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Metodo de simpsons y de los trapecios

  1. 1. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque MÉTODOS DE INTEGRACIÓN APROXIMADA El método más simple e intuitivo de integración aproximada es el método de los trapecios, en el que se sustituye la función o la curva por varias cuerdas que unen los extremos de las ordenadas (también se puede decir que se sustituye en cada tramo por un polinomio de primer grado). Es evidente que se conseguirá mayor precisión en la medida en que tengamos un número mayor de ordenadas y por consiguiente de cuerdas, pues la adaptación de las cuerdas a la función mejora, tal y como podemos ver en las figuras siguientes. El procedimiento de cálculo consiste en hallar el área de los distintos trapecios entre ordenadas consecutivas y sumarlos todos. Aquí partimos de que la separación entre ordenadas consecutivas es siempre la misma, o sea, igual a alfa El trapecio entre y0 e y1 tendrá el área: y +y Área0 = alfa × 0 1 2 y el siguiente trapecio: y + y2 Área1 = alfa × 1 2 y así sucesivamente, con lo que sacando factor común y arreglando los coeficientes nos queda: y  y ÁreaT = alfa ×  0 + y1 + y 2 + y 3 + 4  2   2 Otro método es el de Simpson. Aquí en vez de cuerdas, sustituimos la función por un polinomio de segundo grado (función cuadrática). Al ser una curva suave su adaptación será mejor que en el método anterior. Puesto que aplicamos una función de segundo grado, podemos integrar esta función y buscar un sistema para que partiendo de las ordenadas y del intervalo de separación, podamos calcular el área. Veamos la primera regla de Simpson 1
  2. 2. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque La función es y = ax 2 + bx + c integramos para determinar el área: Área = ∫ 2α 0 2α 2 y 0 = ax 0 + bx 0 + c que al ser x 0 = 0 y0 = c f ( x)dx Área = ∫ y dx Área = pero también podemos poner: 0 2α ∫ (ax 2 0 y1 = ax12 + bx1 + c que al ser x1 = α y1 = aα 2 + bα + c 2 y 2 = ax 2 + bx 2 + c que al ser x 2 = 2α + bx + c )dx y 2 = a(2α ) + b2α + c y 2 = 4aα 2 + 2bα + c 2 2α  ax  bx Área =  + + cx  2  3 0 3 2 a(2α ) b(2α ) + + c 2α 3 2 8aα 3 4bα 2 Área = + + 2cα 3 2 sacamos factor común α / 3 3 si tomamos (1y 0 + 4 y1 + 1y 2 ) tenemos: 2 Área = Área = α (8aα 3 2 + 6bα + 6c c + 4aα 2 + 4bα + 4c + 4aα 2 + 2bα + c que equivale a: 8aα 2 + 6bα + 6c ) Vemos que se puede sustituir: α ( y 0 + 4 y1 + y 2 ) 3 Ahora pongamos ordenadas de un área anexa Área = Si aplicamos lo anterior a las ordenadas siguientes, al sumar todo tendremos: ÁreaTOTAL = α 3 ( y 0 + 4 y1 + y 2 ) + α ( y 2 + 4 y 3 + y 4 ) ÁreaTOTAL = α 3 3 ( y 0 + 4 y1 + 2 y 2 + 4 y 3 + y 4 ) 2 (F-I)
  3. 3. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque De aquí podemos sacar la secuencia de coeficientes para las distintas ordenadas. La única limitación es, la de que el número de ordenadas debe ser impar (atención al subíndice 0) y por lo tanto el número de intervalos deberá ser par. Los coeficientes serán: 141 14241 1424241 142424241 14242424241 Y así sucesivamente. En el caso de tener un número de intervalos múltiplo de 3, se podrá aplicar la segunda regla de Simpson, en la que se sustituye la curva por una parábola cúbica, tal y como vemos en el siguiente gráfico preparado para el caso inicial de cuatro ordenadas y tres intervalos iguales, necesarios para la función de tercer grado: Procediendo de una manera similar a la anterior 3 2 y0 = ax0 + bx0 + cx0 + d y0 = d y = ax 3 + bx 2 + cx + d 3α A = ∫ y dx 0 y1 = ax13 + bx12 + cx1 + d y1 = aα 3 + bα 2 + cα + d 3 2 y2 = ax2 + bx2 + cx2 + d 3α  ax  bx cx A= + + + dx  3 2  4 0 4 3 2 a(3α ) b(3α ) c(3α ) A= + + + d 3α 4 3 2 81aα 4 27bα 3 9cα 2 A= + + + 3dα 4 3 2 3α A= 54aα 3 + 24bα 2 + 12cα + 8d 8 4 ( 3 al ser x0 = 0 2 y2 = a(2α ) + b(2α ) + c(2α ) + d 3 2 y 2 = 8aα 3 + 4bα 2 + 2cα + d 3 2 y3 = ax3 + bx3 + cx3 + d y3 = a(3α ) + b(3α ) + c(3α ) + d 3 ) 2 y3 = 27 aα 3 + 9bα 2 + 3cα + d si tomamos (1 y 0 + 3 y1 + 3 y 2 + 1 y 3 ) tenemos (54aα Vemos que podemos sustituir 3α ( y0 + 3 y1 + 3 y 2 + y3 ) A= 8 3 3 + 24bα 2 + 12cα + 8d )
  4. 4. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque Ahora pongamos ordenadas de un área anexa 3α ( y0 + 3 y1 + 3 y 2 + y3 ) + 3α ( y3 + 3 y 4 + 3 y5 + y6 ) 8 8 3α ( y0 + 3 y1 + 3 y 2 + 2 y3 + 3 y 4 + 3 y5 + y6 ) ÁreaTOTAL = 8 La secuencia de coeficientes será: ÁreaTOTAL = (F-II) 1331 1332331 1332332331 1332332332331 Y así sucesivamente. Al igual que en la primera regla, el coeficiente 2 aparece pues las ordenadas que separan los grupos pertenecen a ambos, pues termina en ellos una secuencia y empieza la siguiente. Regla de 5, 8 y -1 Esta regla es una variante de la primera regla de simpson, que sirve para calcular solamente una de las dos áreas, o bien la comprendida entre las ordenadas y0 e y1 ó entre y1 e y2 . En un principio, si solo usamos dos ordenadas no nos quedará mas remedio que aplicar la regla de los trapecios pues por los extremos de estas ordenadas podrán pasar infinitas parábolas, pero al usar la tercera ordenada aunque el área que ella está tocando no se cuente, se podrá definir una única parábola y así obtenerse la precisión del método de simpson que es mayor que el método de los trapecios. El siguiente dibujo muestra el área que se busca (zona sombreada). 4
  5. 5. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque α Área = ∫ f ( x )dx 0 α Área = ∫ y dx pero sabemos por la rela 1ª que: 0 Área = ∫ (ax + bx + c ) dx α 2 y0 = c 0 α  ax 3 bx 2  Área =  + + cx  2  3 0 y1 = aα 2 + bα + c y 2 = 4aα 2 + 2bα + c a (α ) b(α ) + + cα 3 2 aα 3 bα 2 Área = + + cα 3 2  aα 2 bα  Área = α   3 + 2 + c    3 2 Área = nos queda por saber cuantas veces tenemos que tomar a y0 a y1 e y2 por lo que establecemos las siguientes ecuaciones que igualaremos al resultado que buscamos p.y0 = p.c q.y1 = q.a.α2 + q.b.α + q.c r.y2 = r.4.a.α2 + r.2.b.α + r.c a.α2/3 + b.α/2 + c que sumando e igualando verticalmente: 0.a.α2 + q.a.α2 + r.4.a.α2 = a.α2/3 0.b.α + q.b.α + r.2.b.α = b.α/2 p.c + q.c + r.c = c simplificando 0 + q + 4.r = 1/3 0 + q + 2.r = 1/2 p+q+ r= 1 5
  6. 6. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque las ecuaciones dan este producto: p 0 1 4 1/ 3 0 1 2 • q = 1/ 2 r 1 1 1 1 que podemos resolver por varios procedimientos o usando Matlab con los siguientes comandos: a=[0 1 4;0 1 2;1 1 1]; b=[1/3; 1/2; 1]; c=ab c= 5/12 2/3 -1/12 por lo que: p = 5/12 q = 2/3 r = -1/12 obteniendo la siguiente igualdad:  aα 2 bα   5. y 0 2. y1 y 2  α Área = α   3 + 2 + c  = α  12 + 3 − 12  = 12 (5. y 0 + 8. y1 − 1. y 2 )      Hasta ahora solo hemos visto cálculo de superficies utilizando la integración aproximada, pero también podemos aplicar este sistema al cálculo de momentos, momentos segundos y así obtener por ejemplo: centroides y radios metacéntricos Para obtener el momento de la superficie de la figura con respecto a los ejes coordenados, tenemos las siguientes integrales dobles: Con respecto al eje x: Mto x = ∫ Mto x = b a ∫ y 0 y dy dx 1 b 2 y dx 2 ∫a Para hacer la integración aproximada sustituimos en las fórmulas de simpson anteriores, las ordenadas y, por la parte de la integral hasta dx, tal y como vemos en el siguiente ejemplo: 6
  7. 7. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque Mto x = α 1 3 ⋅ (y 2 2 0 2 2 2 + 4 y12 + 2 y 2 + 4 y3 + y 4 ) (F-III) Con respecto al eje y: b Mto y = ∫ a ∫ y 0 x dy dx b Mto y = ∫ x y dx a Para hacer la integración aproximada sustituimos en las fórmulas de simpson anteriores, las ordenadas y, por la parte de la integral hasta dx, tal y como vemos en el siguiente ejemplo: α (x0 y0 + 4 x1 y1 + 2 x2 y 2 + 4 x3 y3 + x4 y4 ) 3 xn = distancia de cada ordenada al eje expresamos la distancia en alfas xn = Fd .α Fd: Factor distancia = xn α Mto y = Mto y = α 3 (Fd 0α y0 + Fd1α 4 y1 + Fd 2α 2 y2 + Fd 3α 4 y3 + Fd 4α y4 ) Mto y = α2 3 (Fd 0 y0 + Fd1 4 y1 + Fd 2 2 y2 + Fd 3 4 y3 + Fd 41y4 ) (F-IV) Para obtener los momentos segundos de la superficie de la figura (análogos a momentos de inercia) con respecto a los ejes coordenados, tenemos las siguientes integrales dobles: Con respecto al eje x: Ix = ∫ b a ∫ y 0 y 2 dydx 1 b 3 y dx 3 ∫a Ix = Para hacer la integración aproximada sustituimos en las fórmulas de simpson anteriores, las ordenadas y, por la parte de la integral hasta dx, tal y como vemos en el siguiente ejemplo: Ix = α 1 3 ⋅ (y 3 3 0 3 3 3 + 4 y13 + 2 y 2 + 4 y3 + y 4 ) (F-V) Con respecto al eje y: Iy = ∫ b a ∫ y 0 x 2 dy dx b I y = ∫ x 2 y dx a Para hacer la integración aproximada sustituimos en las fórmulas de simpson anteriores, las ordenadas y, por la parte de la integral hasta dx, tal y como vemos en el siguiente ejemplo: 7
  8. 8. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque α Iy = Iy = ((Fd α ) y 3 α 2 0 Iy = 3 (x 2 0 2 2 2 y0 + 4 x12 y1 + 2 x2 y 2 + 4 x3 y3 + x4 y 4 + 4(Fd1α ) y1 + 2(Fd 2α ) y 2 + 4(Fd 3α ) y3 + (Fd 4α ) y 4 2 0 α3 ) 2 2 2 ( ) ) 2 2 Fd 02 y 0 + 4 Fd12 y1 + 2 Fd 2 y 2 + 4 Fd 32 y3 + Fd 4 y 4 (F-VI) 3 Problema; Determinar la superficie de la zona sombreada, sabiendo que está limitada por el círculo de ecuación: y 2 = 36 − x 2 , el eje de abscisas y las rectas x = 3 ; x = 5 Analíticamente podemos resolver S = ∫ f ( x)d x ∫ x 2 a2 x 2 a −x dx = a − x + arcsin + C 2 2 a 2 2 5 x 2 62 x 2 6 − x + arcsin  S= 2 6 3 2 5 2 62 5 3 2 62 3 2 2 S =     2 6 − 5 + 2 arcsin 6  −  2 6 − 3 + 2 arcsin 6      S = 26.0236 − 17.219 = 8.8046 u.d .s. Aplicando el método de los trapecios y de Simpson, tenemos: Abscisa Ordenadas Valores F. Trapecios Producto T. F. Simpson Producto S. x0 = 3.0 y0 5.20 0.50 2.60 1.00 5.20 x1 = 3.5 y1 4.87 1.00 4.87 4.00 19.49 x2 = 4.0 y2 4.47 1.00 4.47 2.00 8.94 x3 = 4.5 y3 3.97 1.00 3.97 4.00 15.87 x4 = 5.0 y4 3.32 0.50 1.66 1.00 3.32 Σ= 17.57 Σ= 52.83 α= 0.50 α= 0.50 S=α.Σ= 8 8.7853 S=(α /3). Σ = 8.8042
  9. 9. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque Ejemplo 1: Cálculo de las coordenadas del centroide XG = Mto y S α = 3 (x0 y0 + 4 x1 y1 + 2 x2 y2 + 4 x3 y3 + x4 y4 ) α 3 α XG = 3 (0α y0 + 1α 4 y1 + 2α 2 y2 + 3α 4 y3 + 4αy4 ) α 3 XG = ( y0 + 4 y1 + 2 y 2 + 4 y3 + y4 ) ( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + y4 ) α (0 y0 + 1.4 y1 + 2.2 y 2 + 3.4 y3 + 4. y 4 ) ( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + y4 ) α 1 ( 2 2 2 2 ⋅ 1. y0 + 4 y12 + 2 y 2 + 4 y3 + 1 y 4 Mto x 3 2 = YG = α S ( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + y4 ) 3 ( 1 2 2 2 2 y0 + 4 y12 + 2 y 2 + 4 y3 + y 4 YG = 2 ( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + y4 ) 9 ) )
  10. 10. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque Ejemplo 2: Determinar las coordenadas del centroide del triángulo formado por las tres rectas siguientes: y = x ; x = 9 ; y = 0 (eje de abscisas). Determinaremos el área directamente, dejando al sistema de integración aproximada que calcule los momentos con respecto a los ejes coordenados, sin necesidad de incluir muchas ordenadas, pues las ordenadas están limitadas por rectas. Ordenada Valor Potencia (2) Coef. Simpson Producto y0 0 0 1 0 y1 4.5 20.25 4 81 y2 9 81 1 81 162 4.5 Σ= α= Mtox=(alfa/3).(1/2).Σ= 121.5 El valor del área será: x2 y 2 / 2 = 9 × 9 / 2 = 40.5 La ordenada del centroide será: Yg = Mto x / S = 121.5 / 40.5 = 3 que sabemos es correcto por estar el baricentro de un triángulo a dos tercios de la mediana desde el vértice. Ordenada Valor Factor dist. Coef. Simp. Producto y0 0 0 1 0 y1 4.5 1 4 18 y2 9 2 1 Σ= α= 18 36 4.5 Mtoy=(alfa2/3).Σ= 243 La abscisa del centroide será: X g = Mto y / S = 243 / 40.5 = 6 Podemos calcularlo por integración, aunque en este caso no ganamos en exactitud, al ser lo anterior totalmente exacto. El resultado sería: b Yg = Mto x S y ∫∫ = ∫∫ a y dx dy 0 b a 10 y 0 dx dy
  11. 11. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque ∫ ∫ y dx dy = ∫ [y / 2] dx = ∫ ∫ dx dy ∫ [y ] dx b x a Yg b x a 0 b 9 1 / 2 ∫ x 2 dx a ∫ b a [ ] [x 2 /2 ] 1 / 2 ∫ x 2 dx 0 = x dx 1/ 2 x3 / 3 ∫ 9 0 = 0 y ∫ ∫ x dx dy = ∫ ∫ dx dy a 0 b S a Xg Xg x a 0 ∫∫ = x dx dy 40.5 ∫ = 9 0 x 2 dx 40.5 x dx 121.5 =3 40.5 b b 9 0 9 Mto y Xg = x 0 a b Yg = 0 a 0 b Yg = x 2 y 0 ∫ x[ y ] = b a x 0 dx 40.5 [x / 3] = 3 40.5 9 0 = 729 =6 40.5 Este ejercicio no puede resolverse por el procedimiento de integración de los trapecios. El motivo es que el momento de una ordenada intermedia no es el momento intermedio entre dos ordenadas. Por ejemplo: El momento de la ordenada x= 1.5 es 1.52 = 2.25 pero el momento de las ordenadas anterior y posterior es: 12 = 1 y 22 = 4 intermedio = 5/2 = 2.50 Al integrar se producirá un error por exceso Ordenada Valor Potencia (2) Coef. Trapecios Producto y0 0 0 1/2 0 y1 4.5 20.25 1 20.25 y2 9 81 1/2 Σ= α= 40.5 60.75 4.5 Mtox=alfa.(1/2).Σ= 136.69 El valor del área será: x2 y 2 / 2 = 9 × 9 / 2 = 40.5 La ordenada del centroide será: Yg = Mto x / S = 136.69 / 40.5 = 3.38 que es falso Ordenada Valor Factor dist. Coef. Trapecios y0 0 0 1/2 0 y1 4.5 1 1 4.5 y2 9 2 1/2 9 13.5 4.5 Σ= α= Mtoy=alfa2.Σ= 11 Producto 273.37
  12. 12. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque La abscisa del centroide será: X g = Mto y / S = 273.37 / 40.5 = 6.75 que es falso Problema en el que es necesario calcular un momento de inercia: Determinar el centro de presión de una superficie perteneciente a la compuerta de una esclusa. Esta superficie tiene forma de triángulo, tal y como vemos en la siguiente figura. El vértice más próximo al nivel del mar se encuentra a 5 metros de este nivel, otro vértice está 5 metros más abajo en la misma vertical que el anterior y el restante está 6 metros a un lado de los anteriores y a 7 metros del nivel del mar. Nota: Los ejes están girados 90º Sabemos que la presión aumenta con la profundidad. En los buques o en los objetos totalmente sumergidos, las componentes horizontales de la presión a cada profundidad quedan anuladas pues estos presentan ambas caras de un plano vertical cualquiera que pase por ellos, al efecto de estas presiones. En este ejercicio no es así; una cara de la superficie está en contacto con el agua y la otra no. Por este motivo un área diferencial que esté más cerca que otra, del nivel del agua, soportará una presión menor, con lo que el centro de presión no coincidirá con el centro geométrico de la superficie sumergida y estará a una profundidad mayor. En primer lugar calculamos las coordenadas del centro geométrico de la superficie: b Xg = Mto y y a 0 b S Xg ∫ [x 2] = ∫ [x] 0 0 5+ y 3 10 − y 2 5+ y 3 dy dy dx dy 6 = 0 ∫ ((− 5 y 6) + 5) dy 6 0 6 0 0 0 5 72 ∫ y 2 dy − 20 3 ∫ y dy + 75 2 ∫ dy 6 − 5 6 ∫ y dy + 5∫ dy 0 0 5+ y 3 x dx dy 1 2 ∫ ((5 y 2 36) − (40 y 3) + 75) dy 6 6 0 5+ y 3 6 10− y 2 a 0 6 Xg = b y 0 10 − y 2 2 6 6 10 − y 2 a 0 y a 6 b y ∫ ∫ x dy dx = ∫ ∫ x dx dy = ∫ ∫ = ∫ ∫ dy dx ∫ ∫ dx dy ∫ ∫ = [ 0 Xg = ) 110 = 7.3 metros 15 12 ] [ − 5 6 [y 2 ] ] 5 72 y 3 3 0 − 20 3 y 2 2 0 + 75 2 [ y ] 0 6 2 6 0 6 6 + 5[ y ] 0 6
  13. 13. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque aplicando simpson: (para el momento usamos F-IV) Producto F. dist=abscisa/α 0 10 6 11 6 12 18 13 12 14 20 15 8 16 12 17 4 18 4 19 0 20 Σ= Σ= 90 α= 0.5 Xg=(α.Σ Mto/ Σ Pro)= 7.333 Ordenada 0 1.5 3 4.5 6 5 4 3 2 1 0 Fact. Simpson 1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 Mto.y 0 66 72 234 168 300 128 204 72 76 0 1320 Atención a las simplificaciones 6 b Mto x Yg = = S ∫ y ((− 5 y = 6 Yg 0 6) + 5)dy 15 ∫∫ 0 a y dy dx 15 6 = 6 10 − y 2 ∫∫ = 0 5+ y 3 y dy dx 15 − 5 6 ∫ y dy + 5∫ y dy 0 0 15 6 10 − y 2 5+ y 3 0 dy 15 6 2 ∫ y[x] = = [ ] 6 [ − 5 6 y3 3 0 + 5 y2 2 15 ] 6 0 = 2 metros Aplicando Simpson: (para el momento usamos F-III) Ordenada Y5 Y5 1/2 Y6 Y6 1/2 Y7 Y7 1/2 Y8 Y8 1/2 Y9 Y9 1/2 Y10 Valor 0 1.5 3 4.5 6 5 4 3 2 1 0 Valor^2 0 2.25 9 20.25 36 25 16 9 4 1 0 F. Simpson 1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 Σ= α= Yg=(α/6)*Σ/S=(0.5/6)*360/15= También: Yg=Σ/(2*Sumat. Area)=360/(2*90)= Producto 0 9 18 81 72 100 32 36 8 4 0 360 0.5 2 2 Sabemos que la fuerza total que ejerce el agua sobre la superficie sumergida es: F = Pe.S . X g siendo (Pe) el peso específico del agua, (S) la superficie y (Xg) la profundidad a la que está su centro geométrico (téngase en cuenta que el peso específico es prácticamente constante debido a la casi nula compresibilidad del agua). 13
  14. 14. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque Esta fuerza es la generada por por todos los elementos diferenciales de superficie a la correspondiente profundidad, por lo que podemos poner también: F=∫ b a ∫ y2 b Pe. x dx dy = Pe ∫ x y dx = Pe.Mto y = Pe.S . X g y1 a Esta fuerza multiplicada por la profundidad (que aun desconocemos) del centro de presión, será un momento que podremos calcular al integrar los momentos que ejercen las superficies diferenciales, de tal modo que: F.X m = ∫ b a ∫ y2 y1 Pe x 2 dx dy = Pe ∫ b a ∫ y2 y1 x 2 dx dy = Pe. I y siendo Iy el momento segundo con respecto a la superficie del agua Pe.S . X g . X m = Pe.I y Xm = Iy S.X g usando F-VI Ordenada Y5 Y5 1/2 Y6 Y6 1/2 Y7 Y7 1/2 Y8 Y8 1/2 Y9 Y9 1/2 Y10 F.Dist.=xn/α 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Valor 0 1.5 3 4.5 6 5 4 3 2 1 0 Fact dis ^2 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 Coef. Simp. 1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 Σ= α= Producto 0 726 864 3042 2352 4500 2048 3468 1296 1444 0 19740 0.5 Iy=(α3/3)*Σ= 822.5 ) X m = 822.5 /(15 ∗ 7.3) = 7.477 metros Comprobamos: b ∫∫ = y2 y2 ∫ ∫ = x 2 dy dx ∫ [x 3] 10− y 2 y2 x 2 dy dx a y1 y1 5+ y 3 ) = Xm S. X g 15 * 7.3 También se podría haber utilizado la fórmula: Xm = Ig S.X g y1 3 10− y 2 5+ y 3 ) 15 * 7.3 dy = 7.477 metros + Xg Para la determinación de Ym: F .Ym = ∫ b a ∫ y2 y1 Pe. x y dx dy = Pe ∫ b a ∫ y2 y1 x y dx dy = Pe.Px y Siendo Pxy el momento segundo mixto o producto de inercia de la superficie con respecto a los ejes coordenados Pe.S . X g .Ym = Pe.Px y 14
  15. 15. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque Ym = Px y S.X g Para determinar el momento mixto de inercia usando el método de Simpson ponemos la fórmula: b y b y 1 b Px y = ∫ ∫ x y dx dy = ∫ x y 2 2 0 dx = ∫ x y 2 dx a 0 a 2 a 1α 2 2 2 2 Px y = x0 y 0 + 4 x1 y12 + 2 x2 y 2 + 4 x3 y3 + x 4 y 4 23 [ ] ( Px y = α (Fd α y 6 0 Px y = Ordenada Y5 Y5 1/2 Y6 Y6 1/2 Y7 Y7 1/2 Y8 Y8 1/2 Y9 Y9 1/2 Y10 α2 6 Valor 0 1.5 3 4.5 6 5 4 3 2 1 0 2 0 (Fd 0 ) 2 2 2 + 4 Fd1α y12 + 2 Fd 2α y 2 + 4 Fd 3α y3 + Fd 4α y 4 2 2 2 2 y 0 + 4 Fd1 y12 + 2 Fd 2 y 2 + 4 Fd 3 y3 + Fd 4 y 4 F.Dist.=xn/α 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Valor^2 0 2.25 9 20.25 36 25 16 9 4 1 0 Coef. Simp. 1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 ) Producto 0 99 216 1053 1008 1500 512 612 144 76 0 Σ= 5220 α= 0.5 2 Pxy=(α /6)*Σ= Ym = Px y = S.X g Px y = ∫ y2 y1 ∫ b a x y dx dy = ∫ y2 y1 217.5 217.5 ) = 1.977 metros 15 * 7.3 comprobamos: ∫ 10− y 2 5+ y 3 x y dx dy = ∫ Px y = 217.5 m4 Ym = 1.977 metros 15 y2 y1 [ y x2 2 ) ] 10− y 2 5+ y 3 dy
  16. 16. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque Subdivisión de intervalos: En los buques es común que las curvas que delimitan las lineas de agua, tengan una parte central en que las semimangas no tienen gran variación entre secciones consecutivas, por pertenecer o estar próximas al cuerpo cilíndrico del buque y sin embargo entre las primeras y entre las últimas secciones la variación es grande. Algo similar ocurre con las cuadernas, en su parte próxima (ortogonalmente) a la linea base. Para determinar el área, descomponemos en tres partes, la primera entre y0 e y1, la segunda entre y1 e y5, la tercera entre y5 e y6. S1 = S2 = α 3 α 2 (y + 4 y + y ) 0 12 1 3 ( y1 + 4 y 2 + 2 y3 + 4 y 4 + y5 ) α ( ) 2 y + 4y + y 5 51 2 6 3 Arreglamos S1 y S3 para poder sacar factor común: 1  α 1 S1 =  y 0 + 2 y1 2 + y1  32 2  1  α 1 S 3 =  y5 + 2 y51 2 + y 6  32 2  El área total será: 3 3 1  α 1 S T =  y 0 + 2 y1 2 + y1 + 4 y 2 + 2 y3 + 4 y 4 + y5 + 2 y51 2 + y 6  32 2 2 2  S3 = 16
  17. 17. Universidad de Cantabria Fundamentos de Teoría del Buque En la sección tranversal tenemos dos partes: la primera está delimitada por las semimangas sm0 y sm1 y la otra parte está delimitada por las semimangas sm1 y sm5 S1 = S2 = α 3 α 2 (sm + 4 sm + sm ) 0 12 1 3 (sm1 + 4sm2 + 2sm3 + 4sm4 + sm5 ) arreglando coeficientes: S1 = ST = α 1 1   sm0 + 2sm1 2 + sm1  32 2  α 1 3   sm0 + 2sm1 2 + sm1 + 4sm2 + 2sm3 + 4sm4 + sm5  32 2  También es posible combinar varios métodos de integración, por ejemplo usando la 1ª y la 2ª regla de Simpson. En este caso es conveniente sacar factor común solamente a alfa, dejando dentro del paréntesis a 1/3, sumar todas las ordenadas y comprobar en todo caso si es posible sacar factor común. 17

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