SEGUNDA SEMANA: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA II Representación Tabular y gráfica de las muestras. Medidas de posición y de dispersión. Propiedades.

1. [email_address]

4. MEDIDAS DE POSICION [email_address]

6. MEDIA [email_address]

7. Datos Agrupados: f i : Frec. relativa Clase i = MC i : Marca Clase i X : Media Aritmética k : N° de clases n i : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra a i : Amplitud de Clase i _  = k i i X i f 1 * X = Media Aritmética de una Muestra I [email_address] x i a i n i X i+1 n i n

8. [email_address] INTERVALOS MC fi f i *MC [ 1265.45 - 1268.25 ) 1266.85 8 10134.80 [ 1268.25 - 1271.05 ) 1269.65 9 11426.85 [ 1271.05 - 1273.85 ) 1272.45 16 20359.20 [ 1273.65 - 1276.65 ) 1275.25 23 29330.75 [ 1276.65 - 1279.45 ) 1278.05 12 15336.60 [ 1279.45 - 1282.25 ) 1280.85 21 26897.85 [ 1282.25 - 1285.05 ) 1283.65 13 16687.45 [ 1285.05 - 1287.85 ] 1286.45 8 140465.10 110 1276.96 X =

9. Datos NO Agrupados:  = n i i X 1 X = n X : Media Aritmética X i : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra Media Aritmética de una Muestra II [email_address]

10.  = n i i X 1 X = n 56191.5 X = 44 1277.1 X = [email_address] 1279,5 1285,0 1280,0 1273,0 1284,0 1280,5 1275,5 1278,0 1279,5 1275,0 1267,0 1272,0 1282,0 1276,0 1269,5 1266,0 1273,5 1285,5 1275,5 1283,5 1285,0 1273,0 1278,0 1273,0 1280,0 1277,5 1286,0 1280,0 1281,0 1275,0 1278,5 1279,5 1273,5 1275,0 1276,5 1271,5 1284,5 1276,0 1268,5 1272,5 1284,5 1286,0 1271,0 1265,5

11. Media de una Población [email_address]

12. Media Ponderada I Es un caso especial de la media aritmética. Se presenta cuando hay varias observaciones del mismo valor que pueden ocurrir si los datos se han agrupado en una distribución de frecuencias. [email_address]  = k i (w i *X i ) 1 X w =  w i

13. Media Ponderada II 1541 [email_address] x i w i X i *w i 65 3 195 66 5 330 67 6 402 68 7 476 69 2 138 23 1541 67

14. La media geométrica es otro estadígrafo de tendencia central, pero de poca utilización. El cálculo de la media geométrica se puede hacer en datos con frecuencia y datos sin frecuencias Datos sin Frecuencias Media geométrica Intervalos Cerrados Datos Con Frecuencias Inter. Cerrados / Abiertos Media Geométrica I [email_address]

15. Para el cálculo de la media geométrica sin frecuencias se aplica la siguientes expresión: Media Geométrica II [email_address]

16. Su media geométrica sería: Si los datos fueran los siguientes: Media Geométrica III [email_address]

17. Media Geométrica IV Para datos en tablas Frecuencias Se aplica la siguiente expresión: [email_address]

18. Media Geométrica V Para intervalos cerrados, se considera la marca de clase de cada intervalo por su frecuencia absoluta. La media Geométrica se calculará con el valor de la Marca de clase de los intervalos multiplicados con la frecuencias absoluta. [email_address]

20. MEDIANA [email_address]

22. Pares: Me = (49 +65)/2 = 57 CALCULO DE LA MEDIANA EN DATOS NO AGRUPADOS Impares: Me = 64 [email_address] 65 36 49 84 79 43 78 37 40 68 80 75 56 45 80 64 53 74 34

23. Datos Agrupados: L : Límite inferior Clase Mediana ( C Me ) N e-1 : Frec. Acumulada hasta antes ( C Me) n e : Frecuencia Absoluta ( C Me) a e : Amplitud ( C Me) n : Tamaño de la muestra e e-1 e n N n 2 a L M e ) ( - + = x e a e L n e Mediana II [email_address] N e-1 = f i  i = e-1 i = 1

24. CALCULO DE LA MEDIANA EN DATOS AGRUPADOS [email_address] INTERVALOS fi Fi [ 1265.45 - 1268.25 ) 8 8 [ 1268.25 - 1271.05 ) 9 17 [ 1271.05 - 1273.85 ) 16 33 [ 1273.65 - 1276.65 ) 23 56 [ 1276.65 - 1279.45 ) 12 68 [ 1279.45 - 1282.25 ) 21 89 [ 1282.25 - 1285.05 ) 13 102 [ 1285.05 - 1287.85 ] 8 110 110

25. Datos Agrupados: L : 1273.85 N e-1 : 33 n e : 23 a e : 2.8 n : 110 : 1276.33 e e-1 e n N n 2 a L M e ) ( - + = x e a e L n e M e [email_address] N e-1 = f i  i = e-1 i = 1

26. M O D A [email_address]

28. La moda, cuando los datos no se encuentran en tabla de distribución de frecuencias, se establece los valores que mas se repiten. Por ejemplo: La Moda es: 2 La Moda [email_address]

29. La moda, cuando los datos no se encuentran en tabla de distribución de frecuencias, se establece los valores que mas se repiten. Por ejemplo: La Moda es: 2 y el 5, es decir la serie de nueceros sería Bimodal La Moda [email_address]

30. La moda cuando los datos no se encuentran en tabla de distribución de frecuencias , se establece los valores que mas se repiten. Por ejemplo: La Moda en este caso no existiría. La Moda [email_address]

31. La moda, cuando los datos se encuentran en tabla de distribución de frecuencias, será el valor que posee mayor frecuencia. Por ejemplo: La Moda es: 4 La Moda [email_address]

33. Datos agrupados en intervalos de Clase Cerrados Limite inferior del Intervalo modal = 64, por que es de mayor Frecuencia C = 4 Intervalo de mayor frecuencia La Moda [email_address]

34. Datos agrupados en intervalos de Clase Cerrados Intervalo de mayor frecuencia La Moda [email_address]

35. Moda para datos agrupados en intervalos de Clase Cerrados / Abiertos Cuando se trabaja con intervalos cerrados abiertos debemos considerar ahora “El limite Real Inferior” y el tamaño del Intervalo Varía en un dígito. Los demás valores Participan de la misma forma La Moda [email_address]

36. La Moda [email_address]

37. UNIMODAL [email_address]

38. BIMODAL [email_address]

39. 0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 4 5 6 7 0 1 2 3 Q1 Q2 Q3 Q4 Moda Media Aritmética Mediana Rango Medidas de Tendencia [email_address]

40. MEDIDAS DE DISPERSION [email_address]

42. Dispersión: Amplitud Cuartílica Amplitud Total = Valor Mayor – Valor Menor Amplitud Total =Q3 – Q1 e e-1 e n N n 4 a L Q1 ) ( - + = e e-1 e n N 3n 2 a L Q3 ) ( - + = [email_address]

43. Dispersión: Varianza Poblacional ό 2 : Variancia Poblacional µ : Media Poblacional X i : i-ésimo valor observado N : Tamaño de la población [email_address]  X i - µ) 2 ό 2 = N

44. Dispersión: Desviación Estándar Poblacional ό : Desviación Estándar Poblacional µ : Media Poblacional X i : i-ésimo valor observado N : Tamaño de la población [email_address]  X i - µ) 2 ό = N

45. Datos Agrupados: f i : Frec. relativa Clase i X i : Marca Clase i X : Media Aritmética n i : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra k : N° de clases _  = k i i f 1 2 ) ( S 2 = _ Datos NO Agrupados: Dispersión: Varianza Muestral  = n i 1 2 ) ( S 2 = _ s 2 : Variancia Muestral X : Media Aritmética X i : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra n - 1 [email_address]  X X i a e n e x i x i-1 x k _ x n i n k  X X i n - 1

46. Datos Agrupados: f i : Frec. relativa Clase i X i : Marca Clase i X : Media Aritmética n i : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra k : N° de clases _  = k i i f 1 2 ) ( S = _ a e n e x i x i-1 x k _ x n i n k Datos NO Agrupados: Dispersión: Desviación Muestral  = n i  X X i 1 2 ) ( S = _ s. : Desviación Muestral X : Media Aritmética X i : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra n - 1 [email_address]  X X i n - 1

47. Datos Agrupados: Datos Agrupados: Dispersión: Desviación Media [email_address] Datos NO Agrupados: MD : Desviación Media X : Media Aritmética X i : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra MD =  = n i  X X i 1 _ n f i : Frec. relativa Clase i X i : Marca Clase i X : Media Aritmética n i : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra k : N° de clases | | : valor absoluto a e n e x i x i-1 x k _ x n i n k  = 1 i i f MD =  X X i k

49. Dispersión: Amplitud Centílica e e-1 e n N 10n 100 a L 10º Centil ) ( - + = e e-1 e n N 90n 100 a L ) ( - + = 90º Centil [email_address]

50. MEDIDAS DE DISPERSION [email_address]

51. Coeficiente de Variación [email_address] C.V. = (100) s X

55. a 4 > 0 la Distribución de Frecuencias es leptocúrtica a 4 < 0 la Distribución de Frecuencias es platicúrtica a 4 = 0 la Distribución de Frecuencias es mesocúrtica Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) Pearson propuso el concepto de curtosis calculandolo mediante el coeficiente de curtosis de cuarto orden a 4 : [email_address] 3 n 4 å n i=1 (x i - x) a 4 = S 4

56. k > 0 la Distribución de Frecuencias es leptocúrtica k < 0 la Distribución de Frecuencias es platicúrtica k = 0 la Distribución de Frecuencias es mesocúrtica Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) 0,263 ( Q 3 - Q 1 ) K = Otra coeficiente para medir curtosis. En función de los percentiles, es el coeficiente de curtosis percentílico k: 1 2 P 90 - P 10 [email_address]

57. 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría Kurtosis (K): Apuntamiento A= 0 A< 0 A> 0 K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263 [email_address]

58. Leptocúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es más apuntada que la normal. Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) K= 0.263 [email_address]

59. Platicúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es menos apuntada que la normal. Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) K< 0.263 [email_address]

61. Medidas de Asimetría (Sesgo) a 1 > 0 la asimetría de la Distribución de Frecuencias es positiva a 1 < 0 la asimetría de la Distribución de Frecuencias es negativa a 1 = 0 la Distribución de Frecuencias es simétrica [email_address] 3er Coeficiente de Asimetría: S 2 Σ (x i - X) 2 /n a 1 =

62. Medidas de Asimetría (Sesgo) Coeficiente de Asimetría para datos sin agrupar: 3    n 3 i=1 1 (x i -x) 1 a= N [email_address]

63. Medidas de Asimetría (Sesgo) Coeficiente de Asimetría para datos agrupados [email_address] 3 i f     n 3 i=1 1 (x i -x) 1 a= N

64. Asimetría Positiva A< 0 [email_address]

65. Simetría A= 0 [email_address]

66. Tema Nº 02: MEDIDAS DE POSICION, DISPERSION Y DEFORMACION Facultad de Química e Ingeniería Química Ing. Jose Manuel García Pantigozo 2009 - I UNMSM ESTADISTICA - A [email_address] [email_address]