1.1 matematicas i

Departamento del Ámbito Científico – Tecnológico
ESPA/ESPAD
Matemáticas
Nivel 1.1
Centro de Educación de Personas Adultas – GIJÓN

ESPA/ESPAD Nivel 1.1 – Matemáticas I Página | 2
NÚMEROS NATURALES............................................................................................................................7
SÍMBOLOS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL..........................................................................................7
VALOR RELATIVO.......................................................................................................................................7
NÚMEROS NATURALES ...............................................................................................................................7
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES ............................................................................................8
Suma de números naturales.............................................................................................................8
RESTA DE NÚMEROS NATURALES...................................................................................................................8
Propiedades de la resta....................................................................................................................8
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES.....................................................................................................8
Propiedades de la multiplicación......................................................................................................9
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES ...............................................................................................................9
Propiedades de la división................................................................................................................9
POTENCIACIÓN .......................................................................................................................................10
Propiedades de las potencias .........................................................................................................10
Forma exponencial de escribir un número ......................................................................................10
RADICACIÓN ..........................................................................................................................................11
Propiedades de las raíces ...............................................................................................................11
JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES.........................................................................................................11
DIVISORES DE UN NÚMERO...................................................................................................................12
MÚLTIPLO DE UN NÚMERO...................................................................................................................12
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD..................................................................................................................12
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS......................................................................................................13
NÚMEROS DECIMALES...........................................................................................................................13
DECIMALES FINITOS Y SU EXPRESIÓN COMO FRACCIÓN DECIMAL.......................................................14
DECIMALES INFINITOS, FRACCIONES GENERATRICES ............................................................................15
Periódicos puros.............................................................................................................................15
Periódicos mixtos: ..........................................................................................................................15
Decimales Infinitos no periódicos: Irracionales ...............................................................................15
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES INFINITOS ....................................................................15
COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES............................................................................................16
NÚMEROS DECIMALES EQUIVALENTES:..........................................................................................................16
COMPARAR NÚMEROS DECIMALES CON DIFERENTE PARTE ENTERA ......................................................................16
COMPARAR NÚMEROS DECIMALES CON DIFERENTE PARTE DECIMAL ....................................................................16
APROXIMACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES...........................................................................................17
APROXIMACIÓN Y REDONDEO: ...................................................................................................................17
Aproximación por Truncamiento:...................................................................................................17
Aproximación por Redondeo ..........................................................................................................17
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO DECIMAL.........................................................................18
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES...........................................................................................18
SUMA DE NÚMEROS DECIMALES .................................................................................................................18
RESTA DE NÚMEROS DECIMALES .................................................................................................................18
PRODUCTO DE NÚMEROS DECIMALES...........................................................................................................18

Multiplicación de números decimales por la unidad seguida de ceros ............................................18
Multiplicación de dos números decimales ......................................................................................19
DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.............................................................................................................19
División de un número decimal por la unidad seguida de ceros ......................................................19
El dividendo es un número decimal y el divisor un entero ...............................................................19
El dividendo es un número entero y el divisor es el número decimal ...............................................20
Dividendo y divisor son números decimales....................................................................................20
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL. ................................................................................................................21
UNIDADES DE LONGITUD...........................................................................................................................21
UNIDADES DE SUPERFICIE..........................................................................................................................22
UNIDADES AGRARIAS:...............................................................................................................................22
VOLUMEN Y CAPACIDAD ...........................................................................................................................23
UNIDADES DE CAPACIDAD.........................................................................................................................24
UNIDADES DE MASA.................................................................................................................................25
RELACIÓN ENTRE UNIDADES DE VOLUMEN, MASA Y CAPACIDAD..........................................................................26
EXPRESIÓN DE MEDIDAS EN FORMA COMPLEJA E INCOMPLEJA...........................................................27
RECTAS Y ÁNGULOS ...............................................................................................................................29
PLANO, PUNTO Y RECTA............................................................................................................................29
POSTULADOS DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA .................................................................................................29
SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS......................................................................................................................29
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO .......................................................................................30
ÁNGULOS...............................................................................................................................................30
ELEMENTOS DE UN ÁNGULO ......................................................................................................................30
TIPOS DE ÁNGULOS..................................................................................................................................31
Según la posición de sus lados........................................................................................................31
Atendiendo al valor de la amplitud de giro .....................................................................................32
Clasificación de los ángulos según su posición................................................................................32
SISTEMA SEXAGESIMAL .........................................................................................................................34
MEDIDAS DE TIEMPO Y AMPLITUD...............................................................................................................34
Expresión de unidades de tiempo en forma decimal y sexagesimal.................................................35
OPERACIONES CON UNIDADES DE TIEMPO ....................................................................................................36
Suma de unidades de tiempo: ........................................................................................................36
Resta de unidades de tiempo: ........................................................................................................36
Multiplicación de unidades de tiempo ............................................................................................38
POLÍGONOS............................................................................................................................................39
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS..............................................................................................................39
TRIÁNGULOS..........................................................................................................................................40
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS:............................................................................................................41
Según la longitud de los lados los triángulos se clasifican en:.........................................................41
Atendiendo a la amplitud de sus ángulos pueden ser: ....................................................................41
CUADRILÁTEROS ....................................................................................................................................42

PARALELOGRAMOS:.................................................................................................................................42
Cuadrado: ......................................................................................................................................42
Rectángulo:....................................................................................................................................42
Rombo: ..........................................................................................................................................42
Romboide:......................................................................................................................................42
TRAPECIOS: ...........................................................................................................................................43
Trapecio rectángulo: ......................................................................................................................43
Trapecio isósceles:..........................................................................................................................43
Trapecio escaleno: .........................................................................................................................43
TRAPEZOIDES .........................................................................................................................................43
PERÍMETRO Y ÁREA DE UNA FIGURA PLANA .........................................................................................44
ÁREAS DE LOS CUADRILÁTEROS.............................................................................................................44
ÁREA DEL RECTÁNGULO ............................................................................................................................44
ÁREA DEL CUADRADO...............................................................................................................................44
ÁREA DEL ROMBO ...................................................................................................................................45
ÁREA DEL ROMBOIDE ...............................................................................................................................45
EL ÁREA DE UN TRAPECIO ..........................................................................................................................45
ÁREA DEL TRIÁNGULO ..............................................................................................................................46
ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR................................................................................................................46
LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO........................................................................................................47
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO ..............................................................................................47
ÁREA DEL CÍRCULO Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA....................................................................................48
ÁREA CORONA CIRCULAR ..........................................................................................................................48
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR.......................................................................................................................48
ÁREA DE POLÍGONOS IRREGULARES......................................................................................................49
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS COMPUESTAS ...........................................................................................49
MANEJO CORRECTO DE LOS INSTRUMENTOS Y MATERIALES DE MEDIDA ............................................50
TRAZADO DE PARALELAS: ..........................................................................................................................50
TRAZAR PERPENDICULARES:.......................................................................................................................50
TRAZAR POLÍGONOS REGULARES: HEXÁGONO.................................................................................................50
DIVIDIR UN SEGMENTO A LA MITAD Y DIBUJAR LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO ..........................................................51
FRACCIONES...........................................................................................................................................53
CONCEPTO DE FRACCIÓN ...........................................................................................................................53
La fracción como parte de la unidad:..............................................................................................53
La fracción como cociente:.............................................................................................................53
La fracción como operador:............................................................................................................53
La fracción como razón y proporción..............................................................................................54
TIPOS DE FRACCIONES. .............................................................................................................................54
Fracción unidad..............................................................................................................................54
Fracción propia ..............................................................................................................................54
Fracción impropia ..........................................................................................................................54
Fracciones decimales......................................................................................................................54
FRACCIONES EQUIVALENTES.......................................................................................................................55
Propiedad fundamental de las fracciones equivalentes: ................................................................55
Obtención de fracciones equivalentes a una fracción dada.............................................................55

AMPLIFICAR FRACCIONES: MÉTODO DE LOS PRODUCTOS SUCESIVOS ....................................................................55
SIMPLIFICAR FRACCIONES: MÉTODO DE DIVISIONES SUCESIVAS...........................................................................56
REDUCIR A COMÚN DENOMINADOR.............................................................................................................56
Método de los productos cruzados.................................................................................................56
COMPARACIÓN DE FRACCIONES ..................................................................................................................57
OPERACIONES CON FRACCIONES..................................................................................................................57
SUMA DE FRACCIONES CON EL MISMO DENOMINADOR.....................................................................................58
Suma de fracciones con diferente denominador.............................................................................58
Suma de un número entero y una fracción: ....................................................................................58
Resta de fracciones de igual denominador ....................................................................................59
Resta de fracciones con diferente denominador.............................................................................59
Producto de fracciones...................................................................................................................59
FRACCIÓN INVERSA..................................................................................................................................60
El cociente de dos fracciones ..........................................................................................................60
LA FRACCIÓN COMO RAZÓN Y OPERADOR: TANTO POR CIENTO............................................................................61
FRACCIÓN COMO OPERADOR: TANTO POR CIENTO ...........................................................................................61
PROPORCIONALIDAD.............................................................................................................................63
RAZÓN..................................................................................................................................................63
PROPORCIÓN.........................................................................................................................................63
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES .........................................................................................63
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD............................................................................................................63
CUARTO PROPORCIONAL...........................................................................................................................64
CÁLCULO DEL CUARTO PROPORCIONAL .........................................................................................................64
PROPORCIONALIDAD DIRECTA ..............................................................................................................64
APLICACIONES DEL CONCEPTO PROPORCIONALIDAD .........................................................................................65
REGLA DE TRES........................................................................................................................................65
PORCENTAJES .........................................................................................................................................65
PROBLEMAS DE IVA.................................................................................................................................67
PROPORCIONALIDAD INVERSA..............................................................................................................69
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES ............................................................................................69
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA..................................................................................................................69
ESTADÍSTICA ..........................................................................................................................................71
POBLACIÓN, MUESTRA, INDIVIDUO, VARIABLE ESTADÍSTICA ...............................................................71
TIPOS DE VARIABLES..............................................................................................................................71
CUALITATIVAS: .......................................................................................................................................71
CUANTITATIVAS:.....................................................................................................................................71
Discretas ........................................................................................................................................72
Continuas.......................................................................................................................................72
RECUENTO DE DATOS ............................................................................................................................72
FRECUENCIAS. TABLAS DE FRECUENCIAS .......................................................................................................72
FRECUENCIA ABSOLUTA ............................................................................................................................73
LA FRECUENCIA RELATIVA..........................................................................................................................73

FRECUENCIA RELATIVA EXPRESADA COMO TANTO POR CIENTO............................................................................73
MEDIDAS ESTADÍSTICAS: MEDIA ARITMÉTICA, MODA..........................................................................74
MODA ..................................................................................................................................................74
MEDIA ARITMÉTICA .................................................................................................................................74
Media aritmética de pocos datos ...................................................................................................74
Media aritmética de muchos datos y variable expresada con valores discretos ..............................74
Valores de la variable expresados con intervalos:...........................................................................75
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS .......................................................................................................................75
DIAGRAMA DE BARRAS .............................................................................................................................75
HISTOGRAMAS. ......................................................................................................................................76
DIAGRAMA DE SECTORES ..........................................................................................................................77
OTROS GRÁFICOS: POLÍGONOS DE FRECUENCIAS, PICTOGRAMAS, CARTOGRAMAS ............................78
POLÍGONO DE FRECUENCIAS: .....................................................................................................................78
CARTOGRAMA........................................................................................................................................78
PIRÁMIDES DE POBLACIÓN.........................................................................................................................78
PICTOGRAMAS .......................................................................................................................................79

Sistema de numeración decimal
NÚMEROS NATURALES
SÍMBOLOS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Los símbolos que se usan actualmente en el sistema decimal de numeración son los
siguientes:{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. A estos símbolos básicos se les llama cifras o
dígitos.
Las cifras de un número tienen un valor absoluto, que coincide con el nombre de la
cifra, y un valor posicional o relativo.
VALOR RELATIVO
El valor relativo de una cifra depende del lugar que ocupa en el número. Las cifras
de un número se ordenan de derecha a izquierda.
MILLONES MILLARES UNIDADES
9ª 8ª 7ª 6ª 5ª 4ª 3ª 2ª 1ª
Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad centena decena unidad
CM DM UM cM dM uM c d u
100 000 000 10 000 000 1 000 000 100 000 10 000 1000 100 10 1
Ejemplo: 4321 = 4 uM + 3c + 2d + 1u = 4000 + 300 + 20 + 1
Según indica la Real Academia Española al escribir números de más de cuatro
cifras, para facilitar su lectura, se agruparán de tres en tres, empezando por la
derecha, y separando los grupos por espacios en blanco: 7 654 321 (y no por puntos o
comas). Los números de cuatro cifras se escriben sin espacios de separación: 2458.
NÚMEROS NATURALES
Los números naturales se utilizan para contar los elementos de un conjunto,
número cardinal. La posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto, ordinal,
también se expresa con números naturales.
El conjunto de números naturales se le suele designar con la letra n.
n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
Suma de números naturales
Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.
Propiedades de la suma
1) Interna: la suma de dos números naturales nos da como resultado otro número
natural.
a + b € N
2) Asociativa: la asociación de los sumandos se expresa colocando entre un
paréntesis los sumandos que operamos en primer lugar.
(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8 → 10 = 10
3) Conmutativa: el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.
a + b = b + a
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
4) Elemento neutro: el elemento neutro es el número que sumado a cualquier otro
no lo modifica. El elemento neutro para la suma es el cero, 0.
a + 0 = a
3 + 0 = 3
RESTA DE NÚMEROS NATURALES
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo.
Al resultado, c, lo llamamos diferencia.
Propiedades de la resta
1) No es una operación interna: 2 − 5 N
2) No es conmutativa: 5 − 2 ≠ 2 – 5
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
a · b = c Los términos a y b se llaman factores, multiplicando y multiplicador. El
resultado, c, producto.
El multiplicando es el número que se repite. El multiplicador señala las veces que se
repite el multiplicando. Ejemplo: 4 x 3 = 4 + 4 + 4

Propiedades de la multiplicación
1) Interna: a · b € N
2) Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
3) Conmutativa: a · b = b · a
4) Elemento neutro: el elemento neutro del producto es el 1:a · 1 = a
5) Distributiva respecto a la suma y la resta:
a · (b + c) = a · b + a · c a · (b − c) = a · b - a · c
6) Factor común: sacar factor común es consecuencia de la propiedad
distributiva:
a · b + a · c = a · (b + c)→2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Los términos que intervienen en una división se llaman dividendo, D; y divisor, d. El
resultado, cociente, c.
Dividendo (D) = divisor (d) · cociente ( c)
División entera: la división se llama entera cuando el resto es diferente de cero. La
división entera cumple la propiedad:
Dividendo = divisor · cociente + resto D = d · c + r
Propiedades de la división
Entre otras propiedades, la división cumple las siguientes:
1. División exacta: cuando una división es exacta se cumple D = d · c
Ejemplo: 15 : 3 = 5 → 15 = 5 · 3
2. División entera: el resto, r, no es cero. Por tanto D = d · c + r (r = resto)
Ejemplo: 17 : 3 = 5 · 3 + 2
3. Si multiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor por un mismo
número el resultado de la división no varía:
Ejemplo: 12 : 3 = 4 → 12 · 5 : 3 · 5 = → 60 : 15 = 4
4. No es una operación interna: el resultado de una división pude ser un
número no natural.
Ejemplo: 2 : 6 N
5. No cumple la propiedad conmutativa:
Ejemplo: 6 : 2 ≠ 2 : 6
6. No se puede dividir entre 0, no se reparte entre nada. O también: a : 0 = ∞

POTENCIACIÓN
La potenciación indica el producto de un número por sí mismo. La operación
potenciación tiene dos términos. Base: es el número que se multiplica. Exponente:
indica la cantidad de veces que se multiplica la base.
Ejemplo: 25
= 2 · 2 · 2 · 2 · 2 → 2 es la base de la potencia
→ 5 es el exponente
Expresión de la potencia Se lee Resultado
32
tres al cuadrado 3 · 3 = 9
23
dos al cubo 2 · 2 · 2 = 8
24
dos a la cuarta 2 · 2 · 2 · 2 = 16
105
diez a la quinta 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000
Propiedades de las potencias
1. La potencia con exponente igual a 0 es la unidad: a0
= 1
2. Todo número se puede expresar como potencia con exponente 1: a = a1
3. Las potencias que tienen la misma base se pueden multiplicar y dividir:
am
· an
= am + n
Ejemplo: 23
· 24
= 23 + 4
= 27
am
: an
= am − n
Ejemplo: 25
: 23
= 25 − 3
= 22
4. La potencia de otra potencia es igual al producto de los exponentes:
Ejemplo: (23
)4
= 23 · 4
= 212
5. Producto y el mismo exponente. Ejemplo:32
· 42
= (3 · 4)2
6. Cociente y el mismo exponente. Ejemplo: 82
: 42
= (8 : 4)2
Forma exponencial de escribir un número
El valor relativo de cada cifra en un número se puede expresar como potencia de diez
10n
, el valor del exponente es igual al lugar que ocupa la cifra menos uno.
Unidad millón C millar D millar U millar Centenas Decenas Unidades
106
105
104
103
102
101
100
= 1
Ejemplo. 3 416 027= 3 x 106
+ 4 x 105
+ 1 x 104
+ 6 x 103
+ 0 x 102
+ 2 x 101
+ 7 x 100

RADICACIÓN
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Calcular la raíz cuadrada de
un número a, que se denomina radicando, es calcular un número b, denominado
raíz, tal que se cumpla lo siguiente:
abba 2

Ejemplo: √
De forma semejante se definen la raíz cúbica, cuarta, etc.
Ejemplo: √
Propiedades de las raíces
1)Raíz exacta: Ejemplo: 164416 2

2)Raíz entera: Ejemplo: 1164417 2

JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES
Cuando tenemos que realizar operaciones combinadas debemos tener en cuenta la
prioridad en el orden para realizar las operaciones que es el siguiente:
Ejemplos: 3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23
12 : 2 + 3 · 5 = 6 + 15 = 21
5 + (4 − 3) = 5 + 1 = 6
4 · (5 + 1) = 4 · 6 = 24
(7 − 3) · (4 − 2) = 4 · 2 = 8
5 · (5 − 2) – 3 · (4 −1) = 5 · 3 – 3 · 3 = 15 – 9 = 6
32
− 22
= 9 − 4 = 5
(7 − 2)2
+ 4 · (2 + 1)2
= 52
+ 4 · 32
= 25 + 4 · 9 = 25 + 36 = 61
1º Paréntesis y corchetes
2º Raíces y potencias
3º Multiplicaciones y divisiones
4º Sumas y restas

DIVISORES DE UN NÚMERO
Un número natural “a” es divisor de otro número natural “b”, cuando la división “b”
entre “a” es exacta.
Si la división entre dos números es exacta decimos que existe entre ellos relación de
divisibilidad.
Decir que 7 es divisor de 35 es lo mismo que decir 35 es divisible entre 7.
Algunas propiedades de la divisibilidad de números naturales son las siguientes:
 Todos los números son divisibles entre uno. Ejemplo, 4 : 1 = 4
 Todo número es divisor de sí mismo. Ejemplo, 7 : 7 = 1
 La lista de divisores de un número es limitada: el mayor divisor de un número
es el mismo número y el menor divisor es el 1.
MÚLTIPLO DE UN NÚMERO
Se dice que “b” es múltiplo de “a” si la división de “b” entre “a” es exacta.
Si 21 es múltiplo de 3 se cumple: 21:3 = 7 y el resto cero.
Matemáticamente se expresa así:

 ab que se lee: “b” es múltiplo de “a”
Todo número es múltiplo de uno, porque cualquier número se puede conseguir
multiplicando uno por ese número: 7 = 1 x 7;

17 7 : 1 = 7
Todo número es múltiplo de sí mismo: 8 = 8 · 1 →

 88 → 8 : 8 = 1
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de divisibilidad nos permiten averiguar si un número es divisible por otro,
sin necesidad de efectuar la división.
 Un número es divisible entre 2, si la cifra de las unidades es 0 o cifra par.
El 28 es divisible entre 2, ya que la cifra de las unidades es, 8, par.
 Un número es divisible entre 3, si la suma de sus cifras es 3 o un múltiplo
de 3.
El 423 es divisible entre tres, ya que 4 + 2 + 3 = 9, y 9 es divisible por 3.
 Un número es divisible entre 5, si la cifra de las unidades es 0 ó 5.
El 235 es divisible entre 5, porque acaba en 5.
 Un número es divisible entre 10 si su última cifra es 0
20, 140, 1250 son divisibles entre 10.

 Un número es divisible entre 11 cuando la diferencia entre la suma de las
cifras que ocupan el lugar par y la suma de las cifras que ocupan el lugar
impar da 0, 11 ó múltiplo de 11.
El 45 243 es divisible entre 11.
Sumamos: 4 + 2 + 3 = 9; por otro lado sumamos: 5 + 4 = 9.
Restamos 9 - 9 = 0. Como da 0 podemos afirmar que el número 45 243 es
divisible entre 11.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Un número primo es sólo divisible entre sí mismo y uno. Ejemplos: 2, 3, 5, 11,
13,… sólo son divisibles entre 1 y entre sí mismos.
Un número es compuesto cuando es divisible por varios números además de él
mismo y el uno. Ejemplo: el 12 es compuesto, porque 12 es divisible entre 1, 2, 4, 6,
y 12.
Los siguientes números son primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Si quieres determinar los números primos entre 1 y 100, puedes proceder de forma
siguiente: escribes todos los números ente 1 y 100; tachas los múltiplos de 2, 3, 5, 7
NÚMEROS DECIMALES
Los números decimales expresan el resultado de las divisiones inexactas. El número
decimal expresa el resultado de dividir la unidad o un número natural entre 10, 100,
1000
1 : 10 = 0,1 125 : 10 = 12,5 450 : 10 = 45,0 = 45
1 : 100 = 0,01 125 : 100 = 1,25 450 : 100 = 4,50 = 4,5
1 : 1000 = 0,001 125 : 1000 = 0,125 45 : 1000 = 0,045
El número decimal tiene dos partes separadas por una coma1
.
Parte entera: formada por las cifras situadas a la izquierda de la coma.
Parte decimal: cifras situadas a la derecha de la coma.
Las cifras de la parte entera se ordenan de derecha a izquierda.
Las cifras de la parte decimal se ordenan de izquierda a derecha.
1
El punto se utiliza para separar la parte entera de la parte decimal de un número cuando
utilizamos una calculadora.

DECIMALES FINITOS Y SU EXPRESIÓN COMO FRACCIÓN DECIMAL
Una división se puede expresar en forma de fracción. La fracción expresa una
división sin hacer.
El dividendo será el numerador de la fracción y el divisor, el denominador
División =
divisor
dividendo
Fracción =
rdenominado
numerador
Todos los números decimales finitos se pueden expresar como una fracción
decimal que tiene como denominador la unidad seguida de ceros.
NUMERO DECIMAL FRACCIÓN DECIMAL FRACCIÓN DECIMAL
21,05 2105 : 100 =
10
2105
21,05 = 21
100
05
1,25 125 : 100 =
100
125
1,25 = 1
100
25
0,015 15 : 1000 =
1000
15
0,015 =
1000
15
La relación entre un cuarto, un medio y tres cuartos de una unidad dividida en
centésimas y su expresión en forma decimal puede representarse así:
1
unidad
1 : 100 = 0,01
0,01 = una centésima
Una centésima =
100
1
= 0,01 Un medio =
2
1
= 0,50
Un cuarto =
4
1
= 0,25 Tres cuartos =
4
3
= 0,75

DECIMALES INFINITOS, FRACCIONES GENERATRICES
Los decimales finitos o infinitos con cifras repetidas pueden expresarse como
fracción. La fracción que representa al número decimal se llama fracción generatriz
Los números decimales cuyas cifras decimales se repiten son decimales periódicos.
Los decimales periódicos se clasifican en dos grupos: puros y mixtos.
Periódicos puros
La cifra o cifras de la parte decimal se repiten inmediatamente después de la coma.
La cifra o cifras que se repiten se llaman periodo. Un arco sobre las cifras señala el
periodo. Los decimales periódicos tienen fracción generatriz.
Ejemplo: 1,3333… = 3,1

=
9
12
9
113


Periódicos mixtos:
El periodo no empieza inmediatamente después de la coma. Los números
decimales periódicos mixtos también tienen fracción generatriz. Ejemplos:
2,13333… = 3,12

… =
90
192
90
21213

 2,03333… = 3,02

… =
90
183
90
20203


Decimales Infinitos no periódicos: Irracionales
Los números que tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente
no se pueden expresar como fracción. Ejemplo: el número pi (que es
el resultado de dividir la longitud de una circunferencia entre su ancho o diámetro. Otro
ejemplo de decimal infinito irracional es el resultado de√ .
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES INFINITOS
Decimales infinitos
Sí tienen fracción generatriz No tienen fracción generatriz
Periódicos No periódicos− Irracionales
Puros Mixtos  = 3,141 592…número pi
 = 1,618 033…número Fi, áureo
√ = 1,414 213…
e = 2,718 281 8… número Euler - Napier
̂ ̂

COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Dados dos números decimales podemos indicar si son iguales o equivalentes y, en
caso contrario, cuál de ellos es el mayor o el menor.
NÚMEROS DECIMALES EQUIVALENTES:
Los números: 4,5 − 4,50 − 4,500 son equivalentes.
5 décimas = 50 centésimas = 500 milésimas.
Por lo tanto, podemos escribir: 4,5 = 4,50 = 4,500
Todo número natural se puede expresar en forma decimal: 12 = 12,00
Cuando utilizamos el formato moneda para indicar los precios; por ejemplo, 4 € se
puede escribir, 4,00 €
COMPARAR NÚMEROS DECIMALES CON DIFERENTE PARTE ENTERA
Los números decimales que tienen la parte entera distinta, se ordenan comparando su
parte entera. Ejemplo: 3,125 es mayor que 2,925; porque 3 es mayor que 2 (3 > 2).
COMPARAR NÚMEROS DECIMALES CON DIFERENTE PARTE DECIMAL
Para facilitar la percepción de la diferencia entre los números, añadimos ceros para
que todos los números a comparar tengan la misma cantidad de cifras decimales.
Ejemplo: comparamos 7,003 – 7,03 – 7,3
Añadimos ceros Valor parte decimal
7,003 7,003 3 milésimas
7,03 7,030 30 milésimas
7,3 7,300 300 milésimas
Como 300 > 30 >3 entonces:
Ordenando de mayor a menor: 7,3 > 7,03> 7,003
Ordenando de menor a mayor: 7,003 < 7,03 < 7,3

APROXIMACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Aproximar un número decimal es expresarlo con una cantidad de cifras decimales que
nos facilite, por ejemplo, operar con el número.
Aproximar un número decimal a las unidades es expresarlo sin cifras decimales.
Aproximar a las décimas, quiere decir que el número tendrá una cifra decimal
Aproximar a las centésimas, quiere decir que el número tendrá dos cifras
decimales
APROXIMACIÓN Y REDONDEO:
Aproximación por Truncamiento:
Aproximar por truncamiento es simplemente quitar las cifras decimales.
Cifra a la que se aproxima por truncamiento
Unidades décimas centésimas milésimas
7,43125 7 7,4 7,43 7,431
0,54765 0 0,5 0,54 0,547
5,55972 5 5,5 5,55 5,559
Aproximación por Redondeo
Se suma 1 a la última cifra que se deja si la siguiente, la cifra que se quita, es 5 o
mayor de 5. Observa que cuando redondeamos, por ejemplo, a la segunda cifra
decimal nos fijamos sólo en la tercera, primera que borramos, para decidir si sumamos
uno.
.
Cifra a la que se redondea
unidades décimas centésimas milésimas
7,43125 7 7,4 7,43 7,431
0,54765 1 0,5 0,55 0,548
5,55972 6 5,6 5,56 5,560
9,51524 10 9,5 9,52 9,515
9,99845 10 10,0 10,00 9,998

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO DECIMAL
1 2 2,6 3 4
El número 2,6 está comprendido entre 2 y 3.
Dividimos el segmento comprendido entre 2 y 3 en 10 partes y tomamos 6.
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES
SUMA DE NÚMEROS DECIMALES
Para sumar números decimales colocamos sus cifras en columnas. Cada columna
debe de estar formada por las cifras de igual orden. Es decir, unidades debajo de
unidades; décimas, de décimas; etc.
0,125 + 4,2 + 14,657 =
0,125
4,2
+ 14,657
RESTA DE NÚMEROS DECIMALES
Las cifras de los números se colocan en columnas. Si la parte decimal de los números
a restar no tiene la misma cantidad de cifras, se añaden ceros para que minuendo y
sustraendo tengan la misma cantidad de cifras decimales.
45,6 – 3,285 = 3,256 – 2, 5 = 56 – 1,75 =
45,600
– 3,285
3,256
– 2,500
56,00
– 1,75
PRODUCTO DE NÚMEROS DECIMALES
Multiplicación de números decimales por la unidad seguida de ceros
Se desplaza la coma del multiplicando hacia la derecha tantas cifras como ceros
tiene el multiplicador. Si el multiplicando no tiene cifras decimales suficientes para
desplazar la coma, se añaden ceros. Si añadimos ceros, la coma desaparece.

Ejemplos: desplazamos hacia la derecha la coma. Se añaden ceros si es necesario
4,125 x 100 = 412,5 0,0057 x 100 = 000,57 = 0,57
1,25 x 1000 = 1250 0,07 x 10 000 = 00700 = 700
Multiplicación de dos números decimales
Multiplicamos como si fueran enteros y separamos en el producto cifras decimales
La cantidad de cifras decimales que se separan es igual a la suma de las cifras
decimales que tienen los dos factores, multiplicando y multiplicador.
Las cifras se cuentan de derecha a izquierda. Si el producto no tiene cifras suficientes
para separar, se añaden ceros más una coma y un cero, 0.
5,82 x 4,3 = 25,026 2 + 1 = 3 cifras decimales separamos en el producto
0,25 x 0,003 = 0,000 75 2 + 3 = 5 cifras decimales separamos en el producto
NOTA: recuerda que al utilizar la calculadora las cifras decimales cero de la derecha
en la parte decimal pueden no aparecer. Ejemplo: 2,25 x 0,8 = 1,800 = 1,8
DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.
División de un número decimal por la unidad seguida de ceros
Se desplaza la coma del dividendo hacia la izquierda. Si no hay suficientes en el
dividendo, se añaden ceros más una coma seguida de un cero. Ejemplos:
387,6 : 100 = 3,876 912 : 1000 = 0,912 1,5 : 100 = 0,015 0,7 : 100 = 0,007
El dividendo es un número decimal y el divisor un entero
Dividimos como si fueran números enteros. Después de dividir, separamos en el
cociente tantas cifras decimales como cifras decimales tiene el dividendo. Si es
necesario se añaden ceros más coma cero.
6998,25 21 1,274 2 0,00384 12
069 333,25 007 0,637 024 0,000 32
068 14 00
052 00
105
000

El dividendo es un número entero y el divisor es el número decimal
Multiplicamos el dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras
decimales tiene el divisor.
División inicial Número por el que se multiplica División que se hace
34 : 0,2 10 340 : 2
54 : 2,25 100 5400 : 225
Dividendo y divisor son números decimales
Multiplicamos dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras
decimales tiene el divisor.
 El dividendo y divisor tienen el mismo número de cifras decimales:
División inicial Número por el que se multiplica División que se hace
3,5 : 0,7 = 10 35 : 7 =
0,18 : 0,04 = 100 18 : 4 =
0,005 : 0,002 = 1000 5 : 2 =
 El dividendo tiene más cifras decimales que el divisor:
División inicial Número que multiplica División que se hace manualmente
1,625 : 1,25 = 100 162,5 : 125 =
0,0069 : 0,023 = 1 000 6,9 : 23 =
 El divisor tiene más cifras decimales que el dividendo:
División inicial Número que multiplica División que se hace manualmente
67,5 : 2,25 = 100 6 750 : 225
0,04 : 0,025 = 1000 40 : 25 =
0,15 : 0,000 2 = 10 000 1500 : 2 =

Sistema métrico decimal
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.
UNIDADES DE LONGITUD
La unidad de longitud es el metro (m). El perímetro de los polígonos, la altura de las
personas, montañas; la distancia entre ciudades, profundidad, el largo o ancho se
miden con unidades de longitud.
Metro (m)
UNIDADES DE LONGITUD
NOMBRE Símbolo
MÚLTIPLOS
miriámetro mam
kilómetro km
hectómetro hm
decámetro dam
UNIDAD metro m
DIVISORES
decímetro dm
centímetro cm
milímetro
mm
Convertir una unidad mayor a otra menor: se multiplica por 1 seguido de tantos
ceros como lugares bajamos.
Convertir una unidad menor a otra mayor: se divide por 1 seguido de tantos ceros
como lugares subimos.
Ejemplo 1: Convertir 75 cm en metros, m: → 75 cm : 100 = 0,75 m
Ejemplo 2: Expresar 75 m en centímetros, cm → 75 x 100 = 7500 cm
Ejemplo 3: Expresar 2500 m en km: → 2500 : 1000 = 2,5 km
Ejemplo 4: Expresar 2,5 km en m: → 2,5 x 1000 = 2500 m

UNIDADES DE SUPERFICIE
El área es la medida de la extensión de una superficie. El cálculo del área de una
superficie se suele indicar con una fórmula.
La unidad de superficie para medir el área de una figura geométrica es el metro
cuadrado (m
2
). Un metro cuadrado es el área de un cuadrado que tiene 1 m de lado.
El área de una superficie rectangular se calcula multiplicando el largo por el ancho. El
área de los triángulos, se multiplica la base por la altura y se divide entre dos.
UNIDADES DE SUPERFICIE
NOMBRE Símbolo
MÚLTIPLOS
miriámetro cuadrado mam2
kilómetro cuadrado km2
hectómetro cuadrado hm2
decámetro cuadrado dam2
UNIDAD metro cuadrado m2
DIVISORES
decímetro cuadrado dm2
centímetro cuadrado cm2
milímetro cuadrado mm2
Ejemplo 1: Convertir 5 m2
en cm2
= 5 x 10 000 = 50 000 cm2
Ejemplo 2: Expresar 75 cm2
en m2
= 75 : 10 000 = 0,0075 m2
UNIDADES AGRARIAS:
AGRARIAS Sistema Métrico Decimal
hectárea (ha) = hm
2
área (a) = dam
2
centiárea (ca) = m
2

VOLUMEN Y CAPACIDAD
Volumen
El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Todo cuerpo ocupa un
volumen.
La unidad de volumen es el metro cúbico (m3
).
El volumen de los cuerpos geométricos se calcula aplicando una fórmula. En general,
multiplicamos el largo por ancho por alto.
Capacidad
La capacidad indica la cantidad o volumen que puede contener un recipiente.
Una bola de billar, un dado o un corcho tienen volumen pero no capacidad.
La capacidad de un recipiente es el volumen del cuerpo que lo llena. La unidad de
capacidad es el litro (l, L)
Masa
La masa indica la cantidad de materia de una sustancia o un cuerpo. La unidad de
masa es el kilogramo (Kg).
Peso
El peso mide la fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos. El peso de un cuerpo
depende de la fuerza de la gravedad. El peso de un cuerpo se calcula multiplicando su
masa por la fuerza de la gravedad. P = mg (g = 9,8 m/s2
). El peso de un cuerpo se
suele expresar en Newton (N). Cuando decimos “Yo peso 66 kilos” estoy diciendo que
yo peso 66 kilogramos-fuerza o 66 kilopondios. 1 kilopondio = 9,8 Newton
Densidad
La densidad o densidad absoluta es la magnitud que expresa la relación entre la
masa y el volumen de un cuerpo. Su unidad en el Sistema Internacional es el
kilogramo por metro cúbico (kg/m3
), aunque frecuentemente se expresa en g/cm3
.
m3

UNIDADES DE VOLUMEN
NOMBRE Símbolo
MÚLTIPLOS
miriámetro cúbico mam3
kilómetro cúbico km3
hectómetro cúbico hm3
decámetro cúbico dam3
UNIDAD metro cúbico m3
DIVISORES
decímetro cúbico dm3
centímetro cúbico cm3
milímetro cúbico mm3
Ejemplo 1: Expresa 5 m3
en dm3
:
5 m3
x 1000 = 5 000 dm3
Ejemplo 2: Expresa 75 dm3
en metros cúbicos, m3
:
75 dm3
: 1000 = 0,075 m3
UNIDADES DE CAPACIDAD
Capacidad es la magnitud que indica el volumen que un recipiente puede contener.
Las unidades de capacidad y volumen están estrechamente relacionadas. Se define el
litro como la capacidad de un recipiente que tiene 1 dm3
de volumen.
1 litro (L, l) = 1 dm3
El símbolo del litro L se propuso en 1979. Se sigue utilizando la ele minúscula (l).
El litro no es una unidad del Sistema Internacional de medidas. Es una unidad muy
utilizada en la vida común pero se recomienda que no se utilice en la ciencia.
El litro es una unidad utilizada con mucha frecuencia para medir volúmenes de
líquidos, bombonas de gas, motores, frigoríficos, microondas.

UNIDADES DE CAPACIDAD
NOMBRE Símbolo
MÚLTIPLOS
mirialitro mal
kilolitro kl
hectolitro hl
decalitro dal
UNIDAD litro l , L
DIVISORES
decilitro dl
centilitro cl – cL
mililitro ml – mL
Ejemplos:
Expresamos 45 l en mililitros (mL): 45 x 1000 = 45 000 mL
Convertimos 750 mL en litros; 750 : 1000 = 0,75 litros.
UNIDADES DE MASA
La masa es la magnitud que mide cantidad de materia de los cuerpos. La unidad
fundamental de masa en el Sistema internacional (SI) es el kilogramo (kg).
Unidad de masa Sistema Internacional
El kilogramo es un cilindro hecho de una aleación de platino e iridio. El cilindro tiene
una altura igual al diámetro de 39 milímetros. Es la única unidad que se define por un
objeto patrón y no por una característica física fundamental.
Diferencia entre masa y peso
La masa es una característica del objeto y el peso no lo es, ya que el peso depende
de donde esté el objeto. El peso de un objeto en la Luna es 9,8 veces menor que en
la Tierra y la masa no cambia.

UNIDADES DE MASA
NOMBRE Símbolo
MÚLTIPLOS
Tonelada = 1000 kg t
Quintal = 100 kg q
Miriagramo = 10 kg mag
kilogramo kg
hectogramo hg
decagramo dag
UNIDAD gramo g
DIVISORES
decigramo dg
centigramo cg
miligramo mg
Ejemplo 1: Convertir 37,8 kg en gramos (g) → 37,8 x 1000 = 37 800 g
Ejemplo 2: Pasar 45 g a kg → 45 : 1000 = 0,045 g
Ejemplo 3: Expresar 2500 kg en toneladas → 2500 kg : 1 000 = 2,5 t
Ejemplo 4: Expresar 4,5 quintales en kilogramos → 4,5 x 100 = 450 kg
RELACIÓN ENTRE UNIDADES DE VOLUMEN, MASA Y CAPACIDAD
El litro es la capacidad de un decímetro cúbico. Un kilogramo es la masa de agua
que llena un recipiente que tiene como volumen un decímetro cúbico.
VOLUMEN CAPACIDAD MASA
1m3
= 1kl = t
1 dm3
= 1l (L) = kg
1 cm3
= 1ml- mL = 1g

Relación entre unidades de volumen, masa y capacidad; ejemplos:
Volumen Capacidad Masa
12 m3
= 12 kl = 12 t
59 dm3
= 59 l = 59 kg
20 cm3
= 20 ml (mL) = 20 g
EXPRESIÓN DE MEDIDAS EN FORMA COMPLEJA E INCOMPLEJA
Forma incompleja:
Ejemplo: la expresión “Manuel mide 1,83 m”, indica la altura en forma incompleja.
La expresión incompleja de una magnitud sólo utiliza una unidad.
Forma compleja:.
Ejemplo: si decimos “Manuel mide 1 m 8 dm 3 cm”, expresamos la altura de forma
compleja.
Una magnitud se expresa en forma compleja cuando se utilizan varias unidades de la
magnitud.
Forma compleja Forma incompleja
1m 8 dm 3 cm 1,83 m
1km 5 hm 1500 m
3 t 4 q 3400 kg

Rectas y ángulos: sistema sexagesimal
RECTAS Y ÁNGULOS
PLANO, PUNTO Y RECTA
El plano en geometría es un ente ideal que posee sólo dos dimensiones y contiene
infinitos puntos e infinitas rectas. Un plano puede definirse por una recta y un punto
exterior a ella, por tres puntos o por dos rectas.
Un punto es un elemento del espacio que no tiene dimensiones, pero sí posición.
Describe una posición en el espacio determinada respecto a un sistema de
coordenadas.
Una recta es un conjunto ilimitado de puntos alineados. Al ser un conjunto ilimitado, no
se puede representar entera. No posee ni principio ni fin y está constituida por infinitos
segmentos.
Las rectas no tienen ni principio ni fin. Por tanto nosotros sólo vemos trozos de ellas,
como el canto de una mesa, el trazo de un lápiz, etc.
POSTULADOS DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Algunos postulados, afirmaciones que se admiten como verdades, de la geometría
euclidiana que relacionan puntos y rectas de la geometría son los siguientes:
 Por un punto pasan infinitas rectas y planos
 Dos puntos determinan una recta y sólo una.
 Tres puntos no alineados determinan un único plano.
 Una recta contiene infinitos puntos.
 Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.
 El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.
Los planos, rectas y puntos forman los cuerpos geométricos que nos rodean.
SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS
Un punto en una recta determina dos semirrectas. En la figura el punto A divide a la
recta en dos semirrectas s, t
La parte de una recta comprendida entre dos puntos se llama segmento.
Los segmentos se nombran a partir de los puntos que los determinan.
s A t
A B
AB
Los segmentos se miden con unidades de longitud metro (m) sus múltiplos y divisores

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO
Los tres elementos básicos de la geometría son el punto, la recta y el plano. Vamos a
observar qué posiciones podemos encontrar entre estos tres elementos.
Paralelas son aquellas que, estando en el mismo plano, no
tienen ningún punto en común.
Secantes son aquellas que tienen un punto en común
llamado punto de intersección.
Coincidentes: cuando todos los puntos son comunes.
Perpendiculares: dividen el plano en cuatro partes iguales.
ÁNGULOS
Ángulo como giro es la figura geométrica que representa la amplitud del giro de
una semirrecta respecto a su origen. La semirrecta que gira se llama semirrecta
generatriz. Cuando el giro es en el sentido contrario de las agujas del reloj el
ángulo es positivo. Si el giro es en sentido de las agujas del reloj, dextrógiro, el
ángulo es negativo.
Ángulo como región del plano: un ángulo es la región del plano limitada por dos
semirrectas que tienen el mismo origen. Al punto origen de las semirrectas se le llama
vértice del ángulo, y a las semirrectas lados.
ELEMENTOS DE UN ÁNGULO
Lados: semirrectas que señalan la amplitud del giro. Se distingue la semirrecta inicial
y semirrecta final.
Vértice: punto origen de las semirrectas.
Para nombrar un ángulo se utiliza una letra
mayúscula o tres letras que representan
el vértice y dos puntos uno sobre cada lado
AOB.

TIPOS DE ÁNGULOS
Según la posición de sus lados
Ángulo nulo
Sus lados son semirrectas coincidentes. El valor de la amplitud del giro es 0º
Ángulo completo
Sus lados son semirrectas coincidentes. El valor de la amplitud del giro es 360º
Ángulo recto
Sus lados son dos semirrectas perpendiculares. El valor de la amplitud del giro es
de 90º
Ángulo llano
Sus lados están situados en la misma recta. El valor de su amplitud de giro es 180º
0º

Atendiendo al valor de la amplitud de giro
Teniendo en cuenta el valor de la amplitud de giro expresada en grados los ángulos se
clasifican de la siguiente forma:
Ángulo agudo
Su amplitud es menor de 90º.
Ángulo recto
Amplitud igual a 90º.
Ángulo obtuso
Su amplitud es mayor de 90º.
Ángulo convexo
Mide menos de 180º
Ángulo llano
Amplitud igual a180º
Ángulo cóncavo
Mide más de 180º
Clasificación de los ángulos según su posición
Ángulos consecutivos
Tienen un lado común.
Ángulos adyacentes
Tienen un lado común y los otros dos son
semirrectas opuestas. La suma de la amplitud
de dos ángulos adyacentes es igual a 180º

Ángulos complementarios
Son dos ángulos consecutivos que
forman un ángulo recto, 90º
Ángulos suplementarios
Son dos ángulos consecutivos que
forman un ángulo llano, 180º
Ángulos opuestos por el vértice son aquéllos en los que los lados de uno son
prolongación de los del otro.
Ángulos comprendidos entre rectas paralelas
Observa los ángulos comprendidos entre las paralelas y la recta que las corta:
Los ángulos opuestos por el vértice son
iguales:
130º = 2; 1 = 3; 4 = 6; 5 = 7
Los ángulos alternos internos son
iguales:
1 = 7 y 2 = 4
Los ángulos alternos externos son
iguales:
130º = 6 y 3 = 5.
Los ángulos correspondientes son
iguales:
130º = 4; 3 = 7; 1 = 5; 6 = 2.

SISTEMA SEXAGESIMAL
El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia y fue utilizado por los
árabes. Es el sistema que se utiliza para medir el tiempo (horas, minutos, segundos) y
la amplitud de los ángulos (grados, minutos, segundos).
MEDIDAS DE TIEMPO Y AMPLITUD
Las medidas de tiempo se basan en períodos de tiempo relacionados con fenómenos
de la naturaleza.
SISTEMA SEXAGESIMAL
TIEMPO ÁNGULOS
UNIDAD EQUIVALENCIA UNIDAD EQUIVALENCIA
Hora (h)= 60 minutos Grado (º) = 60 ′
Minuto (min) = 60 segundos Minuto (′) = 60 ″
Segundo (s) = 1 segundo Segundo (″) = 1 ″

Expresión de unidades de tiempo en forma decimal y sexagesimal
Ejemplo 1: Expresamos 3h 45 min en forma decimal.
¡Atención: 3 h 45 min ≠ 3,45 h
3 h 45 min =
3 h = 3 h
45 min = 45 min : 60 = 0,75 h
Sumando = 3,75 h
3 h 45 min en forma decimal es igual a 3,75 h
Ejemplo 2:
7,6 horas =
7 = 7 h
7,6 – 7 = 0,6 0,6 x 60 = 36 min
7,6 horas = 7h 36 min
7,6 horas en forma sexagesimal = 7 h 36 min
La parte entera, 7, es el valor de la unidad en que se expresa el tiempo: 7, horas.
Restamos del número inicial su parte entera: 7,6 – 7 = 0,6
Multiplicamos por 60 el número que se obtiene después de restar: 0,6 x 60 = 36
El resultado del producto serán minutos, si la unidad inicial es horas, y segundos, si la
unidad inicial es minutos.
Ejemplo 3: Un trabajador cobra 50 € por hora trabajada. ¿Calcula cuánto percibirá por
tres trabajos cuyos tiempos de ejecución son los siguientes?
Reparación A = 4 horas 20 minutos
Reparación B = 3 horas 35 minutos
Reparación C = 2 horas 20 minutos
Total = 9 h 75 min
75 min : 60 = 1,25 h
Tiempo total expresado en horas 9 h + 1,25 h = 10,25 h x 50 = 512,50 €

OPERACIONES CON UNIDADES DE TIEMPO
Suma de unidades de tiempo:
Ejemplo: 16 h 42 min 36 s + 10 h 30 min 42 s
 Se colocan las cantidades a sumar en columnas: horas, minutos, segundos
 Se suma cada columna independientemente.
 Si en la columna segundos se obtiene 60 o un número mayor, se divide entre
60. El cociente se añade a la columna minutos. El resto se deja en la columna
segundos.
 Si en la columna minutos se obtiene 60 o una cantidad mayor, se divide entre
60. El cociente se añade a la columna horas. El resto se deja en la columna
minutos.
16 h 42 min 36 s
+ 10 h 30 min 42 s
26 h 72 min 78 s 60
+ 1 min 18 s 1 min
73 min 60
+ 1 13 min 1 h
27 h 24 h
3 h 1 día
1 día 3 h 13 min 18 s
Total suma = 1 día 3 h 13 min 18 s
Resta de unidades de tiempo:
Vamos a hacer la siguiente resta. Ejemplo 1: 24 h – 5 horas 27 minutos
 Colocamos el minuendo y sustraendo en columnas de unidades semejantes:
horas con horas, minutos con minutos, segundos con segundos.
24 h
– 5 h 27 min

 Observa que en la columna minutos no hay ninguna cantidad en el sustraendo.
Como 24 horas = 23 horas + 60 minutos, completamos la columna minutos
24 h = 23 h 60 min
5 h 27 min = – 5 h 27 min
 Ya podemos restar cada columna como si fueran dos restas independientes.
24 h = 23 h 60 min
5 h 27 min = – 5 h 27 min
18 h 33 min
Ejemplo 2: 24 h 10 min – 6 h 40 min 20 s
 Colocamos en columnas los dos miembros de la resta
24 h 10 min = 24 h 10 min
6 h 40 min 20 s = – 6 h 40 min 20 s
 Las columnas minutos y segundos no se pueden restar: la columna minutos del
sustraendo es menor y en la columna segundos no hay ninguna cantidad.
Preparamos la resta de la forma siguiente:
24 h 10 min = 23 h 69 min 60 s
6 h 40 min 20 s = – 6 h 40 min 20 s
17 h 29 min 40 s
Observa que se toma una hora para completar las columnas minutos y segundos. En
minutos se sumó 59. El minuto no sumado completa la columna segundos.

Multiplicación de unidades de tiempo
Se multiplica cada columna independientemente. Si el resultado del producto es mayor
que 60, se procede de forma semejante a la suma: dividimos entre 60, sumamos el
cociente a la columna de la unidad inmediata superior y dejamos el resto.
Ejemplo1: (2 h 30 min) x 5 =
2 h 30 min
x 5
10 h 150 60
030 2 h
+ 2
12 h 30 min
(2 h 30 min) x 5 = 12 h 30 min
Ejemplo 2: (2 h 20 min 30 s) x 5 =
2 h 20 min 30 s
x 5
10 100 150 60
+ 2 030 2 m
102 60
042 1
+ 1
11h 42 min 30 s
(2 h 20 min 30 s) x 5 = 11 h 42 min 30 s

Polígonos, circunferencia y círculo: perímetro y áreas
POLÍGONOS
Polígono es la porción de plano delimitada por una línea poligonal cerrada. En un
polígono podemos distinguir los siguientes elementos:
Vértice: Cada uno de los extremos de los segmentos que forman la línea poligonal.
Lado: Cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal.
Diagonal: Los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
Ángulo interior: Cada uno de los ángulos formados por dos lados consecutivos.
Ángulo exterior: El ángulo formado por un lado y la prolongación del consecutivo.
Perímetro: Es la suma de las longitudes de todos sus lados.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
Según el número de lados podemos clasificar los polígonos de la forma siguiente:
Triángulo Cuadrilátero Pentágono
Atendiendo a sus ángulos interiores:
Cóncavo Convexo
Convexo: Si todos sus ángulos interiores son convexos.

Cóncavo: Cuando tiene al menos un ángulo cóncavo.
Atendiendo a la longitud de sus lados y a la amplitud de sus ángulos.
Polígono regular Polígono irregular
Regular: Cuando tiene todos sus lados y ángulos iguales.
Irregular: Cuando no tiene todos sus lados y ángulos iguales.
En un polígono regular debemos de tener en cuenta los siguientes elementos:
Centro (c): Es el punto interior a él que está a la misma distancia de todos sus
vértices.
Radio (r): Es la distancia del centro a cualquiera de sus vértices.
Apotema (a): Es el segmento perpendicular desde el centro a uno de sus lados.
TRIÁNGULOS
Los triángulos son polígonos de tres lados. En un triángulo distinguimos:
La base es el lado sobre el que cae perpendicular la altura.
La altura que es siempre perpendicular a la base.
Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.
Los triángulos tienen, entre otras, las siguientes propiedades:
 La longitud de uno de sus lados no puede ser mayor que la suma de la longitud
de los otros dos lados.
 La suma de todos los tres ángulos interiores de un triángulo es 180º.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS:
Según la longitud de los lados los triángulos se clasifican en:
Equilátero: sus tres lados tienen la misma longitud y sus tres ángulos miden 60º.
Isósceles: tiene dos lados de igual longitud y, los ángulos que se oponen a los lados
iguales, la misma amplitud.
Escaleno: la longitud de los tres lados y la amplitud de los tres ángulos tienen
diferentes valores.
Atendiendo a la amplitud de sus ángulos pueden ser:
Acutángulo: todos sus ángulos son menores de 90º.
Rectángulo: tiene un ángulo recto, 90º.
Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º.

CUADRILÁTEROS
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados.
Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos o no paralelogramos.
PARALELOGRAMOS:
Tienen sus lados paralelos dos a dos. Los cuadriláteros paralelogramos son los
siguientes:
Cuadrado:
Los cuatro lados iguales.
Sus cuatro ángulos son rectos.
Rectángulo:
Los lados iguales dos a dos.
Sus cuatro ángulos son rectos.
Rombo:
Sus cuatro lados iguales.
Sus ángulos iguales dos a dos.
Romboide:
Sus lados son iguales dos a dos
Sus ángulos iguales dos a dos.

TRAPECIOS:
Son cuadriláteros que sólo tienen dos lados paralelos. Los lados paralelos se llaman
bases.
Trapecio rectángulo:
Tiene un ángulo recto.
Se forma si cortamos un triángulo rectángulo paralelamente
a su base.
Los lados paralelos de un trapecio son las bases del
trapecio.
Trapecio isósceles:
Los dos lados no paralelos tienen la misma longitud.
Se forma al seccionar un triángulo isósceles paralelamente
a la base.
Los lados paralelos son las bases del trapecio.
Trapecio escaleno:
La longitud de cada uno de sus lados tienen una longitud
diferente.
Se forma al seccionar un triángulo escaleno paralelamente a
la base
Los lados paralelos son las bases del trapecio.
TRAPEZOIDES
Son cuadriláteros en los que ninguno de sus cuatro lados es paralelo a otro. El
trapecio comparte con los cuadriláteros convexos el que la suma de sus ángulos
convexos es 360º. Un ejemplo de trapecio es una cometa.

PERÍMETRO Y ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
Perímetro: en un polígono el perímetro es la suma de las longitudes de todos sus
lados.
El perímetro se expresa con unidades de longitud (metros, centímetros, etc.).
Área: el área es la medida de una superficie. Las unidades que se utilizan para
expresar el área de un polígono son el metro cuadrado, m2
o sus múltiplos o
divisores.
El área de una superficie se calcula aplicando una fórmula.
ÁREAS DE LOS CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros son polígonos que tienen cuatro lados. La figura siguiente es un
cuadrilátero irregular:
ÁREA DEL RECTÁNGULO
Perímetro: 2b + 2a
Área del rectángulo = base x altura
O también: largo x ancho.
Área = b · h
ÁREA DEL CUADRADO
Perímetro = 4 x lado
El área del cuadrado
Como el cuadrado tiene todos los lados
iguales, podemos expresar su área como
la longitud del lado al cuadrado.
Área = l2

ÁREA DEL ROMBO
Perímetro = 4 x lado
El área del rombo es el producto de la
diagonal mayor por la diagonal menor
dividido entre dos:
2
d·D
Área 
ÁREA DEL ROMBOIDE
Perímetro = 2b + 2 x lado
El área del romboide es igual al
producto de la base por la altura.
Área = b · h
EL ÁREA DE UN TRAPECIO
Perímetro = suma bases + lados no
paralelos
En la figura de la izquierda tenemos un
trapecio de base mayor b, menor b’ y
altura h. colocamos dos trapecios
iguales para que formen un romboide.
Aplicando la fórmula del cálculo de la
superficie de un romboide tenemos:
h·
2
bb
S


El área del trapecio es la suma de sus bases por la altura dividido entre dos.
El área del trapecio será la mitad del área del romboide construido.

Recuerda que las bases de un trapecio son los dos lados paralelos y la altura la
distancia entre las dos bases.
La fórmula anterior se puede expresar de la forma siguiente:
2
h•b)(B
A


B = base mayor b = base menor h = altura
ÁREA DEL TRIÁNGULO
Perímetro = suma de sus lados:
11 cm + 11 cm + 7,5 cm = 29,7 cm
Área del triángulo, equivale a la mitad del
área de un cuadrilátero.
El área del triángulo es igual al producto
de la base por la altura dividido entre
dos.
2
cm5,38
2
77
2
7·11
2
h·b
A 
ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR
Perímetro: numero lados por la longitud de
cada lado.
El área del polígono, matemáticamente se
expresa con la fórmula:
2
a·P
2
apotema·Perimetro
A 

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO
Circunferencia: se puede definir como un conjunto de puntos que están a la misma
distancia de otro llamado centro. La circunferencia es el perímetro de un círculo, no
tiene área.
Círculo: es la superficie plana limitada por una circunferencia.
Circunferencia Círculo
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Centro: es el punto respecto al que todos los puntos
de la circunferencia están a la misma distancia.
Cuerda: segmento que une dos puntos de la
circunferencia.
Diámetro: cuerda que pasa por el centro. Su longitud
coincide con el ancho del círculo o circunferencia.
Radio: el segmento que une el centro con un punto de
la circunferencia. Su longitud es la mitad del
diámetro.
Arco: parte de la circunferencia comprendida ente
dos puntos.
Otras figuras ligadas a la circunferencia y el círculo son las siguientes:
Sector circular Segmento circular Semicírculo Corona circular

ÁREA DEL CÍRCULO Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
Perímetro círculo = circunferencia
La circunferencia es una línea, el borde del
círculo, tiene longitud no área.
Longitud circunferencia = 2r
Área del círculo como un polígono regular de
infinitos lados y cuyo perímetro es la longitud
de la circunferencia:
Área círculo = r2
ÁREA CORONA CIRCULAR
El área de la corona circular se calcula
restando al área del círculo mayor el área
del círculo menor.
Matemáticamente se expresa con la
fórmula:
Área corona circular = R2
– r2
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
Sector circular es la parte de círculo
comprendida entre dos radios y el arco que
determinan.
El área del sector circular: se calcula el área
del círculo, se divide entre 360 y luego se
multiplica por la amplitud del arco del sector
expresada en grados.
360
nºr
=sectordelÁrea
2


ÁREA DE POLÍGONOS IRREGULARES
Para calcular el área de un polígono irregular lo descomponemos en otros polígonos
más sencillos de los que nos resulte fácil calcular el área.
Un primer método consiste en trazar las diagonales de uno de sus vértices, quedando
el polígono dividido en triángulos.
En otras ocasiones se puede calcular dividiendo convenientemente una de sus
diagonales y trazando desde todos sus vértices perpendiculares a ella, quedando el
polígono dividido en triángulos, cuadrados rectángulos, etc.
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS COMPUESTAS
En numerosas ocasiones, para calcular el área de una figura plana, nos resulta más
sencillo su cálculo descomponiéndola en otras de las que nos resulta más fácil calcular
sus áreas.
La figura compuesta se ha descompuesto en un trapecio, un rectángulo y dos
triángulos.
Las áreas de estos polígonos serán las siguientes:
2
tra2tri1rectrap
2
tri2
2
tri1
2
rect
2
trap
cm433=10075+225+33
=AAA+A=A
:AfiguraladetotaláreaEl
dm100
2
8·25
2
a·b
A
dm75
2
25·6
2
b·a
A
dm22525·9b·aA
dm33
2
9)·3(13
2
b)·a(B
A











MANEJO CORRECTO DE LOS INSTRUMENTOS Y MATERIALES DE
MEDIDA
El compás sirve para trazar circunferencias y para trasladar segmentos.
La regla milimetrada sirve para trazar rectas y medir segmentos. Está numerada en
centímetros y las divisiones intermedias expresan milímetros. Para poder trabajar con
comodidad la longitud de la regla debe estar entre 30 y 50 cm y debe ser de plástico
transparente, para permitir ver, a través de ella, lo dibujado. Para trazar rectas es
mejor utilizar el borde no graduado de la regla.
La escuadra y el cartabón se pueden usar por separado, aunque resultan
especialmente útiles cuando se emplean conjuntamente.
TRAZADO DE PARALELAS:
Para trazar paralelas basta con deslizar la escuadra sobre el cartabón, sin que se
mueva el cartabón, e ir trazando las distintas paralelas a la distancia que nos
convenga.
TRAZAR PERPENDICULARES:
Para trazar perpendiculares a las paralelas de la imagen anterior se procede de la
forma siguiente. Se gira la escuadra como se muestra en la figura siguiente:
Se mantiene fijo el cartabón y se trazan las perpendiculares a las paralelas
TRAZAR POLÍGONOS REGULARES: HEXÁGONO
Un polígono regular es el que tiene los lados y los ángulos iguales. Los polígonos
regulares pueden inscribirse en una circunferencia, llamada circunferencia
circunscrita. Los elementos de un polígono regular son:

 Centro: es el punto que equidista de todos los vértices. Coincide con el centro
de la circunferencia circunscrita.
 Radio: es el segmento que une el centro con un vértice. Mide lo mismo que el
radio de la circunferencia circunscrita.
 Apotema: es el segmento que une el centro con el punto medio de un lado.
Materiales: Un compás y una regla.
Procedimiento
 Dibujamos una circunferencia de cualquier radio.
 A continuación trasladamos ese mismo radio a un punto cualquiera de la
circunferencia que la cortará en otro punto, desde este último punto se vuelve a
repetir la operación anterior por un total de seis veces.
 Para la construcción del hexágono basta con unir esos 6 puntos de corte con
segmentos.
DIVIDIR UN SEGMENTO A LA MITAD Y DIBUJAR LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Fracciones
FRACCIONES
CONCEPTO DE FRACCIÓN
Definimos la fracción desde cuatro puntos de vista: como parte de la unidad,
cociente, operador y razón.
La fracción como parte de la unidad:
Una fracción tiene dos términos: numerador, a, y denominador, b.
n erad r
den inad r
=
a
b
“a”, el numerador, señala la cantidad de partes de un todo, unidad, a que nos
referimos.
“b” el denominador indica en cuántas partes hemos dividido el todo, la unidad.
El denominador se lee enteros, medios, tercios, cuartos, quintos, sextos,
séptimos, octavos, novenos, décimos, onceavos, doceavos, …; centésimos,
milésimos…dependiendo de que el número del denominador sea: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 , 10, 11, 12, …; 100, 1000…
La fracción como cociente:
Una fracción
b
a
expresa el cociente entre dos números, a y b. El numerador, a,
equivale al dividendo; y el denominador, b, al divisor de una división.
3 : 7 =
7
3
La fracción como operador:
Una fracción como operador multiplica a cualquier número por el numerador y
divide entre el denominador. Ejemplos:
18
4
72
4
24·3
24·
4
3

15
100
1500
100
300·5
300·
100
5


Fracciones
La fracción como razón y proporción
Una razón relaciona dos magnitudes: antecedente y consecuente. El numerador
de una fracción puede interpretarse como el antecedente y el denominador, como el
consecuente. Si decimos que la proporción entre hombres y mujeres asistentes a una
reunión es de 3 a 2, estamos diciendo que por cada 5 asistentes 3 son hombres y 2
mujeres.
La expresión matemática de la razón entre las mujeres y asistentes es
5
2
Los porcentajes son la relación de proporcionalidad que se establece entre un número
y 100, tanto por ciento (%), o respecto a mil, tanto por mil (‰).
TIPOS DE FRACCIONES.
Fracción unidad
El numerador y el denominador son iguales. La fracción unidad equivale a 1.
Ejemplos de fracciones unidad:
2
2
7
7
5
5
3
3

Fracción propia
La fracción propia tiene el numerador menor que el denominador. Las fracciones
propias representan una cantidad menor a la unidad 1.
Ejemplos de fracciones propias:
2
1
5
2
7
3
Fracción impropia
La fracción impropia tiene el numerador mayor que el denominador. Las fracciones
impropias representan cantidades mayores a la unidad 1.
Ejemplos de fracciones impropias:
1
2
10
20
2
8
2
6
Fracciones decimales
Consideramos como fracciones decimales las fracciones que tienen como
denominador 10 o potencias de 10.
1000
8
100
6
10
25
1000
28
1000
65
5·2
65

Fracciones
FRACCIONES EQUIVALENTES
Las figuras siguientes representan las fracciones
3
2
y
12
8
1 2 3
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
12
8
Las dos fracciones son equivalentes. Las dos representan la misma parte de un todo,
unidad. Matemáticamente se indica de la forma siguiente:
12
8
3
2

Propiedad fundamental de las fracciones equivalentes:
Dos fracciones equivalentes cumplen la siguiente propiedad:
c·bd·a
d
c
b
a







 Ejemplo:
12
8
3
2
 → 2 · 12 = 3 · 8
Obtención de fracciones equivalentes a una fracción dada
Las fracciones equivalentes se pueden obtener por amplificación o simplificación.
AMPLIFICAR FRACCIONES: MÉTODO DE LOS PRODUCTOS SUCESIVOS
Si multiplicamos el numerador y denominador de una fracción por un mismo número
obtenemos fracciones equivalentes:
x·b
x·a
b
a
 Siendo x un número entero cualquiera
Ejemplo:
60
48
2·30
2·24
30
24
3·10
3·8
10
8
2·5
2·4
5
4
 →
60
48
30
24
10
8
5
4


Fracciones
SIMPLIFICAR FRACCIONES: MÉTODO DE DIVISIONES SUCESIVAS
Si dividimos el numerador y denominador de una fracción por el mismo número o por
el máximo común divisor del numerador y denominador obtenemos una fracción
simplificada.
xb
xa
b
a
:
:
 Siendo x un divisor o el m. c. d. (a, b)
Ejemplo:
5
4
5:25
5:20
25
20
2·:50
2:40
50
40
 →
5
4
25
20
50
40

REDUCIR A COMÚN DENOMINADOR
Reducir a común denominador varias fracciones consiste en hallar fracciones
equivalentes a las dadas que cumplan la condición de tener todas ellas el mismo
denominador.
Para reducir fracciones a común denominador podemos usar los productos cruzados
o calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Método de los productos cruzados
 Multiplicamos todos los denominadores de las fracciones, el resultado será
el denominador de las fracciones reducidas.
 Multiplicamos el numerador de cada fracción por los denominadores de
todas las demás fracciones, el resultado será el numerador de la fracción
cuyo numerador se multiplicó por los denominadores de las otras.
Ejemplo: Reducimos a común denominador las siguientes fracciones:
6
5
4
3
2
1
 Multiplicamos todos los denominadores de las fracciones, el resultado será el
denominador de todas las fracciones reducidas:
6·4·26·4·2·64·2
 Multiplicamos el numerador de cada fracción por el denominador de todas las
demás fracciones, el resultado será el numerador de cada fracción reducida.
48
40
48
36
48
24
6·4·2
2·4·5
6·4·2
6·2·3
6·4·2
6·4·1

Se comprueba que las fracciones obtenidas son equivalentes a las iniciales aplicando
la definición de equivalencia; o, simplemente haciendo la división que representan.

Fracciones
COMPARACIÓN DE FRACCIONES
Para comparar varias fracciones deben de tener el mismo denominador.
Comparar Fracciones que tienen el mismo denominador:
La fracción mayor es la que tiene mayor numerador; la fracción menor, el menor
numerador.
10
2
10
5
10
7
 O si las ordenamos de menor a mayor;
10
7
10
5
10
2

Fracciones con diferente denominador y numerador
Primero reducimos a común denominador las fracciones y después las comparamos.
Aplicamos el criterio: la mayor es la que tiene mayor numerador y la menor, el menor.
Ejemplo: ordenar de mayor a menor las fracciones siguientes:
5
2
,
6
4
,
3
1
Reducimos a denominador común utilizando el sistema de productos cruzados
90
36
90
60
90
30
3·6·5
2·3·6
,
3·6·5
4·3·5
,
3·6·5
1·6·5
Aplicando el criterio de que cuando el denominador es el mismo la fracción mayor es
la que tiene el mayor numerador y teniendo en cuenta que 30 > 36 > 60:
3
1
5
2
6
4

OPERACIONES CON FRACCIONES
Para sumar o restar fracciones deben de tener el mismo denominador. Por lo tanto,
si queremos sumar o restar fracciones con diferente denominador, antes de operar
debemos reducirlas a común denominador.
Los dos métodos para reducir fracciones a común denominador son el procedimiento
de productos cruzados o el cálculo del mínimo común múltiplo de los denominadores
de las fracciones.
Si se utiliza el método de los productos cruzados, simplificar la fracción obtenida
puede facilitar las operaciones posteriores o la interpretación del resultado.

Fracciones
SUMA DE FRACCIONES CON EL MISMO DENOMINADOR
El resultado de la suma de fracciones que tienen el mismo denominador es otra
facción que tiene el mismo denominador y como numerador la suma de los
numeradores de las fracciones que sumamos. Ejemplo:
5
9
5
234
5
2
5
3
5
4



Suma de fracciones con diferente denominador
Reducimos a común denominador, sumamos los numeradores obtenidos.
Ejemplo: la reducción se hace mediante el sistema de productos cruzados:
72
150
72
901248
4·6·3
3·6·54·3·14·6·2
4
5
6
1
3
2





En resumen, para sumar las fracciones se procede de la forma siguiente:
 Se multiplican los tres denominadores: el resultado es el denominador de la
fracción suma.
 Se aplica el sistema de productos cruzados: cada numerador de las
fracciones se multiplica por todos los denominadores menos el suyo. El
resultado sustituye al numerador que se multiplica.
 Sumamos los numeradores obtenidos mediante el procedimiento de
productos cruzados.
 Simplificamos la fracción suma si es posible. La fracción obtenida en nuestro
ejemplo sí lo es.
12
25
36
75
72
150

Suma de un número entero y una fracción:
El resultado es una fracción que tendrá como denominador el denominador de la
fracción, el numerador será la suma del numerador de la fracción más el resultado
de multiplicar el número entero por el denominador de la fracción.
Recuerda que un número entero se expresa como una fracción con denominador 1.
Ejemplo 1:
5
17
5
215
5
25·3
5
2
3 




Ejemplo 2:
7
59
7
8·73
8
7
3




Fracciones
Resta de fracciones de igual denominador
Para restar se procede de forma semejante a la suma: debemos reducir a común
denominador las fracciones que queremos restar si no tienen igual denominador.
9
3
9
58
9
5
9
8



Resta de fracciones con diferente denominador
Aplicamos el sistema de productos cruzados para reducir a común denominador y
restamos las fracciones obtenidas que son equivalentes a las iniciales.
Ejemplo 1:
10
5
50
3540
10·5
5·710·4
10
7
5
4





10
1
ndosimplifica
50
5

Ejemplo 2:
3
9
27
9
330
9
35·6
5
3
6 




Producto de fracciones
Para multiplicar fracciones no es necesario reducirlas a común denominador.
El resultado del producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por
numerador el producto de los numeradores de los factores, y por denominador, el
producto de los denominadores.
Ejemplo1:
210
24
6·7·5
3·2·4
6
3
·
7
2
·
5
4

Ejemplo 2:
7
6
1·7
3·2
3·
7
2


Fracciones
FRACCIÓN INVERSA
La fracción inversa de una fracción dada es otra fracción que tiene los mismos
términos invertidos: el numerador de la fracción inicial será el denominador de la
fracción inversa; el denominador de la inicial, el numerador de la fracción inversa.
Ejemplo 1: la fracción inversa de
5
4
es
4
5
La fracción inversa de un número entero es una fracción con numerador 1. Recuerda
que un número entero se expresa como una fracción con denominador 1.
Ejemplo 2: la fracción inversa del número entero 5 es
5
1
El cociente de dos fracciones
La división de fracciones la convertimos en la multiplicación de la primera fracción
por la inversa de la segunda fracción.
¿Por qué? Porque interpretamos la división como el producto inverso de los términos
que dividimos.
Observa cómo convertimos la división inicial en una multiplicación por el inverso del
divisor:
4
3
12
3
1·12
3
1
·123:12 
Ejemplos de divisiones:

9
14
3
7
·
3
2
7
3
:
3
2


18
5
3
1
·
6
5
3:
6
5

 5 :
100
4
= 5 ·
4
100
=
4
500

72
10
6·4·3
1·5·2
6
1
·
4
5
·
3
2
6:
5
4
:
3
2


Fracciones
LA FRACCIÓN COMO RAZÓN Y OPERADOR: TANTO POR CIENTO
El tanto por ciento, por ejemplo 4 %, puede ser expresado como una fracción decimal
con denominador igual a 100.
El 100 en el tanto por ciento representa al todo.
4 % =
100
4
FRACCIÓN COMO OPERADOR: TANTO POR CIENTO
Si aplicamos una fracción como operador a un número, el numerador multiplica a
ese número y el denominador divide al resultado de esa multiplicación.
El tanto por ciento es un operador que divide siempre entre 100. El tanto por mil, un
operador que divide entre 1000.
Ejemplo 1: Calcula la cantidad que me descuentan en un artículo cuyo precio es 300 €,
si me aplican el 20% de descuento.
Solución interpretando el tanto por ciento como una fracción aplicada como operador
sobre el precio inicial:
€60
100
300·20
300·
100
20

Ejemplo 2: Calcula cuánto tengo que pagar por un artículo cuyo precio es 300 € si me
hacen un descuento del 20%.
Si por lo que cuesta 100 € pago 80, quiere decir que el precio final es el 80% del
precio inicial. Para calcular el precio final aplico el tanto por ciento como operador:
€240
100
00024
100
300·80
300·
100
80
 Precio final del artículo
Ejemplo 3: Calcular el precio final de un artículo al que se le aplica un IVA del 21% si
el precio inicial es 500 €.
€105
100
50010
100
500·21
500·
100
21

500 + 105 = 605 € preci final
Otra forma de hacer el ejercicio es razonar así:
100
121
inicialprecio100
IVAelaplicandofinalprecio121
 → €605
100
50060
100
500·121
500·
100
121


Fracciones

Proporcionalidad
PROPORCIONALIDAD
RAZÓN
La razón es la relación entre dos magnitudes. La razón se expresa como cociente
entre las magnitudes.
econsecuent
eantecedent
b
a

El término a se llama antecedente y el b, consecuente. La razón se lee: “a es a b”
PROPORCIÓN
La igualdad entre dos o más razones es una proporción.
d
c
b
a
 “a es b, como c es a d.”
Los términos a y d son los extremos; los términos b y c, los medios.
Ejemplo de proporción:
12
3
=
3
9
Extremos 12 y 9 Medios: 3 y 36
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES
En toda proporción “el producto de medios es igual al producto de extremos”. En
general:
c·bd·a
d
c
b
a








La proporción
9
36
3
12
 cumple la propiedad fundamental: 12 · 9 = 3 · 36
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD
La constante de proporcionalidad es el resultado de dividir el valor del consecuente
entre el valor del antecedente.
Ejemplo: La constante de proporcionalidad de la proporción siguiente es 4:
12
3
=
3
9
= 4

Proporcionalidad
CUARTO PROPORCIONAL
Cuarto proporcional es el término desconocido de una razón. El cuatro proporcional se
representa con una de las siguientes letras: x, y, z. Ejemplo:
60
x
12
2

CÁLCULO DEL CUARTO PROPORCIONAL
Para calcular el cuarto proporcional se procede de la forma siguiente:
1. Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones:
12 · x = 2 · 60
2. Se despeja la x:
x = 10
12
60·2

El cálculo del cuarto proporcional fundamenta la regla de tres como método para
solucionar problemas en los que aparecen datos relacionados proporcionalmente.
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
La relación entre dos magnitudes es directamente proporcional cuando al multiplicar
o dividir una de ellas por un número, la otra magnitud relacionada con ella queda
multiplicada o dividida por el mismo número.
Dicho de otra forma, si a un aumento o disminución del antecedente le
corresponde un aumento o disminución de su consecuente, la relación entre las
dos magnitudes es directamente proporcional. “La relación es de más a más o de
menos a menos”.
Ejemplos:
La relación entre la cantidad de un artículo y el precio a pagar. La relación entre
distancia recorrida y consumo de combustible.
La relación entre la velocidad y la distancia recorrida, relación entre el espacio y el
tiempo. La relación entre la fuerza que se aplica a un objeto y la aceleración que
adquiere.

Proporcionalidad
APLICACIONES DEL CONCEPTO PROPORCIONALIDAD
REGLA DE TRES
La regla de tres simple nos permite solucionar situaciones en las que intervienen
magnitudes proporcionalmente relacionadas.
Para resolver una regla de tres, inicialmente determinamos tres pasos a seguir:
1º. Plantear la proporción.
2º. Aplicar la propiedad fundamental de las proporciones.
3º. Despejar la x, cuarto proporcional.
Ejemplo: Tres botellas de leche nos han costado 0,90 €. Calcule lo que nos costará
una docena de botellas.
1º. Plantear la proporción.
3 botellas → 0,90 €
12
3
x
0,90

12 botellas → x
3x = 0,90 · 12
€3,60
3
12·0,90
x 
PORCENTAJES
Definimos porcentaje como la razón que relaciona una cantidad con un todo
representado por 100.
El porcentaje nos permite comparar conjuntos con diferente cantidad de elementos.
Ejemplo 1: El 20% de los 70 coches vendidos durante este mes son de color blanco.
¿Cuántos coches blancos se han vendido?
Solución interpretando el tanto por ciento como una fracción con denominador 100 que
se aplica como operador:
coches1470·
100
20
x 
Solución del problema interpretando el porcentaje como razón.

Proporcionalidad
1. Planteamos la proporción, la razón primera es la tiene el término x:
100 vendidos → 20 blancos
70 vendidos → x
→ 70
100
x
20

2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones : 100x = 20 · 70
3. Despejamos la x:
14
100
1400
100
70·20
x  Coches blancos
Ejemplo 2: Si 6 de los 30 encuestados prefieren los coches de gasolina, calcula el
tanto por ciento de encuestados que prefieren un coche de gasolina.
1. Planteamos la proporción, la razón primera es la que tiene el término x:
Si de 30 encuestados → 6 prefieren gasolina
→
100
30
x
6

Si fueran 100 → x“ “
2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones: 30x = 6· 100
3. Despejamos la x:
20
30
6·100
x  → 20% de los encuestados prefieren coches de gasolina.
Solución utilizando el procedimiento de reducción a la unidad:
20100·
30
6
x  %
Ejemplo 3: He pagado 158 euros después de hacerme un 20% de descuento ¿Cuál
era el precio inicial del artículo?
80 precio final  100 precio inicial

158
80
x
100
  €197,50
80
158x100
x 
158  x

Proporcionalidad
Ejemplo 4: Juan colocó 225 cajas de las 500 que tenía que colocar. Pedro colocó 264
de las 600 que le correspondían. ¿Cuál de los dos trabajó más eficazmente?
Razónalo.
Calculamos el porcentaje que ha colocado cada uno. Utilizamos el sistema de
reducción a la unidad:
45%100·
500
225
 Juan
44%100·
600
264
 Pedro.
Juan trabajó con más eficacia. El porcentaje nos indica que si las cajas a colocar
fueran 100, Juan habría colocado 45 y Pedro, 44.
PROBLEMAS DE IVA
Ejemplo 1: Calcula el IVA de un artículo cuyo precio inicial es 600 €. El tipo de IVA
aplicado es el 21%.
Si el precio inicial es 100 → 21 € paga s de IVA
por 600 → x pagaremos “ “
Aplicando los tres pasos a seguir para solucionar una regla de tres, procedemos de la
forma siguiente:
1. Proporción 2. Propiedad fundamental 3. Despejamos la x
600
100
x
21
 100x = 21 · 600 €126
100
600·21
x 
Solución interpretando el tanto por ciento como una fracción aplicada como operador:
IVAde€126600·
100
21
x 
Para calcular el precio final, con el IVA añadido al precio inicial:
600 + 126 = 72 € preci final

Proporcionalidad
Segunda interpretación del IVA: Si el precio inicial es de 100 €, el precio final, su
precio después de aplicar el IVA, será 121 €.
Precio inicial Precio final

600
100
x
121
 
100
600·121
x  = 726 €100 → 121 €
600 → x
NOTA: el precio final de un artículo se calcula, sin hacer la regla de tres,
multiplicando el precio inicial por 1,00 + % IVA. Es decir, si el IVA es el 21%,
multiplicamos el precio inicial por 1,21. Si fuera el 8% de IVA, multiplicaríamos el
precio inicial por 1,08.
Ejemplo: Hemos pagado 605 € por un artículo después de aplicarle el 21%. IVA
Calcula el precio inicial y el IVA.
Pagamos 121 € → 100 € preci inicial
Si pagamos 605 → x
1º. Planteamos la proporción:
605
121
x
100

2º. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones:
121x = 100 · 605
3º. Despejamos la x:
€500
121
605·100
x  Precio sin IVA
605 – 500 = 105 € supuso el IVA
El grafico siguiente resume los tres pasos aplicados en la regla de tres simple directa:
observa que el número en diagonal con la x es el que divide al producto de los otros
dos.
A
C·B
x 
A B
C X

Proporcionalidad
PROPORCIONALIDAD INVERSA
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
La relación entre dos magnitudes es inversamente proporcional cuando al multiplicar
o dividir la primera por un número la segunda queda dividida o multiplicada por el
mismo número.
Dicho de forma: dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando a un
aumento o disminución de una le corresponde una disminución o aumento de la
relacionada proporcionalmente.
Ejemplos
“La relación entre la velocidad y el tiempo en recorrer una determinada distancia.”
“La relación entre trabajadores y el tiempo en terminar la misma tarea.”
“La relación entre la densidad y el volumen.”
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Para solucionar la regla de tres inversa aplicamos los tres pasos utilizados en la regla
de tres directa. La diferencia radica en que al escribir la proporción, invertimos los
términos de la razón que no contiene la incógnita.
Ejemplo 1: Dos trabajadores tardan 24 días en hacer una tapia. ¿Cuánto tardarán en
hacer el mismo trabajo 6 trabajadores?
1º. Plantear la proporción. Invertimos la razón que no tiene la incógnita:
A + trabajadores – días.
2 trabajadores → 24 días
2
6
x
24

6 → x
6 · x = 24 · 2
días8
6
48
6
2•24
x 

Proporcionalidad
Ejemplo 2: Manuel circulando a una velocidad media de 75 km/h tardó 4 horas en
llegar a su destino. Calcula el tiempo que emplearía si llevara una velocidad media de
50 km/h
Inversa: a – le corresponde +
75 km/h → 4 horas
50 “ → x
Aplicamos los tres pasos para solucionar cualquier regla de tres simple:
1. Proporción 2. Propiedad fundamental 3. Despejamos la x
75
50
x
4
 50x = 4 · 75 horas6
50
75·4
x 
El grafico siguiente resume los tres pasos aplicados en la regla de tres inversa:
observa que el número que está a la altura y frente a la x es el que divide al producto
de los otros dos.
C
B·A
x 
A B
C X

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