Trigonometria

1. EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. El vigía de un barco pirata observa el punto más alto de un acantilado bajo un ángu-
lo de 60º. Si el barco se aleja 100 m se observa bajo un ángulo de 45º. Calcula la al-
tura del acantilado. Solución: 150 + 50 3 metros.
ˆ ˆ
2. Resuelve el triángulo conociendo B = 60º y el cateto b = 25 cm. Solución: C = 30º,
50 3 25 3
la hipotenusa a = cm y el otro cateto c = cm.
3 3
3. Calcula la longitud de los lados de un triángulo, sabiendo que su altura mide 10 m y
que el ángulo desigual es de 120º. Solución: Los lados iguales miden 20 m, y el lado
desigual, 20 3 m.
4. Calcula la altura de una torre, sabiendo que a 300 m de su pie se ve bajo un ángulo
de 10º. Solución: h = 52,89 m.
5. Halla la altura de un edificio sabiendo que desde dos puntos alineados con la base y
distantes entre sí 80 m, se ve bajo ángulos de 60º y 45º, respectivamente. Solu-
ción: x = 197,37 m
6. Dos caminos rectos que se cortan forman un ángulo de 30º. En uno de ellos, a 1000
m del cruce, hay una gasolinera. Encontrar la menor distancia desde la estación de
gasolina hasta el otro camino.
7. Una carretera asciende 3m por cada 100 m de recorrido. ¿Qué ángulo forma con la
horizontal?. Solución: 1º 43’ 9’’.
8. Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que su altura
mide 10 m y que el ángulo desigual es de 120º.
Ejercicios de Trigonometría 4ºE.S.O. Página 1

2. EJERCICIOS RESUELTOS
1. De un triángulo rectángulo se conocen b= 20cm y c= 40 cm. Resolverlo.
ˆ ˆ
Las Incógnitas son: B, C y a
C
ˆ b 20 1 ˆ
tgB = = = ⇒ B = 26º33′54′′
c 40 2
a (con una calculadora)
b
B ˆ ˆ b 20 ⇒
C = 90º −26º 33′54′′ = 63º 26′6′′ ; senB = =
A c a a
20 20
a= = =24,57 cm
sen 26º33′54 ′′ 0,4472135
2. Resolver un triángulo rectángulo del que se conocen B=45º y c = 20 cm
ˆ ˆ ˆ
Solución: B + C = 90º ⇒ C = 45º
ˆ c c 20 40
cos B = ⇒ a = = = = 20 2cm
a cos Bˆ 2 2
2
ˆ b ˆ 2
senB = ⇒ b = a ⋅ senB = 20 2 ⋅ = 20cm
a 2
3. Hallar la inclinación de la sombra proyectada por un edificio de 200 m de altu-
ra cuando la inclinación de los rayos del sol es de 30º.
Como:
C
200
tg 30º =
AB
200
AB = ⇒ AB = 346,41 m
30º tg 30º
200 m
B
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3. 4. Desde un punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando ángulo
de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 10 m hacia su pie, éste ángulo es de
60º. Hallar la altura de la torre.
 h  h
tg 60º = x
  3=
x
 ⇔
tg 30º = h  3= h
h 
 x + 10  3 x + 10
Despejamos h de las dos ecuaciones
60º 30º
0 e igualamos los resultados:
x 10 m
3
h = 3⋅x h= ⋅ ( x + 10)
3
3
3⋅ x= ⋅ ( x + 10) podemos dividir los dos miembros de la ecuación por 3 y te-
3
x + 10
nemos: x= ⇔ 3x = x + 10 ⇔ 2 x = 10 ⇔ x = 5 Pero como nos piden la altura:
3
h = 3 ⋅ x = 3 ⋅ 5 ≅ 8,66 m
5. Un faro tiene una altura de 36 m sobre el nivel del mar. El ángulo de depresión
de una embarcación es de 15º. Hallar a qué distancia está la embarcación del
faro.
FA
RO
36
15º tg15º =
NE
36 m
15º 36
NE = = 134,35 m
tg15º
N
E
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4. 6. En el punto más alto de una pequeña elevación de terreno hay un poste de 3m
de altura. Desde un punto A situado en el terreno llano se ve el pie B, del poste,
bajo un ángulo de 38º 30’, y el
extremo superior c bajo un án-
C
gulo de 45º 15’. Hallar la altura
3m del montículo:
B Los triángulos CPA y BPA son rec-
tángulos
En el primero:
x
3+ x
= tg 45º15′
y
⇒ 3 + x = y ⋅ tg 45º15′
A P
y En el segundo:
x
= tg 38º 30′ ⇒ x = y ⋅ tg 38º 30′ . De
y
3 + x tg 45º15′
donde: = = 1,2682 ⇒ x ≅ 11,2 m
x tg 38º 30′
x
= tg 38º 30′ ⇒ x = y ⋅ tg 38º 30′
y
7. Desde F, el punto más alto de un faro situado a 200 m sobre el nivel del mar, se
divisa un barco B, con ángulo de depresión igual a 18º 45’. Cinco minutos más
tarde la posición del barco es C y se divisa desde F bajo un ángulo de 15º 15’.
Calcular la velocidad del barco sabiendo que la trayectoria CB es perpendicu-
lar a la PB, siendo P el pie del faro
Los triángulos FPB y FPC son rectángulos en P y el PBC es rectángulo en B
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5. F 18º 45'
200
15º 15' C ByC
90º están en el
mismo
90º 18º 45' plano, en
B el mar
P
200 200
En el FPB: = tg18º 45' ⇒ PB = = 589,2 m
PB tg18º 45'
200 200
En el FPC: = tg15º15' ⇒ PC = = 733,6 m
PC tg15º15'
En el PBC: BC = PC 2 − PB 2 = 191.012,32 = 437,05 m
El espacio recorrido es de 437,05 m en 5 minutos, luego la velocidad es v = 5,245 km/h
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PLANTEADOS EN EL MENÚ
Resolución de triángulos: Cuando el ángulo es de 30º, la longitud de la sombra es
aproximadamente de 38 m. Si el ángulo es de 40º, la longitud de la sombra es aproxi-
madamente 26 m.
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6. Ejercicio de la buceadora:
Aplicando la tangente del ángu-
100 m
lo conocido a los dos triángulos
rectángulos:
100-x x
35,0 ° 30,0 ° h
tg 30º =
h x
h
tg 35º =
100 - x
Resolviendo el sistema por igualación, obtenemos que h = 31,64 m.
Ejercicio avioneta:
A
h
30,0 ° 50,0 °
P2
P1
350 m x
Sean P1 y P2 los dos portaviones y A la avioneta. Aplicando tangentes en los dos trián-
gulos rectángulos:
h
tg 50º =
x
Resolviendo el sistema, obtenemos que la altura a la que
h
tg 30º = vuela la avioneta es aproximadamente h = 391,96 m.
350 + x
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7. Ejercicio pagoda:
h'
h
45,0 ° 30,0 °
x 10 m
1,60 m 1,60 m
10 m
La altura de la pagoda será h = h’ + 1,60
h′
tg 45º =
x
h′
tg 30º = Resolviendo el sistema, obtenemos h’ = 13, 67 m
x + 10
Por lo tanto la pagoda mide aproximadamente h = 13,67 + 1,60= 15,27 m
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