Metodo de simpsons y de los trapecios

Universidad de Cantabria

Fundamentos de Teoría del Buque

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN APROXIMADA
El método más simple e intuitivo de integración aproximada es el método de los trapecios,
en el que se sustituye la función o la curva por varias cuerdas que unen los extremos de las
ordenadas (también se puede decir que se sustituye en cada tramo por un polinomio de primer
grado). Es evidente que se conseguirá mayor precisión en la medida en que tengamos un número
mayor de ordenadas y por consiguiente de cuerdas, pues la adaptación de las cuerdas a la función
mejora, tal y como podemos ver en las figuras siguientes.

El procedimiento de cálculo consiste en hallar el área de los distintos trapecios entre
ordenadas consecutivas y sumarlos todos. Aquí partimos de que la separación entre ordenadas
consecutivas es siempre la misma, o sea, igual a alfa

El trapecio entre y0 e y1 tendrá el área:
y +y
Área0 = alfa × 0 1
2
y el siguiente trapecio:
y + y2
Área1 = alfa × 1
2
y así sucesivamente, con lo que sacando factor común y arreglando los coeficientes nos queda:
y 
y
ÁreaT = alfa ×  0 + y1 + y 2 + y 3 + 4 
2 
 2

Otro método es el de Simpson. Aquí en vez de cuerdas, sustituimos la función por un
polinomio de segundo grado (función cuadrática). Al ser una curva suave su adaptación será mejor
que en el método anterior. Puesto que aplicamos una función de segundo grado, podemos integrar
esta función y buscar un sistema para que partiendo de las ordenadas y del intervalo de separación,
podamos calcular el área. Veamos la primera regla de Simpson

1



La función es
y = ax 2 + bx + c
integramos para determinar el área:
Área = ∫

2α

0
2α

2
y 0 = ax 0 + bx 0 + c que al ser x 0 = 0
y0 = c

f ( x)dx

Área = ∫ y dx
Área =

pero también podemos poner:

0
2α

∫ (ax

2

0

y1 = ax12 + bx1 + c que al ser x1 = α
y1 = aα 2 + bα + c
2
y 2 = ax 2 + bx 2 + c que al ser x 2 = 2α

+ bx + c )dx

y 2 = a(2α ) + b2α + c
y 2 = 4aα 2 + 2bα + c
2

2α

 ax

bx
Área = 
+
+ cx 
2
 3
0
3

2

a(2α )
b(2α )
+
+ c 2α
3
2
8aα 3 4bα 2
Área =
+
+ 2cα
3
2
sacamos factor común α / 3
3

si tomamos (1y 0 + 4 y1 + 1y 2 ) tenemos:

2

Área =

Área =

α

(8aα
3

2

+ 6bα + 6c

c + 4aα 2 + 4bα + 4c + 4aα 2 + 2bα + c
que equivale a:

8aα 2 + 6bα + 6c

)

Vemos que se puede sustituir:

α

( y 0 + 4 y1 + y 2 )
3
Ahora pongamos ordenadas de un área anexa
Área =

Si aplicamos lo anterior a las ordenadas siguientes, al sumar todo tendremos:
ÁreaTOTAL =

α
3

( y 0 + 4 y1 + y 2 ) + α ( y 2 + 4 y 3 + y 4 )

ÁreaTOTAL =

α
3

3

( y 0 + 4 y1 + 2 y 2 + 4 y 3 + y 4 )
2

(F-I)



De aquí podemos sacar la secuencia de coeficientes para las distintas ordenadas. La única limitación
es, la de que el número de ordenadas debe ser impar (atención al subíndice 0) y por lo tanto el
número de intervalos deberá ser par. Los coeficientes serán:
141
14241
1424241
142424241
14242424241
Y así sucesivamente.
En el caso de tener un número de intervalos múltiplo de 3, se podrá aplicar la segunda regla
de Simpson, en la que se sustituye la curva por una parábola cúbica, tal y como vemos en el
siguiente gráfico preparado para el caso inicial de cuatro ordenadas y tres intervalos iguales,
necesarios para la función de tercer grado:

Procediendo de una manera similar a la anterior
3
2
y0 = ax0 + bx0 + cx0 + d
y0 = d

y = ax 3 + bx 2 + cx + d
3α

A = ∫ y dx
0

y1 = ax13 + bx12 + cx1 + d
y1 = aα 3 + bα 2 + cα + d
3
2
y2 = ax2 + bx2 + cx2 + d

3α

 ax

bx
cx
A=
+
+
+ dx 
3
2
 4
0
4

3

2

a(3α ) b(3α ) c(3α )
A=
+
+
+ d 3α
4
3
2
81aα 4 27bα 3 9cα 2
A=
+
+
+ 3dα
4
3
2
3α
A=
54aα 3 + 24bα 2 + 12cα + 8d
8
4

(

3

al ser x0 = 0

2

y2 = a(2α ) + b(2α ) + c(2α ) + d
3

2

y 2 = 8aα 3 + 4bα 2 + 2cα + d
3
2
y3 = ax3 + bx3 + cx3 + d

y3 = a(3α ) + b(3α ) + c(3α ) + d
3

)

2

y3 = 27 aα 3 + 9bα 2 + 3cα + d

si tomamos (1 y 0 + 3 y1 + 3 y 2 + 1 y 3 ) tenemos

(54aα

Vemos que podemos sustituir
3α
( y0 + 3 y1 + 3 y 2 + y3 )
A=
8
3

3

+ 24bα 2 + 12cα + 8d

)



Ahora pongamos ordenadas de un área anexa

3α
( y0 + 3 y1 + 3 y 2 + y3 ) + 3α ( y3 + 3 y 4 + 3 y5 + y6 )
8
8
3α
( y0 + 3 y1 + 3 y 2 + 2 y3 + 3 y 4 + 3 y5 + y6 )
ÁreaTOTAL =
8
La secuencia de coeficientes será:

ÁreaTOTAL =

(F-II)

1331
1332331
1332332331
1332332332331
Y así sucesivamente.
Al igual que en la primera regla, el coeficiente 2 aparece pues las ordenadas que separan los
grupos pertenecen a ambos, pues termina en ellos una secuencia y empieza la siguiente.
Regla de 5, 8 y -1

Esta regla es una variante de la primera regla de simpson, que sirve para calcular solamente
una de las dos áreas, o bien la comprendida entre las ordenadas y0 e y1 ó entre y1 e y2 . En un
principio, si solo usamos dos ordenadas no nos quedará mas remedio que aplicar la regla de los
trapecios pues por los extremos de estas ordenadas podrán pasar infinitas parábolas, pero al usar la
tercera ordenada aunque el área que ella está tocando no se cuente, se podrá definir una única
parábola y así obtenerse la precisión del método de simpson que es mayor que el método de los
trapecios. El siguiente dibujo muestra el área que se busca (zona sombreada).

4



α

Área = ∫ f ( x )dx
0

α

Área = ∫ y dx

pero sabemos por la rela 1ª que:

0

Área = ∫ (ax + bx + c ) dx
α

2

y0 = c

0

α

 ax 3 bx 2

Área = 
+
+ cx 
2
 3
0

y1 = aα 2 + bα + c
y 2 = 4aα 2 + 2bα + c

a (α ) b(α )
+
+ cα
3
2
aα 3 bα 2
Área =
+
+ cα
3
2
 aα 2 bα

Área = α 
 3 + 2 + c



3

2

Área =

nos queda por saber cuantas veces tenemos
que tomar a y0 a y1 e y2 por lo que
establecemos las siguientes ecuaciones que
igualaremos al resultado que buscamos

p.y0 =

p.c

q.y1 = q.a.α2 + q.b.α + q.c
r.y2 = r.4.a.α2 + r.2.b.α + r.c
a.α2/3 + b.α/2 + c
que sumando e igualando verticalmente:
0.a.α2 + q.a.α2 + r.4.a.α2 = a.α2/3
0.b.α + q.b.α + r.2.b.α = b.α/2
p.c + q.c + r.c = c
simplificando
0 + q + 4.r = 1/3
0 + q + 2.r = 1/2
p+q+ r= 1

5



las ecuaciones dan este producto:
p

0 1 4

1/ 3

0 1 2 • q = 1/ 2

r

1 1 1

1

que podemos resolver por varios procedimientos o usando Matlab con los siguientes comandos:
a=[0 1 4;0 1 2;1 1 1];
b=[1/3; 1/2; 1];
c=ab
c=
5/12
2/3
-1/12
por lo que:
p = 5/12
q = 2/3
r = -1/12
obteniendo la siguiente igualdad:
 aα 2 bα

 5. y 0 2. y1 y 2  α
Área = α 
 3 + 2 + c  = α  12 + 3 − 12  = 12 (5. y 0 + 8. y1 − 1. y 2 )






Hasta ahora solo hemos visto cálculo de superficies utilizando la integración aproximada,
pero también podemos aplicar este sistema al cálculo de momentos, momentos segundos y así
obtener por ejemplo: centroides y radios metacéntricos

Para obtener el momento de la superficie de la figura con respecto a los ejes coordenados,
tenemos las siguientes integrales dobles:
Con respecto al eje x:
Mto x = ∫
Mto x =

b
a

∫

y
0

y dy dx

1 b 2
y dx
2 ∫a

Para hacer la integración aproximada sustituimos en las fórmulas de simpson anteriores, las
ordenadas y, por la parte de la integral hasta dx, tal y como vemos en el siguiente ejemplo:
6



Mto x =

α 1
3

⋅

(y
2

2
0

2
2
2
+ 4 y12 + 2 y 2 + 4 y3 + y 4

)

(F-III)

Con respecto al eje y:
b

Mto y = ∫

a

∫

y

0

x dy dx

b

Mto y = ∫ x y dx
a


α

(x0 y0 + 4 x1 y1 + 2 x2 y 2 + 4 x3 y3 + x4 y4 )
3
xn = distancia de cada ordenada al eje
expresamos la distancia en alfas
xn = Fd .α
Fd: Factor distancia = xn α

Mto y =

Mto y =

α
3

(Fd 0α y0 + Fd1α 4 y1 + Fd 2α 2 y2 + Fd 3α 4 y3 + Fd 4α y4 )

Mto y =

α2
3

(Fd 0 y0 + Fd1 4 y1 + Fd 2 2 y2 + Fd 3 4 y3 + Fd 41y4 )

(F-IV)

Para obtener los momentos segundos de la superficie de la figura (análogos a momentos de
inercia) con respecto a los ejes coordenados, tenemos las siguientes integrales dobles:
Con respecto al eje x:
Ix = ∫

b

a

∫

y

0

y 2 dydx

1 b 3
y dx
3 ∫a

Ix =

Ix =

α 1
3

⋅

(y
3

3
0

3
3
3
+ 4 y13 + 2 y 2 + 4 y3 + y 4

)

(F-V)

Con respecto al eje y:
Iy = ∫

b

a

∫

y

0

x 2 dy dx

b

I y = ∫ x 2 y dx
a

7



α

Iy =
Iy =

((Fd α ) y
3

α

2

0

Iy =

3

(x

2
0

2
2
2
y0 + 4 x12 y1 + 2 x2 y 2 + 4 x3 y3 + x4 y 4

+ 4(Fd1α ) y1 + 2(Fd 2α ) y 2 + 4(Fd 3α ) y3 + (Fd 4α ) y 4
2

0

α3

)

2

2

2

(

)

)

2
2
Fd 02 y 0 + 4 Fd12 y1 + 2 Fd 2 y 2 + 4 Fd 32 y3 + Fd 4 y 4
(F-VI)
3
Problema; Determinar la superficie de la zona sombreada, sabiendo que está limitada por el círculo
de ecuación: y 2 = 36 − x 2 , el eje de abscisas y las rectas x = 3 ; x = 5

Analíticamente podemos resolver
S = ∫ f ( x)d x

∫

x 2
a2
x
2
a −x dx =
a − x + arcsin + C
2
2
a
2

2

5

x 2
62
x
2
6 − x + arcsin 
S=
2
6 3
2
5 2
62
5 3 2
62
3
2
2
S =

 
 2 6 − 5 + 2 arcsin 6  −  2 6 − 3 + 2 arcsin 6 

 


S = 26.0236 − 17.219 = 8.8046 u.d .s.
Aplicando el método de los trapecios y de Simpson, tenemos:
Abscisa

Ordenadas

Valores

F. Trapecios Producto T.

F. Simpson

Producto S.

x0 = 3.0

y0

5.20

0.50

2.60

1.00

5.20

x1 = 3.5

y1

4.87

1.00

4.87

4.00

19.49

x2 = 4.0

y2

4.47

1.00

4.47

2.00

8.94

x3 = 4.5

y3

3.97

1.00

3.97

4.00

15.87

x4 = 5.0

y4

3.32

0.50

1.66

1.00

3.32

Σ=

17.57

Σ=

52.83

α=

0.50

α=

0.50

S=α.Σ=

8

8.7853

S=(α /3). Σ =

8.8042



Ejemplo 1: Cálculo de las coordenadas del centroide

XG =

Mto y
S

α
= 3

(x0 y0 + 4 x1 y1 + 2 x2 y2 + 4 x3 y3 + x4 y4 )
α
3

α
XG

= 3

(0α y0 + 1α 4 y1 + 2α 2 y2 + 3α 4 y3 + 4αy4 )
α
3

XG =

( y0 + 4 y1 + 2 y 2 + 4 y3 + y4 )

( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + y4 )

α (0 y0 + 1.4 y1 + 2.2 y 2 + 3.4 y3 + 4. y 4 )

( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + y4 )

α 1

(

2
2
2
2
⋅ 1. y0 + 4 y12 + 2 y 2 + 4 y3 + 1 y 4
Mto x 3 2
=
YG =
α
S
( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + y4 )
3

(

1 2
2
2
2
y0 + 4 y12 + 2 y 2 + 4 y3 + y 4
YG = 2
( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + y4 )

9

)

)



Ejemplo 2: Determinar las coordenadas del centroide del triángulo formado por las tres rectas
siguientes: y = x ; x = 9 ; y = 0 (eje de abscisas).
Determinaremos el área directamente, dejando al sistema de integración aproximada que
calcule los momentos con respecto a los ejes coordenados, sin necesidad de incluir muchas
ordenadas, pues las ordenadas están limitadas por rectas.

Ordenada

Valor

Potencia (2)

Coef. Simpson

Producto

y0

0

0

1

0

y1

4.5

20.25

4

81

y2

9

81

1

81
162
4.5

Σ=
α=

Mtox=(alfa/3).(1/2).Σ=

121.5

El valor del área será: x2 y 2 / 2 = 9 × 9 / 2 = 40.5
La ordenada del centroide será: Yg = Mto x / S = 121.5 / 40.5 = 3 que sabemos es correcto por
estar el baricentro de un triángulo a dos tercios de la mediana desde el vértice.
Ordenada

Valor

Factor dist.

Coef. Simp.

Producto

y0

0

0

1

0

y1

4.5

1

4

18

y2

9

2

1
Σ=
α=

18
36
4.5

Mtoy=(alfa2/3).Σ=

243

La abscisa del centroide será: X g = Mto y / S = 243 / 40.5 = 6

Podemos calcularlo por integración, aunque en este caso no ganamos en exactitud, al ser lo
anterior totalmente exacto. El resultado sería:
b

Yg =

Mto x
S

y

∫∫
=
∫∫
a

y dx dy

0

b

a

10

y

0

dx dy



∫ ∫ y dx dy = ∫ [y / 2] dx
=
∫ ∫ dx dy
∫ [y ] dx
b

x

a

Yg

b

x

a

0

b

9

1 / 2 ∫ x 2 dx
a

∫

b

a

[

]

[x

2

/2

]

1 / 2 ∫ x 2 dx
0

=

x dx

1/ 2 x3 / 3

∫

9
0

=

0

y

∫ ∫ x dx dy
=
∫ ∫ dx dy
a

0

b

S

a

Xg
Xg

x

a

0

∫∫
=

x dx dy

40.5

∫
=

9

0

x 2 dx

40.5

x dx

121.5
=3
40.5

b

b

9

0

9

Mto y

Xg =

x
0

a

b

Yg =

0

a

0

b

Yg =

x

2

y

0

∫ x[ y ]
=
b

a

x
0

dx

40.5

[x / 3]
=
3

40.5

9
0

=

729
=6
40.5

Este ejercicio no puede resolverse por el procedimiento de integración de los trapecios. El
motivo es que el momento de una ordenada intermedia no es el momento intermedio entre dos
ordenadas. Por ejemplo: El momento de la ordenada x= 1.5 es 1.52 = 2.25 pero el momento de las
ordenadas anterior y posterior es: 12 = 1 y 22 = 4 intermedio = 5/2 = 2.50 Al integrar se
producirá un error por exceso
Ordenada
Valor Potencia (2) Coef. Trapecios Producto
y0

0

0

1/2

0

y1

4.5

20.25

1

20.25

y2

9

81

1/2
Σ=
α=

40.5
60.75
4.5

Mtox=alfa.(1/2).Σ=

136.69

El valor del área será: x2 y 2 / 2 = 9 × 9 / 2 = 40.5
La ordenada del centroide será: Yg = Mto x / S = 136.69 / 40.5 = 3.38 que es falso
Ordenada
Valor

Factor dist.

Coef.
Trapecios

y0

0

0

1/2

0

y1

4.5

1

1

4.5

y2

9

2

1/2

9
13.5
4.5

Σ=
α=

Mtoy=alfa2.Σ=
11

Producto

273.37



La abscisa del centroide será: X g = Mto y / S = 273.37 / 40.5 = 6.75 que es falso
Problema en el que es necesario calcular un momento de inercia: Determinar el centro de
presión de una superficie perteneciente a la compuerta de una esclusa. Esta superficie tiene forma
de triángulo, tal y como vemos en la siguiente figura. El vértice más próximo al nivel del mar se
encuentra a 5 metros de este nivel, otro vértice está 5 metros más abajo en la misma vertical que el
anterior y el restante está 6 metros a un lado de los anteriores y a 7 metros del nivel del mar.

Nota: Los ejes están girados 90º
Sabemos que la presión aumenta con la profundidad. En los buques o en los objetos
totalmente sumergidos, las componentes horizontales de la presión a cada profundidad
quedan anuladas pues estos presentan ambas caras de un plano vertical cualquiera que pase
por ellos, al efecto de estas presiones. En este ejercicio no es así; una cara de la superficie
está en contacto con el agua y la otra no. Por este motivo un área diferencial que esté más
cerca que otra, del nivel del agua, soportará una presión menor, con lo que el centro de
presión no coincidirá con el centro geométrico de la superficie sumergida y estará a una
profundidad mayor.
En primer lugar calculamos las coordenadas del centro geométrico de la superficie:
b

Xg =

Mto y

y

a

0

b

S

Xg

∫ [x 2]
=
∫ [x]
0

0

5+ y 3

10 − y 2
5+ y 3

dy

dy

dx dy

6

=

0

∫ ((− 5 y 6) + 5) dy
6

0

6

0

0

0

5 72 ∫ y 2 dy − 20 3 ∫ y dy + 75 2 ∫ dy
6

− 5 6 ∫ y dy + 5∫ dy
0

0 5+ y 3

x dx dy

1 2 ∫ ((5 y 2 36) − (40 y 3) + 75) dy

6

6

0 5+ y 3
6 10− y 2

a

0

6

Xg =

b

y

0

10 − y 2

2

6

6 10 − y 2

a

0

y

a

6

b

y

∫ ∫ x dy dx = ∫ ∫ x dx dy = ∫ ∫
=
∫ ∫ dy dx ∫ ∫ dx dy ∫ ∫

=

[

0

Xg =

)
110
= 7.3 metros
15
12

]

[
− 5 6 [y 2 ]

]

5 72 y 3 3 0 − 20 3 y 2 2 0 + 75 2 [ y ] 0
6

2

6
0

6

6

+ 5[ y ] 0
6



aplicando simpson: (para el momento usamos F-IV)
Producto F. dist=abscisa/α
0
10
6
11
6
12
18
13
12
14
20
15
8
16
12
17
4
18
4
19
0
20
Σ=
Σ=
90
α=
0.5
Xg=(α.Σ Mto/ Σ Pro)= 7.333

Ordenada
0
1.5
3
4.5
6
5
4
3
2
1
0

Fact. Simpson
1
4
2
4
2
4
2
4
2
4
1

Mto.y
0
66
72
234
168
300
128
204
72
76
0
1320

Atención a las simplificaciones
6 b

Mto x
Yg =
=
S

∫ y ((− 5 y
=
6

Yg

0

6) + 5)dy

15

∫∫
0

a

y dy dx

15
6

=

6 10 − y 2

∫∫
=

0 5+ y 3

y dy dx

15

− 5 6 ∫ y dy + 5∫ y dy
0

0

15

6

10 − y 2
5+ y 3

0

dy

15

6

2

∫ y[x]
=

=

[

]

6

[

− 5 6 y3 3 0 + 5 y2 2
15

]

6
0

= 2 metros

Aplicando Simpson: (para el momento usamos F-III)
Ordenada
Y5
Y5 1/2
Y6
Y6 1/2
Y7
Y7 1/2
Y8
Y8 1/2
Y9
Y9 1/2
Y10

Valor
0
1.5
3
4.5
6
5
4
3
2
1
0

Valor^2
0
2.25
9
20.25
36
25
16
9
4
1
0

F. Simpson
1
4
2
4
2
4
2
4
2
4
1

Σ=
α=
Yg=(α/6)*Σ/S=(0.5/6)*360/15=
También: Yg=Σ/(2*Sumat. Area)=360/(2*90)=

Producto
0
9
18
81
72
100
32
36
8
4
0
360
0.5
2
2

Sabemos que la fuerza total que ejerce el agua sobre la superficie sumergida es:
F = Pe.S . X g
siendo (Pe) el peso específico del agua, (S) la superficie y (Xg) la profundidad a la que está
su centro geométrico (téngase en cuenta que el peso específico es prácticamente constante
debido a la casi nula compresibilidad del agua).
13



Esta fuerza es la generada por por todos los elementos diferenciales de superficie a la
correspondiente profundidad, por lo que podemos poner también:
F=∫

b

a

∫

y2

b

Pe. x dx dy = Pe ∫ x y dx = Pe.Mto y = Pe.S . X g

y1

a

Esta fuerza multiplicada por la profundidad (que aun desconocemos) del centro de presión,
será un momento que podremos calcular al integrar los momentos que ejercen las superficies
diferenciales, de tal modo que:

F.X m = ∫

b

a

∫

y2
y1

Pe x 2 dx dy = Pe ∫

b

a

∫

y2
y1

x 2 dx dy = Pe. I y

siendo Iy el momento segundo con respecto a la superficie del agua
Pe.S . X g . X m = Pe.I y
Xm =

Iy
S.X g

usando F-VI
Ordenada
Y5
Y5 1/2
Y6
Y6 1/2
Y7
Y7 1/2
Y8
Y8 1/2
Y9
Y9 1/2
Y10

F.Dist.=xn/α
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Valor
0
1.5
3
4.5
6
5
4
3
2
1
0

Fact dis ^2
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400

Coef. Simp.
1
4
2
4
2
4
2
4
2
4
1
Σ=
α=

Producto
0
726
864
3042
2352
4500
2048
3468
1296
1444
0
19740
0.5

Iy=(α3/3)*Σ=

822.5

)
X m = 822.5 /(15 ∗ 7.3) = 7.477 metros

Comprobamos:
b

∫∫
=

y2

y2

∫ ∫
=

x 2 dy dx

∫ [x 3]

10− y 2

y2

x 2 dy dx
a y1
y1 5+ y 3
)
=
Xm
S. X g
15 * 7.3
También se podría haber utilizado la fórmula:
Xm =

Ig
S.X g

y1

3

10− y 2
5+ y 3

)
15 * 7.3

dy

= 7.477 metros

+ Xg

Para la determinación de Ym:
F .Ym = ∫

b

a

∫

y2
y1

Pe. x y dx dy = Pe ∫

b

a

∫

y2
y1

x y dx dy = Pe.Px y

Siendo Pxy el momento segundo mixto o producto de inercia de la superficie con respecto a
los ejes coordenados
Pe.S . X g .Ym = Pe.Px y

14



Ym =

Px y

S.X g
Para determinar el momento mixto de inercia usando el método de Simpson ponemos la
fórmula:
b y
b
y
1 b
Px y = ∫ ∫ x y dx dy = ∫ x y 2 2 0 dx = ∫ x y 2 dx
a 0
a
2 a
1α
2
2
2
2
Px y =
x0 y 0 + 4 x1 y12 + 2 x2 y 2 + 4 x3 y3 + x 4 y 4
23

[

]

(

Px y =

α

(Fd α y
6
0

Px y =
Ordenada
Y5
Y5 1/2
Y6
Y6 1/2
Y7
Y7 1/2
Y8
Y8 1/2
Y9
Y9 1/2
Y10

α2
6

Valor
0
1.5
3
4.5
6
5
4
3
2
1
0

2
0

(Fd

0

)

2
2
2
+ 4 Fd1α y12 + 2 Fd 2α y 2 + 4 Fd 3α y3 + Fd 4α y 4
2
2
2
2
y 0 + 4 Fd1 y12 + 2 Fd 2 y 2 + 4 Fd 3 y3 + Fd 4 y 4

F.Dist.=xn/α
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Valor^2
0
2.25
9
20.25
36
25
16
9
4
1
0

Coef. Simp.
1
4
2
4
2
4
2
4
2
4
1

)

Producto
0
99
216
1053
1008
1500
512
612
144
76
0

Σ=

5220

α=

0.5

2

Pxy=(α /6)*Σ=

Ym =

Px y

=

S.X g

Px y = ∫

y2
y1

∫

b

a

x y dx dy = ∫

y2
y1

217.5

217.5
) = 1.977 metros
15 * 7.3

comprobamos:

∫

10− y 2

5+ y 3

x y dx dy = ∫

Px y = 217.5 m4
Ym = 1.977 metros

15

y2
y1

[

y x2 2

)

]

10− y 2
5+ y 3

dy



Subdivisión de intervalos:
En los buques es común que las curvas que delimitan las lineas de agua, tengan una parte central en
que las semimangas no tienen gran variación entre secciones consecutivas, por pertenecer o estar
próximas al cuerpo cilíndrico del buque y sin embargo entre las primeras y entre las últimas
secciones la variación es grande. Algo similar ocurre con las cuadernas, en su parte próxima
(ortogonalmente) a la linea base.

Para determinar el área, descomponemos en tres partes, la primera entre y0 e y1, la segunda entre y1
e y5, la tercera entre y5 e y6.
S1 =

S2 =

α
3

α

2 (y + 4 y + y )
0
12
1
3

( y1 + 4 y 2 + 2 y3 + 4 y 4 + y5 )
α

(

)

2 y + 4y + y
5
51 2
6
3
Arreglamos S1 y S3 para poder sacar factor común:
1 
α 1
S1 =  y 0 + 2 y1 2 + y1 
32
2 
1 
α 1
S 3 =  y5 + 2 y51 2 + y 6 
32
2 
El área total será:
3
3
1 
α 1
S T =  y 0 + 2 y1 2 + y1 + 4 y 2 + 2 y3 + 4 y 4 + y5 + 2 y51 2 + y 6 
32
2
2
2 
S3 =

16



En la sección tranversal tenemos dos partes: la primera está delimitada por las semimangas sm0 y
sm1 y la otra parte está delimitada por las semimangas sm1 y sm5
S1 =

S2 =

α
3

α

2 (sm + 4 sm + sm )
0
12
1
3

(sm1 + 4sm2 + 2sm3 + 4sm4 + sm5 )
arreglando coeficientes:

S1 =

ST =

α 1

1

 sm0 + 2sm1 2 + sm1 
32
2


α 1

3

 sm0 + 2sm1 2 + sm1 + 4sm2 + 2sm3 + 4sm4 + sm5 
32
2


También es posible combinar varios métodos de integración, por ejemplo usando la 1ª y la 2ª regla
de Simpson. En este caso es conveniente sacar factor común solamente a alfa, dejando dentro del
paréntesis a 1/3, sumar todas las ordenadas y comprobar en todo caso si es posible sacar factor
común.

17

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