El documento describe el movimiento en el plano, que ocurre cuando un cuerpo está sometido a dos movimientos simultáneos en direcciones ortogonales. Explica que cada movimiento sigue de forma independiente el principio de Galileo de independencia de los movimientos. También presenta fórmulas para calcular la velocidad resultante y sus componentes en función de la velocidad y ángulo de cada movimiento.

1. Se dice que un movimiento es en el plano o bidimensional, cuando
un cuerpo está sometido a dos movimientos simultáneamente, uno
horizontal o en dirección x y otro vertical o en dirección y.
El movimiento en el plano, cumple un principio físico llamado
PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS,
formulado por el científico italiano Galileo Galilei, y que se enuncia
así:

2.  Si un cuerpo está sometido simultáneamente a la acción
de dos o mas movimientos, cada uno de ellos se cumple
de forma independiente como si los demás no existieran”
 Por ejemplo, en la figura se puede observar un nadador
que atraviesa un río, el nadador para cruzar el río está
sometido a la velocidad del agua, en el sentido horizontal
y también a la velocidad de sus brazos, en el sentido
vertical. Si quisiéramos determinar el tiempo que el
nadador requiere para atravesar el río, solo utilizaríamos
la velocidad que le imprimen sus brazos,
independientemente de la velocidad de la corriente.

3. Al combinar estas dos velocidades, resulta una velocidad de carácter
vectorial, llamada velocidad resultante (VR), la cual se calcula de la
siguiente manera:
y el ängulo teta, se calcula así:

4.  Si del movimiento se conoce la velocidad resultante, y el ángulo que
forma esta, respecto de la horizontal, las componentes horizontales y
verticales de dicha velocidad, se determinaran así:
 Donde:
 Vx = Es la velocidad de la corriente
 Vy = Es la velocidad del cuerpo
 VR = Es la velocidad resultante del movimiento
 Θ = Es el ángulo (Teta) que forma la velocidad resultante respecto de
la horizontal.
 Sen = Razón trigonométrica seno, e igual al cociente entre el lado
opuesto al ángulo y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
 Cos = Razón trigonométrica Coseno, e igual al cociente entre el lado
adyacente al ángulo y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
 Tan = Razón trigonométrica Tangente, e igual al cociente entre el lado
opuesto y el lado adyacente al ángulo, en un triángulo rectángulo.

5.  En el caso de que el nadador se dirija en el
sentido de la corriente o en contra de ella, la
velocidad resultante, será:

6.  EJEMPLO 1: Un nadador que en aguas tranquilas
nada con una velocidad de 3m/s, desea atravesar
un rió de 20m de ancho y cuyas aguas se mueven
con velocidad de 1.5m/s. calcule:
 A).La velocidad resultante del nadador, medida por
un observador situado en tierra
 B).El tiempo que gasta el nadador en atravesar el
río
 C).La distancia que separa el lugar de llegada al
punto exacto opuesto al sitio de la salida del
nadador

7. a. La velocidad resultante del nadador (VR) es :
b. Como el movimiento es en el plano, las velocidades son
independientes, luego el tiempo que gasta el nadador depende
exclusivamente de la velocidad Vy.
Despejando a t, obtenemos:
c. Se observa que la distancia en el que se desvia el nadador,
depende exclusivamente de la velocidad de la corriente y del tiempo
que dura atravesando el río, luego:

8. Lanzamiento horizontal
El lanzamiento horizontal consiste en lanzar un cuerpo
horizontalmente desde cierta altura. En la siguiente figura
puedes ver una representación de la situación:

10.  Ecuaciones
 Las ecuaciones del lanzamiento horizontal son:
 Las ecuaciones del m.r.u. para el eje x
 x=x0+vx⋅t

 Las ecuaciones del m.r.u.a. para el eje y
 vy=v0y+ay⋅t
 y=y0+v0y⋅t+12⋅ay⋅t2
 Dado que, como dijimos anteriormente, la
velocidad forma un ángulo α con la horizontal, las
componentes x e y se determinan recurriendo a las
relaciones trigonométricas más habituales:

12.  Finalmente, teniendo en cuenta lo anterior,
que y0 = H , x0 = 0, y que ay = -g , podemos
reescribir las fórmulas tal y como quedan
recogidas en la siguiente tabla. Estas son
las expresiones finales para el cálculo de
las magnitudes cinemáticas en el
lanzamiento horizontal:

13. Ecuación de posición y de trayectoria en el
lanzamiento horizontal
 La ecuación de posición de un cuerpo nos sirve para
saber en qué punto se encuentra en cada instante de
tiempo. En el caso de un cuerpo que se desplaza en
dos dimensiones, recuerda que, de forma genérica,
viene descrita por:
 r→(t)=x(t)i→+y(t)j→
 Sustituyendo la expresiones anteriores de la posición
en el eje horizontal ( m.r.u. ) y en el eje vertical ( m.r.u.a.
) en la ecuación de posición genérica, podemos llegar a
la expresión de la ecuación de posición para el
lanzamiento horizontal.

14. La ecuación de posición del lanzamiento
horizontal viene dada por:
r→=(x0+v⋅t)⋅i→+(y0−12⋅g⋅t2)⋅j→
Por otro lado, para saber qué trayectoria sigue el
cuerpo, es decir, su ecuación de trayectoria,
podemos combinar las ecuaciones anteriores para
eliminar t, quedando:
y=y0−12⋅v02⋅g⋅x2=y0−k⋅x2
Donde k=12⋅v02⋅g es una constante a lo largo de la
trayectoria.

15.  Ejemplo
 Una pelota de tenis situada a 2 metros de
altura es golpeada por un jugador con su
raqueta. La pelota sale despedida
horizontalmente con una velocidad de 30
m/s. Responde a las siguientes preguntas:
 a) ¿Cuanto tiempo tarda la pelota en llegar
al suelo?
b) ¿Qué ángulo forma el vector velocidad
con el eje X en el momento que alcanza el
suelo?
c) Si, antes del golpe, la pelota se encuentra
a 5 metros de la red ¿A qué altura pasa la
pelota sobre la red?

16.  Cuestión a)
 La pelota llegará al suelo cuando su posición
Y sea 0 (y=0). Según las ecuaciones del
lanzamiento horizontal:
y=H−12⋅g⋅t2⇒
0=2 m−0.5⋅9.8 ms2/⋅t2⇒
[t=0.63 s]
 Cuestión b)
 Para calcular el ángulo que forma el vector
velocidad con el eje X, utilizaremos la
siguiente expresión:
 tan(α)=vy/vx

17.  Para resolverlo calcularemos vx e vy:
 Una vez que ya tenemos los datos de la
velocidad, podemos obtener el ángulo:

18.  Cuestión c)
 Para calcular la altura a la que pasa la
pelota sobre la red, en primer lugar
deberemos saber en que instante de tiempo
pasa por encima de ella. Para ello, sabiendo
que la pelota se encuentra a 5 m y que
avanza con un m.r.u. a 30m/s:

19.  En ese instante de tiempo la pelota se
encuentra justo sobre la red, basta con
calcular su posición y habremos resuelto el
problema:

20.  MOVIMIENTO PARABÓLICO
El movimiento parabólico, también conocido
como tiro oblicuo, es un ejemplo de composición
de movimientos en dos dimensiones: un m.r.u. En
el eje horizontal y un m.r.u.a. en el eje vertical. En
este apartado estudiaremos:

22.  El movimiento parabólico o tiro
oblicuo resulta de la composición de un
movimiento rectilíneo uniforme
(mru horizontal) y un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado de lanzamiento
hacia arriba o hacia abajo (mrua vertical).
 Ecuaciones
 Las ecuaciones del movimiento parabólico
son:
 Las ecuaciones del m.r.u. para el eje x

23.  Las ecuaciones del m.r.u.a. para el eje y
 Dado que, como dijimos anteriormente, la
velocidad forma un ángulo α con la
horizontal, las componentes x e y se
determinan recurriendo a las relaciones
trigonométricas más habituales:

25.  Finalmente, teniendo en cuenta lo anterior, que y0 =
H , x0 = 0, y que ay = -g , podemos reescribir las
fórmulas tal y como quedan recogidas en la
siguiente lista. Estas son las expresiones
finales para el cálculo de las magnitudes
cinemáticas en el movimiento parabólico o tiro
oblicuo:
 Posición (m)
 Eje horizontal
 Eje vertical

26.  Velocidad (m/s)
 Eje horizontal
 Eje vertical
 Aceleración (m/s2)
 Eje horizontal
 ax=0
 Eje vertical
 ay=−g

27. Ecuación de posición y de trayectoria en el
movimiento parabólico
 La ecuación de posición de un cuerpo nos sirve
para saber en qué punto se encuentra en cada
instante de tiempo. En el caso de un cuerpo
que se desplaza en dos dimensiones, recuerda
que, de forma genérica, viene descrita por:

28.  Sustituyendo la expresiones anteriores de la posición
en el eje horizontal ( m.r.u. ) y en el eje vertical ( m.r.u.a.
) en la ecuación de posición genérica, podemos llegar a
la expresión de la ecuación de posición para el
movimiento parabólico.
 La ecuación de posición del movimiento
parabólico viene dada por:

29.  Por otro lado, para saber qué trayectoria
sigue el cuerpo, es decir, su ecuación de
trayectoria, podemos combinar las
ecuaciones anteriores para eliminar t,
quedando:
 Como cabía esperar, se trata de la ecuación
de una parábola.
 Por otro lado, será frecuente que en los
ejercicios te pidan alguno de los siguientes
valores.

30. Altura máxima
 Este valor se alcanza cuando la velocidad en el eje y,
vy , vale 0. A partir de la ecuación de velocidad en el eje
vertical, e imponiendo vy = 0, obtenemos el tiempo t que
tarda el cuerpo en llegar a dicha altura. A partir de ese
tiempo, y de las ecuaciones de posición, se puede
calcular la distancia al origen en el eje x y en el eje y.
 Tiempo de vuelo
 Se calcula igualando a 0 la componente vertical de la
posición. Es decir, el tiempo de vuelo es aquel para el
cual la altura es 0 (se llega al suelo).

31.  ALCANCE
 Se trata de la distancia máxima en horizontal desde el
punto de inicio del movimiento al punto en el que el
cuerpo impacta el suelo. Una vez obtenido el tiempo
de vuelo, simplemente sustituye en la ecuación de la
componente horizontal de la posición.
 Ángulo de la trayectoria
 El ángulo de la trayectoria
 en un determinado punto coincide con el ángulo
que el vector velocidad forma con la horizontal en
ese punto. Para su cálculo obtenemos las
componentes vx y vy y gracias a la definición
trigonométrica de tangente de un ángulo,
calculamos α:

32.  Ejemplo
 Minuto 90 de juego... Lopera se acerca al balón
para lanzar un libre directo a 40 metros exactos de
la portería, da dos pasos hacia atrássss y
lanzaaaa. El balón describe una trayectoria
parabólica y sale con una elevación de 20º... y
¡¡¡¡¡GOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡GOOOOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡El
balón entra por la escuadra a 1.70 metros de
altura!!!. Tras oir esta emisión en la radio, ¿sabrías
responder a las siguientes preguntas?
a) Desde que Lopera chuta y marca el gol, ¿cuánto
tiempo ha transcurrido y a qué velocidad salió el
balón desde las botas de Lopera?
b) ¿Qué altura máxima alcanzó el balón?
c) ¿Con qué velocidad llegó el balón a la portería?

33.  Cuestión a)
 El instante en el que el balón llega a la portería x=40 m
e y=1.7 m. Sustituyendo en las ecuaciones de la
posición del movimiento parabólico:
 Cuestión b)
 Cuando la componente y de la velocidad (vy) sea 0
entonces quiere decir que estaremos en el punto más
alto de la parábola. Recuerda que comienza a ascender
y su velocidad en el eje y va disminuyendo hasta que
se anula y comienza a ser negativa para descender.

34. Ahora ya estamos en condiciones, aplicando la ecuación de
posición en el eje y, y sustituyendo por el instante que hemos
obtenido, de determinar la altura máxima alcanzada:
Cuestión c)
Sabiendo que el balón llegó a la portería en 1.61 s, su velocidad
se obtiene: