2. Objetivos:
2
1. Definir una función cuadrática.
2. Expresar una función cuadrática en su forma estándar o
canónica.
3. Encontrar el vértice de una parábola dada la ecuación.
4. Encontrar el eje de simetría de una parábola.
5. Encontrar la ecuación de una parábola usando la gráfica o
puntos.
3. 3
Definición:
Una función de la forma
donde a , b , c son números reales y
se llama función cuadrática.
cbxaxxf 2
)(
0a
5. 5
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Vértice
Eje de simetría
(h , k)
2
b
x
a
6. Observaciones:
6
1. La gráfica de una función cuadrática es una
parábola.
2. La parábola puede abrir hacia arriba o hacia
abajo dependiendo del signo del coeficiente
principal, a.
a. Si a es negativo abre hacia abajo.
b. Si a es positivo abre hacia arriba.
3. El vértice de la parábola está determinado por la
traslación horizontal y por la traslación vertical de
la función cuadrática básica.
7. 7
4. El dominio es en conjunto de todos los
números reales, R .
5. El alcance de la función depende del
vértice y del valor de a;
a. Si a es negativo abre hacia abajo y
a. Si a es positivo abre hacia arriba y
2
4
,
4
ac b
A
a
2
4
,
4
ac b
A
a
13. 13
Expresa las siguientes funciones en forma estándar
o canónica , encuentra el vértice, el eje de simetría,
determina si el vértice es un máximo o un mínimo
y traza la gráfica.
Ejemplos:
Recordar: Para expresar una función
cuadrática en forma estándar usamos la
técnica de completar el cuadrado.
14. 14
1263 2
xxy
1263 2
xxy
1223 2
xxy
2
2 2 1
1 1
312123 2
xxy
9113 xxy
913
2
xy
1. Escribe la función en la forma estandar,
encuentra el vértice y traza la gráfica.
17. 17
Tenemos que 1.a
El vértice es 3, 2 y es un punto mínimo
absoluto.
23
2
xy
El eje de simetría es 3 .x
18. 18
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
23
2
xy
a. Traslación horizontal de tres unidades hacia la derecha.
b. Traslación vertical de dos unidades hacia la abajo.
Vértice
3, 2
Eje de simetría
Dominio
D R
2,A
3x
Alcance
19. 19
2
3. ( ) 2 3f x x x
2 1
2 3
2
f x x x
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
4
1
16
1
1 1
16 16
2 1 1 1
2 3
2 16 8
f x x x
2 1
( ) 2 3
2
f x x x
20. 20
2 1 1 1
2 3
2 16 8
f x x x
2
1 25
2
4 8
f x x
Tenemos que 2.a
1 25
El vértice es , y es un punto mínimo
4 8
absoluto.
1
El eje de simetría es .
4
x
21. 21
a. Estiramiento vertical de dos unidades.
b. Traslación horizontal de un cuarto de unidades hacia la derecha.
c. Traslación vertical de veinticinco octavos de unidades hacia la abajo.
2
1 25
2
4 8
f x x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6Vértice
1 25
,
4 8
Eje de simetría
28
,
8
A
1
4
x
Alcance
22. 1. Encuentra la ecuación de la parábola que tiene
como vértice al punto (-2, 3) y pasa por el punto
(1,5).
22
Solución: khxay
2
:queTenemos 2h 3k
2
2 3y a x
Ejemplos:
23. 23
2
2 3y a x
porpasaparábolalaComo
el punto 1, 5 ,sustituyendo tenemos,
2
5 1 2 3a
2
5 3 3a
5 9 3a
2 9a
27. 27
3. Usa la forma alterna (dividiendo por a ) para
escribir la función en la forma estandar, encuentra
el vértice y traza la gráfica.
2
( ) 3 6 12f x x x
1263 2
xxy
3
12
3
6
3
3
3
2
xx
y
42
3
2
xx
y
32. 4. Encuentra el vértice, los ceros, los interceptos,
el dominio y el campo de valores de la función.
32
6)( 2
xxxf
62
xxy
4
1
4
1
4
25
2
1
2
xy
Vértice
4
25
,
2
1
AbsolutoMínimo
Dominio R
Alcance ,
4
25
35. 35
Ejercicios:
1. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el
dominio y el campo de valores de la función.
2
1. ( ) 6f x x x Solución
2
2. ( ) 2 15f x x x
2
3. ( ) 2 6 2f x x x
2
4. ( ) 6f x x x
Solución
Solución
Solución
36. 36
El vértice
4
25
,
2
1
Campo de Valores
25
,
4
6)( 2
xxxf
1 1
2 2 2
b
x
a
Dominio R
2
1 1 1
6
2 2 2
f
1 25
2 4
f
1. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el
dominio y el campo de valores de la función. Traza la
gráfica.
Ejercicios
39. 39
El vértice :
1, 16
Campo de Valores
16,
2
1
2 2
b
x
a
Dominio R
2
1 1 2 1 15f
1 16f
2. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el
dominio y el campo de valores de la función.
2
( ) 2 15f x x x
Ejercicios
40. 40
2
( ) 2 15f x x x
2
2 15 0x x
5 3 0x x
5 3x y x
:enIntercepto y
2
0 2 0 15y
15y
0, 15 Ejercicios
Ceros de la función
41. 41
El vértice :
1, 16
5, 3
Ceros
Intercepto en y
0, 15
-30 -20 -10 10 20 30
-30
-20
-10
10
20
30
x
y
2
( ) 2 15f x x x
Ejercicios
42. 42
El vértice
3
, 6.5
2
Campo de Valores
,6.5
6 3
2 2 2 2
b
x
a
Dominio R
2
3 3 3
2 6 2
2 2 2
f
3 13
6.5
2 2
f
3. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el
dominio y el campo de valores de la función. Traza la
gráfica.
2
( ) 2 6 2f x x x
43. 43
2
2 6 2 0x x
2
2 3 1 0x x
3 13 3 13
2 2
x y x
:enIntercepto y
2
2 0 6 0 2y
2y
0, 2
Ejercicios
Ceros de la función
2
( ) 2 6 2f x x x
45. 45
El vértice
1
, 5.75
2
Campo de Valores
, 5.75
1 1
2 2 1 2
b
x
a
Dominio R
2
1 1 1
6
2 2 2
f
1 23
5.75
2 4
f
4. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el
dominio y el campo de valores de la función. Traza la
gráfica.
2
( ) 6f x x x
Ejercicios
46. 46
2
6 0x x
2
6 0x x
1 23
2
i
x
:enIntercepto y
2
0 0 6y
6y
0, 6
Ejercicios
Ceros de la función
2
( ) 6f x x x