2. Progresiones Aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión en que cada término (menos el
primero) se obtiene sumando al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia
de la progresión.
Si d>0 Si d <0
los números cada vez son mayores, se
dice que la progresión es Creciente.
EJ: 2, 4, 6, 8,… d= 2
los números cada vez son menores, se
dice que la progresión es Decreciente.
EJ: 7, 5, 3, 1, ... d= -2
3. El término general de una progresión aritmética es:
EJ: 3, 5, 7, 9 ,11 ,…
1 3 2
3 ( 1) 2n
a d
a n
Suma de n términos
En una progresión aritmética finita de n términos, la suma de términos equidistantes de
los extremos es igual a la suma de ellos:
EJ: 2, 4, 6, 8,10,12
2+12=14 4+10=12 6+8=14
1 2 12
6 42
2 2
na a
s n
1 ( 1)na a n d
1
2
na a
s n
4. Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión en que cada término (menos el primero) se
obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la
progresión.
La razón se obtiene al hacer el cociente entre dos términos consecutivos:
EJ: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Razon =2
6 12 24 48
2
3 6 12 24
r
32 4
1 2 3 1
... n
n
a aa a
r
a a a a
5. El término general de una progresión geométrica cuyo primer término es a y la
razón es r es
EJ: 1 , 3 , 9, 27 ,…
1
n-1
n
r = 3 a =1
a = 3
Suma de todos los términos
La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón r, es:
EJ: 16, 8, 4, 2 ,1 ,…; r=0,5
1 16 16
32
1 11 1
2 2
a
s
r
1
1
n
na a r
1
1
a
s
r
6. ¿Cual es la razon de esta progresión
geométrica ?
7. UNA LARGA HISTORIA…
Se puede pensar que la historia comienza hace miles de años atrás
cuando el hombre ajustaba el concepto de número y lograba
representarlo por medio de símbolos, para así lograr ordenarlos
de forma creciente y progresiva, lo que contribuyó a crear la
sucesión natural de los números.
Esto conllevo la necesidad del ser humano de contar sus animales,
sus tierras y sus pertenencias en general. Lo anterior puede
considerarse como un origen de progresión aritmética ya que
contar consistía en asignarle a cada objeto un término de la
sucesión natural, empezando desde uno hasta llegar al último
elemento.
8. En babilonia
Es conocido el problema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad
de dinero a un determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios
(2000 a.C. - 600 a.C.), lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la
fórmula del interés compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas.
9. Egipto
Una referencia histórica sobre las progresiones en la cultura egipcia, son dos de
los problemas de progresiones encontrados en el célebre papiro egipcio de
Rhind o papiro de Ahmes.
Problemas progresion geométrica :"7 casas, 49 gatos, 343 ratones, 2401
espigas de trigo, 16807 medidas de grano"
10. Antigua India
Entre el 400 a. C. y el 200 a. C., los matemáticos yainas comenzaron el estudio
de las matemáticas para el exclusivo propósito de las matemáticas,
desarrollando matemáticamente las sucesiones y progresiones. El Manuscrito
“Bakhshali”, escrito entre el 200 a. C. y el 200 d. C., incluía soluciones de
progresiones aritméticas entre otras cosas.
11. La antigua Grecia
En la antigua Grecia ya se tenía cierta noción de la progresión geométrica,
aunque aún no aparecía una relación con la progresión geométrica. una prueba
son las conocidas paradojas de las paradojas de Zenón de Elea (490 – 430 a.C.)
Paradoja de la dicotomía Paradoja de Aquiles y la tortuga
12. Por otro lado, son los griegos quienes formalizaron la aritmética e inventaron una
notación para representar las generalizaciones. Más exactamente fue Pitágoras con sus
discípulos quienes se encargaron de organizar los conceptos de sucesiones y series de
los mesopotámicos y de los egipcios. Algunos de sus aportes a la aritmética fueron las
definiciones de números pares e impares por medio de una sucesión para cada una de
ellas y también la clasificación de los números triangulares, cuadrados, pentagonales,
etc., formando sucesiones y series aritméticas.
13. La edad media
En esta época destaca el matemático Leonardo de Pisa (1170-1250). Más
conocido como Fibonacci, su principal aportación a las matemáticas fue el
estudio y cálculo de una progresión relativa a una pareja de conejos, que como
se puede comprobar actualmente tiene múltiples aplicaciones en los fenómenos
(especialmente naturales).
14. En el siglo XVIII
Thomas Robert Malthus fue el primer economista en proponer
una teoría sistemática de la población. Plasmó sus puntos de
vista con relación a la población en su famoso libro Essay on
the Principle of Population (1798).En el capitulo 2 de sus
celebre ensayo escrito en 1798,Malthus enuncia una famosa ley
sobre la relación entre el crecimiento de la población mundial y
el de los recursos naturales.
“Yo afirmo que si la población se controla, crece en progresión geométrica,
mientras que los recursos naturales de subsistencia crecen en progresión
aritmética”
15. CONCLUSIÓN
Finalmente considero de mucha importancia tener acceso a la historia del tema
que nos ocupa permitirá conocer las condiciones de creación de algunas
sucesiones más comunes como lo son las progresiones aritméticas y
geométricas que se estudian en la educación secundaria, ya que teniendo
conocimiento de cómo los seres humanos han adquirido su sabiduría sobre
ciertos hechos y conceptos, estaremos en mejor disposición de juzgar cómo los
alumnos adquieren tal conocimiento y de esta manera procederemos de la
mejor manera en el momento de enseñar.
16. BIBLIOGRAFÍA
• Ángel Ruiz, Historia y filosofía de las matemáticas.
• Miguel A. Pérez. Una historia de las matemáticas: retos y conquistas a través de sus personajes.
• Ángel Pulpon, Historia del pairo de rhind y similares.
• Manuel Ortega Pérez (2012) .Unidad didáctica. Sucesiones matemáticas. Progresiones
aritméticas y geométricas.
• Colette, J. P. (1985).Historia de las matemáticas.
• http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_3eso
_progresiones/3eso_quincena5.pdf
