Curvas cónicas

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Las curvas cónicas. Dibujo Técnico 1º de Bachillerato

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Curvas cónicas

  1. 1. CURVAS CÓNICAS DIBUJO TÉCNICO 1º BACHILLERATO
  2. 2. Curvas cónicas Son las que resultan de la intersección de un plano con una superficie cónica de revolución.
  3. 3. Superficie cónica de revolución Es la generada por una recta que gira alrededor de otra a la que corta. e = eje g = recta generatriz V = Vértice, punto de intersección de las rectas. Las superficies cónicas tienen dos ramas.
  4. 4. Dependiendo del ángulo que forme el plano secante con el eje de la superficie cónica, obtendremos distintos tipos de curvas. Las tres curvas cónicas son: • La elipse • La parábola • La hipérbola
  5. 5. Si el plano forma con el eje un ángulo mayor que el que forma este con la generatriz, el plano cortará a una sola rama de la superficie cónica y a todas sus generatrices, la curva obtenida será una elipse.
  6. 6. Si el plano forma con el eje un ángulo igual que el que forma este con la generatriz, obtenemos una parábola.
  7. 7. Si el plano forma con el eje un ángulo menor que el que forma este con la generatriz, obtenemos una hipérbola.
  8. 8. Secciones extremas: • Si el plano pasa por el vértice la única intersección es un punto. • Si el plano es perpendicular al eje obtenemos una circunferencia. • Si el plano corta a la superficie pasando por el vértice, obtenemos dos generatrices.
  9. 9. Focos, directrices y excentricidad de una cónica TT Df1 TTk1 f1 f2 TTk2 Df2 Los focos de una curva cónica son los puntos de tangencia entre el plano secante y las esferas que a su vez son tangentes a la superficie cónica.
  10. 10. Focos, directrices y excentricidad de una cónica Df1 Df2 f1 f2 Las directrices de una curva cónica son las rectas de intersección entre el plano secante y los planos que contienen a las circunferencias de contacto entre las esferas y la superficie cónica.
  11. 11. Focos, directrices y excentricidad de una cónica Df1 Df2 f1 f2 P Pf2 e= PD La excentricidad de una curva cónica es la razón constante entre la distancia de un punto cualquiera de la curva al foco y a la directriz correspondiente. D
  12. 12. ELIPSE
  13. 13. Curva cerrada y plana con dos ejes de simetría, lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos fijos llamados focos es constante e igual al eje mayor. P A F1 C O D F2 B PF1 + PF2 = AB
  14. 14. P Parámetros de la elipse AB = 2a Eje mayor CD = 2b Eje menor F1F2 = 2c Distancia focal O Centro de la elipse PF1 = r1 Radio vector C b r1 A r2 c F1 a F2 B O r1 + r2 = 2a D Con a, b y c podemos construir un triángulo rectángulo en el que b y c serán los catetos y a la hipotenusa. Sabiendo esta propiedad, podemos deducir uno uno de los parámetros conociendo otros dos. a b c
  15. 15. Determinación de los focos de una elipse dados los ejes. B A C D C a A F1 F2 O D B
  16. 16. Determinación del eje menor de una elipse conocido el eje mayor y la distancia focal. B A F1 F2 C a A F1 F2 O D B
  17. 17. Determinación del eje mayor de una elipse conocido el eje menor y la distancia focal. C D F2 F1 C a A F1 F2 a O D B
  18. 18. Construcción de la elipse dados los ejes 1.- Método del jardinero
  19. 19. Construcción de la elipse dados los ejes 2.- Método por puntos C 3 3’ 2’ 2 1’ 1 A1 1B F1 1 A 2 3 F2 O B 1’’’ 1’’ 2’’’ 2’’ 3’’ D 3’’’
  20. 20. Construcción de la elipse dados los ejes 3.- Método por afinidad 5’’ 7’’ 3’’ C 5 7 5’ 1’’ 3’ 3 9’’ 7’ 9 1 9’ 1’ A B O 10 2’ 10’ 4’ 10’’ 8’ 4 2’’ 6’ 8 D 8’’ 2 6 4’’ 6’’
  21. 21. Construcción de la elipse dados los ejes 4.- Método por haces proyectivos C 1 1 2 2 3 3 4 4 5 A 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 5 B 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 D
  22. 22. Construcción de la elipse dados los ejes 5.- Método de la tira de papel b m P M a
  23. 23. Construcción de la elipse dados los ejes 5.- Método de la tira de papel C P A F1 F2 M O m D B
  24. 24. PARÁBOLA
  25. 25. Curva abierta y plana de una sola rama. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo llamado foco (F) y de una recta llamada directriz (d). Tiene un solo eje de simetría (e), sobre el que se sitúan el foco F y el vértice V. A la cuerda que pasa por el foco paralela a la directriz se le llama parámetro (2p). La distancia del foco a la directriz (AF) será el semiparámetro (p). A los segmentos que unen un punto cualquiera de la curva con el foco y con la directriz perpendicularmente se les llama radios vectores (r1, r2). P r1 r2 V A F e p r1 = r2 d
  26. 26. Construcción de la parábola dados el foco y la directriz. 4’ d 3’ 2’ P’ 1’ 1A A V F 1 2 3 4 1’’ P’’ 2’’ 3’’ 4’’ e
  27. 27. HIPÉRBOLA
  28. 28. Curva abierta y plana de dos ramas que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos llamados focos es constante e igual al eje real (AB). C F1 A O B F2 D P PF2 – PF1 = AB
  29. 29. Elementos de la hipérbola: Tiene dos ejes de simetría que se cortan perpendicularmente en sus puntos medios determinando el centro de la curva. El eje AB es el eje real y se le denomina 2a, mide la distancia comprendida entre los vértices de la hipérbola. El eje CD es el eje imaginario y se le denomina 2b. La distancia entre los focos es la distancia focal y se le llama 2c. C b c F1 O A B a r2 r1 D P r2 – r1 = 2a F2
  30. 30. Con a, b y c podemos construir un triángulo rectángulo cuyos catetos serán a y b y la hipotenusa c. Sabiendo eso, podemos hallar uno de los tres elementos conocidos los otros dos. C b c F1 O A B a r2 r1 D P c b a r2 – r1 = 2a F2
  31. 31. Hallar los focos de una hipérbola conocidos los ejes. AB=2a=50 CD=2b=60 C c F1 A b a O c D B F2
  32. 32. Hallar el eje imaginario de una hipérbola conociendo la distancia focal y el eje real. F1F2=2c=70 AB=2a=40 C c F1 A a b O D B F2
  33. 33. Hallar el eje real de una hipérbola conociendo la distancia focal y el eje imaginario. F1F2=2c=60 CD=2b=50 C b c F1 A a O D B F2
  34. 34. Asíntotas de la hipérbola Las asíntotas de una hipérbola son las tangentes a la curva en el infinito. La hipérbola tiene dos asíntotas, que serán simétricas respecto a los ejes y pasarán por el centro de la curva. Cuando las asíntotas forman 45º con los ejes, decimos que la hipérbola es equilátera. F1 A O B F2
  35. 35. Dibujar las asíntotas de una hipérbola conocidos los focos y el eje real. 2c=70 2a=40 K F1 A N M O B L F2
  36. 36. Construcción de la hipérbola dados los ejes: (2a=40, 2b=60) 3 3’’ M 1A 2 3 2 1 K C 2’’ c 1 1’’ F1 O A 1B F2 B 1’’’ 1’ 2’ 3’ N D L 2’’’ 3’’’
  37. 37. F, MOHEDANO DIBUJO TÉCNICO 1º BACH. IES LOS MANANTIALES (TORREMOLINOS)

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