1. Prof. Domingo de la Carda
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace es una herramienta muy importante en
matemáticas en la cual una de las aplicaciones más usadas es en la
resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Esta resolución de ecuaciones
diferenciales se hace por medio de transformadas diferenciales en ecuaciones
algebraicas de una variable compleja en S.
Si la ecuación algebraica se resuelve en S. Entonces se puede encontrar la
solución de la ecuación diferencial, realizando la transformación inversa de
Laplace.
Definición
Si se tiene una función f(t) que exista en el intervalo de entonces la
transformada de Laplace se puede representar en las siguientes formas:
Se define como el resultado de evaluar la siguiente integral:
En donde s es un nuevo parámetro que nos permite efectuar la transformada.
Las funciones cuya transformada se desea calcular normalmente se
representa con mayúsculas y dichas transformadas se representan con
minúsculas. Por ejemplo:
3. Condiciones de Existencia para la Transformada
de Laplace
De acuerdo a la definición de la transformada de Laplace:
Se observa que para que exista la transformada de Laplace debe haber dos
condiciones ya que involucra una integral continua de 0 a , estas dos
condiciones son:
a) Que el límite de exista para
b) Que sea continua a trozos para
Transformada Directa de Laplace
El uso de las transformadas de Laplace es muy práctico sobre todo cuando se
utilizan las transformadas directas f (t) con su respectiva transformada f(s).
A continuación se muestran unas de las transformadas más utilizadas:
4. Propiedades de las Transformadas de Laplace
La transformada de Laplace tiene las siguientes propiedades:
Propiedad de Linealidad:
Ésta propiedad afirma que la transformada de una suma es igual con la suma
de sus transformadas y además si aparece una constante como factor la
podemos dejar fuera de la operación de la transformada:
=
Ejemplo:
1. =
2. =
3.
Otra propiedad importante de la transformada de Laplace es la propiedad de
traslación.
Propiedad de Traslación:
Si entonces
Ejemplo:
1.
2.
5. Transformada Inversa de Laplace
Para estudiar este tema no hace falta agregar ningún concepto ya que
contiene la misma base, solo que ahora tendríamos una función de
tal forma que la transformada inversa quedaría:
A continuación se muestran las principales transformadas inversas de Laplace
con su correspondiente función de s a función de f.
F(s) f(t)
1
t
Sen at
Cos at
Sen hat
Cos hat
t Sen at
6. Ejemplo:
1.
2.
Fracciones Parciales de la Transformada de
Laplace
El uso de las fracciones parciales es muy importante en la búsqueda de las
transformadas de Laplace.
A continuación se verá el primer caso en donde el denominador contiene
solamente factores lineales distintos. Estas transformadas se resuelven de una
manera algebraica obteniendo ecuaciones lineales con sus respectivas
soluciones.
Ejemplo:
1.
