Universidad Tecnológica Antonio José de Sucre
Metodología de la Investigación
Informática
Longitud de curvas
Ender Mendoza...
La longitud de arco de una curva, también llamada rectificaciónde una
curva, es la medidade la distancia o camino recorrid...
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que
es suave y su gráfica es una curva suave.
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Longitud de una curva plana
Vamos a determinar la longitud del arco de una curva con
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Si aumentamos indefinidamente el número de puntos de
división, entonces las longitudes de los segmentos tiendena
cero, por...
Luego
que por definicióncorresponde ala integral:
(hemos expresado como ).
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  1. 1. Universidad Tecnológica Antonio José de Sucre Metodología de la Investigación Informática Longitud de curvas Ender Mendoza Carrillo C.I: 22275105 Sección: S1
  2. 2. La longitud de arco de una curva, también llamada rectificaciónde una curva, es la medidade la distancia o camino recorrido alo largo de una curva o dimensiónlineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares;aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas,la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtenersoluciones cerradas para algunos casos. La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeñossegmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendouna familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.Cuantos más puntos escojamosen C, mejor sería el valor obtenido como aproximación de la longitud de C.
  3. 3. Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave. Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2 =(dx)2 +(dy)2 . Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:
  4. 4. Longitud de una curva plana Vamos a determinar la longitud del arco de una curva con ecuación , comprendidaentre los puntos , . Como se muestra en la figura anterior, dividimos el arco en partes, uniendo luego los sucesivos puntos de división por segmentos rectilíneos. Por ejemplo,el segmento tendrá como longitud Luego,tendremos una aproximación de la longitud de la curva , mediante la suma:
  5. 5. Si aumentamos indefinidamente el número de puntos de división, entonces las longitudes de los segmentos tiendena cero, por lo que: nos da el arco , siempre que el límite exista. Para expresarel límite como una integral tenemos lo siguiente: supongamos que la función con ecuación es continua y posee derivada continua en cada punto de la curva, donde hasta . Luego,por el teorema del valor medio para derivadas, existe un punto entre los puntos y de la curva, donde la tangente es paralela a la cuerda , esto es:
  6. 6. Luego que por definicióncorresponde ala integral: (hemos expresado como ). Como la longitud de una curva no depende de la elecciónde los ejes coordenados,si puede expresarse como función de , entonces la longitud del arco está dada por

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