Cuaderno de Actividades: Física I7) Movimiento ArmónicoSimpleLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 180
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Cuaderno de Actividades: Física I7.2) Casos especiales de MASi) Sistema m-k1)1)Lic. Percy Víctor Cañote FajardoPEmk µ =0184
Cuaderno de Actividades: Física I3)Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) conw2= k/m. Se puede v...
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Cuaderno de Actividades: Física I⇒ 0dmgIθ θ + =  && , 2 dmgwI=→θ (t) ≡ θm sen {wt + δ}22dmg Iw T TI w dmgππ≡ → = → =...
Cuaderno de Actividades: Física IDebido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá untorque...
Cuaderno de Actividades: Física Iii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el2,12p elE kx≡ ; x : posición ≡ deformación , 0 ≡ P...
Cuaderno de Actividades: Física Iii) Ep¿?Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo212kA Ek-A 0 +A xEp0 T tEpx0191
Cuaderno de Actividades: Física I¿?Observaciones:En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacio...
Cuaderno de Actividades: Física I≡ f (v)Ahora, para describir el sistema planteamos la 2° ley,{ {Rresorte medioF kx bv mx≡...
Cuaderno de Actividades: Física I1) Caso de interés: wb < wr( ) { }2cosbtmx t Ae wt φ−≡ + Movimiento amortiguado oscilator...
Cuaderno de Actividades: Física I2) Caso cuando wb ≡ wr, Movimiento críticamente amortiguado,3) Cuando wb > wr, se produce...
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Cuaderno de Actividades: Física Ic) ( ) { }2cosbtmx t Ae wt φ−≡ +x(0) = 0,5( ) { }0,112 0,310,5 cos 581 0,03tx t e t−×≡ −L...
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Cuaderno de Actividades: Física INos proporcionan directamente la 2w ≡ , las condiciones iniciales son,0: (0) 0 (0) 1,5t x...
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Cuaderno de Actividades: Física IEn :PE mg kd′ ≡Desde 0: x d x≡ +{ }RF mg kx mg k d x≡ − ≡ − +0   kx kx kx mx mxmg kd≡ − ≡...
Cuaderno de Actividades: Física IS6P32)Una placa P hace un movimiento armónico simplehorizontal sobre una superficie sin f...
Cuaderno de Actividades: Física I2 RES S SF mg k mgM Mµ µω− −→ ≡ ≡ MAXMAXAA ←2k =ω( M+m )( )2 2sM M m mgω ω µ→ ≡ + −MAX MA...
Cuaderno de Actividades: Física I020323kkMwMθ θ→ + ≡ =⇒&&S6P33) Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por una cu...
Cuaderno de Actividades: Física Iα) De la dinamica rotacional,:O Okxr Tr Iτ α− ≡ −Por la “rodadura”: x rθ≡222...1mrkr Tr W...
Cuaderno de Actividades: Física I( ) ( ) ( ) 203: 22kx r W r mrτ θ − ≡ −  && 1)De la rodadura: x rθ≡ 2)2) → 1):22kr ...
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Cap7 movimiento ármonico simple

  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física I7) Movimiento ArmónicoSimpleLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 180
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física I7) Movimiento ArmónicoAquel movimiento que es posible describir con función armónica.Movimiento ← Armónico: sen, cosMovimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas.Teorema de Founier: Usando serie de senos o cosenos paradescripción de movimiento periódicos complejos.7.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS.i) Descripción Cinemática del MASτ:,, avrFenomenología del MASMovimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x ≡0), la oscilación estaconfinada para –A ≤ x ≤ A,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardoµ=0PEx≡-A 0 x≡+A x181
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física I¿Cómo debería ser x (t) ≡?→ ( ) { }x t A sen wt δ≡ +Donde,w: Frecuencia de oscilación natural del sistema.w = w{k,m}A, δ: Dependen de las condiciones iniciales del sistema.c.i.:{x (0) ∧ v (0)}Para la velocidad, { }cosdxv A tdtω ω δ≡ ≡ +→ ( ) { }cosv t Aw wt δ≡ +Para la aceleración, { }2dva Aw sen wtdtδ= ≡ − +→ ( ) { }2a t Aw sen wt δ≡− +Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimientocircular uniforme (MCU).La proyección del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estaría reportandoun comportamiento cinemático idéntico al MAS.ii) Descripción Dinámica del MASLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 182
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física ILa fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende dela posición, esto es,( )F x cx=− , c: depende del sistemaSi se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma →MAS.F = FR = Fs → FRes = FR → 2daley, FR ≡ maa ≡ √ → v ≡ √ → x ≡ √FR ≡ F = -k x ≡ m xm x +kx ≡ 0x +kxm≡ 0x + w2x ≡ 0,2wmk=→ ( ) { }x t A sen wt δ≡ +kwm¬ =W: frecuencia angular →2 1( ) ( ) 2T periodo frecuencialinealw Tπν ω πν→ →= = =A,δ: c.i.X: Posición→ ElongaciónA: Amplitudδ: DesfasajeLic. Percy Víctor Cañote FajardoF(x)• x-A 0 x A183
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física I7.2) Casos especiales de MASi) Sistema m-k1)1)Lic. Percy Víctor Cañote FajardoPEmk µ =0184
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física I3)Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) conw2= k/m. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de Os enPE ∧ PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m.Lic. Percy Víctor Cañote FajardoPE2) kdm PE’PEPE’komd o’α185
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física ILas Ecdel MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3).ii) Sistema l–gwt ≡ w senθ→ FRes ≡ wt ≡ -mg senθθ: pequeño→ senθ ∼θ→ F ≡ -mgθ, FRes ≡ - cxFR,t ≡ matmg− mθ = lθ20glgwlθ θ+ ≡ ¬ =→ θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ; θm ≡ Aθ,gwl≡km     . δ : desfasajeLic. Percy Víctor Cañote FajardoO Ogtg θlwt θPE wnPEθ: describe la posición186
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física IAhora, si la descripción ha de darse en los s, usando s ≡ lθ,→ ( ) { }ms t s sen wt δ≡ + ; m s ms A lθ≡ = ,gwl≡iii) Péndulo FísicoEs un CR pendular,wrproduce un τ restaurador que debe llevar al CR a la PE,τ ≡ - r w senθ, w ≡ mgθ: pequeño → τ = - r w θ ← Senθ ∼ θrw Iθ θ⇒ − ≡ &&← O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),Lic. Percy Víctor Cañote FajardoCR0PE0 rrCθPE wr187
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física I⇒ 0dmgIθ θ + =  && , 2 dmgwI=→θ (t) ≡ θm sen {wt + δ}22dmg Iw T TI w dmgππ≡ → = → =iv) Péndulo de TorsiónLic. Percy Víctor Cañote FajardoA0 0P θPPE PE188
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física IDebido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá untorque restaurador proporcional a θ (para pequeños θs) de tal forma que:τrestaurador ≡ τ ≡ - kθ↑k: constante de torsión (de la varilla)Analogía: k ≡ k (resorte) {FRes = - kx}Res kτ τ θ≡ ≡ −,Reext s Iτ τ α= ≡ ← O: punto fijo.Res k Iτ τ θ θ≡ ≡ − ≡ &&→ 0kIθ θ+ ≡&& ; var , 0:discoillaI I punto fijoξ =≡→θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ←kwI= , 2ITkπ=7.3) Energía en el MASi) Energía Cinética, Ek21:2km E mv=Si x(t) ≡ A sen {wt + δ}v(t) ≡ x& (t) ≡ Aw cos{wt + δ}{ }2 2 21cos2kE mA w wt δ= +Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 189
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física Iii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el2,12p elE kx≡ ; x : posición ≡ deformación , 0 ≡ PE{ }2 2,12p elE kA sen wt δ≡ +iii) Energía Mecánica, EMEM ≡ Ek + Ep ≡ cte ∀ sistemas MAS,{ } { }2 2 2 2 21 1cos2 2ME mA w wt kA sen wtδ δ≡ + + + ←mw2= k212mE kA≡ ← En particular sistema m–kGráficos:i) EkLic. Percy Víctor Cañote FajardoEk212kA0 T t190
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física Iii) Ep¿?Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo212kA Ek-A 0 +A xEp0 T tEpx0191
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física I¿?Observaciones:En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacional,la EM deberá considerarse,EM ≡ Ek + Ep,el +Ep,g ← PEEM ≡ Ek + Ep,el ← PE’7.4) Oscilaciones amortiguadasSe considerara medios de amortiguación modelables mediante la velocidad,esto es la, fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Estose corresponde con muchos sistemas físicos conocidos que involucran fluidoscomo aire, agua, aceites, etc.f: fuerza de fricciónf ≡ a + bv + cv2+ …Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo0x192
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física I≡ f (v)Ahora, para describir el sistema planteamos la 2° ley,{ {Rresorte medioF kx bv mx≡ − − ≡ &&0k bx x xm m+ + ≡→ && & ← MAAComparaciones: { }20x w x+ ≡&& ← MASm – k :kwm=l – g : wlδ=PF :mgdwI=PT :kwI=Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 193
  15. 15. Cuaderno de Actividades: Física I1) Caso de interés: wb < wr( ) { }2cosbtmx t Ae wt φ−≡ + Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA)A ≡ A(0) ≡ amplitud inicial22k bwm m ≡ −   : Frecuencia de oscilaciónLa ecuación se interpreta como una parte oscilatoria y una modulación de laoscilación dada por el factor exponencial.rkwm≡ → w del resorte,2bbwm≡ → “w” del medioLic. Percy Víctor Cañote FajardoXA 2btme−0 t194
  16. 16. Cuaderno de Actividades: Física I2) Caso cuando wb ≡ wr, Movimiento críticamente amortiguado,3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardoxtxt195
  17. 17. Cuaderno de Actividades: Física IS6P5) Un oscilador armónico simple amortiguado tiene λ = 0,11 kg/s, k = 180N/m y m = 0,310 kg,a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento débil?b) Determinar el valor λ para el movimiento amortiguado débil.c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitudde 0,5 m.SOLUCION:λ = 0, 11 kg/s (=b) MAAk = 180 N/mm= 0, 31 kgOscilador armónico amortiguadoWb < w0 ≡ wkOscilador críticamente amortiguadoWb ≡ w0Oscilador sobreamortiguadoWb > w0( ) ( )2cosbtmx t Ae tω φ−→ = + en donde22k bm mω = − ÷ a)2bbwm→ =0,112 2 0,31bbw wmλλ≡→ = ≡ =×0,112 2 0,31bbw wmλλ≡→ = ≡ =×∼0,18; 01800241,,31kkw wm→ = = = =→ wb < w0 ≡ wk :MAAb) 0 ; ?2bb kw w bm m→ = → ≡ ≡2 2 180 0,31b kmλ→ ≡ ≡ ≡ × ∼2 55,8 ∼15Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 196
  18. 18. Cuaderno de Actividades: Física Ic) ( ) { }2cosbtmx t Ae wt φ−≡ +x(0) = 0,5( ) { }0,112 0,310,5 cos 581 0,03tx t e t−×≡ −Lic. Percy Víctor Cañote FajardoXA 2btme−0 t197
  19. 19. Cuaderno de Actividades: Física IS6P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. Ent = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle:a) El desplazamiento en función del tiempo.b) La velocidad cuando x = +A/2.c) La aceleración cuando x = + A/2.d) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque cuando t = π/15 s?SOLUCIÓN:200 200102 2kwkm m= = ===( )( )0 0,05. .0 0x mc iv= +=a) x(t) = A sen (wt + φ)→ x(0) = A sen (w(0) + φ)=Asen(φ)=+0,05v(t) = Aw cos (wt + φ)→ v(0) = Aw cos (w(0) + φ)= Aw cos (φ)= 0De la última Ecφ = π/2 {la v (-) para t ∼ 0} → A=0,05→ x(t) = 0,05 sen (10t + π/2)→ v(t) = 0,5 cos (10t + π/2)Observen la consistencia de tomar φ(=δ)= π/2: satisface las ci y loque ocurre en el problema “cerca” de 0, tanto para x como para v.¿Que ocurre si tomamos φ(=δ)= 3π/2?b) Recordando la relación v-x2 21x vA Aw   + = ÷  ÷   Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 198
  20. 20. Cuaderno de Actividades: Física I{ }2 220,513 30,5 4344A vA Awvv mv x−   + = ÷  ÷    = −→ = → = ± → → ÷ c) Recordando la relación a-x2a w x= −{ }2 0,051022,5aa m x = − → → − = −÷d) FR= FRES ≡ -kx= -k A sen (wt + φ)= -(200)(0,05) sen (10t + π/2)=?15tπ= ←2 25Tw wπ π π= = = → F (+)! veamosFR (t=π/15) = -10 sen (10{π/15} + π/2) ∼ (-10) (-0, 5) = +5S6P52) Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuenciaangular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la cajade un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador)conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. Lacaja se detiene repentinamente, a) ¿Con que amplitud oscila lapartícula?, b) ¿Cual es la ecuación de movimiento para la partícula?(Elija la dirección hacia arriba como positiva).SOLUCIÓN:Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 199
  21. 21. Cuaderno de Actividades: Física INos proporcionan directamente la 2w ≡ , las condiciones iniciales son,0: (0) 0 (0) 1,5t x v≡ ≡ ∧ ≡ −Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t),( ) { }( ) { }cosx t A sen wtv t Aw wtδδ≡ +≡ +a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuación para la A, en particularpara t=0,( ){ }( )22 00vA xw ≡ +   Reemplazando datos, { }22 1,50 0,752A− ≡ + ≡  0,75A ≡b) La ecuación para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t),Lic. Percy Víctor Cañote Fajardogkv(0)mt =0 Xx(0)=0 v(0)v(0)200
  22. 22. Cuaderno de Actividades: Física I( ) { }( ) { }0,75 21,5 cos 2x t sen tv t tδδ≡ +≡ +Para t=0 y vecindades,( ) ( ){ } { }( ) ( ){ } { }0 0,75 2 0 0,751,5 cos 2 0 1,5 cosx sen senv tδ δδ δ≡ + ≡≡ + ≡Para satisfacer x(0)=0, 0δ ≡ ,π , el valor correcto es δ π≡ , con lo cual lasecuaciones quedan,( ) { } { }( ) { } { }0,75 2 0,751,5 cos 2 1,5 cos 22x t sen t sen tv t t tππ≡ −≡ −≡≡ ++S6P4) En el sistema mostrado en la figuraObtenga la expresión de la energía mecánica para todo instante detiempo t.Si: X = A cos (w0 t + φ)g: aceleración de la gravedadSOLUCION:Lic. Percy Víctor Cañote Fajardogk+X = 0 m-201
  23. 23. Cuaderno de Actividades: Física IEn :PE mg kd′ ≡Desde 0: x d x≡ +{ }RF mg kx mg k d x≡ − ≡ − +0 kx kx kx mx mxmg kd≡ − ≡ − ≡− − ≡ ≡&& && 0kx xm+→ ≡&&Esta ecuación nos dice que desde 0’ se observara MAS de frecuenciakwm≡ . Ahora, debido a que la fuerza resultante es RF kx≡ − , cuando seescriba la EM desde 0’ solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que,como la RF kx≡ − , es una fuerza elástica conservativa, solo tendrá asociadauna energía potencial elástica, por lo tanto,M K peE E E≡ +Lic. Percy Víctor Cañote FajardoPE0dPE’0’ xx’X, X’202
  24. 24. Cuaderno de Actividades: Física IS6P32)Una placa P hace un movimiento armónico simplehorizontal sobre una superficie sin fricción con unafrecuencia ν = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre laplaca, como se muestra en la figura adjunta y elcoeficiente de fricción estático entre el bloque y la placaes µs = 0,6 ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilaciónque puede tener el sistema sin que resbale el bloquesobre la placa?SOLUCIÓN:( )( )( ),2 2, ,: RES MAXMAX MAS RES MAXFM m a A F M m AM mω ω+ ≡ ≡ → ≡ ++1442443: SRMfFM aM M−≡ ≡ RES,MAXF→ ,SRM MAXmgFaM Mµ−≡ ≡ RES,MAXFDCL (M):De las ecuaciones anteriores,Lic. Percy Víctor Cañote FajardoµsBkPamFresM0afS,M ≡ µs mgFRESFR ≡ FRES -µs mg203
  25. 25. Cuaderno de Actividades: Física I2 RES S SF mg k mgM Mµ µω− −→ ≡ ≡ MAXMAXAA ←2k =ω( M+m )( )2 2sM M m mgω ω µ→ ≡ + −MAX MAXA As mµ→ 2g mω≡( )2 20,6 102 1,5sMAXg xxAω πµ→ ≡≡MAXA → 269MAXAπ≡Observación: La antepenúltima ecuación sugiere solo comparar la aceleraciónmáxima del MAS, del sistema (M+m), con la aceleración estática máxima de m.Discutir esto partiendo del cumplimiento del movimiento inminente de Mrespecto de m, siendo ésta un SRNI! (ℒ 3107090730)S6P6)En la figura mostrada halle la frecuencia angular w0 del MAS resultante, parapequeños desplazamientos x del centro de masa, si el disco homogéneo ruedasin deslizar, considere, M≡ masa del disco,R ≡ radio del disco y k ≡ constante del resorte.SOLUCIÓN:x pequeño → MAS , w0 = ?x = s = RθP’// CM : τ = I α( ) [ ]2322 2 21 32 2MRkx R MR MR MR k R Rτ θ θ θ = − = + = = −  6447448&& &&Lic. Percy Víctor Cañote FajardokRMtMk0 FRP0 o’204
  26. 26. Cuaderno de Actividades: Física I020323kkMwMθ θ→ + ≡ =⇒&&S6P33) Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por una cuerda que leda vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremode la cuerda está unido directamente a un soporte rígido mientras queel otro extremo está unido a un resorte de constante de elasticidad k.Si el cilindro se gira un ángulo θ y se suelta, determine la frecuencianatural del sistema.SOLUCION:Lic. Percy Víctor Cañote Fajardokrθ205
  27. 27. Cuaderno de Actividades: Física Iα) De la dinamica rotacional,:O Okxr Tr Iτ α− ≡ −Por la “rodadura”: x rθ≡222...1mrkr Tr W mgθ θ− ≡ − ¬ ≡&&De la dinámica traslacional,( )RF T kx W m x≡ − − + ≡ &&Usando nuevamente la rodadura, T kr W mrθ θ− − + ≡ &&2 2...: 2xr Tr kr Wr mrθ θ− − + ≡ &&De 1 y 2,322...3kr W mrθ θ− + ≡ &&, 2 2Haciendo kr W krµ θ µ θ≡ − + → ≡ − &&&&32m rµ→ ≡2k rµ× −&& 4 4303kmkgwWµ µ → + ≡ →÷ ≡ &&Lic. Percy Víctor Cañote FajardoPxP0 OT kxx O’X θ wP’P206{ }0)0 0 //β ′ ′
  28. 28. Cuaderno de Actividades: Física I( ) ( ) ( ) 203: 22kx r W r mrτ θ − ≡ −  && 1)De la rodadura: x rθ≡ 2)2) → 1):22kr W rθ − 232mr≡ − θ&& 3)Sea32 22kr W kr m rµ θ µ θ µ≡ − → ≡ → ≡ −&&&&2k rµ×&& 403kmµ µ→ + ≡&&43kgwW≡Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 207

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