1. DUBAN CASTRO FLOREZ
HERNAN FULA BOHORQUEZ
DANIEL FERNANDO RODRIGUEZ
ELIANA CATHERINE GOMEZ PINTO
METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
INGENIERIA DE PETROLEOS
2010

2. 1. INTRODUCCIÓN
2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
2.1. MÉTODO DE EULER
2.2. MÉTODO DE EULER MEJORADO
2.3. MÉTODO DE RUNGE KUTTA
BIBLIOGRAFIA

3. En este trabajo se presentarán
algunas de las técnicas
numéricas para aproximar la
solución de Ecuaciones
Diferenciales Parciales (EDP)
lineales de segundo orden y con
dos variables independientes.
Para esto se parte de la
modelación de fenómenos
físicos como la conducción de
calor en una barra aislada.

4. Dado que las Ecuaciones Diferenciales Parciales aparecen
naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales,
ingeniería, y otras disciplinas, donde se involucran una función de
más de una variable independiente y sus derivadas parciales.
De ahí su importancia, pues prácticamente en todos los fenómenos
que se estudian en ingeniería y otras ciencias, aparecen más de dos
variables, y su modelación matemática conduce frecuentemente a
EDP.

5. DERIVADAS POR DIFERENCIAS FINITAS
 Proceso de discretización: El conjunto infinito de números que
representan la función o funciones incógnitas en el continuo, es
reemplazado por un número finito de parámetros incógnita, y este
proceso requiere alguna forma de aproximación
Entre las diferentes formas de discretización posibles (elementos
finitos, volúmenes finitos, etc.), una de las más simples es mediante
el Método de Diferencias Finitas.

6. DIFERENCIAS FINITAS: VALOR FRONTERA
En una solución por este método, las derivadas son reemplazadas por
aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un
problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico
fácilmente solucionable por medios comunes (especialmente
matriciales).
VALOR EN LA FRONTERA
Consideremos el problema de encontrar la función (x) que satisface
la ecuación diferencial:
Sujeta a las condiciones de frontera

7. DIFERENCIAS FINITAS: VALOR FRONTERA
Las ecuaciones anteriores
son utilizadas para la
descripción analítica de
muchos procesos físicos, por
ejemplo:
 Conducción de calor a
través de una pared plana
(TQ en 1-D)
 Flujo en canales y
tuberías
 Deflexión transversal de
cables
 Deformación axial de
barras (ver Figura).
 Entre otros

8. DIFERENCIAS FINITAS: VALOR FRONTERA
En la primera condición de frontera, aplicada en x = 0, el valor de la
función (x) se especifica como 0, tal como se muestra en la
siguiente ecuación:
= 0 en x = x0
Una condición de frontera de este tipo se denomina condición de
frontera Dirichlet. En la segunda condición, aplicable a la condición
remanente de la frontera x = L, el valor de la función corresponde a la
ecuación:
Este tipo de condición de frontera se denomina condición de frontera
Neumann .

9. DIFERENCIAS FINITAS EN 1-D
APROXIMACIÓN DE DERIVADAS MEDIANTE DIFERENCIAS FINITAS
Forma alternativa para obtener aproximaciones de diferencia. Permite
deducir:
 Fórmulas de diferencia sistemáticamente
 Términos de error de truncamiento.
Se pueden obtener las aproximaciones de diferencia hacia atrás,
centrada y hacia adelante.
La serie de Taylor para una función f evaluada en Xi+1 es:
f ' ' ( xi )
f ( xi 1 ) f ( xi ) f ' ( xi )(xi 1 xi ) ( xi 1 xi ) 2 ... Rn
2!
Truncando en el término de la primera derivada y realizando los
cambios pertinentes se obtiene: ' f ( xi 1 ) f ( xi )
f ( xi )
h

10. EDP Parabólicas
Métodos Explícitos o de diferencias progresivas
A través de los métodos explícitos se calculan los valores en
cada nodo para un tiempo posterior, basándose en los valores
presentes del nodo y sus vecinos.
X Punto de la malla usado en
la diferencia temporal.
O Punto de la malla usado
en la diferencia espacial.

11. EDP Parabólicas
Métodos Explícitos o de diferencias progresivas
Las ecuaciones parabólicas
están temporalmente abiertas
en los extremos mientras que
las elípticas están acotadas en
todas las dimensiones.

12. EDP Parabólicas
Métodos Explícitos o de diferencias progresivas
Para la ecuación de conducción de calor:
2
U U
X2 t
Se aproxima la primera y segunda derivada por diferencias finitas,
hacia delante y centradas respectivamente.
* t
2
U UiL 1 2UiL UiL 1 UiL 1
UiL * (UiL 1 2 * UiL UiL 1)
( X )2
X2 X2
U UiL 1 UiL Donde:
t t * t
( X )2

13. EDP Parabólicas
Métodos Explícitos: Convergencia y estabilidad
• Convergencia: Conforme a X y t tienden a cero, los resultados
de la técnica por diferencias finitas se aproximarán a la solución
verdadera.
• Estabilidad: Los errores en cualquier etapa del cálculo no se
amplifican, sino que se atenúan conforme avanza el cálculo.
“El método es convergente y estable si ≤1/2 o”
1 X2
t
2
Se tendrá un valor óptimo ≤1/6 al minimizar los errores de
truncamiento.

14. EDP Parabólicas
Métodos Explícitos: Derivada en las condiciones de
frontera
En la frontera izquierda: i=0 En la frontera derecha: i=m+1
U U1 U L1
L
U U L
Um L
Um U
U L1 L
U1 2 x 2 L
Um L
Um 2 2 x
dx 2 x dx dx 2 x dx
Para este punto en la Para este punto en la siguiente
siguiente ecuación: ecuación:
L 1
U0 U L1 L
(1 2 )U 0 L
U1 U m 11
L L
Um L
(1 2 )U m 1
L
Um 2
Se sustituye la aproximación Se sustituye la aproximación
en términos de la 1ra en términos de la 1ra derivada:
derivada:
L 1 L U L L U
U0 U1 2 x (1 2 )U 0 U1 U m 11
L L
Um L
(1 2 )Um 1
L
Um 2 x
x x

15. EJEMPLO. EDP PARABÓLICA [2]
METODO EXPLICITO
Calcular la distribución de temperatura en una barra larga y
delgada que tiene una longitud de 10 cm. K=0.835cm2/s.
2
T T
k
t x2
x 2cm
t 0.1s
t 0 : T 0 para 0 x 10
t  0 : T 100 en X 0 y T 50 en X 1
t
k 2 0.020875
x

16. EJEMPLO. EDP PARABÓLICA
Til 1
Til Til 1 Til 1
nodo tiempo Ecuación Resultado
0.1 T1l 0 0.020875 0 2 0 100 2.0875
X=2
0.2 T12 2.0875 0.020875 0 2 2.0875 100 4.0878
0.1 l
T2 0 0.020875 0 2 0 0 0
X=4
0.2 2
T2 0 0.020875 0 2 0 2.0875 0.043577
l
0.1 T3 0 0.020875 0 2 0 0 0
X=6 2
0.2 T3 0 0.020875 1.0438 2 0 0 0.021788
l
0.1 T4 0 0.020875 50 20 0 1.0438
X=8
0.2 2
T4 1.0438 0.020875 50 2 1.0438 0 2.0439

17. EDP Parabólicas
Método Implícito Simple
•Aunque utilizan algoritmos más complicados que los métodos explícitos,
mejoran los problemas de estabilidad y no excluyen información de
importancia para la solución.
La derivada espacial se aproxima en un nivel de tiempo posterior.

18. EDP Parabólicas
Método Implícito Simple
Para el ejemplo de la barra visto anteriormente, la segunda derivada se
aproxima mediante:
2
T Ti l 11 2Ti l 1 Ti l 11
2 2
x ( x)
Tiene una exactitud de segundo orden.
Cuando esta ecuación se reemplaza en la EDP original, resulta una
ecuación con varias incógnitas que no puede resolverse como en el
método explícito.

19. EDP Parabólicas
Método Implícito Simple
El sistema debe resolverse simultáneamente pues con las condiciones de
frontera, las formulaciones implícitas dan como resultado un conjunto de m
ecuaciones lineales algebraicas con el mismo número de incógnitas. Así, el
problema se reduce a la solución de un sistema de ecuaciones simultáneas en
cada punto en el tiempo.
Ti l 11 2Ti l 1 Ti l 11 Ti l 1
Ti l
k
( x) 2 t
•que se puede expresa como:
l 1 l 1 l 1 l t
T i 1 (1 2 )Ti T i 1 Ti Donde: k
( x) 2
Esta ecuación se aplica a todos los nodos interiores, excepto al primero y al
último de los nodos, los cuales deben modificarse para considerar las
condiciones de frontera.

20. EDP Parabólicas
Método Implícito Simple
l 1 l 1
Para el extremo izquierdo de la barra (i=0): T
0 f o (t )
f o (t l 1 )
Donde es una función que describe cómo cambia la
temperatura con el tiempo de la frontera.
Sustituyendo en la ecuación de diferencias, se obtiene la ecuación para
el primer nodo interior:
(1 2 )T1l 1
T2l 1
Ti l f o (t l 1 )

21. EDP Parabólicas
Método Implícito Simple
De manera similar se obtiene la ecuación para el último nodo interior (i=m):
l 1 l 1 l
Tm 1 (1 2 )Tm Tm f m 1 (t l 1 )
Donde l 1 describe los cambios específicos de temperatura en el
f m 1 (t )
extremo derecho de la barra. (i=m+1)
Cuando se escriben las ecuaciones de diferencias para todos los nodos, se
obtiene el sistema de ecuaciones a resolver. El método tiene la ventaja de que
el sistema es tridiagonal.

22. EJEMPLO . EDP PARABÓLICA [2]
METODO IMPLICITO SIMPLE
Resolver el ejemplo anterior por este método
Primer nodo 1 2 T1l 1 l
T2 1 T1l f0 tl 1
Nodos interiores Til 1
1
1 2 Til 1
Til 1
1
Til
l l l
Ultimo nodo Tm 11 1 2 Tm 1 Tm fm 1 tl 1
1.04175 0.020875 0 0 T1l 2.0875
0.020875 1.04175 0.020875 0 T2l 0
0 0.020875 1.04175 0.020875 T3l 0
0 0 0.020875 1.04175 T4l 1.04375

23. EJEMPLO . EDP PARABÓLICA
T1l 2.0047
l
T2 0.0406
l
T3 0.0209
l
T4 1.0023
1.04175 0.020875 0 0 T12 4.09215
2
0.020875 1.04175 0.020875 0 T2 0.04059
0 0.020875 1.04175 0.020875 T32 0.02090
2
0 0 0.020875 1.04175 T4 2.04069
T12 3.9305
2
T2 0.1190
T32 0.0618
2
T4 1.9653

24. EDP Parabólicas
Método Implícito Simple
Aunque este método es estable y convergente, presenta una
deficiencia: la aproximación en diferencias temporal tiene una
exactitud de primer orden; y la aproximación en diferencias espacial
tiene una exactitud de segundo orden. Además, hay un límite de
exactitud para el uso de pasos de tiempo grandes.
El método de Richardson tiene una exactitud de segundo orden para
el espacio y para el tiempo, pero presenta serios problemas de
estabilidad.
El método conocido como Crank- Nicholson ofrece un esquema
implícito que tiene una exactitud de segundo orden para el espacio y
para el tiempo y es incondicionamente estable.

25. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
EDP Parabólicas
El Método de Crank - Nicholson
Se desarrollan aproximaciones por diferencias en el punto medio del
incremento del tiempo.
Así, la primera derivada temporal, lpara T lcaso de la barra, se aproxima
T Ti 1 eli
en tl+1/2 por:
t t

26. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
EDP Parabólicas
El Método de Crank - Nicholson
La segunda derivada en el espacio puede determinarse en el punto
medio promediando las aproximaciones por diferencias al principio (tl) y
al final (tl+1) del incremento del tiempo:
2
T 1 Ti l 1 2Ti l Ti l 1 Ti l 11 2Ti l 1 Ti l 11
x2 2 ( x) 2 ( x) 2

27. EDP Parabólicas
El Método de Crank - Nicholson
Sustituyendo y reagrupando:
Ti l 11 2(1 )Ti l 1
Ti l 11 Ti l 1 2(1 )Ti l Ti l 1
Se determinan las condiciones de frontera
l 1
T0l 1
f o (t l 1 ) Tm 1 f m 1 (t l 1 )
para obtener versiones de la ecuación de diferencias para los nodos
interiores primero y último.
Para el primer nodo:
2(1 )T1l 1
Ti l 11 f o (t l ) 2(1 )T1l T2l f o (t l 1 )
Para el último nodo:
l 1 l 1
Tm 1 2(1 )Tm f m 1 (t l ) 2(1 l
)Tm l
Tm 1 f m 1 (t l 1 )

28. EJEMPLO . EDP PARABÓLICA [2]
METODO DE CRANK-NICHOLSON
Resolver ejemplo anterior por este método
2.04175 0.020875 0 0 T1l 4.175
l
0.020875 2.04175 0.020875 0 T2 0
l
0 0.020875 2.04175 0.020875 T3 0
l
0 0 0.020875 2.04175 T4 2.0875
T1l 2.0450
l
T2 0.0210
l
T3 0.0107
l
T4 1.0225

29. EJEMPLO . EDP PARABÓLICA
2.04175 0.020875 0 0 T12 8.1801
2
0.020875 2.04175 0.020875 0 T2 0.0841
0 0.020875 2.04175 0.020875 T32 0.0427
2
0 0 0.020875 2.04175 T4 4.0901
T12 4.0073
2
T2 0.0826
T32 0.0422
2
T4 2.0036

30. Comparación de los métodos para la
solución EDP parabólicas
Explícito Implícito Crank-Nicolson
Solución directa Sistema de ecuaciones Sistema de ecuaciones
Condicionalmente Incondicionalmente Incondicionalmente
estable estable estable
Segundo orden en Segundo orden en Segundo orden en
espacio O(∆x2) y espacio O(∆x2) y primer espacio y en tiempo
primer orden en tiempo orden en tiempo O(∆t) O(∆x2+∆t2)
O(∆t)

31. BIBLIOGRAFIA
[1] Douglas Wilhelm Harder, M.Math. Numerical Methods and Analysis for Engineers.
University of Waterloo. Department of Electrical and Computer Engineering.
http://www.ece.uwaterloo.ca/~ece204/TheBook/
[2] Chapra and Canale. Métodos numéricos para ingenieros. 4ª ed. Mc Graw Hill,2002
[3] Jeffery Cooper . Mathematics Department. The University of Maryland.
http://www.math.umd.edu/~jec/
[4] Scientific Educational Matlab Database. Universidad de Stutgart.
http://matlabdb.mathematik.uni-stuttgart.de/index.jsp