2. Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea. Una función se dice homogénea de grado n si: Para todo y todo Definición de función homogénea
3. La función es homogénea de grado Las funciones , , son homogéneas de grado 0. Las funciones , , son homogéneas de grado 2. Ejemplo
4. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, , es homogénea si la función es homogénea de orden cero. Definición de E.D.H
5. Si la ecuación diferencial está escrita en la forma : sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes y son funciones homogéneos del mismo grado. Observación
6. Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea, entonces el cambio de variable la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas. Demostración: Al hacer la sustitución obtenemos Pero como es una función homogénea de grado cero tenemos que de donde Teorema
7. Resuelva la ecuación diferencial : La ecuación diferencial es homogénea pues y son homogéneas de grado dos. Haciendo la sustitución: Ejemplo
8. De donde integrando y volviendo a las variables y obtenemos:
