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EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. El vigía de un barco pirata observa el punto más alto de un acantilado bajo un ángu-
   lo de 60º. Si el barco se aleja 100 m se observa bajo un ángulo de 45º. Calcula la al-
   tura del acantilado. Solución: 150 + 50 3    metros.

                                    ˆ                                        ˆ
2. Resuelve el triángulo conociendo B = 60º y el cateto b = 25 cm. Solución: C = 30º,

                       50 3                         25 3
   la hipotenusa a =        cm y el otro cateto c =      cm.
                         3                            3

3. Calcula la longitud de los lados de un triángulo, sabiendo que su altura mide 10 m y
   que el ángulo desigual es de 120º. Solución: Los lados iguales miden 20 m, y el lado
   desigual, 20 3 m.

4. Calcula la altura de una torre, sabiendo que a 300 m de su pie se ve bajo un ángulo
   de 10º. Solución: h = 52,89 m.

5. Halla la altura de un edificio sabiendo que desde dos puntos alineados con la base y
   distantes entre sí 80 m, se ve bajo ángulos de 60º y 45º, respectivamente.      Solu-
   ción:    x = 197,37 m

6. Dos caminos rectos que se cortan forman un ángulo de 30º. En uno de ellos, a 1000
   m del cruce, hay una gasolinera. Encontrar la menor distancia desde la estación de
   gasolina hasta el otro camino.

7. Una carretera asciende 3m por cada 100 m de recorrido. ¿Qué ángulo forma con la
   horizontal?. Solución: 1º 43’ 9’’.

8. Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que su altura
   mide 10 m y que el ángulo desigual es de 120º.




Ejercicios de Trigonometría             4ºE.S.O.                                Página 1
EJERCICIOS RESUELTOS

1. De un triángulo rectángulo se conocen b= 20cm y c= 40 cm. Resolverlo.
                       ˆ ˆ
   Las Incógnitas son: B, C y a

        C
                                   ˆ     b 20 1  ˆ
                                 tgB =    =  = ⇒ B = 26º33′54′′
                                         c 40 2
                   a             (con una calculadora)
    b

                       B         ˆ                                      ˆ b 20 ⇒
                                 C = 90º −26º 33′54′′ = 63º 26′6′′ ; senB = =
        A      c                                                            a a
                                           20             20
                                 a=                 =                =24,57 cm
                                     sen 26º33′54 ′′ 0,4472135

2. Resolver un triángulo rectángulo del que se conocen B=45º y c = 20 cm

             ˆ ˆ           ˆ
   Solución: B + C = 90º ⇒ C = 45º

       ˆ c          c     20    40
   cos B = ⇒ a =        =     =     = 20 2cm
          a      cos Bˆ     2     2
                           2
       ˆ b              ˆ           2
   senB = ⇒ b = a ⋅ senB = 20 2 ⋅     = 20cm
          a                        2

3. Hallar la inclinación de la sombra proyectada por un edificio de 200 m de altu-
   ra cuando la inclinación de los rayos del sol es de 30º.




                                                     Como:
               C
                                                                200
                                                     tg 30º =
                                                                AB


                                                             200
                                                     AB =          ⇒ AB = 346,41 m
                           30º                              tg 30º
    200 m
                                                B




Ejercicios de Trigonometría               4ºE.S.O.                            Página 2
4. Desde un punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando ángulo
       de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 10 m hacia su pie, éste ángulo es de
       60º. Hallar la altura de la torre.

                                                             h             h
                                                    tg 60º = x
                                                                        3=
                                                                             x
                                                                    ⇔
                                                    tg 30º = h        3= h
  h                                                 
                                                             x + 10   3  x + 10

                                                           Despejamos h de las dos ecuaciones
                60º                30º
                0                                          e igualamos los resultados:
                x             10 m
                                                                                  3
                                                           h = 3⋅x          h=      ⋅ ( x + 10)
                                                                                 3


                3
   3⋅ x=          ⋅ ( x + 10) podemos dividir los dos miembros de la ecuación por          3 y te-
               3
                      x + 10
 nemos:        x=            ⇔ 3x = x + 10 ⇔ 2 x = 10 ⇔ x = 5 Pero como nos piden la altura:
                        3
  h = 3 ⋅ x = 3 ⋅ 5 ≅ 8,66 m

 5. Un faro tiene una altura de 36 m sobre el nivel del mar. El ángulo de depresión
       de una embarcación es de 15º. Hallar a qué distancia está la embarcación del
       faro.

   FA
   RO

                                                                            36
                             15º                                  tg15º =
                                                                            NE
36 m


                                          15º                              36
                                                                  NE =         = 134,35 m
                                                                         tg15º
         N
                                                           E




 Ejercicios de Trigonometría                    4ºE.S.O.                                 Página 3
6. En el punto más alto de una pequeña elevación de terreno hay un poste de 3m
   de altura. Desde un punto A situado en el terreno llano se ve el pie B, del poste,
                                                      bajo un ángulo de 38º 30’, y el
                                                      extremo superior c bajo un án-
                                           C
                                                      gulo de 45º 15’. Hallar la altura
                                           3m         del montículo:

                                           B       Los triángulos CPA y BPA son rec-
                                                   tángulos

                                                   En el primero:
                                           x
                                                   3+ x
                                                        = tg 45º15′
                                                    y
                                                   ⇒ 3 + x = y ⋅ tg 45º15′
  A                                        P
                         y                         En el segundo:

                                                   x
                                                     = tg 38º 30′ ⇒ x = y ⋅ tg 38º 30′ .   De
                                                   y
         3 + x tg 45º15′
donde:        =            = 1,2682 ⇒ x ≅ 11,2 m
           x    tg 38º 30′

x
  = tg 38º 30′ ⇒ x = y ⋅ tg 38º 30′
y




7. Desde F, el punto más alto de un faro situado a 200 m sobre el nivel del mar, se
   divisa un barco B, con ángulo de depresión igual a 18º 45’. Cinco minutos más
   tarde la posición del barco es C y se divisa desde F bajo un ángulo de 15º 15’.
   Calcular la velocidad del barco sabiendo que la trayectoria CB es perpendicu-
   lar a la PB, siendo P el pie del faro

   Los triángulos FPB y FPC son rectángulos en P y el PBC es rectángulo en B




Ejercicios de Trigonometría            4ºE.S.O.                                    Página 4
F               18º 45'




              200

                                                          15º 15'      C      ByC
                         90º                                                  están en el
                                                                               mismo
                  90º                                     18º 45'             plano, en
                                                                       B      el mar
                     P


             200                      200
En el FPB:       = tg18º 45' ⇒ PB =           = 589,2 m
             PB                     tg18º 45'

             200                     200
En el FPC:       = tg15º15' ⇒ PC =          = 733,6 m
             PC                    tg15º15'


En el PBC: BC = PC 2 − PB 2 = 191.012,32 = 437,05 m

El espacio recorrido es de 437,05 m en 5 minutos, luego la velocidad es v = 5,245 km/h




SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PLANTEADOS EN EL MENÚ




Resolución de triángulos: Cuando el ángulo es de 30º, la longitud de la sombra es
aproximadamente de 38 m. Si el ángulo es de 40º, la longitud de la sombra es aproxi-
madamente 26 m.




Ejercicios de Trigonometría            4ºE.S.O.                              Página 5
Ejercicio de la buceadora:

                                                            Aplicando la tangente del ángu-
                            100 m
                                                            lo conocido a los dos triángulos
                                                            rectángulos:
                   100-x                 x
               35,0 °                         30,0 °                   h
                                                            tg 30º =
                              h                                        x

                                                                         h
                                                            tg 35º =
                                                                       100 - x

Resolviendo el sistema por igualación, obtenemos que h = 31,64 m.




Ejercicio avioneta:


                                                                           A




                                                                           h




                  30,0 °                       50,0 °
                                    P2
   P1
                    350 m                               x


Sean P1 y P2 los dos portaviones y A la avioneta. Aplicando tangentes en los dos trián-
gulos rectángulos:

           h
tg 50º =
           x
                            Resolviendo el sistema, obtenemos que la altura a la que
           h
tg 30º =                    vuela la avioneta es aproximadamente h = 391,96 m.
         350 + x




Ejercicios de Trigonometría                  4ºE.S.O.                             Página 6
Ejercicio pagoda:




                h'


     h




                                        45,0 °                        30,0 °
                                  x                             10 m
                     1,60 m                                                        1,60 m


                                                                    10 m


La altura de la pagoda será h = h’ + 1,60

           h′
tg 45º =
           x

             h′
tg 30º =          Resolviendo el sistema, obtenemos h’ = 13, 67 m
           x + 10

Por lo tanto la pagoda mide aproximadamente h = 13,67 + 1,60= 15,27 m




Ejercicios de Trigonometría             4ºE.S.O.                               Página 7

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  • 1. EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El vigía de un barco pirata observa el punto más alto de un acantilado bajo un ángu- lo de 60º. Si el barco se aleja 100 m se observa bajo un ángulo de 45º. Calcula la al- tura del acantilado. Solución: 150 + 50 3 metros. ˆ ˆ 2. Resuelve el triángulo conociendo B = 60º y el cateto b = 25 cm. Solución: C = 30º, 50 3 25 3 la hipotenusa a = cm y el otro cateto c = cm. 3 3 3. Calcula la longitud de los lados de un triángulo, sabiendo que su altura mide 10 m y que el ángulo desigual es de 120º. Solución: Los lados iguales miden 20 m, y el lado desigual, 20 3 m. 4. Calcula la altura de una torre, sabiendo que a 300 m de su pie se ve bajo un ángulo de 10º. Solución: h = 52,89 m. 5. Halla la altura de un edificio sabiendo que desde dos puntos alineados con la base y distantes entre sí 80 m, se ve bajo ángulos de 60º y 45º, respectivamente. Solu- ción: x = 197,37 m 6. Dos caminos rectos que se cortan forman un ángulo de 30º. En uno de ellos, a 1000 m del cruce, hay una gasolinera. Encontrar la menor distancia desde la estación de gasolina hasta el otro camino. 7. Una carretera asciende 3m por cada 100 m de recorrido. ¿Qué ángulo forma con la horizontal?. Solución: 1º 43’ 9’’. 8. Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que su altura mide 10 m y que el ángulo desigual es de 120º. Ejercicios de Trigonometría 4ºE.S.O. Página 1
  • 2. EJERCICIOS RESUELTOS 1. De un triángulo rectángulo se conocen b= 20cm y c= 40 cm. Resolverlo. ˆ ˆ Las Incógnitas son: B, C y a C ˆ b 20 1 ˆ tgB = = = ⇒ B = 26º33′54′′ c 40 2 a (con una calculadora) b B ˆ ˆ b 20 ⇒ C = 90º −26º 33′54′′ = 63º 26′6′′ ; senB = = A c a a 20 20 a= = =24,57 cm sen 26º33′54 ′′ 0,4472135 2. Resolver un triángulo rectángulo del que se conocen B=45º y c = 20 cm ˆ ˆ ˆ Solución: B + C = 90º ⇒ C = 45º ˆ c c 20 40 cos B = ⇒ a = = = = 20 2cm a cos Bˆ 2 2 2 ˆ b ˆ 2 senB = ⇒ b = a ⋅ senB = 20 2 ⋅ = 20cm a 2 3. Hallar la inclinación de la sombra proyectada por un edificio de 200 m de altu- ra cuando la inclinación de los rayos del sol es de 30º. Como: C 200 tg 30º = AB 200 AB = ⇒ AB = 346,41 m 30º tg 30º 200 m B Ejercicios de Trigonometría 4ºE.S.O. Página 2
  • 3. 4. Desde un punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 10 m hacia su pie, éste ángulo es de 60º. Hallar la altura de la torre.  h  h tg 60º = x   3= x  ⇔ tg 30º = h  3= h h   x + 10  3 x + 10 Despejamos h de las dos ecuaciones 60º 30º 0 e igualamos los resultados: x 10 m 3 h = 3⋅x h= ⋅ ( x + 10) 3 3 3⋅ x= ⋅ ( x + 10) podemos dividir los dos miembros de la ecuación por 3 y te- 3 x + 10 nemos: x= ⇔ 3x = x + 10 ⇔ 2 x = 10 ⇔ x = 5 Pero como nos piden la altura: 3 h = 3 ⋅ x = 3 ⋅ 5 ≅ 8,66 m 5. Un faro tiene una altura de 36 m sobre el nivel del mar. El ángulo de depresión de una embarcación es de 15º. Hallar a qué distancia está la embarcación del faro. FA RO 36 15º tg15º = NE 36 m 15º 36 NE = = 134,35 m tg15º N E Ejercicios de Trigonometría 4ºE.S.O. Página 3
  • 4. 6. En el punto más alto de una pequeña elevación de terreno hay un poste de 3m de altura. Desde un punto A situado en el terreno llano se ve el pie B, del poste, bajo un ángulo de 38º 30’, y el extremo superior c bajo un án- C gulo de 45º 15’. Hallar la altura 3m del montículo: B Los triángulos CPA y BPA son rec- tángulos En el primero: x 3+ x = tg 45º15′ y ⇒ 3 + x = y ⋅ tg 45º15′ A P y En el segundo: x = tg 38º 30′ ⇒ x = y ⋅ tg 38º 30′ . De y 3 + x tg 45º15′ donde: = = 1,2682 ⇒ x ≅ 11,2 m x tg 38º 30′ x = tg 38º 30′ ⇒ x = y ⋅ tg 38º 30′ y 7. Desde F, el punto más alto de un faro situado a 200 m sobre el nivel del mar, se divisa un barco B, con ángulo de depresión igual a 18º 45’. Cinco minutos más tarde la posición del barco es C y se divisa desde F bajo un ángulo de 15º 15’. Calcular la velocidad del barco sabiendo que la trayectoria CB es perpendicu- lar a la PB, siendo P el pie del faro Los triángulos FPB y FPC son rectángulos en P y el PBC es rectángulo en B Ejercicios de Trigonometría 4ºE.S.O. Página 4
  • 5. F 18º 45' 200 15º 15' C ByC 90º están en el mismo 90º 18º 45' plano, en B el mar P 200 200 En el FPB: = tg18º 45' ⇒ PB = = 589,2 m PB tg18º 45' 200 200 En el FPC: = tg15º15' ⇒ PC = = 733,6 m PC tg15º15' En el PBC: BC = PC 2 − PB 2 = 191.012,32 = 437,05 m El espacio recorrido es de 437,05 m en 5 minutos, luego la velocidad es v = 5,245 km/h SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PLANTEADOS EN EL MENÚ Resolución de triángulos: Cuando el ángulo es de 30º, la longitud de la sombra es aproximadamente de 38 m. Si el ángulo es de 40º, la longitud de la sombra es aproxi- madamente 26 m. Ejercicios de Trigonometría 4ºE.S.O. Página 5
  • 6. Ejercicio de la buceadora: Aplicando la tangente del ángu- 100 m lo conocido a los dos triángulos rectángulos: 100-x x 35,0 ° 30,0 ° h tg 30º = h x h tg 35º = 100 - x Resolviendo el sistema por igualación, obtenemos que h = 31,64 m. Ejercicio avioneta: A h 30,0 ° 50,0 ° P2 P1 350 m x Sean P1 y P2 los dos portaviones y A la avioneta. Aplicando tangentes en los dos trián- gulos rectángulos: h tg 50º = x Resolviendo el sistema, obtenemos que la altura a la que h tg 30º = vuela la avioneta es aproximadamente h = 391,96 m. 350 + x Ejercicios de Trigonometría 4ºE.S.O. Página 6
  • 7. Ejercicio pagoda: h' h 45,0 ° 30,0 ° x 10 m 1,60 m 1,60 m 10 m La altura de la pagoda será h = h’ + 1,60 h′ tg 45º = x h′ tg 30º = Resolviendo el sistema, obtenemos h’ = 13, 67 m x + 10 Por lo tanto la pagoda mide aproximadamente h = 13,67 + 1,60= 15,27 m Ejercicios de Trigonometría 4ºE.S.O. Página 7