1. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Mg. María Estela Ponce Aruneri ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ESTADÍSTICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ESTADÍSTICA SEMESTRE 2009-II

3. ¿Cuál es la distribución de probabilidad conjunta de un vector que sigue una distribución normal p-dimensional? 1º Para el caso univariado se tiene que : 2º Sea

4. 3º Sea el vector aleatorio: Y el vector de constantes:

7. Reemplazando en (*) se tiene:

8. Reemplazando el valor de k en 4º se tiene: Es la función de densidad de una distribución normal p-variante . ¿Quién es  ? Sea el vector aleatorio:

12. Sí i = j

13. Teorema : Si la función de densidad de un vector aleatorio x p-dimensional está dada por: Donde:

14. Recíprocamente para un vector µ y una matriz simétrica definida positiva  , existe una f.d.p., dada por: Tal que:

15. Propiedades de la distribución normal p-variante Teorema Nº 1 Si X  N p ( µ,  ) y y = A X +c donde A kxp y c  k  y  N k ( ?, ?) . Prueba

16. El jacobiano de la transformación es:

17. Resolviendo la forma cuadrática se tiene:

18. Teorema Nº 2 Si X  N p ( µ,  ) y y =  -1/ 2 ( X- µ ) es una transformación de X con  -1/ 2 simétrica y definida positiva  y 1 , y 2 , ……….., y p son v.a.i. N( 0,1) . Prueba Usando las propiedades de transformaciones de vectores aleatorios, así como de esperanza y varianza de una vector aleatorio, se puede probar este teorema.

21. Distribuciones Marginales Si Es particionada en “q” y “p-q” componentes, con

22. Prueba: De forma similar se puede probar para la otra partición de X 2 .

23. Ejemplo: Encuentre las distribuciones marginales de los vectores.

24. Distribuciones Condicionales Si Es particionada en “q” y “p-q” componentes, con

25. Prueba :

26. Ejemplo: Hallar la distribución condicional de la segunda participación conociendo la primera.

28. Ejemplo: Hallar la correlación entre la segunda y primera partición

29. CORRELACIÓN PARCIAL Es la matriz de correlaciones parciales. Ejemplo: calcular e interpretar las correlaciones parciales para los datos del ejercicio anterior,( de X 2 eliminado el efecto de X 1)

31. OBSERVACIONES 1°Las curvas de equidensidad de una distribución normal multivariante son elipsoides (es decir, transformaciones lineales de hiperesferas) centrados en la media. Las direcciones de los ejes principales de los elipsoides vienen dados por los autovectores de la matriz de covarianza Σ. Las longitudes relativas de los cuadrados de los ejes principales vienen dados por los correspondientes autovalores. 2° Sí un vector aleatorio tiene una distribución normal multivariante, cada uno de los componentes del vector aleatorio tiene distribución normal.

32. 3° Sí un vector aleatorio tiene una distribución normal multivariante, entonces cualesquiera dos o más de sus componentes que sean incorrelacionadas, son independientes.