourier resuelve "todo" el problema no
obstante que no se había especificado el otro
componente oculto ante nosotros.
¡Enseñanzas de Las Matemáticas!.
38 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

39. Aprendiendo de las Matemáticas
Conclusión
 En este sencillo ejemplo hemos resaltado una de las
ventajas que se obtienen al construir problemas en los
que el significado esté presente, pero, sobre todo, que
se haga hincapié en él. La matemática no se queda
solamente en un conjunto de algoritmos -impresión
que permea el conocimiento de muchos de nuestros
egresados- sino que da un paso más allá y en forma
inmediata hacia las aplicaciones, lo que realmente nos
permite conocerla, apreciarla, disfrutarla, y concederle
su justo valor.
39 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

40. Aprendiendo de las Matemáticas
Bibliografía
 1. Quintero R., Ursini, S: Desde el enfoque tutorial
hacia el uso constructivista de la computadora en el
aula; Reporte de investigación; Cinvestav, México.
1988.
 2. Koyré, Alexandre: Estudios de Historia del
Pensamiento Científico. México: Edit. Siglo XXI.
 3. Cheng, K. D: Analysis of Linear System. Tokio,
Japan: Edit. Addison-Wesley, 1959.
 4. Symon, R. Keith: Mecánica. Madrid, España: Edit.
Aguilar, 1968.
40 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

41. Aprendiendo de las Matemáticas
Bibliografía
 5. Zill, Dennis G: Ecuaciones Diferenciales con
Aplicaciones. México: Gpo. Edit. Iberoamérica,1982.
 6. Hsu, Hwei P: Análisis de Fourier. México: Edit.
Addison-Wesley Iberoamericana., 1987. 4ª Edición,
1973.
 7. Courant, R. & Robbins, R: ¿Qué es la Matemática?.
New Rochelle, N. Y. Aguilar Ediciones. 1979.
 8. Beisser, A. Conceptos de Física Moderna. Madrid,
España. Ediciones del Castillo, S. A., 1965.
 9. Polya, George: Mathematical Methods In Science.
New York: Leon Bowden Edit., 1976.
41 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12

42. DATOS DEL AUTOR
 Nombre.- J. Agustín Flores Avila
 Dirección.- Brezo No. 119 Col. Bellavista
 Población.- Gómez Palacio, Dgo. C:P: 35050
 Tel. 01 – 871 – 267 – 23 - 21
 C. E. nitsuga47gpd@yahoo.com.mx
 Instituto Tecnológico de la Laguna
 Torreón, Coah.
42 M. C. J. Agustín Flores Avila 10/21/12