1. Segmentos proporcionales y congruentes,
Teorema de Thales
Datos Informativos:
IE.:
Manuel Muñoz Najar
Elaborado por:
Luis Alberto Tejada Rivera
Alejandro Miguel Pfoccori Estefanero
Charly Cristhian Huaroc Hualpa
Yan Carlos Cornejo Laime
Danilo Sihuin Vilca
Profesora:
Doris Gutiérrez Pacheco

2. Objetivos
General:
Dar a conocer a nuestros compañeros un tema
de álgebra para que así puedan aprender lo
valioso que es la matemática.
Especifico:
Hacerles llegar el conocimiento de los
segmentos proporcionales añadiendo el
teorema de Thales para que se les pueda
facilitar el aprendizaje

3. Segmentos
Es la porción de línea comprendida entre dos puntos, solo en el
segmento de recta es posible la medida de longitud
Proporcionales
Llamamos proporción a
la igualdad de dos
razones:
A= C ; 5 = 1
B D
200
40
Razón: Se trata del
cociente indicando sus
medidas 5 /200
• En toda proporción el
producto de los valores
de los términos
extremos es igual al
producto de las medidas
de los términos medios
Congruentes
Son aquellos que tienen
longitudes iguales. Son
congruentes cuando
superpuestos coinciden en
todos sus puntos, en
especial los extremos:
Teorema de Thales
Si tres o mas rectas
son cortadas por
dos secantes,
entonces los segmentos
determinados en la
primera secante son
proporcionales a
la segunda

4. Segmentos
Porción de línea comprendida entre dos puntos. Solo en el segmento de
recta es posible la medida de longitud.
SUMA DE SEGMENTOS:
La suma de varios segmentos consecutivos colineales, da por resultado el
segmento determinado por los extremos no comunes de los segmentos
considerados. Geométricamente, la suma de segmentos es otro
segmento que se obtiene construyendo colinealmente segmentos
ordenadamente congruentes con los dados, y procediendo como se
indica al principio.
Suma de segmentos.
La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen
del primer segmento y como final el final del segundo segmento.
La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los
dos segmentos que lo forman.
La división de segmentos conmensurables es el algoritmo de Euclides.

5. Segmentos congruentes:
Son aquellos que tienen longitudes iguales. Dos segmentos
son congruentes cuando superpuestos coinciden en todos sus
puntos. Para ello basta con mostrar que coinciden en sus
extremos.
Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ángulos congruentes. Las diagonales de un
paralelogramo configuran ángulos opuestos por el vértice congruente.
Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su
posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se
l aman homólogas o correspondientes.

6. EJEMPLO DE SEGMENTO CONGRUENTE:
Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C, D, E de tal manera
que: AC + BD + CE = 45. ¿Calcular AB? si AE = 30 y DE = 2AB
AB=a,
BC=b, CD=c, DE=d
(a+b)+ (b+c)+(c+d)=45
a+ b+ c+ d+ c+ b=45
30+c+b=45
c+b=15
a+b+c+d=30
a+15+2a=30
3a=15
Rpta: AB=5
a=5

7. Segmentos Proporcionales:
¿Qué se entiende por razón de dos segmentos?
Se trata del cociente indicado de sus medidas: La razón de 5 cm., y 2 m., es:
¿Qué entendemos por proporción?
En toda proporción, el producto de los valores de los términos extremos
es igual al producto de las medidas de los términos medios.
Llamamos proporción a la igualdad de dos razones:
EJEMPLO: Sean AB=5u; CD=10u; MN=3u; PQ=6u
A___________B
C__________________________D
│___________│
│_________________________│
5u
10u
M________N
P_____________________Q
│________│
│_____________________│
3u
6u
Como: AB= CD; es decir: 5u=10u
MN PQ
3u 6u
Entonces se dice que: AB y CD son proporcionales a MN y PQ

8. TEOREMA DE THALES:
Dos rectas concurrentes r y s cortadas por paralelas (a, b, c y d)
los segmentos que se han creado en una de las rectas son
proporcionales a sus correspondientes en la otra recta.
EJEMPLO:
Sustituimos los segmentos
indicados por sus valores:
Hallamos los cocientes:
Los cocientes son iguales, luego :

9. EJERCICIOS SOBRE SEGMENTOS (CON SU
RESPECTIVA APLICACIÓN)
1) Halla la proporción de los segmentos. Sabiendo que AB=MN. Y se tiene que:
CD PQ
A____________24_______________B
AB=24=3
CD 8
C_________8__________D
M_____________45________________N
MN=45=3
PQ 15
P______15________Q
Rpta: AB=MN
→ 3=3
CD PQ
2)AB=CD, hallar BC
A_____2x_______B_____3x+5________C_____________D
│________________________________│
40
3x+5+2x=40
3x+5=3(7)+5=26
Rpta: BC=26
5x=35
X=7

10. PROBLEMAS SOBRE SEGMENTOS (CON SU
RESPECTIVA APLICACIÓN)
1.
Los puntos A, B, P, C se encuentran sobre una línea
recta de modo que P es punto medio de BC, además
AB2+ AC2 =46. Hallar AP2 + BP2.
Resolución:
│____________________│___________●__________│
A
B
P
C
AB2+AC2=46
(AP-BP)2+ (AP+BP)2=46
AP2-2.AP.BP+BP2+AP2+2AP.BP+BP2=46
2AP2+2BP2=46
AP2+BP2=23

11. PROBLEMAS SOBRE SEGMENTOS ( CON SU
RESPECTIVA APLICACIÓN)
2) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que
3.CD= 5.AC y 3BD-5AB=96. Calcular BC.
RESOLUCION:
│____________________│________x_________│_________a___________│
A
B
C
D
│________________________________________│
3a
5
De la condición: 3.CD=5AC
3a =5.AC → AC=3a
5
Del dato: 3BD-5AB=96
3(x+a)-5(3a -x)=96
5
3x+3a-5.3.a + 5x =96
5
3x + 3a -3a +5x =96 → 8x=96
x=12

14. 3) Sobre una rect a se t oman los punt os consecut ivos A , B,
C t al que A B = a, BC = 3a, y A C = 24. Encont rar BC .
24
A
b
c
A
3a
24=a+3ª
BC =3ª
24=4ª
Remplazamos:
24/ 4=a
BC =3 x 6
6=a
BC =18
RESPU EST A :
EL SEGM EN T O BC ES I GU A L A 18
4) L os punt os A , B, C , D se encuent ran sobre una lí nea
rect a de modo que A C +BD +A D =54 y BC =8. Encont rar A D
8+x+8+y+x+8+y
A
B
X
C
8
D
y
24+2x+2y=54
2x+2y=54-24
x+y=15
A D = 15 + 8
RESPU EST A : RL SEGM EN T O A D ES I GU A L A 23

15. 5)En los punt os colineales A , B, C, D se cumple que A B=4,
A D =12, A B∙CD =A D ∙BC Calcular A C.
SOLU CI ON :
12
4
A
B
X
C
D
3bc
A B.BC =A D .BC
4+X+3X=12 A C=4+BC
4. CD =12.BC
2X=8A C=4+2
CD /BD =12/4X=2A C =6
CD /BC =3
CD =3.BC
RESPU EST A :
EL SEGM EN T O A C ES U GU A L A 6

16. ACTIVIDADES SOBRE SEGMENTOS (CON SU
RESPECTIVA APLICACIÓN)
1) Calcula la distancia en el ejemplo siguiente:
Respuesta: 4,5 cm.
Solución:
La respuesta la obtenemos de la proporción :
2) Calcula el valor de x en la siguiente figura:
Respuesta: 3 cm.
Solución:

17. •3.-Hallar la longitud del segmento en la siguiente figura:
Respuesta: 2,5 cm.
3.08 X 3 = 9.25
3.7 X x =9.25
x = 9.25/3.7
X = 2.5

18. Actividades de aprendizaje
4.- si:
X es:
a) 8
B) 11
C)10
5.- COMPLETA
El teorema de Thales consiste cuando dos rectas son divididas por rectas
los segmentos formados en una recta son proporcionales a sus
correspondientes segmentos de la otra recta.
6.- Responde (v) ó (f)
Según Thales existe relación entre segmentos (v)
Un segmento tiene relación con el de al lado (f)
Un segmento tiene relación con el de su nivel (v)
Llamamos proporción ala igualdad de dos razones (v)
La razón de dos segmentos no es el cociente de sus medidas

19. Bibliografía y Biblioweb:
• Editorial San Marcos EIRL-2010 Alfonso Rojas
Puemápe
• Editorial Coveñas SAC Manuel Coveñas
Naquiche
• Wikipedia.org enciclopedia libre
• Exelearning.webcindario.com
• www.roberprof.com
• www.aulafacil.com
• recursostic.educacion.es
• Libro Santillana
• Documentos PDF