Trigonometría 5 to

IEI MARÍA AUXILIADORAMATEMÁTICA – Lic. Jenny Tácunan Palacios --- 5to Sec
LA MERCED
SISTEMA RADIAL Ó CIRCULAR (R)
La unidad de medida en este sistema es el radián (1 rad.), el cual se define como el
ángulo central que subtiende en toda circunferencia un arco de igual longitud que la de
su radio.
⇒ < 1vta = 2π rad
OBSERVACIONES
1 rad < > 57° 17’ 44”
1 rad < 1° > g
Aproximaciones de “ π”
π = 3,1416
π =
7
22
π = 23 +
RELACIÓN ENTRE SISTEMAS
EQUIVALENCIAS FUNDAMENTALES
m 1vta < > 360° < > 400g
< > 2π rad
⇒ 2π rad < > 360° → π rad < > 180°
⇒ 2π rad < > 400g
→ π rad < > 200g
⇒ 360° < > 400g
→ 9° < > 10g
Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

LA MERCED
FACTORES DE CONVERSIÓN
Son fracciones equivalentes a la unidad y se obtienen dividiendo dos cantidades equivalentes,
colocando en el numerador una medida en la unidad deseada y en el denominador se coloca su
equivalente en la unidad a eliminar.
Ejemplo:
Convertir 36° a radianes, como: π rad < > 180°
Entonces: 1
180
rad
><
°
π
Luego:
rad
5180
rad
36
ππ
=





°
°
36° < > rad
5
π
FÓRMULA DE CONVERSIÓN
Se utiliza sólo cuando las medidas del ángulo estén expresadas en las unidades principales de
medida, es decir grados y radianes.
m<α =S°⇒S: # de grados sexagesimales del < α
m<α =C°⇒C: # de grados centesimales del < α
m<α =Rrad⇒R: # de grados radianes del < α
Estos tres valores numéricos verifican la siguiente relación:
π2
R
400
C
360
S
==
Simplificando:
π
R
200
C
180
S
==
de donde se realizan los siguientes despejes:
π
R20
10
C
9
S
==
Cuando se elige
el buen camino,
nunca es tarde
para empezar de
nuevo.
Cuando se elige
el buen camino,
nunca es tarde
para empezar de
nuevo.

LA MERCED
NOTA: Para todo ángulo trigonométrico se tiene que:
m < θ = S° ⇒ S° < > Cg
< > Rrad
medidas equivalentes
m < θ = Cg
m < θ = Rrad ⇒ S ≠ C ≠ R
además:
si : m θ es positiva ⇒ C > S > R
si: m θ es negativa ⇒ C < S < R
PARA TODO ÁNGULO EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL
m α = S’ ⇒ # de grados = S
α m α = 60 S’ ⇒ # de minutos = 60S
m α = 3600 S” ⇒ # de segundos = 3600 S
PARA TODO ÁNGULO EN EL SISTEMA CENTESIMAL
m α = Cg
S⇒ # de grados = C
α m α = 100 Cm
⇒ # de minutos = 100C
m α = 10 000 CR
⇒ # de segundos = 10000C
COMPLEMENTO Y SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO
m α = S° Valores S
α m α = Cg
⇒ numéricos C
m α = R rad de “α” R
m = (90 – S)° Valores 90 - S
Comp. m = (100 – C)g
⇒ numéricos 100-C
de α m = 





−R
2
π
rad R
2
−
π
m = (180 – S)° 180-S
α m = (200 – C)g
⇒ Valores 200-C
m = (π - R) rad numéricos π-R
Nadie llegó a
la cumbre,
acompañado
del miedo.
Nadie llegó a
la cumbre,
acompañado
del miedo.

LA MERCED
1. Dada la siguiente equivalencia:
11g
< > a° b’
calcular “b – a”
a) 45 b) 46 c) 47
d) 48 e) 49
2. Halle el valor de “a” para que se verifique la
igualdad:
m
gg
50
ga
6
10a °+
=
°
−°
a) 11/8 b) 55/4 c) 10/9
d) 9/4 e) 1/5
3. Siendo S y C los números de grados
sexagesimales y centesimales de un mismo
ángulo que cumple con:
S = 3x2
– 2x – 2
C = 2x2
+ 4x
Calcular dicho ángulo en radianes, si x es un
número entero y positivo.
a) 17π/20 b) 13π/20 c) 11π/20
d) 9π/20 e) 7π/20
4. Si se tiene que: (a – b)2
= 4ab, calcule el valor
de:
'
'
'
'
b
ab
a
ba
E
°
+
°
=
a) 120 b) 122 c) 124
d) 126 e) 128
5. Calcular:
3
S
1
5
'
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3
d) 0,4 e) 0,5
6. Si:
( )
g0
0a2ab0a <>
Calcular (a+b)° en radianes
a) π/10 b) π/12 c) π/15
d) π/18 e) π/20
7. Determine el valor de “n” en la igualdad:
C
3
C
1
S
1
n2
C
1
S
2
=





−+





−
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
8. Siendo S y C los números convencionales,
para los cuales se tiene que:
°





+
<>





− ba
C3
ba
S2
g
calcule el valor de:
1
a
b
11E
−






−= π
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
A C T I V I D A D E N A U L A

LA MERCED
1. Calcular el valor de 





−
+
yx
yx
a) 19/13 b) 21/13 c) 29/13
d) 22/13 e) 25/13
2. Si se verifica :
64
π
rad < > x° y’ z”
calcular el Suplemento de (x + y + z)°
a) 80° b) 81° c) 82°
d) 62° e) 85°
3. Si se cumple que: (a + b)2
= 4ab
calcular el valor de: M =
( )'
'
ba
b2a
−
°
a) 11 b) 21 c) 31
d) 41 e) 51
4. Calcular la medida radial de ángulo de modo
que sus medidas sexagesimal (S) y
centesimal (C), verifiquen:
S = x2
+ x + 4
C = x2
+ x + 6
5. Los ángulos de un triángulo son:
x4
= a° b’ c” ; (x + 1)g
; (x – 1)g
.
Hallar ba +
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
6. La suma de los números que representan el
suplemento de un ángulo en grados
centesimales y el complemento del ángulo en
grados sexagesimales es igual a 5. Halle la
medida radial del ángulo.
a) 3π/5rad b) 3π/5rad c) 3π/rad
d) 3π/10rad e) 3π/8rad
7. Se ha ideado un nuevo sistema para medir
ángulos en el cual el número de unidades de
un ángulo en este sistema es igual a la quinta
parte de la suma del número en grados
centesimales y el doble del número en grados
sexagesimales de dicho ángulo. ¿A cuántos
radianes equivales 80 unidades de este nuevo
sistema?
a) 3π/7rad b) 2π/7rad c) 4π/7rad
d) π/7rad e) 5π/7rad
8. Se tiene 2 ángulos, tales que el número de
grados centesimales de uno de ellos es igual
al número de grasos sexagesimales del otro, y
la diferencia del número de grados
centesimales de este último y el número de
grados sexagesimales del primero es 19.
Determinar la suma de los números de
radianes de estos ángulos.
a) 19π/20 b) 17π/20 c) 13π/20
d) 11π/20 e) 9π/20
A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A
7yg
4x°

LA MERCED
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Longitud de la circunferencia: LΘ = 2πr
Área del círculo: AΘ = πr2
SECTOR CIRCULAR
para que el sector este definido se tendrá que:
0 < m central < m 1 vuelta
0rad θrad 2πrad
LONGITUD DEL ARCO (L) – ÁREA DEL SECTOR (A )
Longitud de arco: L = θr
Área del sector:
A =
θ
θ
2
L
2
Lr
2
r 22
==
PROPIEDAD

LA MERCED
θ
α
==
2
1
2
1
L
L
A
A
(Radio constante)
TRAPECIO CIRCULAR
- Bases del trapecio: LAB y LCD
- Separación de bases: AD = BC = R – r
- Para que el trapecio exista, se debe cumplir:
0 < m central < m 1 vuelta
0rad θrad 2πrad
⇒ 0 < θ < 2π
ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR (A )–ÁNGULO CENTRAL
Área del trapecio circular A = d
2
LL 21
.




 +
Valor numérico del ángulo central θ =
d
LL 21 −
(0 < θ < 2 π)

LA MERCED
1. De la figura calcular el perímetro del sector
circular AOB.
a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24
2. Del esquema mostrado calcule el valor de “L”
a) 33πm b) 7πm c) 9πm
d) 5πm e) 10πm
3. Determine el valor de “L” en el esquema
mostrado:
a) 5 b) 7 c) 9
d) 10 e) 12
4. Determine la longitud de arco de un sector
cuyo ángulo central mide (x/3) rad y su radio
mide (6x) m; sabiendo además que el
perímetro de este sector es de 110m.
a) 110 m b) 30 m c) 40 m
d) 50 m e) 60 m
5. Si a un sector circular se le duplica el ángulo
central y a su radio se le disminuye en 3m, se
obtendrá un nuevo sector de longitud de arco
igual a la mitad de la longitud del arco inicial.
Determine el radio del nuevo sector.
a) 5 m b) 4 m c) 3 m
d) 2 m e) 1 m
6. Si a un sector circular se le triplica el radio y a
su ángulo central se le disminuye en 36°; se
obtendrá un nuevo sector de longitud de arco
igual al doble de la longitud del arco inicial.
Determine la medida del nuevo ángulo central.
a) (π/10)rad b) (π/5)rad c) (2π/5)rad
d) (3π/5)rad e) (3π/10)rad
7. Si el área del sector circular POQ es 20m2
,
hallar θ
a) 8/5 b) 4/3 c) 5/3
d) 3/5 e) 2/3
8. Del esquema mostrado determine el valor de
“θ”, si se tiene que la suma de las áreas de los
sectores sombreados es π/2 m2
a) (π/3) rad b) (π/4)rad c) (π/6)rad
d) (π/8)rad e) (π/12)rad

LA MERCED
1. En la figura mostrada determine el valor de “L”
sabiendo que el trapecio circular ABCD tiene
72 m2
de área.
a) 1m
b) 2m
c) 3 m
d) 4m
e) 5 m
2. En el esquema mostrado determine el área de
la región sombreada.
a) 22µ2
b) 34 µ2
c) 54µ2
d) 44µ2
e) 64µ2
3. Si a un sector circular le cuadruplicamos su
ángulo central y aumentamos 5m a su radio,
se obtendrá que el sector resultante tiene un
área que es 49 veces el área del sector inicial.
Determine el radio del sector resultante.
a) 1 m b) 3 m c) 5 m
d) 7 m e) 9 m
4. Si: S1 + S2 = 7π u2
, calcular “x”
a) π/3
b) π/4
c) π/5
d) π/6
e) π/8
5. Determine el área del sector sombreado, si el
trapecio circular ABCD tiene un área de 48πm2
a) 2πm2
b) 4πm2
c) 6πm2
d) 8πm2
e) 10πm2
6. De la figura calcular el área del trapecio
circular ABCD, si BD = h y DOC = α
radianes.
a)
4
h2
α
b)
2
h2
α
c)
8
h2
α
d)
16
h2
α
e)
32
h2
α
7. En la figura mostrada, siendo L1, L2 y L3,
números enteros y consecutivos, determine el
valor de:
1y
1x
E
−
−
=
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
8. De la figura calcular:
2
31
S
SS −
,OE=EC=CA
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 2.5

( )
r2
rR
n
π
α +
=
( )
r2
rR
n
π
α −
=
LA MERCED
(*) Cuando una rueda (aro, disco, .........) va rodando sobre una superficie plana.
n : Número de vueltas al ir desde A hasta B.
θg : Número de radiantes del ángulo de giro (A hasta B).
L : Longitud que recorre la rueda.
π
θ
2
n
g
=
r
L
g =θ
r2
L
n
π
=
(*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre una superficie curva.
(*) Ruedas unidas por una faja tangencial o en contacto.

LA MERCED
Se cumple:
θ1r1 = θ2r2
n1r1 = n2r2
L1 = L2
(*) Ruedas unidades por su centros.
Se cumple:
θ1 = θ2 n1 = n2
2
2
1
1
r
L
r
L
=

LA MERCED
1. Calcular el número de vueltas que da la rueda
de radio “R”, al trasladarse desde “P” hasta
chocar con la pared.
a) D/2πR b) D/πR c) D-R/2πR
d) D-R/πR e) D-2R/2πR
2. ¿Cuántas vueltas da la rueda, si el bloque
desciende hasta llegar al piso?, siendo
h= 120πcm
a) 5
b) 10
c) 12
d) 18
e) 24
3. De la figura mostrada determinar cuántas
vueltas da la rueda de radio “r” sobre la pista
circular de centro “O”, al recorrer el tramo AB
(R = 9r).
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 2,5
e) 3
4. Una rueda de radio “r” gira sin resbalar por un
camino circular de radio “R”, como se muestra
en la figura. Calcular cuántas dará hasta que
llegue a su posición inicial. (R=5r)
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
5. Calcular el número de vueltas que da la rueda
de radio “r” al recorrer el circuito desde A
hasta B.
a) 2r/R b) r/2R c) R/2r
d) 2R/r e) R/r
6. ¿Cuántas vueltas da la rueda en ir desde “A”
hasta “C”?, sabiendo que AB= 13πm.
a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5
d) 4,5 e) 5,5
7. Se tiene dos ruedas en contacto, cuyos
radios se encuentran en la relación de 5 a 2.
Determine cuántas vueltas dará la rueda
menor, cuando la mayor de 4/5 dé vuelta.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8. En el sistema adjunto cuando el engranaje de
menor radio gira 1.25 vueltas, ¿cuál será la
distancia entre los puntos “A” y “B”, si
inicialmente están diametralmente opuestos.
a) 4 b) 6 c) 2 11
d) 2 13 e) 2 15

LA MERCED
1. En la figura, se muestran dos ruedas fijas A y
B; cuando A gira (2n – 4), B gira (3n + 4)
vueltas.
Calcular “n”.
a) 5 b) 7 c) 10
d) 12 e) 17
2. Se tiene dos ruedas en contacto cuyos radios
están en la relación de 2 a 5. Determinar el
ángulo que girará la rueda menor, cuando la
rueda mayor de 4 vueltas.
a) 4π b) 5π c) 10π
d) 20π e) 40π
3. Del sistema determinar cuántas vueltas gira la
rueda C, cuando la rueda A da 12 vueltas.
a) 15 b) 25 c) 30
d) 42 e) 45
4. Los radios de la rueda de una bicicleta son (x
+1) m y (x-1). Si la rueda mayor da (x-2)
vueltas y la menor (x-1) vueltas, ¿cuántas
vueltas en total darán las dos ruedas?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Una bicicleta recorre 40π cm. Si los radios de
sus ruedas miden 2cm y 5cm
respectivamente. Calcular la suma del número
de vueltas que dan dichas ruedas.
a) 14 b) 15 c) 16
d) 18 e) 20
6. Calcular la longitud de arco recorrido por “A”,
si la longitud de arco recorrido por “C” es 12π.
(RA = 1; RB = 4; RC = 3)
a) 12π b) 13π c) 14π
d) 15π e) 16π
7. Del esquema mostrado si el bloque “A”
desciende hasta el suelo y el bloque “B” sube
el triple de lo que recorre “A”, calcule:
2
CCB
CB
2
C
2
B
R2RR
RR5RR
+
++
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
8. En el sistema de poleas calcular el ángulo que
gira la rueda D, si la rueda A le damos una
vuelta completa.
(RB = 8RA; y RD = 5RC)
a) 9° b) 10° c) 18°
d) 20° e) 90°

LA MERCED
TRIÁNGULOS RECTÁNGULO
Se denomina así a todo triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto; los lados que determinan el
ángulo recto son los catetos del triángulo, el lado mayor es la hipotenusa y se opone al ángulo recto.
Catetos: CByCA ⇒ CA = b ∧ CB = a
Hipotenusa : AB ⇒ AB = c
Ángulos agudos : CAB y CBA
⇒ mC Aˆ B = α ∧ mCBˆ A = θ
TEOREMA DE PITÁGORAS
AB2
= CA2
+ CB2
⇒ c2
= a2
+ b2
ÁNGULOS AGUDOS COMPLEMENTARIOS
mC Aˆ B = + mCBˆ A = 90° ⇒ α + θ = 90°
CÁLCULO DE LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS
El valor de las razones trigonométricas de ángulos
agudos, se determinan en un triángulo rectángulo,

LA MERCED
estableciendo la división entre las longitudes de sus lados tomados de dos en dos y con respecto a uno
de sus ángulos agudos.
a
c
aOpuestoCateto
Hipotenusa
Csc
b
c
aAdyacenteCateto
Hipotenusa
Sec
c
b
aOpuestoCateto
aAdyacenteCateto
Ctg
b
a
aAdyacenteCateto
OpuestoCateto
Tg
c
b
Hipotenusa
aAdyacenteCateto
Cos
c
a
Hipotenusa
aOpuestoCateto
Sen
==
==
==
==
==
==
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
Observación
Para todo ángulo agudo “θ” se cumplirá:
0 < Senθ < 1 Tgθ > 0 Secθ > 1
0 < Cosθ < 1 Ctgθ > 0 Cscθ > 1
RAZONES TRIGONOMETRICAS RECÍPROCAS
Se denomina así a las siguientes razones trigonométricas:
Seno – Cosecante
Coseno – Secante
Tangente – Cotangente
PROPIEDADES DE LAS RECÍPROCAS
El producto de dos razones recíprocas referidas al mismo ángulo, es igual a la unidad.
Senθ. Cscθ = 1 ⇒ Cscθ =
θSen
1

LA MERCED
Cosθ. Secθ = 1 ⇒ Secθ =
θCos
1
Tgθ. Ctgθ = 1 ⇒ Ctgθ =
θTg
1
Nota
Senθ . Cscφ = 1
Si: Cosθ. Secφ = 1 ⇒ θ = φ
Tgθ . Ctgφ = 1
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Llamadas también Co-Razones Trigonométricas, son las siguientes:
Seno – Coseno
Tangente – Cotangente
Secante – Cosecante
PROPIEDAD DE LAS CO-RAZONES
Las razones trigonométricas de todo ángulo agudo, son respectivamente iguales a las co-razones
trigonométricas de su complemento.
Senθ = Cos(90°-θ)
RT(θ) = Co-RT(90°-θ) Tgθ = Ctg(90°-θ)
Secθ = Csc(90°-θ)
Nota
Si:
RT(θ) = Co-RT(φ) ⇒ θ + φ = 90°
Complemento
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

LA MERCED
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
30° 60°
Sen 1/2 3 /2
Cos 3 /2 1/2
Tg 3 /3 3
Ctg 3 3 /3
Sec 2 3 /3 2
Csc 2 2 3 /3
45°
Sen 2 /2
Cos 2 /2
Tg 1
Ctg 1
Sec 2
Csc 2
37° 53°
Sen 3/5 4/5
Cos 4/5 3/5
Tg 3/4 4/3
Ctg 4/3 3/4
Sec 5/4 5/3
Csc 5/3 5/4
1. Sean a, b y c los lados de un triángulo
rectángulo ABC (B = 90°), simplificar:
E = a2
Ctg2
A + c2
Ctg2
C
a) 2a2
b) 2b2
c) 2c2
d) b2
– a2
e) a2
+ b2
2. Del gráfico obtener Cosα

LA MERCED
a) 2/3 b) 3/4 c) 1/4
d) 3/8 e) 1/2
3. Sabiendo que φ es un ángulo agudo y que
Ctgφ = 20/21. Calcular:
E = 4Cosφ +
3
1
Senφ
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Si: Tgβ =
3
2
y Cosφ =
3
2
(β + φ agudos),
Calcular:
N = 2 13 Cosβ + 7 10 Senφ
a) 14 b) 18 c) 20
d) 24 e) 26
5. En un triángulo ABC(AB = BC) se sabe que
SenB = 0.6. Calcular TgA.
a) 1/3 b) 1/2 c) 2
d) 3 e) 4
6. Calcular el área de un trapecio rectángulo,
sabiendo que su altura mide 6 m, su perímetro
es 34 m y el coseno de su ángulo agudo es
0.8
a) 24 m2
b) 36 m2
c) 40 m2
d) 54 m2
e) 602
7. De la figura calcular Tg2α
a) 5 /3 b) 2/3 c) 5 /2
d) 3/2 e) 5
8. Calcular el perímetro de un triángulo ABC,
sabiendo que:
35TgB = 5TgA = 12 y AB = 80 m
a) 180 m b) 160 m c) 140 m
d) 200 m e) 240 m
1. En la figura ABCD es un cuadrado. Calcular
Tgθ, sabiendo que Secα = 2.6
a) 4/3 b) 6 c) 8
d) 3/4 e) 5/13
M = 10Cscα + 13 Cosα

LA MERCED
a) 29 b) 31 c) 26
d) 36 e) 38
3. Si α + β son ángulos agudos y
complementarios, calcular:
P = Sen α + Sen2
β + TgαTgβ
a) 0 b) 1 c) 2
d) 1.5 e) 2.5
4. ABCD es un cuadrado y 2DE = 3AD. Calcular
Tgα
a) 1/4 b) 1/2 c) 2/3
d) 3/4 e) 3/2
5. Simplificar:
( ) ( )
( )°−°
°−−°−°
=
40Csc150Cos
40Senx60Tgx30Tg
P
a) 0 b) –1 c) 1
d) 1/2 e) –1/2
6. Si AB = BC, Calcular : P = Ctgα - Cscφ
a) - 22 / b) - 2 c) 2 /2
d) 2 e) 2 2
7. Si se cumple Sen(2a + b) = Cos(a + 2b),
Calcular:
a3Cos
b3Sen
b3Cos
a3Sen
P +=
a) 1 b) 2 c) 1.5
d) 2.5 e) 3
8. Calcular: x + y, sabiendo que:
Cos (3x + 10°) Csc(y –40!) = 1
Ctg(2y - 65°) = Tg(55°-x)
a) 60° b) 66° c) 74°
d) 80° e) 86°
RELACIÓN DE ELEMENTOS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

LA MERCED
Si en un triángulo rectángulo, se conoce un lado y uno de los ángulos agudos, se podrá calcular los
lados restantes del modo siguiente:
Se divide el lado que se quiere calcular (incógnita) entre el lado que se conoce (dato), determinando así
una razón trigonométrica del ángulo dado, despejando de esta igualdad el lado que se quiere calcular.
1er Caso: (Conocido un ángulo agudo y la hipotenusa)
2do Caso: (Conocido un ángulo agudo y su cateto adyacente)
3er CASO: (Conocido un ángulo agudo y su cateto opuesto)
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
• PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
θθ hSenxSen
h
x
=⇒=
θθ hCosyCos
h
y
=⇒=
θθ aTagxTg
a
x
=⇒=
θθ aSecySec
a
y
=⇒=
θθ aCtgxCtg
a
x
=⇒=
θθ aCscyCsc
a
y
=⇒=
2
ab
A =∆
θθ∆ CosSen
2
c
A
2
=

LA MERCED
• PARA TODO TRIÁNGULO
Nota
• TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ADICIONALES
(Aproximados)
• ÁNGULO VERTICAL
Se llama así a aquellos ángulos que están contenidos en planos verticales. Los ángulos verticales
determinados en el instante en el cual se realiza una observación será materia de nuestro estudio,
estos ángulos se determinan en el punto desde el cual se realiza la observación y sus lados son dos
líneas imaginarias trazadas desde dicho punto, las cuales permitirán la observación.
Según su ubicación estos ángulos serán ángulos de elevación, ángulos de depresión o ángulos de
observación.
θ∆ Sen
2
ab
A =
ab
A2
Sen ∆
α =

LA MERCED
CONSIDERACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS
 La estatura de las personas se deberá considerar hasta sus ojos.
 Toda persona u objeto que posea una altura, será considerada perpendicular al nivel del suelo,
a no ser que se indique otra situación.
 De no indicarse desde qué altura se realiza la observación y no siendo esta altura la incógnita
del problema, se deberá considerar que se está observando desde un punto del suelo.
1. Del gráfico mostrado calcule Tgθ a) 2 -1 b) 3 -1 b) 2
d) 2 +1 e) 3 +1
2. Del gráfico calcular el valor de:
S = Ctgα - 2 Ctgθ

LA MERCED
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) 2 e) 0
3. Hallar CD en término de m y θ
a) mSenθ b) mCosθ c) mTgθ
d) mCtgθ e) mSecθCscθ
θβ
βθ
SenCos
SenCos
E
−
−
=
a) 1
b) 2
c) 1/2
d) 2/5
e) 3/2
5. Si ABCD es un trapecio isósceles, hallar “R”
en términos de “b” y “θ”
a) b/(1+Senθ) b) bCosθ/(1+Senθ)
c) bSenθ/(1+Secθ) d) bSenθ/(1+Cosθ)
e) bCosθ/(1+Cosθ)
6. De la figura calcular 34 Senθ
a) 1.2
b) 1.4
c) 1.6
d) 1.8
e) 2
7. En la figura: AB = BD. Calcular
M = Tgα + Tgβ en términos de α
a) Senα b) Cosα c) Tgα
d) Secα e) Cscα
8. Expresar Tgx en función de “θ”
a) 2Tgθ+Ctgθ b) 2Ctgθ-Tgθ
c) Tgθ+Ctgθ d) 2Tgθ-Ctgθ
e) Tgθ-Ctgθ
1. Del gráfico calcular:
P = Ctgα - Tgα
a) 2 b) 2 c) 2 2
d) 4 e) 5
2. De la figura Calcular Cosθ

LA MERCED
a) 1/ 2 b) 2/3 c) 3/4
d) 4/5 e) 5/6
3. Calcular el lado de un cuadrado inscrito en un
triángulo isósceles de lado desigual “a” y uno
de los ángulos iguales mide θ
a) a(2Ctgθ + 1) b)
1Ctg2
a
+θ
c)
1Ctg
a2
+θ
d)
1Tg
a2
+θ
e) a(3Ctgθ - 1)
4. De la figura calcular la superficie del
cuadrilátero.
a) 20 Senα b) 24 Senα c) 25 Senα
d) 30 Senα e) 28 Senα
5. De la figura, calcular:
BC
AB
a) CosθSec2θ
b) Cos2θSecθ
c) CosθSec3θ
d) Cos3θSec3θ
e) Cos3θSecθ
6. Calcule el valor de Senθ, si ABCD es un
cuadrado.
a) 8 17 /65
b) 8 17 /75
c) 8 17 /85
d) 8 17 /55
e) 8 17 /95
7. En un paralelogramo las distancias del punto
de inserción de las diagonales a los lados no
paralelos son a y b. Sabiendo que uno de los
ángulos del paralelogramo es “θ”, determine el
perímetro del paralelogramo.
a) 4(a+b)Cscθ b) 4(a+b)Secθ
c) 4(a+b)Tgθ d) 4(a+b)Senθ
e) 4(a+b)Cosθ
8. De la figura mostrada determine el valor de
“d”, en términos de a y b
a) (a-b)(Senθ+Cosθ)
b) (a-b)(Senθ+Ctgθ)
c) (a-b)(Cscθ+Tgθ)
d) (a-b)(Secθ-Tgθ)
e) (a-b)(Cscθ-Ctgθ)
f)
1. De la figura Calcular el valor de:
E = 5 cscθ - cot θ
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
2. De la figura calcular el valor de:

LA MERCED
P = 13 (sen α - cos α)
a) –5
b) –3
c) –2
d) 1
e) 2
3. De la figura, Hallar:
E = (senθ + cosθ) cscθ
a) 17/24
b) 24/17
c) 7/24
d) –17/24
e) –7/24
4. Si cotα = 2.4 siendo “α” un ángulo estándar
del tercer cuadrante, calcular el valor de:
E = 2senα +
4
1
cosα
a) –2 b) –1 c) 1/2
d) 1 e) 2
5. Siendo “θ” un ángulo en posición estándar del
II cuadrante, donde tan θ =
2
3
− , calcular:
P = 3 + 13 (senθ + cosθ)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Si el punto (-1; -3) pertenece al lado final de
un ángulo en posición estándar “θ”.Calcular:
R = sen θ . cot θ
a) –1/ 10 b) –2/ 10 c) –3/ 10
d) –4/ 10 e) 10 /10
7. Calcular:
( )
2
3
b
2
sena
ab42ab20ba
22
2
ππ
ππ
csc
sectancos
+
++°+
a) –2 b)
ba
1
−
c) 1/2
d) 2 e)
ba
1
+
8. Del gráfico, hallar : Q =
α
β
β
α
tan
tan
cos
cos
+
2
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
1. Siendo θ y α ángulos del II y III cuadrante
respectivamente, hallar el signo de:
θαθ
θαθ
csc.sec.cot
tan.cos.sen
E =
a) + b) - c) (+)
d) Cero e) Faltan datos
2. Indicar el signo de:
°°°
°°°
=
24012045sen
275370220sen
E
seccos
tancos
a) + b) - c) + y -
d) Cero e) F.D.
3. A qué cuadrante pertenece el ángulo “θ”, si se
cumple:
cos θ < cos (π/2)

LA MERCED
tan θ > tan π
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) Ninguno
4. Del gráfico, hallar “tanα”; si OABC es un
cuadrado:
a) –2
b) –1/2
c) –1/3
d) –3
e) 1/2
5. Hallar “a” si tan θ = 3
a) –1
b) –2
c) –3
d) –4
e) –5
6. Si θ < x < 2π y sen x = tan 2π, calcular el valor
de:
P = sen 





+





+





6
x
4
x
2
x
csccot
a) 5 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
7. a y b son complementarios, además se
cumple:
(tanα)2tanθ+3
= (cotβ)tanθ+1
; θ ∈ IVC
Calcular : M = sen θ + cos θ
a) 5 /5 b) - 5 /5 c) 5 /10
d) - 5 /10 e) 5 /15
1. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor?
a) sen 40° b) sen 100° c) sen 160°
d) sen 220° e) sen 280°
2. ¿Cuál de los siguientes valores es el menor?
a) cos20° b) cos100° c) cos160°
d) cos260° e) cos320°
3. En la CT hallar el área de la región
sombreada:
a) senα
b) cosα
c) 1/2senα
d) 1/2senα
(a – 1; 4a – 1)

LA MERCED
e) 1
4. En la circunferencia trigonométrica mostrada:
cosθ =
3
2
y OM = MB. Calcular el área de la
región triangular OMP.
a) 1/6
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/2
e) 2/3
5. Si:
2
π
< y < π, entonces:
I. sen x > sen y
II. cos x < cos y
III. sen x < cos y
4Son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) I y II e) I y III
6. Hallar los valores de “k” si:
cos θ =
3
1k2 −
a) [-1; 2] b) [-2; 1] c) [-3; 2]
d) [-1; 3] e) [-1; 1]
7. Si: senx =
5
3a2 −
; hallar la suma de todos los
valores enteros que puede tomar “a”.
a) 6 b) 7 c 8
d) 9 e) 10
8. Calcular A.B donde “A” y “B” representan los
valores mínimo y máximo de la expresión:
P = A + B cos x
a) –15 b) –6 c) 8
d) 15 e) 16
1. Si: θ ∈ IIIC y cos θ =
7
2k3 +
; entonces el
intervalo de “k” es:
a) ]-5; 3[ b) ]0; 2/3[ c) ]-3; 2/3[
d) ]-2/3; 0[ e) ]3; 2/3[
2. Si: “α y θ” son arcos diferentes, calcular la
diferencia entre los valores máximo y mínimo
de la expresión:
θα
π 22
2sen
3
2Q cossec +−=

LA MERCED
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
3. Afirmar si es (V) o (F):
I. sen 2 < sen 3
II. cos 5 < cos 6
III. sec 4 tan 6 > 0
a) VVV b) FFV c) FVF
d) VFF e) FFF
4. Del gráfico calcular el área de la región
sombreada, si BP = PQ = QB´
a) 1/3 sen θ
b) 1/3 cos α
c) –1/3 sen θ
d) –1/3 cos θ
e) – 1/6 senθ
5. De la figura calcular “d”
a)
θ
θ
cos+1
sen
b)
θ
θ
sen1+
cos
c)
θ
θ
cos−1
sen
d)
θ
θ
sen1+
cos
e)
θ
θ
cos+
−
1
sen
6. Calcular el valor de:
8senx
1x1senx
E
+
++−
=
cos
a) 1/2 b) 1/3 c)1/4
d) 1/5 e) 1/6
7. Si:
6
π
< x <
6
5π
indicar la variación de:
2sen x + 3
a) [4; 5] b) ]4; 5[ c) [4; 5[
d) ]4; 5] e) ]4; 5]
8. En la CT hallar el área de la región
sombreada:
a) senα
b) cosα
c) 1/2senα
d) 1/2cosα
e) 1
1. Reducir:
A= (1–cos2
x) (1+cot2
x) + (1 – sen2
x)(1+tan2
x) a) 0 b) –2 c) 2

LA MERCED
d) –1 e) 1
2. Reducir la siguiente expresión trigonométrica:
1xxxxR 2222
−−−= sec.tansectansec
0° < x < 90°
a) secx b) tanx c) 1
d) 0 e) N.A.
3. Simplificar:
H = 16(sen6
x + cos6
x) – 24(sen4
x + cos4
x) +
10 (sen2
x + cos2
x)
a) 0 b) 1 c) –1
d) 1 e) -2
4. Simplificar:
E = tan2
x + cot2
x + 2 – sec2
x . csc2
x
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
5. Reducir la siguiente expresión trigonométrica:
K = (1+sen2
x)+2(1+sen2
x)(1+cos2
x)
+(1+cos2
x)
a) 0 b) 1 c) 3
d) 9 e) 27
6. Simplificar:
( ) ( )
( ) ( )22
22
xxxx
xsenxxsenx
V
cottancottan
coscos
−−+
−++
=
a) 4 b) 2 c) 1
d) 1/4 e) 1/2
7. Simplificar:
xx
senxx
K
cossec
csc
−
−
=
a) 1 b) tanx c) tan3
x
d) cotx e) cot3
x
8. Reducir:
x
senx1
x
W tan
cos
+
+
=
a) secx b) senx c) cosh
d) cscx e) 1
1. Encontrar “n” de tal manera que se cumpla:
(senx + cosx) . (tanx + cotx) = n + cscx
a) sen x b) sec x c) cos x
d) cscx e) tan x
2. Calcular:
z = (tan 50° + csc40°) . (cot 40°. sec50°)
a) 1 b) –1 c) 0
d) 2 e) –2
3. Si: tanx + cotx = 3 2

LA MERCED
Calcular:
senx
x
x
x
Y
csc
cos
sec
+=
a) 6 b) 9 c) 12
d) 18 e) 36
4. Si: senx – cosx = 55 / ; hallar:
T = 5. sen x . cos x - 1
a) 0 b) 1 c) 3
d) 5 e) 1/5
5. Si: cosx + cos3
x = 1; hallar:
W = sen2
x + sen4
x
a) 2 b) –2 c) 0
d) –1 e) 1
6. Si: cscx + cotx = 10; encontrar:
U = cscx + cotx
a) 100 b) 10 c) 1
d) 0.1 e) 0.01
7. Si: sen3
x + csc2
x = 7; 270° < x < 360°
encontrar : R = 2. senx + cosx . cotx
a) 3 b) 1/3 c) –3
d) –1/3 e) 1
8. Simplificar la expresión:
xxx1
xxsenx1
csccotcos
sectan
+++
+++
a) 1 b) tanx c) cotx
d) secx e) cscx
1. Reducir:
M =
( ) ( )
( ) ( )βαβα
βαβα
+−−
−++
coscos
sensen
a) tanα b) cotα c) tanβ
d) cotβ e) 1

LA MERCED
2. Hallar el valor de:
A = sen(5π/12) . cos(5π/12)
a) 1 b) 1/2 c) 1/4
d) 1/8 e) 1/16
3. Si “X” e “Y” son las medidas de dos ángulos
agudos tales que cosX = 12/13, tan Y = 15/8;
calcular el equivalente de: “sen (X+Y)”
a) 221/220 b) 220/221 c) 22/221
d) 21/220 e) 220/21
4. Indicar el equivalente de:
E = 2 . Sen (45° - x)
a) cosx. senx b) cosx + senx
c) senx - cosx d) cosx – senx
e) 2(cosx – senx)
5. La expresión:
P =
( )
ysenx
yx
cos.
cos +
, será igual a:
a) tanx – coty b) cotx + tany
c) tanx + coty d) 1-tany. Tanx
e) cotx – tany
6. Calcular:
°°+°°
°°−°°
=
15sen60sen1560
30sen753075sen
N
.cos.cos
.coscos.
a) 1 b) –1 c) 2
d) 2 /2 e) - 2
7. Simplificar:
W = sen(60°-x).cos (30° + x)
+ cos (60° - x) sen (30° + x)
a) 0 b) –1 c) sen(30°- 2x)
d) 1 e) sen (2x – 30°)
8. Si: tan (α + β) = 33 y tan α = 3
Hallar el valor de: “tan β”.
a) 30 b) 0.03 c) 100/3
d) 0.3 e) 10/3
1. Hallar el valor de “tanφ” del gráfico adjunto, si:
CM = 1, DM = 2 y BC = 3
a) 1
b) 1/5
c) 5
d) 1/6
e) 6
2. Hallar el valor equivalente aproximado de:
K = tan 8° / cot16°
a) 1/24 b) 24 c) 7/24
d) 24/7 e) 1/7
3. Hallar:
J = (tan15° - tan75°)/(1+tan15°. Tan75°)
a) 1 b) 3 c) - 3 /3
d) 3 /3 e) - 3
4. Calcular el valor de “tanφ” del gráfico.

LA MERCED
a) 1
b) 1/2
c) 2
d) 1/3
e) 3
5. Encontrar el valor de.
°−°
°
=
2070
50
P
tantan
tan
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) 0 e) Necesito tablas
6. Hallar:
A = tan 35° + cot 80° + cot 55° . tan 10°
a) 3 b) 2 c) 1
d) 9 e) Necesito tablas
7. Siendo “A” y “B” y “C” las medidas de los
ángulos internos de un triángulo ABC,
simplificar:
L = (tanA + tanB + tanC). CotA. CotB. CotC
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 6
8. Reducir:
( ) ( ) ( )
ac
acsen
cb
cbsen
ba
basen
cos.coscos.coscos.cos
−
+
−
+
−
a) 1 b) –1 c) 0
d) 3 e) 5
1. Reducir:
( )
( )x360senx
2
3
x
2
3
x
A
−°





−






−+
=
π
π
π
cot
costan
a) 1 b) 0 c) –1
d) 2 e) -1/2
2. Calcular:
E = 3csc150° + tg225° - sec300°
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Simplificar:
A = sen170°.csc190°+6sen150°-2cos180°

LA MERCED
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Si: x + y = 180°, calcular:












+=
2
y
2
x
seny
senx2
A
cot
tan
a) 2 b) 3 c) –1
d) –2 e) 0
5. Calcular:
°
°+°
=
120
210044855
A
cos
costan
a) –14 b) 14 c) –12
d) 12 e) –10
6. Reducir la expresión:
( )
( )x4sen
x
2
3
3x6sen2
E
−






−++
=
π
π
π cos
a) 0 b) 1 c) –1
d) 2 e) –2
7. Simplificar:
( )
( )
( )x
x2
xsen
x
2
3
A
−
+
−
−






+
=
tan
tan
cos
π
π
a) 1 b) 2 c) -1
d) –2 e) 0
8. Reducir:
( )
( )
( )






−
−
+
−
+
=
x
2
3
x41
x
x20
A
π
ππ
cot
tan
cos
cos
a) –1 b) –2 c) 0
d) 1 e) 2
1. Calcular:
A = 4cos(-120°) –3cot(-315°) + 4sec(-300°)
a) 1 b) 2 c) 3
d) –3 e) –2
2. Dado un triángulo ABC, calcular:
( ) ( )
A
CB2
senC
BAsen
A
tan
tan +
−
+
=
a) 1 b) 2 c) 3
d) –1 e) –2
3. Si: x + y = 2π, calcular:
A = senx + tan 





2
x
+ seny+tan 





2
y
a) senx b) 2senx c) -tan 





2
x
d) – 2tan 





2
x
e) 0
4. Calcular:
A=2tan 





4
41π
+sen 





+ x
2
π
sec(π-x)+3sen
2
π
a) 1 b) 2 c) 3

LA MERCED
d) 4 e) 5
5. Simplificar:
( )
( )
( )
( )x120
x2403
x80sen
x100sen2
A
+°
−°
−
−°
+°
=
tan
tan
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Calcular:
A = 2tan43
4
π
- 2cos147π + 6sen61
6
π
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. α + β son suplementarios, reducir:
( )
( ) 





++






++
=
2
2sen
2
2sen
A
α
ββα
β
αβα
cot
tan
a) 1 b) –1 c) -tanα
d) -tanβ e) -cosα
8. Afirmar si es (V) o (F):
( ) sec (90° + x) = cscx
( ) cot (270° - x) = tanx
( ) csc (270° + x) = secx
a) FFF b) FFV c) VVF
d) FVF e) FVV
1. Simplificar:
senx
x2
x
x2sen
M
cos
cos
+=
a) senx b) cscx c) cosx
d) secx e) tanx
2. Calcular:
( )( )
°°
°−°°+°
=
10sen104
35sen3535sen35
K
cos
coscos
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1/2 e) 1/3
3. Si: x =
8
π
, Calcular:
E = 4senx. Cos3
x – 4sen3
x . cosx
a) -1 b) 1 c) 1/2
d) 2 e) 2 /2
4. Reducir:

LA MERCED
x2
1
xsenx2
1x2
A
2
tancos
cos
−
−
=
a) 0 b) 1 c) 2
d) 2cot2x e) cot4x
5. Reducir la expresión:
12
12
P
−
+
=
α
α
sec
sec
; 0° < α < 90°
a) tan α b) tan 2α c) tan2
α
d) tan2
α e) cotα
6. Reducir:
E =
θθ
θθ
coscos ++
+
21
sen2sen
a) cotθ b) 2cotθ c) tanθ
d) 2tanθ e) 1
7. Calcular:
M = (2+cos35°) . (1 – cos35°) + sen20°
a) 0 b) 1 c) –1
d) 2 e) –2
8. Si: 2a + b = 90°, calcular:
b
1
a
a2
A
cscsec
cos
−=
a) 0 b) 1 c) 2
d) –1 e) –2
1. Siendo: tanx = 0.5, Hallar:
R = tan2x.cotx
a) 1 b) 2 c) 4/3
d) 8/3 e) 2/3
2. Hallar:
'tan
'tan
30671
30672
A
2
°−
°
=
a) 1 b) 2 /2 c) –1
d) - 2 /2 e) 2
3. Hallar “a”:
a) 18
b) 12
c) 9
d) 6
e) 3
4. Conociendo que:
tan
2
x
= m. Hallar: “cosx”
a) 2
m1
m2
−
+
b)
1m
1m
2
2
+
−
c)
1m
1m
2
2
−
+
d) 2
2
m1
m1
+
−
e) 2
2
m1
m1
−
+
5. Indicar el equivalente:
x1
senx
cos−

LA MERCED
a) cot
2
x
b) tan
2
x
c) cotx
d) 2cot
2
x
e) –tanx
6. Calcular:
°
°+°
=
50
2070
M
sec
tantan
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1/2 e) 1/3
7. Simplificar:
A = cot 





−−





− α
π
α
π
44
tan
a) tan + 4α b) 2tanα c) –tan4α
d) –2tanα e) 2cot2α
8. Reducir:
2
x2sen
xsenx
xxsen
R
33
+
+
+
=
cos
cos
a) 1 b) senx c) 2
d) cosx e) 1/2
1. Si: cosα =
3
2
; 0° < α < 90°
Hallar: sen
2
α
a)
6
03
b)
6
6
c)
12
6
d) 6 e)
5
6
2. Si:
cosθ =
2
3
3
1 π
; < θ < 2π
calcular: “sen
2
θ
”
a)
2
3
b) -
2
3
c)
3
3
d) -
3
3
e) -
6
3
3. Si:
25cos2
x – 4= 0; 180° < x < 270°
calcular: tan
2
x
a) 7− b) 3− c) -
3
7
d) -
7
3
e) - 10
4. Calcular:
°
°−°
=
70
4040
R
cot
cotcsc
a) 3 b) 1 c) –1
d) - 3 e)
3
3−

LA MERCED
5. Reducir:
x
2
x
x2
2
x
E
cottan
cotcot
+
−
=
a) 2sen
2
x
b) 2cos
2
x
c) 2tan
2
x
d) 2sen2
2
x
e) 2cos2
2
x
6. Si la siguiente igualdad es una identidad:






=+
+
−
n
x
mx2
xx
xx 22
cotcot
cotcsc
cotcsc
hallar: “m + n”
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Si: csc80° + tan10° = a
Calcular : “cot50”
a) a b) 2a c) a-1
d) 2a-1
e) a
8. Reducir:
°+°
°
−
°
°−°
=
4040
40sen
3
66
M
cotcsctan
cotcsc
a) 1 b) sen40° c)sen 50°
d) cos80° e) sen80°
1. De la siguiente igualdad:
cot14° - n sec34° = tan 14° - 2tan 28°
hallar: “n”
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2. Reducir:
M = 4sen3
50° - 3sen50°
a) 1/2 b) –1/2 c) 1
d) –1 e)
2
3
3. Reducir:
x
xx3
N
cos
coscos +
=
a) cos2x b) 2cos2x c) cosx
d) 2cosx e) 1
4. Siendo:
sen
3
1
3
x
= ; calcular: “senx”
a) 1 b) -
27
23
c)
27
23
d)
9
1
e) -
9
1
5. Si: senx – cosx =
3
1
, calcular: sen6x
a)
27
13
b)
27
23
c)
27
17
d)
27
22
e)
27
19
6. Si: tan 2x
3
=





−
π
hallar: “cot3x”

LA MERCED
a)
2
1
b)
2
3
c)
2
7
d)
2
11
e)
2
15
7. Si:
sec
2
x
= 3sen
2
x
hallar: cos 2x
a)
27
1
b)
9
1
c)
27
2
d)
27
22
e)
3
1
8. Si: cosx = -1/5; 180° < x < 270°
Hallar: “sen
2
x
”
a) 20. b) 40. c) 60.
d) 80. e) 1

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