1) El documento presenta un ejercicio para calcular una base ortogonal de R3 a partir de una base dada S. 2) Se dan las condiciones para la base S y se resuelve paso a paso obteniendo la base ortogonal T. 3) También presenta un ejercicio para encontrar x tal que dos vectores sean ortogonales en R2.

1. Base Ortogonal<br />Ejercicios resueltos<br />Sea R3 un espacio vectorial definido con producto interno (/). Además, S=(u, v, w) es base de R3 tal que u=(1,-1,1), v=(2,1,1), w=(1,0,1)<br />A partir de S calcular una base ortogonal de R3 conociendo que: <br />║v║ = ║w║ = 1, v/(u+v)=0, (v/w)=0, (u/w)=4<br />Nota: El producto interno (/) no es el usual.<br />t3 = α3s3-(s3/t2)(t2/t2)t2-(s2/t1)(t1/t1)t1<br />t2= α2s2-(s2/t1)(t1/t1)t1<br />s2/t1= v/w= 0<br />║v║= 1vv=1<br />║v║= vvvv=1<br />v/(u + v) = 0 v/u + v/v = 0<br />v/u + 1 = 0 v/u = -1<br />(t1,t1) = (v,v)<br />t2= α22,1,1-0(1,-1,1)t2= 2,1,1<br />(s3/t2) = (u/t2) = (v,v) = -1<br />(t2/t2) = (v/v) = 1<br />(s3/t1) = (u/w) = 4<br />t3= α31,-1,1-(-1)12,1,1-41(1,0,1)t3 = (-1,0,-2)<br />T = {(1,0,1),(2,1,1),(-1,0,-2)}<br />En R2, determinar x, tal que (3,2) y (1, x+2) sean ortogonales.<br />Sea: u = (3, 2)<br />v = (1, x+2)<br />(u/v)║u║║v║=0<br />(u/ v) = 0<br />(u/v) = (3+2x+4)<br />0 = (3+2x+4)<br />-7 = 2x<br />x=-72<br />Ejercicios propuestos<br />1.- Sea f: M2x2 M2x2 tal que:<br />f1000= 1000f0100= 01/21/20<br />f0010= 01/21/20f0001= 0001<br />a ) Dar una aplicación ortogonal para la imagen de f.<br />b) Completar una base ortogonal para el espacio vectorial M2x2 a partir de la base calculada para la imagen de f.<br />2.- Sea (R3,R,+,*) un e.v. con producto interno (/)<br />S = (u, v, w) base de R3, u = (1,-1,1); v = (2,1,1); w = (1,0,1).<br />A partir de S calcule una base ortogonal de R3 , conociendo que:<br />║v║= ║w║ = 1,v/(u+v) = 0,(v/w) = 0,(u/w) = 4<br />Nota: El producto interno(/) no es el usual.<br />Evaluación<br />1.- Explique brevemente con sus propias palabras que es base ortogonal.<br />2.- Cual es la condición necesaria para que exista este tipo de bases.<br />3.- Ponga un ejemplo de base ortogonal en R2<br />