El documento describe la cinemática de una partícula, incluyendo movimiento con aceleración constante, caída libre, y movimiento bidimensional con aceleración constante. Presenta fórmulas para posición, velocidad y aceleración en términos del tiempo. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar el uso de las fórmulas.
2. MOVIMIENTO CON
ACELERACION CONSTANTE.
El movimiento acelerado mas sencillo es el rectilíneo con
aceleración constante. En este caso, la velocidad
cambia al mismo ritmo todo el tiempo.
Cuando la aceleración 𝑎𝑥 es constante, la aceleración
media 𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑥 para cualquier intervalo es 𝑎 𝑥. Esto vuelve
sencillo derivar las ecuaciones para la 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑥 y la
velocidad 𝑣 𝑥 como funciones del tiempo.
Para encontrar una expresión para 𝑣𝑥 primero sustituimos
𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑥 por 𝑎 𝑥 en la ecuación:
𝑎 𝑥 =
𝑣2𝑋
−𝑣1𝑥
𝑡2
−𝑡1
,
3. MOVIMIENTO CON
ACELERACION CONSTANTE.
Sean ahora 𝑡1 = 0 y 𝑡2 cualquier instante posterior 𝑡.
Simbolizamos con v0x la componente x de la
velocidad en el instante inicial 𝑡 = 0; la componente 𝑥
de la velocidad en el instante posterior 𝑡 es 𝑣𝑥 .
Entonces, la ecuación se convierte en: 𝑎 𝑥 =
𝑣 𝑋
−𝑣0𝑥
𝑡−0
, o
𝒗 𝑿 = 𝒗 𝟎𝒙 + 𝒂 𝒙 𝒕
𝒙 = 𝒙 𝟎 + 𝒗 𝟎𝒙𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂 𝒙 𝒕 𝟐
𝒗 𝒙
𝟐
= 𝒗 𝟎𝒙
𝟐
+ 𝟐𝒂𝒙(𝒙 − 𝒙 𝟎)
Estas son las ecuaciones del movimiento con
aceleración constante. Con ellas, podemos resolver
cualquier problema que implique movimiento
rectilíneo de una partícula con aceleración
constante.
4. Ejemplo 1:
Un motociclista que viaja al este cruza una
pequeña ciudad de Texas y acelera apenas
pasa el letrero que marca el limite de la ciudad
Su aceleración constante es de 4.0
𝑚
𝑠2 . En 𝑡 = 0,
esta a 5.0 𝑚 al este del letrero, moviéndose al
este a 15
𝑚
𝑠
.
A.Calcule su posición y velocidad en 𝑡 = 2,0 𝑠.
B. Donde esta el motociclista cuando su
velocidad es de 25
𝑚
𝑠
?
5. Ejemplo 1:
A) Podemos hallar la posición 𝑥 en 𝑡 = 2.0 𝑠 usando la
ecuación que da la posición 𝑥 en función del tiempo 𝑡:
𝑣 𝑥 = 𝑣0𝑥 + 𝑎 𝑥 𝑡
= 15
𝑚
𝑠
+ 4,0
𝑚
𝑠2 2,0𝑠
= 23
𝑚
𝑠
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥 𝑡 +
1
2
𝑎 𝑥 𝑡2
= 5,0𝑚 + (15
𝑚
𝑠
) +
1
2
+ (4,0
𝑚
𝑠2)(2,0𝑠)2
= 43𝑚
6. Ejemplo 1:
B) Queremos encontrar el valor de 𝑥 cuando 𝑣 𝑥 = 25 𝑚/𝑠,
pero no sabemos el momento en que el motociclista
lleva tal velocidad. Por lo tanto, utilizamos la ecuación
que incluye 𝑥, 𝑣 𝑥 y 𝑎 𝑥 pero no incluye 𝑡:
𝑣 𝑥
2 = 𝑣0𝑥
2 + 2𝑎𝑥 𝑥 − 𝑥0
Despejando x y sustituyendo los valores conocidos,
obtenemos:
𝑥 = 𝑥0 +
𝑣 𝑥
2−𝑣0𝑥
2
2𝑎𝑥
= 5,0𝑚 +
25
𝑚
𝑠
2
− 15
𝑚
𝑠
2
2 4,0
𝑚
𝑠2
= 55𝑚
7. Cuerpos en caída libre
El movimiento de los cuerpos en caída libre (por la
acción de su propio peso) es una forma de rectilíneo
uniformemente acelerado. La distancia recorrida (d) se
mide sobre la vertical y corresponde, por tanto, a una
altura que se representa por la letra h. En el vacío el
movimiento de caída es de aceleración constante,
siendo dicha aceleración la misma para todos los
cuerpos, independientemente de cuales sean su forma y
su peso.
8. Cuerpos en caída libre
La aceleración en los movimientos de caída libre,
conocida como aceleración de la gravedad, se
representa por la letra g y toma un valor aproximado
de 9,81 m/s2 (algunos usan solo el valor 9,8 o redondean
en 10).
Si el movimiento considerado es de descenso o de
caída, el valor de g resulta positivo como corresponde a
una auténtica aceleración. Si, por el contrario, es de
ascenso en vertical el valor deg se considera negativo,
pues se trata, en tal caso, de un movimiento decelerado.
10. Ejemplo 2:
Se deja caer una pelota desde la parte alta de un
edificio, si tarda 3s en llegar al piso ¿Cuál es la altura del
edificio? ¿Con qué velocidad se impacta contra el piso?
11. VELOCIDAD Y
POSICION
POR
INTEGRACION
Cuando la
aceleración
no es
constante
Podemos
usar la
relación:
Vx=dx/dt
para hallar
Vx
El problema surge al volar un
avión desde América a Europa,
la tripulación del avión debe
conocer su posición precisa en
todo momento.
Usamos
ax=dV/dt halla
hallar ax en
función del
tiempo , si Vx es
una función
conocida de t .
12.
13. En el limite donde los t se hacen muy pequeños y muy numerosos,
el valor de
a media-x para el intervalo de cualquier t a t+ t
Se acerca a la aceleración instantánea ax en el instante t. en este
limite, el área bajo la curva ax-t es la integral de ax (que en
general es una función de t) de t1 a t2. Si V1 es la velocidad del
cuerpo en t1 y V2 es la velocidad en t2, entonces:
Con el mismo procedimiento pero con la curva velocidad contra
el tiempo. Si X1 es la posicion de un cuerpo en t1 y x2 su posicion
en t2, por V media-x = X/ t
14. Si t1=0 y t2 es cualquier instante posterior t, y si X0 y V0 son la
posicion y la velocidad en t=0, respectivamente, entonces
reescribimos las ecuaciones:
1
2
15. FORMULAS DE ACELERACION CONSTANTE POR INTEGRACION
Se puede obtener a de la integral porque es constante.
Si sustituimos la expresión para V, en la ecuación 2,
obtenemos:
Puesto q V y a son constantes podemos sacarla de la
integral:
16. Movimiento bidimensional
con aceleración constante
Cuando un objeto es lanzado con cierta inclinación
respecto a la horizontal y bajo la acción solamente de la
fuerza gravitatoria su trayectoria se mantiene en el plano
vertical y es parabólica.
La composición de un movimiento uniforme y otro
uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya
trayectoria es una parábola.
17. Velocidad en x
𝑉𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑉𝑥 = 𝑉0 cos 𝜃
Velocidad en y
𝑉𝑦 = 𝑉𝑜 sin 𝜃 −
1
2
𝑔𝑡
Alcance
Altura máxima
18. Movimiento parabólico (de
proyectiles)
Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial
y luego sigue una trayectoria determinada totalmente por los
efectos de la aceleración gravitacional y la resistencia del aire.
19. Análisis del Movimiento
Parabólico
Para analizar este tipo de movimiento, partiremos de un modelo
idealizado que representa el proyectil como una partícula con
aceleración constante (debida a la gravedad) tanto en magnitud
como en dirección. Despreciaremos los efectos de la resistencia del
aire, así como la curvatura y rotación terrestres
