5 flujo (1)

Model ado de Si s t emas de
Pot enci a
Flujo de carga en
Sistemas de Potencia.

CONTENI DO:
• Concept os básicos.
• Plant eo del problema del f luj o de
carga.
• Solución del f luj o de carga.
• Mét odo de Newt on Raphson para la
resolución del f luj o de carga.
• Mét odo Desacoplado rápido.
•Mét odo de Gauss-Seidel.

PROPÓSI TO DEL FLUJO DE CARGA:
Determinación de voltajes, intensidades y
potencias activas y reactivas en distintos puntos
de una red eléctrica.

HI PÓTESI S DE TRABAJO:
Sistemas en régimen, equilibrados, sinusoidales,
sin anomalías.

I mport anci a de l os f l uj os de
carga
• Permit e det erminar los f luj os de pot encia act iva y
react iva en una red eléct rica.
• Permit e det erminar los volt aj es en las barras de una
red eléct rica.
• Permit e calcular las pérdidas en una red eléct rica.
• Permit e est udiar las alt ernat ivas para la planif icación
de nuevos sist emas o ampliación de los ya exist ent es.
• Permit e evaluar los ef ect os de pérdidas t emporales de
generación o de circuit os de t ransmisión.

I mport anci a de l os f l uj os de
carga
• Permit e evaluar los ef ect os de reconf igurar los
circuit os de un SEP (por ej emplo ant e la pérdida de una
línea de t ransmisión).
• Permit e evaluar las mej oras que se producen ant e el
cambio en la sección de los conduct ores de un SEP.

Conceptos básicos
Probl ema del f l uj o de carga
Ej emplo: Problema de f luj o de carga
para una red eléct rica de dos barras:
Vs∠0º
Vs -dado
j X
Vr ∠θ ?
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(carga)

Conceptos básicos
Pot enci a compl ej a
Pot encia complej a const ant e
ent regada a la carga.
Carga P & Q
const ant es.
ϕ
Q = P tan ϕ
V
I
I
V
IVS ˆ=
ϕϕ sencos jVIVIjQPS +=+=

Conceptos básicos
Probl ema de f l uj o de carga
Relación no lineal!
r
rr
rs
rs
V
jQP
jXVV
IVS
IjXVV
ˆ
ˆ
−
=−
=
=−
Vs ∠0
jX
Vr ∠θ ?
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(carga)I

Conceptos básicos
Solución Analít ica: (posible solo para casos muy simples)
r
rr
rs
V
jQP
jXVV
−
⋅=−
)(ˆ)( rrrrs jQPjXVVV −⋅=⋅−
rrrrs XQjXPVjVV +=−−
2
)sen(cos θθ
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
−=
=−
θ
θ
sen
cos
2

Conceptos básicos
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
−=
=−
θ
θ
sen
cos
2
2222222
)()()sen(cos rrrrs XPXQVVV −++=+ θθ
rrrrsrr VQPXVVXQV ⇒=++⋅−+ 0)()2(
222224
θθ ⇒−= sen
X
VV
P rs
r

Conceptos básicos
0)()2(
222224
=++⋅−+ rrrsrr QPXVVXQV θsen
X
VV
P rs
r −=
Dat os:
008779.0
9112.0
0008.092.0
0008.092.0
)(1.0
)(4.08.0
2
1
22
24
=
=
⇓
=+⋅−⇒=
=+⋅−
=
+=+⇒
H
H
HHVH
VV
puX
pujjQP
r
rr
rr

Posibles soluciones
Vr θ comentario
+0.9545 -4.807 buena
+0.0937 -58.93 mala
-0.9545 +4.807 mala
-0.0937 +58.93 mala
Número de
soluciones
posibles:
!2
2

Un procedimiento iterativo
(Gauss Seidel)
r
rr
rs
V
jQP
jXVV
ˆ
−
⋅=−
El algorit mo:
1. Fij ar el índice de it eración i en 0.
2. Probar con un valor inicial para Vr(i) (módulo y f ase - usualment e V=1 θ=0)
3.Calcular
4. Calcular nuevo
5. Calcular
6. Si el crit erio de convergencia no es sat isf echo, f ij ar i=i+1 e ir a 3.
)(ˆ iV
jQP
jXVV
r
rr
rs
−
⋅=−
)(ˆ 1+iVr
ε≤−+ )()1( iViV rr

Cálculo de las potencias de entrada
Ps, Qs = ?
Vs ∠0
jX
Vr ∠θ
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(carga)I
( )
4878080
8074807495450
4080
..
).sen().cos(.
..
ˆˆ
jjQP
j
j
jQP
V
jQP
VIVjQP
ss
ss
r
rr
ssss
+=+
−+−
+
=+
+
==+

Transporte de potencia activa
(Qr=0)
Pr
Vs ∠0
jX
Vr ∠θ
Ps,Qs
Pr Vr θ Ps Qs
0.5 0.999 -2.87 0.5 0.025
1 0.995 -5.77 1 0.1
1.6 0.987 -9.33 1.6 0.26

Qr
Vs ∠0
jX
Vr ∠θ
Ps,Qs
Transporte de potencia reactiva
(Pr=0)
Qr Vr θ Ps Qs
0.5 0.947 0 0 0.53
1 0.887 0 0 1.127
1.6 0.8 0 0 2

Control de potencia activa y reactiva
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
−=
=−
θ
θ
sen
cos
2
)(
sen
rs
rs
r
rs
r
X
VV
P
X
VV
P
θθ
θ
−≈
−=
)(
)cos(
rs
r
r
rs
r
r
VV
X
V
Q
VV
X
V
Q
−≈
−= θ
La pot encia act iva depende en f orma
proporcional de la dif erencia ent re
los ángulos de f ase de los volt aj es
de las barras.
La pot encia react iva depende en f orma
proporcional de la dif erencia ent re los
módulos de los volt aj es de las barras.

Ejercicio
Realizar el cálculo de f luj o de carga para el sist ema de dos barras:
Vs ∠0
R+jX
Vr ∠θ ?
Ps,Qs=? Pr,Qr dados
Pr=0.5pu, Qr=0.3pu, R=0.01pu, X=0.1 pu
(Vr=0.9677 ∠-2.99º)

Flujo de carga para dos barras
inter- conectadas mediante una línea
de transmisión.
Línea de t ransmisión de 110kV
V1 V2 = 110kV
20MW
10MVar
P1,Q1=?
Long. de linea 1-2 Resistencia
r’[Ω/km]
Reactancia
x’[Ω/km]
Susceptancia
Shunt
b’ [µS/km]
60km 0.200 0.430 2.60

Modelo de línea de transmisión.
i k
ikik jXR +
2
sjB
2
sjB

Balance de Potencia.
ikik jXR +
G+T L
2/sy 2/sy
1 2
1V 2V
1P
1Q
'1P
'1Q
'2P
'2Q 2P
2P
20Q20P10P10Q

01888.012110156
21322..0
121
8.25
099174.0
121
12
6
=⋅⋅=⋅=
===
===
−
b
b
b
ZBb
Z
X
x
Z
R
r
Parámetros de líneas de transmisión.
SLbB
LxX
LrR
µ1566062
82560430
126020
===
Ω===
Ω===
*.'*
.*.'*
*.'*
MVAS
kVV
b
b
100
110
=
=
Ω=== 121
100
11022
b
b
b
S
V
Z

Cálculo de balance de Potencia.
2
2V
'2P
'2Q 2P
2P
20Q20P
Demanda de Carga
1.0
2.0
2
2
=
=
Q
P
09056.000944.01.0'
2.0'
944.0
00944.0
2
01888.0
1
2
2022
22
20
2
220
=−=−=
==
=
=⋅=⋅=
QQQ
PP
MVArQ
b
VQ

Cálculo de caída de tensión.
0336630039140
099174009056021322020
213220090560099174020
2
22
2
22
21
..
)....(
)....(
''''
jV
j
V
V
rQxP
j
V
xQrP
VVV
+=∆
⋅−⋅+
⋅+⋅=∆
=
−
+
+
=∆=−

Voltaje de entrada
º.
.
..
..
861
37114
0336630039141
033663003914001
1
1
21
=
=
=+
=+++
=∆+=
θ
V
j
jj
VVV

Cálculo de las pérdidas en la línea
MVArjMWS
jS
j
j
S
Z
V
Z
V
VIVS
se
se
se
sese
sese
031480
0103000480
2132200991740
0336630039140
2
2
..ˆ
..ˆ
..
..ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
+=
+=
−
+
=
∆
=







 ∆
⋅∆=⋅∆=

Generación.
G+T
2/sy
1
1V
1P
1Q
'1P
'1Q
10P10Q
100860
20480
090560
20
0103000480
1
1
2
2
.'
.'
.'
.'
..
=
=
=
=
+=
Q
P
Q
P
jSse

Generación.
G+T
2/sy
1
1V
1P
1Q
'1P
'1Q
10P10Q
09065001020100860
20480
01020
2
018880
03971
2
039710336630039141
1011
11
2
110
11
...'
.'
.
.
.
...
=−=−=
==
=⋅=⋅=
=⇒+=
QQQ
PP
b
VQ
VjV

Resumen del balance de potencia
ikik jXR +
G+T L
2/sy 2/sy
1 2
1V 2V
1P
1Q
'1P
'1Q
'2P
'2Q 2P
2P
20Q20P10P10Q
09065.0
2048.0
1
1
=
=
Q
P
00944.0
0048.0
=
=
loss
loss
Q
P
1.0
2.0
2
2
=
=
Q
P

Carga, generación y modelado de la
red en análisis de flujo de carga.

Modelado de los componentes del
sistema.
• Líneas de transmisión- circuit o Pi
• Transformadores - impedancia
• Generadores - Pot encia act iva const ant e con
capacidad de cont rol (limit ado) de volt aj e del
primario (P = ct e, V= ct e).
• Cargas - Pot encia complej a const ant e (P = ct e,
Q= ct e).

Línea de transmisión.
i k
ikik jXR +
2
sjB
2
sjB
i k
ikY
2
sjB
2
sjB

Generadores y Cargas.
•Generadores
Pot encia Act iva - inyección const ant e
Pot encia r eact iva - regulación de volt aj e
•Demandadecarga
I nyección const ant e de pot encia act iva y
react iva

Flujo de carga & Balance de potencia
Carga
i
1
k
n
giS
diS
iS
1iS
ikS
inS

Análisis Vol t aj e - Corri ent e
versus
Análisis vol t aj e - pot enci a.
Carga
i
1
k
n
giI
diI
iI
1iI
inI
∑
=
=
=−=
nk
k
ikdigii IIII
1

Análisis Vol t aj e - Corri ent e
y la Matriz Ybus
Carga
i
1
k
n
giI
diI
iI
1iI
inI
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]injbus
shunt
i
n
i
ikii
ikik
businj
nk
k
ikdigii
IYV
YYy
kiYy
VYI
IIII
⋅=
+=
≠−=
⋅=
=−=
−
=
=
=
∑∑
∑
1
1
1
,
Vtierra=0
Sistema de ecuaciones lineales

Análisis Vol t aj e - Pot enci a
i
1
k
n
giS
diS
1iS
ikS
inS
G
Inyección en la red
∑
=
=
=−=
nk
k
ikdigii SSSS
1
iii IVS ˆ⋅=
∑∑
=
=
=
=
⋅=





⋅=
nk
k
kiki
nk
k
kikii VyVVyVS
11
ˆˆ
*
Sistema de ecuaciones
no lineales

Forma de las ecuaciones de flujo de
carga.
∑
=
=
⋅=
nk
k
kikii VyVS
1
ˆˆ
Voltaje en forma polar Voltaje en forma rectangular
Admitancia en forma polar Admitancia en forma rectangular
ij
ii eVV θ
=
ikj
ikik eyy δ
=
im
i
re
ii jVVV +=
ikikik jbgy +=

Forma polar de las ecuaciones de
flujo de carga
∑
∑
=
=
=
=
−⋅+⋅⋅=
−⋅⋅⋅=
nk
k
ikikikikkii
nk
k
ikik
j
kii
jbgjVVS
jbgeVVS ik
1
1
)()sen(cos
)(
θθ
θ
El voltaje está expresado en coordenadas polares, mientras
que la admitancia está expresada en coordenadas
rectangulares.

Balance de potencia activa y
reactiva.
i
1
k
n
giQ
diQ
1iQ
ikQ
inQ
G
i
1
k
n
giP
diP
1iP
ikP
inP
G
∑
=
=
=−=
nk
k
ikdigii PPPP
1
∑
=
=
=−=
nk
k
ikdigii QQQQ
1

Ecuaciones de flujo de carga
∑
∑
=
=
=
=
−⋅⋅=
+⋅⋅=
nk
k
ikikikikki
calc
i
nk
k
ikikikikki
calc
i
bgVVQ
bgVVP
1
1
)cossen(
)sencos(
θθ
θθ
i=1,2,3...n
calc
i
sp
i
calc
i
sp
i
QQ
PP
=
=
balance de pot. activa y reactiva
especificado
funciones de voltajes
complejos desconocidos

calc
i
sp
i
calc
i
sp
i
QQ
PP
=
=
Ecuaciones de flujo de carga
digi
sp
i
digi
sp
i
QQQ
PPP
−=
−=
Si la potencia activa o reactiva para la barra i no es
especificada, la ecuación de balance de energía no
puede ser definida.
(si la barra i no tiene generación o carga, la potencia
especificada es igual a cero.)
Potenciales variables desconocidas:
iiii VQP θ,,,

Tipos de barras
• Barras de carga (PQ):
• No hay generación
• Potencia activa y reactiva
especificada
• Barras de generación (PV):
• Voltaje constante y especificado
• Potencia activa especificada
di
sp
i
di
sp
i
QQ
PP
−=
−=
sp
ii
digi
sp
i
VV
PPP
=
−=

Número de incógnitas y número de
ecuaciones
• Hipótesis: Sistema de n barras
Ng - cantidad de barras de generación y
voltaje controlado
Nd - cantidad de barras de carga
n = Ng + Nd

• Para cada barra de generación tengo:
• una ecuación de balance de potencia activa
• el voltaje de la barra especificado
• Para cada barra de carga tengo:
• una ecuación de balance de potencia activa
• una ecuación de balance de potencia reactiva
calc
i
sp
i PP =
ecuaciones
sp
ii VV =
calc
i
sp
i PP =
calc
i
sp
i QQ =

ecuaciones
• Cuatro variables por cada barra: iiii VQP θ,,,
ecuacionesd
calc
i
sp
i NQQ =
ecuacionesnPP calc
i
sp
i =
incógnitasV
incógnitas
i d
i
N
nθ
Las potencias reactivas Qi de las barras de generación
pueden ser calculadas una vez determinados los voltajes
de las barras (módulos y fases)

Barra flotante
• ¿Es posible especificar la potencia activa
inyectada por todos los generadores y la potencia
activa consumida por las cargas en forma
independiente?
∑ ∑−= digipérdidas PPP
Las pérdidas RI2
no son conocidas
inicialmente

Barra flotante
• Una barra del sistema puede realizar el balance
de potencia activa demandada y potencia activa
consumida (BARRA FLOTANTE)
• ¿Es este criterio razonable?
• La potencia activa se transmite “bien” a través del
sistema

Barra flotante
• ¿Cómo se realiza el balance de potencia reactiva en
el sistema?
• ¿Es posible utilizar una única barra para realizar el
balance de reactiva en el sistema?
• La potencia reactiva no se transmite “bien” a través
del sistema (produce caídas de tensión importantes)
• Cada barra PV realiza el balance de reactiva en
forma local

Modelado de sistemas de potencia.
Resolviendo el
problema de f luj o
de carga.

Ejercicio: Ecuaciones de flujo de
carga.
• Formar Mat riz Ybus del sist ema.
• Det erminar t ipos de barras.
• List ar variables conocidas y
desconocidas.
• Escribir las ecuaciones de f luj o de
carga.
1
2
3
P=0.5
V=1
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8

Ybus.










−
−
−
=+=
945
41410
51015
jjj
jjj
jjj
jBGY

Tipos de barras.
Barra 1: Flot ant e (V1 y θ1 dados)
Barra 2: Barra PQ (V2 y θ2
desconocidos)
2 ecuaciones - balance de
pot encia act iva y react iva.
Barra 3: Barra PV - θ3 desconocido
(V3 especif icado)
1 ecuación: balance de
pot encia act iva.
1
2
3
P=0.5
V=1
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8

Ecuaciones.
[ ]
[ ]
[ ])cos(4cos10148.0
cos
)sen(4sen51
sen
)sen(4sen105.1
sen
323212
2
2
1
2222
232313
1
3333
323212
1
2222
θθθ
θ
θθθ
θ
θθθ
θ
−+−=−
⋅−=
−+=
⋅=
−+=−
⋅=
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
VVVV
bVVQ
VVV
bVVP
VVV
bVVP
nk
k
kkk
nk
k
kkk
nk
k
kkk

Métodos para resolver las ecuaciones
de flujo de carga.
• Ecuaciones de flujo de carga:
Sist ema de ecuaciones algebraicas no lineales.
• Métodos:
Mét odo de Gauss-Seidel.
Mét odo de Newt on-Raphson.
Algorit mo de desacoplado rápido de f luj o de
carga.

Método de Newton Raphson.
Idea básica.
1 4 6
?,0)(
,045)( 2
==
=+−=
xxf
xxxf 60
=x

Método de Newton - Raphson.
Ejemplo
,045)( 2
=+−= xxxf 60
=x
xx
dx
xdf
fxf
x
dx
xdf
x
dx
xdf
xfxxf
x
xx
rr
r
∆+=∆⋅+≈∆+
−=
≈∆⋅+≈∆+
=
=
710
)(
)6()6(
52
)(
0
)(
)()(
6
¿Qué tan buena es esta aproximación?

Ejemplo
08.449.157.4
49.014.4/04.2
014.404.2
)(
)57.4()57.4(
57.443.16
43.17/10
0710
)(
)6()6(
57.4
6
=−=∆+=
−=−=∆
=∆+=∆⋅+≈∆+
=−=∆+=
−=−=∆
=∆+=∆⋅+≈∆+
=
=
xxx
x
xx
dx
xdf
fxf
xxx
x
xx
dx
xdf
fxf
oldnew
x
oldnew
x

Ejemplo
0)4(
408.008.4
08.016.3/24.0
016.324.0
)(
)08.4()08.4(
08.4
=
=−=∆+=
−=−=∆
=∆+=∆⋅+≈∆+
=
f
xxx
x
xx
dx
xdf
fxf
oldnew
x

Método de Newton- Raphson.
Ejemplo
,045)( 2
=+−= xxxf 60
=x
000.4002.0004.306.0002.44
002.4077.0157.3242.0079.43
079.4492.0142.4039.2571.42
571.4429.1000.700.10000.61
)( 1
−
−
−
−
∆ +rr
xx
dx
df
xfxr

Método de Newton- Raphson.
Resumen
El caso de una dimensión:
,045)( 2
=+−= xxxf 60
=x
xxx
dx
xdf
xfx
x
dx
xdf
xfxxf
rr
xx
r
xx
rr
r
r
∆+=






⋅−≈∆
≈∆⋅+≈∆+
+
−
=
=
1
1
)(
)(
0
)(
)()(

Sistemas de ecuaciones no lineales.
f1,...fn, son funciones dadas,
x1,...xn, son incógnitas.
Sistema general de
ecuaciones algebraicas
no lineales simultáneas.







=
=
=
0),...,(
.........
0),...,(
0),...,(
1
12
11
nn
n
n
xxf
xxf
xxf












=
nf
f
f
F
...
2
1












=
nx
x
x
x
...
2
1
0)( =xF

Método de Newton- Raphson
Aproximación lineal por Taylor:
n
n
nn
nn
n
n
n
n
x
x
xf
x
x
xf
xfxxf
x
x
xf
x
x
xf
xfxxf
x
x
xf
x
x
xf
xfxxf
∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+≈∆+
∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+≈∆+
∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+≈∆+
)(
....
)(
)()(
...............
)(
....
)(
)()(
)(
....
)(
)()(
1
1
2
1
1
2
22
1
1
1
1
11

Supongamos que tomamos una estimación inicial
de la solución x=xr
0
)(
....
)(
)()(
...............
0
)(
....
)(
)()(
0
)(
....
)(
)()(
1
1
2
1
1
2
22
1
1
1
1
11
=∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+≈∆+
=∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+≈∆+
=∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+≈∆+
==
==
==
n
xxn
n
xx
nr
n
r
n
n
xxnxx
rr
n
xxnxx
rr
x
x
xf
x
x
xf
xfxxf
x
x
xf
x
x
xf
xfxxf
x
x
xf
x
x
xf
xfxxf
rr
rr
rr

Estimación del error ∆x:












=












∆
∆
∆
⋅




















∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+














0
...
0
0
...
)(
......
)(
............
)(
...
)()(
)(
...
)()(
)(
...
)(
)(
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
n
n
nn
n
n
r
n
r
r
x
x
x
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
xf
xf
xf





















∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
n
nn
n
n
r
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
xJ
)(
......
)(
............
)(
...
)()(
)(
...
)()(
)(
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1














=
)(
...
)(
)(
)( 2
1
r
n
r
r
r
xf
xf
xf
xF












∆
∆
∆
=∆
nx
x
x
x
...
2
1
Matriz Jacobiana Vector de apartamiento
estimador lineal del error















⋅




















∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−≈












∆
∆
∆
−
)(
...
)(
)(
)(
......
)(
............
)(
...
)()(
)(
...
)()(
...
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
r
n
r
r
n
nn
n
n
n xf
xf
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
x
x
estimador lineal del error













∆
∆
∆
+














=














+
+
+
n
r
n
r
r
r
n
r
r
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.........
2
1
2
1
1
1
2
1
1
Estimador mejorado del valor supuesto inicialmente

Aplicación al flujo de carga del sistema de
potencia
Elegir las var iables de est ado (x):
(a) Para barras PQ, elegir la magnit ud del volt aj e
de barra y su ángulo de f ase asociado.
(b) Para barras PV, elegir el ángulo de f ase (la
magnit ud del volt aj e es f ij a)
Para barra f lot ant e (ref erencia), t ant o magnit ud
de volt aj e como ángulo de f ase son cant idades
especif icadas.






=
V
x
θ PQ&PV
PQ

potencia
0
)(
)(
)(
)(
)(
=





−
−
=
=
=
sp
sp
i
sp
i
i
sp
i
QxQ
PxP
xF
xQQ
xPP
especificado funciones de x desconocidas
∑
∑
=
=
=
=
−−=∆
+−=∆
nk
k
ikikikikki
sp
ii
nk
k
ikikikikki
sp
ii
bgVVQQ
bgVVPP
1
1
)cossen(
)sencos(
θθ
θθ

potencia
0
)(
)(
)( =





∆
∆
−= r
r
r
xQ
xP
xF
)()(0)()( rrrr
xFxxJxxJxF −=∆⋅=∆⋅+ 
[ ] 





∆
∆
=





∆
∆
⋅
)(
)(
r
r
xQ
xP
V
J
θ PQ&PV
PQ
PQ&PV
PQ





∆
∆
=





∆
∆
⋅





)(
)(
/ r
r
rr
rr
xQ
xP
VVLM
NH θ

potencia
( )
( ) )cossen(
)sencos(
ikikikikki
k
i
ik
iii
r
iii
nk
ik
k
ikikikikki
i
i
ii
bgVV
P
H
VbQH
gbVV
P
H
θθ
θ
θθ
θ
−=
∂
∆−∂
−=
−=
∂
∆−∂
=
=
≠
=
= ∑
2
1

potencia
( )
( ) )sencos(
)sencos(
ikikikikki
k
i
ik
iii
r
iii
nk
ik
k
ikikikikki
i
i
ii
bgVV
Q
M
VgPM
bgVV
Q
M
θθ
θ
θθ
θ
+−=
∂
∆−∂
−=
+=
∂
∆−∂
=
=
≠
=
= ∑
2
1

potencia
ik
k
i
kik
iii
r
i
i
i
iii
ik
k
i
kik
iii
r
i
k
i
iii
H
V
Q
VL
VbQ
V
Q
VL
M
V
P
VN
VgP
V
P
VN
=
∂
∆−∂
=
−=
∂
∆−∂
=
−=
∂
∆−∂
=
+=
∂
∆−∂
=
)(
)(
)(
)(
2
2

potencia
PQ&PV
PQ





∆
∆
=





∆
∆
⋅





)(
)(
/ r
r
rr
rr
xQ
xP
VVLM
NH θ






∆
∆
⋅





=





∆
∆
−
)(
)(
/
1
r
r
rr
rr
xQ
xP
LM
NH
VV
θ






∆
∆
+=+
V
xx rr θ1

potencia
Caract eríst icas del mét odo:
1. Velocidad de convergencia ‘cuadrát ica’ (el
número de cif ras signif icat ivas se duplica luego de
cada it eración)
2. Conf iable, no sensible a la elección de la barra
f lot ant e.
3. Solución precisa obt enida luego de 4-6
it eraciones.
4. J debe ser re-calculada e invert ida luego de
cada it eración. (J es una mat riz esparsa, t iene
est ruct ura simét rica, pero los valores no son
simét ricos)

Método de Newton Raphson
Ejemplo
1
2
3
V=1, θ=0
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
Resolver el problema de f luj o de carga usando el mét odo de NR:

Ejemplo
1 2
3
V=1, θ=0
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
Barra 2: Barra PQ
(V2 y θ2 desconocidos)
(V3 especif icado)
pot encia act iva.

Ejemplo










=










−
−
−
=+=
222322
323332
222322
2
3
2
232
945
41410
51015
LMM
NHH
NHH
Q
P
P
V
J
jjj
jjj
jjj
jBGY
θθ

Ejemplo
[ ]
[ ]
[ ])cos(4cos1014cos
)sen(4sen5sen
)sen(4sen10sen
323212
2
2
1
2222
232313
1
3333
323212
1
2222
θθθθ
θθθθ
θθθθ
−+−=−=
−+==
−+==
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
VVVVbVVQ
VVVbVVP
VVVbVVP
nk
k
kkk
nk
k
kkk
nk
k
kkk

Ejemplo
0,0,0,1,1,1 0
3
0
2
0
1
0
3
0
2
0
1 ====== θθθVVV
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] 00cos140cos1101114
)cos(4cos1014
00sen140sen151)sen(4sen5
00sen140sen1101)sen(4sen10
323212
2
22
2323133
3232122
=⋅+⋅−⋅
=−+−=
=⋅+⋅=−+=
=⋅+⋅=−+=
θθθ
θθθ
θθθ
VVVVQ
VVVP
VVVP

Ejemplo
∑
∑
=
=
=
=
−−=∆
+−=∆
nk
k
ikikikikki
sp
ii
nk
k
ikikikikki
sp
ii
bgVVQQ
bgVVPP
1
1
)cossen(
)sencos(
θθ
θθ










−
−
=










−−
−
−−
=










∆
∆
∆
8.0
0.1
5.1
08.0
00.1
05.1
2
3
2
Q
P
P

Ejemplo










−
−
=










+−−
−−+−−−
−−+−
=
0001400000000
000000090004
0000000400014
144
494
414
2
3
2
232
2
2232322
3232
2
333232
23232
2
22
2
3
2
232
...
...
...
................
)sen(
)sen()cos(
)cos(
Q
P
P
V
J
VQVVP
VVVQVV
PVVVQ
Q
P
P
V
J
θθ
θθ
θθθθ
θθ
θθ

Ejemplo










=−
0714.00000.00000.0
0000.01273.00364.0
0000.00364.00818.0
1
J










−
−
⋅










=










∆
∆
∆
8.0
0
5.1
0714.00000.00000.0
0000.01273.00364.0
0000.00364.00818.0
/ 22
3
2
VV
θ
θ










−
−
=










∆
∆
∆
0571.0
0727.0
0864.0
/ 22
3
2
VV
θ
θ

Ejemplo
9429.00571.011
0727.00727.00
0864.00864.00
2
20
2
0
2
1
2
3
0
3
1
3
2
0
2
1
2
=⋅−=
∆
+=
=+=∆+=
−=−=∆+=
V
V
VVV
θθθ
θθθ
Est o complet a la primer it eración.
Ahora re-calculamos las pot encias de la barra
con los nuevos valor es de las variables de
est ado:

Ejemplo
0727.0,0864.0,0,1,9429.0,1 1
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1 =−===== θθθVVV
[ ]
[ ]
[ ] 6715.0)cos(4cos1014
9608.0)sen(4sen5
4107.1)sen(4sen10
323212
2
22
2323133
3232122
−=−+−=
=−+=
−=−+=
θθθ
θθθ
θθθ
VVVVQ
VVVP
VVVP










−
−
=










−−
−
+−
=










∆
∆
∆
1285.0
0392.0
0893.0
6715.08.0
9608.00.1
4107.15.1
2
3
2
Q
P
P

Ejemplo










−
−
−−
=










+−−
−−+−−−
−−+−
=
7742115975041071
597507106872383
4107172383117213
144
494
414
2
3
2
232
2
2232322
3232
2
333232
23232
2
22
2
3
2
232
...
...
...
)sen(
)sen()cos(
)cos(
Q
P
P
V
J
VQVVP
VVVQVV
PVVVQ
Q
P
P
V
J
θθ
θθ
θθθθ
θθ
θθ

Ejemplo










−
−=−
0861.00022.00086.0
0022.013707.00369.0
0086.00369.00876.0
1
J










−
−
⋅










−
−=










∆
∆
∆
1285.0
0392.0
0893.0
0861.00022.00086.0
0022.013707.00369.0
0086.00369.00876.0
/ 22
3
2
VV
θ
θ










−
−
=










∆
∆
∆
0119.0
021.0
075.0
/ 22
3
2
VV
θ
θ

Ejemplo
9316.09429.00119.09429.0
07485.00021.00727.0
09385.00075.00864.0
2
21
2
1
2
2
2
3
1
3
2
3
2
1
2
2
2
=⋅−=
∆
+=
=+=∆+=
−=−−=∆+=
V
V
VVV
θθθ
θθθ
Est o complet a la segunda it eración.
Ahora re-calculamos las pot encias de la barra
con los nuevos valor es de las variables de
est ado:

Ejemplo
07485.0,09385.0,0,1,9316.0,1 2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1 =−===== θθθVVV
[ ]
[ ]
[ ] 7979.0)cos(4cos1014
9995.0)sen(4sen5
4987.1)sen(4sen10
323212
2
22
2323133
3232122
−=−+−=
=−+=
−=−+=
θθθ
θθθ
θθθ
VVVVQ
VVVP
VVVP










−
−
=










−−
−
+−
=










∆
∆
∆
0021.0
0005.0
0013.0
7979.08.0
9995.00.1
4987.15.1
2
3
2
Q
P
P

Ejemplo










−
−
−−
=










+−−
−−+−−−
−−+−
=
3529116257049871
625706596867363
4987177363948812
144
494
414
2
3
2
232
2
2232322
3232
2
333232
23232
2
22
2
3
2
232
...
...
...
)sen(
)sen()cos(
)cos(
Q
P
P
V
J
VQVVP
VVVQVV
PVVVQ
Q
P
P
V
J
θθ
θθ
θθθθ
θθ
θθ

Ejemplo










−
−=−
0895.00024.00097.0
0024.01313.00370.0
0097.00370.00888.0
1
J










−
−
⋅










−
−=










∆
∆
∆
1285.0
0392.0
0893.0
0895.00024.00097.0
0024.01313.00370.0
0097.00370.00888.0
/ 22
3
2
VV
θ
θ










−
−
=










∆
∆
∆
00020.0
00002.0
00012.0
/ 22
3
2
VV
θ
θ

Ejemplo
9314.09316.00002.09316.0
7486.000002.007485.0
09397.000012.009385.0
2
22
2
2
2
3
2
3
2
3
3
3
2
2
2
3
2
=⋅−=
∆
+=
=+=∆+=
−=−−=∆+=
V
V
VVV
θθθ
θθθ
Est o complet a la t ercera it er ación.
El mét odo ha convergido ya que el vect or de
apart amient o es casi cero.

Ejemplo
07486.0,09397.0,0,1,9314.0,1 3
3
3
2
3
1
3
3
3
2
3
1 =−===== θθθVVV
[ ]
[ ]
[ ] 8.0)cos(4cos1014
1)sen(4sen5
5.1)sen(4sen10
323212
2
22
2323133
3232122
−=−+−=
=−+=
−=−+=
θθθ
θθθ
θθθ
VVVVQ
VVVP
VVVP










=










∆
∆
∆
0
0
0
2
3
2
Q
P
P

Desacoplado rápido del flujo de carga (FD)
Desacoplando las ecuaciones
VVLQVVLM
HPVVNH
Q
P
VVLM
NH
//
/
/
∆≈∆=∆⋅+∆⋅
∆≈∆=∆⋅+∆⋅






∆
∆
=





∆
∆
⋅





θ
θθ
θ PQ&PV
PQ

Desacoplado rápido del flujo de carga (FD)
Desacoplando las ecuaciones
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]QVVL
PH
∆=∆⋅
∆=∆⋅
/
θ PQ&PV
PQ
Las ecuaciones están desacopladas pero
los coeficientes de las matrices H y L son
interdependientes: H depende del módulo
del voltaje, L depende del ángulo de fase.
Este esquema requiere evaluación de las
matrices en cada iteración.

Simplificaciones de Stott & Alsac
1. Las diferencias entre los ángulos de fase de barras típicas del sistema
son usualmente pequeñas:
2. Las susceptancias de línea Bikson mucho mayores que las
conductancias de línea Gik:
3. La potencia reactiva inyectada en cualquier barra es mucho menor que
la potencia reactiva que circularía si todas las líneas que parten de esa
barra se corticircuitaran al neutro del sistema:
1≈− )cos( ki θθ kiki θθθθ −≈− )sen(
)cos()sen( kiikkiik BG θθθθ −<<−
iiii BVQ
2
<<

Elementos Jacobianos
Potencia activa
kikiik
ikikikikkiik
iiiiii
iii
r
iii
VbVH
bgVVH
VbVH
VbQH
⋅⋅−=
−⋅⋅=
⋅⋅−=
−−=
)cossen( θθ
2

Elementos Jacobianos
Potencia reactiva
kikiik
ikikikikkiik
iiiiii
iii
r
iii
VbVL
bgVVL
VbVL
VbQL
⋅⋅−=
−⋅⋅=
⋅⋅−=
−−=
)cossen( θθ
2

Modificaciones posteriores
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]QVVVBV
PVBV
∆=∆⋅⋅⋅−
∆=∆⋅⋅⋅−
/''
' θ PQ&PV
PQ
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]VQVVVB
VPVB
//''
/'
∆=∆⋅⋅−
∆=∆⋅⋅− θ PQ&PV
PQ

Modificaciones posteriores
PQ&PV
PQ
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]VQVVVB
VPVB
//''
/'
∆=∆⋅⋅−
∆=∆⋅⋅− θ
PQ&PV
PQ
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]VQVB
VPB
/''
/'
∆=∆⋅−
∆=∆⋅− θ
Desacoplado rapido
de las ecuaciones.

Método de desacoplado rápido
Características
PQ&PV
PQ
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]VQVB
VPB
/''
/'
∆=∆⋅−
∆=∆⋅− θ
1. B’ y B’’ son matrices esparsas reales.
2. B’ y B’’ son aproximaciones del Jacobiano con
gradiente constante. (El resultado final es el
correcto!)
3. Aunque FD requiere más iteraciones, la solución
se puede obtener mucho más rápido.
4. FD es más robusto que NR (puede encontrar
soluciones donde NR falla)
5. Problemas potenciales en redes con R>X.

Ejemplo
1
2
3
V=1, θ=0
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
Resolver el problema de f luj o de carga usando el mét odo FD:

Ejemplo
1 2
3
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
Barra 2: Barra PQ
(V2 y θ2 desconocidos)
(V3 especif icado)
pot encia act iva.

Ejemplo
[ ] [ ]22222
3
2
3332
2322
33
22
945
41410
51015
VbVQ
bb
bb
VP
VP
jjj
jjj
jjj
jBGY
∆⋅−=∆






∆
∆
⋅





−=





∆
∆










−
−
−
=+=
/
/
/
θ
θ

Ejemplo






∆
∆
⋅





=





∆
∆






∆
∆
⋅





−
−
−=





∆
∆






∆
∆
⋅





−=





∆
∆
33
22
3
2
3
2
33
22
3
2
3332
2322
33
22
1273003640
0364008180
94
414
VP
VP
VP
VP
bb
bb
VP
VP
/
/
..
..
/
/
/
/
θ
θ
θ
θ
θ
θ

Método de desacoplamiento rápido
Ejemplo
0,0,0,1,1,1 0
3
0
2
0
1
0
3
0
2
0
1 ====== θθθVVV
[ ] [ ]
[ ] [ ]





−
=





∆
∆
=⋅+⋅=−+=
=⋅+⋅=−+=
1
51
0014015145
001401101410
0
33
0
22
2323133
3232122
.
/
/
sensen)sen(sen
sensen)sen(sen
VP
VP
VVVP
VVVP
θθθ
θθθ
Apartamiento de potencia activa

Ejemplo
0727300727300
0863600863600
072730
086360
1
51
1273003640
0364008180
3
0
3
1
3
2
0
2
1
2
3
2
3
2
..
..
.
.
.
..
..
=+=∆+=
−=−=∆+=





−
=





∆
∆





−
⋅





=





∆
∆
θθθ
θθθ
θ
θ
θ
θ

Ejemplo
[ ] [ ] [ ]22222 VbVQ ∆⋅−=∆ / [ ] [ ] [ ]222 14 VVQ ∆⋅=∆ /
[ ] [ ] [ ]222 07140 VQV /. ∆⋅=∆
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ][ ]
93660063410
0634108878007140
8878010878080
0878041014
0
2
1
2
2
22
323212
2
22
..
...
./)..(/
.)cos(cos
=−=
−=−=∆
−=−−=∆
=−+−=
VV
V
VQ
VVVVQ θθθ
Apartamiento de
potencia reactiva

Ejemplo
072700864001936601 1
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1 .,.,,,., =−===== θθθVVV
931440000040074860093970000050000060
93144000042007486093960000570000700
0931470005070074810093920005820008270
931860061970074390093410043190098640
93660887800727300863600015001
223232
......
......
......
......
......
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
∆∆∆ VQPP θθ

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