Este documento describe los conceptos básicos y métodos para resolver el flujo de carga en sistemas de potencia. Explica el planteamiento del problema del flujo de carga, los métodos para resolverlo como Newton-Raphson y Gauss-Seidel, e importancia de los flujos de carga para la planificación y operación de redes eléctricas.
1. Model ado de Si s t emas de
Pot enci a
Flujo de carga en
Sistemas de Potencia.
2. CONTENI DO:
• Concept os básicos.
• Plant eo del problema del f luj o de
carga.
• Solución del f luj o de carga.
• Mét odo de Newt on Raphson para la
resolución del f luj o de carga.
• Mét odo Desacoplado rápido.
•Mét odo de Gauss-Seidel.
3. PROPÓSI TO DEL FLUJO DE CARGA:
Determinación de voltajes, intensidades y
potencias activas y reactivas en distintos puntos
de una red eléctrica.
4. HI PÓTESI S DE TRABAJO:
Sistemas en régimen, equilibrados, sinusoidales,
sin anomalías.
5. I mport anci a de l os f l uj os de
carga
• Permit e det erminar los f luj os de pot encia act iva y
react iva en una red eléct rica.
• Permit e det erminar los volt aj es en las barras de una
red eléct rica.
• Permit e calcular las pérdidas en una red eléct rica.
• Permit e est udiar las alt ernat ivas para la planif icación
de nuevos sist emas o ampliación de los ya exist ent es.
• Permit e evaluar los ef ect os de pérdidas t emporales de
generación o de circuit os de t ransmisión.
6. I mport anci a de l os f l uj os de
carga
• Permit e evaluar los ef ect os de reconf igurar los
circuit os de un SEP (por ej emplo ant e la pérdida de una
línea de t ransmisión).
• Permit e evaluar las mej oras que se producen ant e el
cambio en la sección de los conduct ores de un SEP.
7. Conceptos básicos
Probl ema del f l uj o de carga
Ej emplo: Problema de f luj o de carga
para una red eléct rica de dos barras:
Vs∠0º
Vs -dado
j X
Vr ∠θ ?
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(carga)
8. Conceptos básicos
Pot enci a compl ej a
Pot encia complej a const ant e
ent regada a la carga.
Carga P & Q
const ant es.
ϕ
Q = P tan ϕ
V
I
I
V
IVS ˆ=
ϕϕ sencos jVIVIjQPS +=+=
9. Conceptos básicos
Probl ema de f l uj o de carga
Relación no lineal!
r
rr
rs
rs
V
jQP
jXVV
IVS
IjXVV
ˆ
ˆ
−
=−
=
=−
Vs ∠0
jX
Vr ∠θ ?
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(carga)I
10. Conceptos básicos
Probl ema de f l uj o de carga
Solución Analít ica: (posible solo para casos muy simples)
r
rr
rs
V
jQP
jXVV
−
⋅=−
)(ˆ)( rrrrs jQPjXVVV −⋅=⋅−
rrrrs XQjXPVjVV +=−−
2
)sen(cos θθ
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
−=
=−
θ
θ
sen
cos
2
11. Conceptos básicos
Probl ema de f l uj o de carga
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
−=
=−
θ
θ
sen
cos
2
2222222
)()()sen(cos rrrrs XPXQVVV −++=+ θθ
rrrrsrr VQPXVVXQV ⇒=++⋅−+ 0)()2(
222224
θθ ⇒−= sen
X
VV
P rs
r
12. Conceptos básicos
Probl ema de f l uj o de carga
0)()2(
222224
=++⋅−+ rrrsrr QPXVVXQV θsen
X
VV
P rs
r −=
Dat os:
008779.0
9112.0
0008.092.0
0008.092.0
)(1.0
)(4.08.0
2
1
22
24
=
=
⇓
=+⋅−⇒=
=+⋅−
=
+=+⇒
H
H
HHVH
VV
puX
pujjQP
r
rr
rr
13. Posibles soluciones
Vr θ comentario
+0.9545 -4.807 buena
+0.0937 -58.93 mala
-0.9545 +4.807 mala
-0.0937 +58.93 mala
Número de
soluciones
posibles:
!2
2
14. Un procedimiento iterativo
(Gauss Seidel)
r
rr
rs
V
jQP
jXVV
ˆ
−
⋅=−
El algorit mo:
1. Fij ar el índice de it eración i en 0.
2. Probar con un valor inicial para Vr(i) (módulo y f ase - usualment e V=1 θ=0)
3.Calcular
4. Calcular nuevo
5. Calcular
6. Si el crit erio de convergencia no es sat isf echo, f ij ar i=i+1 e ir a 3.
)(ˆ iV
jQP
jXVV
r
rr
rs
−
⋅=−
)(ˆ 1+iVr
ε≤−+ )()1( iViV rr
15. Cálculo de las potencias de entrada
Ps, Qs = ?
Vs ∠0
jX
Vr ∠θ
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(carga)I
( )
4878080
8074807495450
4080
..
).sen().cos(.
..
ˆˆ
jjQP
j
j
jQP
V
jQP
VIVjQP
ss
ss
r
rr
ssss
+=+
−+−
+
=+
+
==+
18. Control de potencia activa y reactiva
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
−=
=−
θ
θ
sen
cos
2
)(
sen
rs
rs
r
rs
r
X
VV
P
X
VV
P
θθ
θ
−≈
−=
)(
)cos(
rs
r
r
rs
r
r
VV
X
V
Q
VV
X
V
Q
−≈
−= θ
La pot encia act iva depende en f orma
proporcional de la dif erencia ent re
los ángulos de f ase de los volt aj es
de las barras.
La pot encia react iva depende en f orma
proporcional de la dif erencia ent re los
módulos de los volt aj es de las barras.
19. Ejercicio
Realizar el cálculo de f luj o de carga para el sist ema de dos barras:
Vs ∠0
R+jX
Vr ∠θ ?
Ps,Qs=? Pr,Qr dados
Pr=0.5pu, Qr=0.3pu, R=0.01pu, X=0.1 pu
(Vr=0.9677 ∠-2.99º)
20. Flujo de carga para dos barras
inter- conectadas mediante una línea
de transmisión.
Línea de t ransmisión de 110kV
V1 V2 = 110kV
20MW
10MVar
P1,Q1=?
Long. de linea 1-2 Resistencia
r’[Ω/km]
Reactancia
x’[Ω/km]
Susceptancia
Shunt
b’ [µS/km]
60km 0.200 0.430 2.60
27. Cálculo de las pérdidas en la línea
MVArjMWS
jS
j
j
S
Z
V
Z
V
VIVS
se
se
se
sese
sese
031480
0103000480
2132200991740
0336630039140
2
2
..ˆ
..ˆ
..
..ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
+=
+=
−
+
=
∆
=
∆
⋅∆=⋅∆=
32. Modelado de los componentes del
sistema.
• Líneas de transmisión- circuit o Pi
• Transformadores - impedancia
• Generadores - Pot encia act iva const ant e con
capacidad de cont rol (limit ado) de volt aj e del
primario (P = ct e, V= ct e).
• Cargas - Pot encia complej a const ant e (P = ct e,
Q= ct e).
34. Generadores y Cargas.
•Generadores
Pot encia Act iva - inyección const ant e
Pot encia r eact iva - regulación de volt aj e
•Demandadecarga
I nyección const ant e de pot encia act iva y
react iva
35. Flujo de carga & Balance de potencia
Carga
i
1
k
n
giS
diS
iS
1iS
ikS
inS
36. Análisis Vol t aj e - Corri ent e
versus
Análisis vol t aj e - pot enci a.
Carga
i
1
k
n
giI
diI
iI
1iI
inI
∑
=
=
=−=
nk
k
ikdigii IIII
1
37. Análisis Vol t aj e - Corri ent e
y la Matriz Ybus
Carga
i
1
k
n
giI
diI
iI
1iI
inI
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]injbus
shunt
i
n
i
ikii
ikik
businj
nk
k
ikdigii
IYV
YYy
kiYy
VYI
IIII
⋅=
+=
≠−=
⋅=
=−=
−
=
=
=
∑∑
∑
1
1
1
,
Vtierra=0
Sistema de ecuaciones lineales
38. Análisis Vol t aj e - Pot enci a
i
1
k
n
giS
diS
1iS
ikS
inS
G
Inyección en la red
∑
=
=
=−=
nk
k
ikdigii SSSS
1
iii IVS ˆ⋅=
∑∑
=
=
=
=
⋅=
⋅=
nk
k
kiki
nk
k
kikii VyVVyVS
11
ˆˆ
*
Sistema de ecuaciones
no lineales
39. Forma de las ecuaciones de flujo de
carga.
∑
=
=
⋅=
nk
k
kikii VyVS
1
ˆˆ
Voltaje en forma polar Voltaje en forma rectangular
Admitancia en forma polar Admitancia en forma rectangular
ij
ii eVV θ
=
ikj
ikik eyy δ
=
im
i
re
ii jVVV +=
ikikik jbgy +=
40. Forma polar de las ecuaciones de
flujo de carga
∑
∑
=
=
=
=
−⋅+⋅⋅=
−⋅⋅⋅=
nk
k
ikikikikkii
nk
k
ikik
j
kii
jbgjVVS
jbgeVVS ik
1
1
)()sen(cos
)(
θθ
θ
El voltaje está expresado en coordenadas polares, mientras
que la admitancia está expresada en coordenadas
rectangulares.
41. Balance de potencia activa y
reactiva.
i
1
k
n
giQ
diQ
1iQ
ikQ
inQ
G
i
1
k
n
giP
diP
1iP
ikP
inP
G
∑
=
=
=−=
nk
k
ikdigii PPPP
1
∑
=
=
=−=
nk
k
ikdigii QQQQ
1
42. Ecuaciones de flujo de carga
∑
∑
=
=
=
=
−⋅⋅=
+⋅⋅=
nk
k
ikikikikki
calc
i
nk
k
ikikikikki
calc
i
bgVVQ
bgVVP
1
1
)cossen(
)sencos(
θθ
θθ
i=1,2,3...n
calc
i
sp
i
calc
i
sp
i
QQ
PP
=
=
balance de pot. activa y reactiva
especificado
funciones de voltajes
complejos desconocidos
43. calc
i
sp
i
calc
i
sp
i
QQ
PP
=
=
Ecuaciones de flujo de carga
digi
sp
i
digi
sp
i
QQQ
PPP
−=
−=
Si la potencia activa o reactiva para la barra i no es
especificada, la ecuación de balance de energía no
puede ser definida.
(si la barra i no tiene generación o carga, la potencia
especificada es igual a cero.)
Potenciales variables desconocidas:
iiii VQP θ,,,
44. Tipos de barras
• Barras de carga (PQ):
• No hay generación
• Potencia activa y reactiva
especificada
• Barras de generación (PV):
• Voltaje constante y especificado
• Potencia activa especificada
di
sp
i
di
sp
i
QQ
PP
−=
−=
sp
ii
digi
sp
i
VV
PPP
=
−=
45. Número de incógnitas y número de
ecuaciones
• Hipótesis: Sistema de n barras
Ng - cantidad de barras de generación y
voltaje controlado
Nd - cantidad de barras de carga
n = Ng + Nd
46. • Para cada barra de generación tengo:
• una ecuación de balance de potencia activa
• el voltaje de la barra especificado
• Para cada barra de carga tengo:
• una ecuación de balance de potencia activa
• una ecuación de balance de potencia reactiva
calc
i
sp
i PP =
Número de incógnitas y número de
ecuaciones
sp
ii VV =
calc
i
sp
i PP =
calc
i
sp
i QQ =
47. Número de incógnitas y número de
ecuaciones
• Cuatro variables por cada barra: iiii VQP θ,,,
ecuacionesd
calc
i
sp
i NQQ =
ecuacionesnPP calc
i
sp
i =
incógnitasV
incógnitas
i d
i
N
nθ
Las potencias reactivas Qi de las barras de generación
pueden ser calculadas una vez determinados los voltajes
de las barras (módulos y fases)
48. Barra flotante
• ¿Es posible especificar la potencia activa
inyectada por todos los generadores y la potencia
activa consumida por las cargas en forma
independiente?
∑ ∑−= digipérdidas PPP
Las pérdidas RI2
no son conocidas
inicialmente
49. Barra flotante
• Una barra del sistema puede realizar el balance
de potencia activa demandada y potencia activa
consumida (BARRA FLOTANTE)
• ¿Es este criterio razonable?
• La potencia activa se transmite “bien” a través del
sistema
50. Barra flotante
• ¿Cómo se realiza el balance de potencia reactiva en
el sistema?
• ¿Es posible utilizar una única barra para realizar el
balance de reactiva en el sistema?
• La potencia reactiva no se transmite “bien” a través
del sistema (produce caídas de tensión importantes)
• Cada barra PV realiza el balance de reactiva en
forma local
52. Ejercicio: Ecuaciones de flujo de
carga.
• Formar Mat riz Ybus del sist ema.
• Det erminar t ipos de barras.
• List ar variables conocidas y
desconocidas.
• Escribir las ecuaciones de f luj o de
carga.
1
2
3
P=0.5
V=1
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
54. Tipos de barras.
Barra 1: Flot ant e (V1 y θ1 dados)
Barra 2: Barra PQ (V2 y θ2
desconocidos)
2 ecuaciones - balance de
pot encia act iva y react iva.
Barra 3: Barra PV - θ3 desconocido
(V3 especif icado)
1 ecuación: balance de
pot encia act iva.
1
2
3
P=0.5
V=1
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
55. Ecuaciones.
[ ]
[ ]
[ ])cos(4cos10148.0
cos
)sen(4sen51
sen
)sen(4sen105.1
sen
323212
2
2
1
2222
232313
1
3333
323212
1
2222
θθθ
θ
θθθ
θ
θθθ
θ
−+−=−
⋅−=
−+=
⋅=
−+=−
⋅=
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
VVVV
bVVQ
VVV
bVVP
VVV
bVVP
nk
k
kkk
nk
k
kkk
nk
k
kkk
56. Métodos para resolver las ecuaciones
de flujo de carga.
• Ecuaciones de flujo de carga:
Sist ema de ecuaciones algebraicas no lineales.
• Métodos:
Mét odo de Gauss-Seidel.
Mét odo de Newt on-Raphson.
Algorit mo de desacoplado rápido de f luj o de
carga.
57. Método de Newton Raphson.
Idea básica.
1 4 6
?,0)(
,045)( 2
==
=+−=
xxf
xxxf 60
=x
58. Método de Newton - Raphson.
Ejemplo
,045)( 2
=+−= xxxf 60
=x
xx
dx
xdf
fxf
x
dx
xdf
x
dx
xdf
xfxxf
x
xx
rr
r
∆+=∆⋅+≈∆+
−=
≈∆⋅+≈∆+
=
=
710
)(
)6()6(
52
)(
0
)(
)()(
6
¿Qué tan buena es esta aproximación?
59. Método de Newton Raphson.
Ejemplo
08.449.157.4
49.014.4/04.2
014.404.2
)(
)57.4()57.4(
57.443.16
43.17/10
0710
)(
)6()6(
57.4
6
=−=∆+=
−=−=∆
=∆+=∆⋅+≈∆+
=−=∆+=
−=−=∆
=∆+=∆⋅+≈∆+
=
=
xxx
x
xx
dx
xdf
fxf
xxx
x
xx
dx
xdf
fxf
oldnew
x
oldnew
x
60. Método de Newton Raphson.
Ejemplo
0)4(
408.008.4
08.016.3/24.0
016.324.0
)(
)08.4()08.4(
08.4
=
=−=∆+=
−=−=∆
=∆+=∆⋅+≈∆+
=
f
xxx
x
xx
dx
xdf
fxf
oldnew
x
62. Método de Newton- Raphson.
Resumen
El caso de una dimensión:
,045)( 2
=+−= xxxf 60
=x
xxx
dx
xdf
xfx
x
dx
xdf
xfxxf
rr
xx
r
xx
rr
r
r
∆+=
⋅−≈∆
≈∆⋅+≈∆+
+
−
=
=
1
1
)(
)(
0
)(
)()(
63. Sistemas de ecuaciones no lineales.
f1,...fn, son funciones dadas,
x1,...xn, son incógnitas.
Sistema general de
ecuaciones algebraicas
no lineales simultáneas.
=
=
=
0),...,(
.........
0),...,(
0),...,(
1
12
11
nn
n
n
xxf
xxf
xxf
=
nf
f
f
F
...
2
1
=
nx
x
x
x
...
2
1
0)( =xF
64. Método de Newton- Raphson
Aproximación lineal por Taylor:
n
n
nn
nn
n
n
n
n
x
x
xf
x
x
xf
xfxxf
x
x
xf
x
x
xf
xfxxf
x
x
xf
x
x
xf
xfxxf
∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+≈∆+
∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+≈∆+
∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+≈∆+
)(
....
)(
)()(
...............
)(
....
)(
)()(
)(
....
)(
)()(
1
1
2
1
1
2
22
1
1
1
1
11
65. Método de Newton- Raphson
Supongamos que tomamos una estimación inicial
de la solución x=xr
0
)(
....
)(
)()(
...............
0
)(
....
)(
)()(
0
)(
....
)(
)()(
1
1
2
1
1
2
22
1
1
1
1
11
=∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+≈∆+
=∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+≈∆+
=∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+≈∆+
==
==
==
n
xxn
n
xx
nr
n
r
n
n
xxnxx
rr
n
xxnxx
rr
x
x
xf
x
x
xf
xfxxf
x
x
xf
x
x
xf
xfxxf
x
x
xf
x
x
xf
xfxxf
rr
rr
rr
66. Método de Newton- Raphson
Estimación del error ∆x:
=
∆
∆
∆
⋅
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
0
...
0
0
...
)(
......
)(
............
)(
...
)()(
)(
...
)()(
)(
...
)(
)(
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
n
n
nn
n
n
r
n
r
r
x
x
x
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
xf
xf
xf
67. Método de Newton- Raphson
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
n
nn
n
n
r
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
xJ
)(
......
)(
............
)(
...
)()(
)(
...
)()(
)(
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
=
)(
...
)(
)(
)( 2
1
r
n
r
r
r
xf
xf
xf
xF
∆
∆
∆
=∆
nx
x
x
x
...
2
1
Matriz Jacobiana Vector de apartamiento
estimador lineal del error
68. Método de Newton- Raphson
⋅
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−≈
∆
∆
∆
−
)(
...
)(
)(
)(
......
)(
............
)(
...
)()(
)(
...
)()(
...
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
r
n
r
r
n
nn
n
n
n xf
xf
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
x
x
estimador lineal del error
69. Método de Newton- Raphson
∆
∆
∆
+
=
+
+
+
n
r
n
r
r
r
n
r
r
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.........
2
1
2
1
1
1
2
1
1
Estimador mejorado del valor supuesto inicialmente
70. Método de Newton Raphson.
Aplicación al flujo de carga del sistema de
potencia
Elegir las var iables de est ado (x):
(a) Para barras PQ, elegir la magnit ud del volt aj e
de barra y su ángulo de f ase asociado.
(b) Para barras PV, elegir el ángulo de f ase (la
magnit ud del volt aj e es f ij a)
Para barra f lot ant e (ref erencia), t ant o magnit ud
de volt aj e como ángulo de f ase son cant idades
especif icadas.
=
V
x
θ PQ&PV
PQ
71. Método de Newton Raphson.
Aplicación al flujo de carga del sistema de
potencia
0
)(
)(
)(
)(
)(
=
−
−
=
=
=
sp
sp
i
sp
i
i
sp
i
QxQ
PxP
xF
xQQ
xPP
especificado funciones de x desconocidas
∑
∑
=
=
=
=
−−=∆
+−=∆
nk
k
ikikikikki
sp
ii
nk
k
ikikikikki
sp
ii
bgVVQQ
bgVVPP
1
1
)cossen(
)sencos(
θθ
θθ
72. Método de Newton Raphson.
Aplicación al flujo de carga del sistema de
potencia
0
)(
)(
)( =
∆
∆
−= r
r
r
xQ
xP
xF
)()(0)()( rrrr
xFxxJxxJxF −=∆⋅=∆⋅+
[ ]
∆
∆
=
∆
∆
⋅
)(
)(
r
r
xQ
xP
V
J
θ PQ&PV
PQ
PQ&PV
PQ
∆
∆
=
∆
∆
⋅
)(
)(
/ r
r
rr
rr
xQ
xP
VVLM
NH θ
73. Método de Newton Raphson.
Aplicación al flujo de carga del sistema de
potencia
( )
( ) )cossen(
)sencos(
ikikikikki
k
i
ik
iii
r
iii
nk
ik
k
ikikikikki
i
i
ii
bgVV
P
H
VbQH
gbVV
P
H
θθ
θ
θθ
θ
−=
∂
∆−∂
−=
−=
∂
∆−∂
=
=
≠
=
= ∑
2
1
74. Método de Newton Raphson.
Aplicación al flujo de carga del sistema de
potencia
( )
( ) )sencos(
)sencos(
ikikikikki
k
i
ik
iii
r
iii
nk
ik
k
ikikikikki
i
i
ii
bgVV
Q
M
VgPM
bgVV
Q
M
θθ
θ
θθ
θ
+−=
∂
∆−∂
−=
+=
∂
∆−∂
=
=
≠
=
= ∑
2
1
75. Método de Newton Raphson.
Aplicación al flujo de carga del sistema de
potencia
ik
k
i
kik
iii
r
i
i
i
iii
ik
k
i
kik
iii
r
i
k
i
iii
H
V
Q
VL
VbQ
V
Q
VL
M
V
P
VN
VgP
V
P
VN
=
∂
∆−∂
=
−=
∂
∆−∂
=
−=
∂
∆−∂
=
+=
∂
∆−∂
=
)(
)(
)(
)(
2
2
76. Método de Newton Raphson.
Aplicación al flujo de carga del sistema de
potencia
PQ&PV
PQ
∆
∆
=
∆
∆
⋅
)(
)(
/ r
r
rr
rr
xQ
xP
VVLM
NH θ
∆
∆
⋅
=
∆
∆
−
)(
)(
/
1
r
r
rr
rr
xQ
xP
LM
NH
VV
θ
∆
∆
+=+
V
xx rr θ1
77. Método de Newton Raphson.
Aplicación al flujo de carga del sistema de
potencia
Caract eríst icas del mét odo:
1. Velocidad de convergencia ‘cuadrát ica’ (el
número de cif ras signif icat ivas se duplica luego de
cada it eración)
2. Conf iable, no sensible a la elección de la barra
f lot ant e.
3. Solución precisa obt enida luego de 4-6
it eraciones.
4. J debe ser re-calculada e invert ida luego de
cada it eración. (J es una mat riz esparsa, t iene
est ruct ura simét rica, pero los valores no son
simét ricos)
78. Método de Newton Raphson
Ejemplo
1
2
3
V=1, θ=0
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
Resolver el problema de f luj o de carga usando el mét odo de NR:
79. Método de Newton- Raphson
Ejemplo
1 2
3
V=1, θ=0
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
Barra 1: Flot ant e (V1 y θ1 dados)
Barra 2: Barra PQ
(V2 y θ2 desconocidos)
2 ecuaciones - balance de
pot encia act iva y react iva.
Barra 3: Barra PV - θ3 desconocido
(V3 especif icado)
1 ecuación: balance de
pot encia act iva.
86. Método de Newton- Raphson
Ejemplo
9429.00571.011
0727.00727.00
0864.00864.00
2
20
2
0
2
1
2
3
0
3
1
3
2
0
2
1
2
=⋅−=
∆
+=
=+=∆+=
−=−=∆+=
V
V
VVV
θθθ
θθθ
Est o complet a la primer it eración.
Ahora re-calculamos las pot encias de la barra
con los nuevos valor es de las variables de
est ado:
90. Método de Newton- Raphson
Ejemplo
9316.09429.00119.09429.0
07485.00021.00727.0
09385.00075.00864.0
2
21
2
1
2
2
2
3
1
3
2
3
2
1
2
2
2
=⋅−=
∆
+=
=+=∆+=
−=−−=∆+=
V
V
VVV
θθθ
θθθ
Est o complet a la segunda it eración.
Ahora re-calculamos las pot encias de la barra
con los nuevos valor es de las variables de
est ado:
94. Método de Newton- Raphson
Ejemplo
9314.09316.00002.09316.0
7486.000002.007485.0
09397.000012.009385.0
2
22
2
2
2
3
2
3
2
3
3
3
2
2
2
3
2
=⋅−=
∆
+=
=+=∆+=
−=−−=∆+=
V
V
VVV
θθθ
θθθ
Est o complet a la t ercera it er ación.
El mét odo ha convergido ya que el vect or de
apart amient o es casi cero.
97. Desacoplado rápido del flujo de carga (FD)
Desacoplando las ecuaciones
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]QVVL
PH
∆=∆⋅
∆=∆⋅
/
θ PQ&PV
PQ
Las ecuaciones están desacopladas pero
los coeficientes de las matrices H y L son
interdependientes: H depende del módulo
del voltaje, L depende del ángulo de fase.
Este esquema requiere evaluación de las
matrices en cada iteración.
98. Simplificaciones de Stott & Alsac
1. Las diferencias entre los ángulos de fase de barras típicas del sistema
son usualmente pequeñas:
2. Las susceptancias de línea Bikson mucho mayores que las
conductancias de línea Gik:
3. La potencia reactiva inyectada en cualquier barra es mucho menor que
la potencia reactiva que circularía si todas las líneas que parten de esa
barra se corticircuitaran al neutro del sistema:
1≈− )cos( ki θθ kiki θθθθ −≈− )sen(
)cos()sen( kiikkiik BG θθθθ −<<−
iiii BVQ
2
<<
103. Método de desacoplado rápido
Características
PQ&PV
PQ
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]VQVB
VPB
/''
/'
∆=∆⋅−
∆=∆⋅− θ
1. B’ y B’’ son matrices esparsas reales.
2. B’ y B’’ son aproximaciones del Jacobiano con
gradiente constante. (El resultado final es el
correcto!)
3. Aunque FD requiere más iteraciones, la solución
se puede obtener mucho más rápido.
4. FD es más robusto que NR (puede encontrar
soluciones donde NR falla)
5. Problemas potenciales en redes con R>X.
104. Método de desacoplado rápido
Ejemplo
1
2
3
V=1, θ=0
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
Resolver el problema de f luj o de carga usando el mét odo FD:
105. Método de desacoplado rápido
Ejemplo
1 2
3
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
Barra 1: Flot ant e (V1 y θ1 dados)
Barra 2: Barra PQ
(V2 y θ2 desconocidos)
2 ecuaciones - balance de
pot encia act iva y react iva.
Barra 3: Barra PV - θ3 desconocido
(V3 especif icado)
1 ecuación: balance de
pot encia act iva.