Este documento describe el producto escalar de dos vectores. Explica que el producto escalar es el producto de los módulos de dos vectores por el coseno del ángulo entre ellos. También muestra cómo calcular el coseno del ángulo entre dos vectores a partir de su producto escalar, y define el producto escalar como el producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Finalmente, indica cómo expresar los vectores en función de sus componentes cartesianas para calcular su producto escalar.
1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la educacion
Barquisimeto – Estado Lara
Colegio Pablo Neruda
Integrantes :
Edianny Adan
Beatriz Chang
Ligia Manau
Maria Perez
2. El producto escalar, también conocido como producto
interno, producto interior o producto punto, es una operación
binaria definida sobre dos vectoresde un mismo espacio
euclídeo. El resultado de esta operación es un número o
escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la
geometría euclídeatradicional: longitudes, ángulos,
ortogonalidad en dos y tres dimensiones.
Un vector es un segmento de recta orientado en el espacio y
se caracteriza por :
• su origen o punto de aplicación, O, y su extremo A ;
• su dirección, la de la recta que lo contiene;
• su sentido, el que indica la flecha;
• su módulo, la longitud del segmento OA.
3. El producto escalar de dos vectores en un espacio
euclídeo se define como el producto de sus módulos por el
coseno del ángulo θ que forman.
A⋅B=|A||B|cosθ
En los espacios euclídeos, la
notación usual de producto
escalar es u⋅v.
Esta definición de carácter
geométrico es independiente del
sistema de coordenadas elegido
y por lo tanto de la base del
espacio vectorial escogida.
4. La expresión geométrica del producto escalar permite
calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores,
mediante la siguiente definición formal: que nos dice que la
multiplicación de un escalar denominado K tiene que ser
diferente de cero.
Cosθ = A⋅B /|A||B|
Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el
ángulo que forman es de 0 grados o de π radianes (180
grados).Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor
del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los
módulos vale lo mismo que el producto escalar.
A⋅B=ABcosθ↔|cosθ|=1↔A||B⇒|A⋅B|=|A||B|
5. Puesto que |A| cos θ representa el módulo de la
proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto
es |A| cos θ = proy AB, será:
A⋅B=|B|(proyA B )
de modo que el producto escalar de dos vectores también
puede definirse como el producto del módulo de uno de
ellos por la proyección del otro sobre él.
Si los vectores A y B se expresan en función de sus
componentes cartesianas rectangulares, tomando la base
canónica en R 3 formada por los vectores unitarios {i , j , k}
tenemos:
A=A x i+A y j+A z k B=B x i+B y j+B z k
