La ParáBola
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  • 1.  
  • 2. La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz . Punto Foco = Punto Directriz PF = PD La parábola tiene un eje de simetría , cuya intersección en La parábola es el vértice . | p | La distancia del vértice al foco , tiene como valor | p |. La distancia de la directriz a el vértice is igual a | p |. LA PARABOLA
  • 3. I. Ecuación Canónica de la Parábola - Vértice (0, 0) La ecuación de la párabola con vértice (0, 0) y foco en el eje - x es y 2 = 4 px . Las coordenadas del foco es ( p , 0 ). La ecuación de la directriz is x = - p . Si p > 0 , la parábola se abre hacia la derecha . Si p < 0 , la parábola se abre hacia la izquierda .
  • 4. La ecuación de la parábola con vértice (0, 0) y foco en el eje-y es x 2 = 4 py . Las coordenadas del foco son (0, p ). La ecuación de la directriz is y = - p . Si p > 0 , la parábola se abre hacia arriba . Si p < 0 , la parábola se abre hacia abajo . II. Ecuación Canónica de la Parábola con Vértice (0, 0)
  • 5. Una parábola tiene como ecuación y 2 = -8 x . Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y gráfica de la párabola. Si tenemos en cuenta la ecuación canónica, entonces esta es y 2 = 4 px . El vértice de la parábola es ( 0, 0 ). El foco está en el eje-x . Por lo tanto, comparamos y 2 = 4 p x con y 2 = -8 x Entonces, 4 p = -8 p = -2 . Como p < 0, se abre Hacia la izquierda, siendo coordenadas del foco (-2, 0). La ecuación de la directriz es x = - p , si reemplazamos entonces x = -(-2), por lo tanto x = 2 . F(-2, 0) x = 2 Ejemplo
  • 6. Una parábola con vértice (0, 0) y cuyo foco está en los ejes. Escribe la ecuación de dicha parábola. Si el foco es (-6, 0), la ecuación de la parábola es y 2 = 4 px . P es igual a la distancia del vértice a el foco, entonces p = -6. La ecuación de la parábola es y 2 = -24 x . b) La directriz está definida por x = 5. La ecuación de la directriz es x = - p , reemplazando -p = 5 o p = - 5. La ecuación de la parábola es y 2 = -20 x . Ejemplos de Ecuaciones de la Parábola con Vértice (0, 0) Entonces el foco está en el eje -x, la ecuación de la parábola es y 2 = 4 px . c) El foco is (0, 3). a) El foco es (-6, 0). Si el foco es (0, 3), la ecuación de la parábola es x 2 = 4 py . p es igual a la distancia del vértice a el foco, entonces p = 3. La ecuación de la parábola es x 2 = 12 y .
  • 7.
    • Si p es positiva , la parábola se abre hacia arriba .
    • Si p es negativa , la parábola se abre hacia abajo .
    • Las ecuaciones ordinarias para las parábolas
    • paralelas al eje-y son:
    ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) Ecuación Ordinaria de la Parábola con Vértice ( h, k ) ( x - h ) 2 = - 4 p ( y - k ) El gráfico de la parábola es hacia abajo.
  • 8.
    • Si p es positiva , la parábola se abre hacia la derecha .
    • Si p es negativa , la parábola se abre hacia la izquierda .
    • Las ecuaciones ordinarias para las parábolas
    • paralelas al eje-x son:
    (y - k) 2 = 4 p (x - h) (y - k ) 2 = - 4 p (x - h) El gráfico de la parábola es hacia la izquierda.
  • 9. EJEMPLO DE ECUACION DE PARÁBOLA – Vértice (h;k) Escribe la ecuación de la parábola con un foco de (3, 5) y la directriz x = 9 , (ecuación ordinaria y general) La distancia del foco a la directriz es 6 unidades, entonces por el gráfico recordamos que el vértice se encuentra en la mitad de esta distancia, es decir a tres unidades, por lo que el vértice es (6, 5). (6, 5) El eje de simetría es paralela al eje-x, y la Parábola se abre a la izquierda, siendo la ecuación: ( y - k ) 2 = -4 p ( x - h ) h = 6 y k = 5 Ecuación ordinaria y 2 - 10 y + 25 = -12 x + 72 y 2 + 12 x - 10 y - 47 = 0 Ecuación general ( y - 5) 2 = -4(3)( x - 6) ( y - 5) 2 = -12( x - 6)
  • 10. Hallar la ecuación de la parábola, siendo su vértice (-2, 6) y un punto de la párabola P(2, 8). Luego de ubicar el vértice y el punto, nos damos cuenta que el eje de simetría es paralelo al eje-y . El vértice es (-2, 6), siendo, h = -2 y k = 6 . Sustituímos en la ecuación respectiva Para hallar p y Obtenemos lo siguiente: ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) (2 - (-2)) 2 = 4 p (8 - 6) 16 = 8 p 2 = p x = 2 ; y = 8 ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) ( x - (-2)) 2 = 4(2)( y - 6) ( x + 2) 2 = 8( y - 6) Ecuación ordinaria x 2 + 4 x + 4 = 8 y - 48 x 2 + 4 x + 8 y + 52 = 0 Ecuación General de la Parábola Ejemplo de Ecuación de una Parábola – Vértice (h; k)
  • 11. Hallar las coordenadas del vértice y el foco de la parábola, la ecuación de la directriz, y su gráfico respectivo; siendo Su ecuación general y 2 - 8 x - 2 y - 15 = 0 . y 2 - 8 x - 2 y - 15 = 0 y 2 - 2 y + _____ = 8 x + 15 + _____ 1 1 ( y - 1) 2 = 8 x + 16 ( y - 1) 2 = 8( x + 2) El vértice es (-2, 1). El foco es (0, 1). La ecuación de la directriz es x = -4 . La parábola se abre hacia la derecha . 4 p = 8 p = 2 Ecuación Ordinaria Analizando una Parábola
  • 12. Hallar los elementos de la parábola y 2 - 10 x + 6 y - 11 = 0 9 9 y 2 + 6 y + _____ = 10 x + 11 + _____ ( y + 3) 2 = 10 x + 20 ( y + 3) 2 = 10( x + 2) 3.6. 12 V(-2; -3) 4p = 10 p =2,5 F(0,5 ; -3 ) Directriz x = - 4,5
  • 13. Asignación Preguntas Sugeridas: Resolver en la presente clase los ejercicios de la hoja de aplicación, con sus gráficos respectivos. SUERTE.