1. Coordenadas Polares-UNC
Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa
ÍNDICE
COORDENADAS POLARES.
I.
DEFINICIÓN…………………………………………….. 01
II.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS POLARES A
CARTESIANAS Y VICEVERSA.……………………… 04
III.
ECUACIONES CANÓNICAS DE LAS SECCIONES CÓNICAS
EN COORDENADAS POLARES……………………… 05
IV.
TRAZADO DE CURVAS EN COORDENADAS
POLARES………………………………………………... 12
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS……………………………. 17
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COORDENADAS POLARES
I.
DEFINICIÓN. Sea O un punto fijo, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un
rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura No. 01. A continuación, a cada
punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, θ), como sigue.
Donde:
r : distancia dirigida de O a P, radio vector.
θ : ángulo dirigido, en sentido contrario al de
las manecillas del reloj desde eleje polar hasta
el segmento OP.
Figura No. 01
“Las coordenadas polares de un punto se indican dentro de un paréntesis, escribiéndose
primero el radio vector. Así, las coordenadas de P se escriben (r,θ).
El ángulo polar θ se mide como en trigonometría considerando el eje polar como lado
inicial y el radio vector como lado final del ángulo, es decir, partiendo del eje polar hacia el
radio vector; se considera positivo o negativo según que el sentido seguido sea opuesto al
de las manecillas de un reloj o el mismo. Algunos autores, siguiendo los convenios hechos
en trigonometría, consideran que el radio vector nunca debe ser considerado como
negativo; otros autores, en cambio, admiten que el radio vector puede tomar todos los
vectores reales. Nosotros seguiremos este último convenio. Según esto, si un punto tiene un
radio vector negativo, se mide primero el ángulo polar de la manera ordinaria, y después se
toma el radio vector en la prolongación del lado final. Así pues el punto P tendría como
coordenadas (-r, θ)”.
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Ejemplo. Como se muestra en la figura No. 02, muestra tres puntos en el sistema de
coordenadas polares. Obsérvese que en este sistema es conveniente localizar los puntos
con respecto a una retícula de circunferencias concéntricas intersecadas por rectas
radiales que pasan por el polo. (1)
Figura No. 02
En coordenadas rectangulares, cada punto tiene una representación única. Esto no sucede
con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, θ) y (r, 2π+ θ) representan el
mismo punto [ver los apartados b) y c) de la figura No. 02].También, como r es una
distancia dirigida, las coordenadas (r, θ) y (-r, θ+π) representan el mismo punto. En general,
el punto (r, θ) puede expresarse como:
(r, θ) = (r, 2π+ θ)
O
(r, θ) = (-r, θ+ (2n+1)π),
Donde n es cualquier entero. Además, el polo está representado por (0, θ) donde θ
es cualquier ángulo.
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“El trazo de puntos en el sistema polar se facilita considerablemente usando papel
coordenado polar, que consiste en una serie de circunferencias concéntricas y rectas
concurrentes. La circunferencia tiene su centro común en el polo y sus radios son múltiplos
enteros del radio más pequeño, tomados como unidad de medidas. Todas las rectas pasan
por el polo, y los ángulos formados por cada par de rectas consecutivas son iguales”.
Un ejemplo de este papel está representado en la siguiente figura donde se han trazado los
puntos: P1= (4, 2π/3), P2 = (4, π/6), P3 = (2, -π/12), P = (-3, π/3)
P1
P2
P3
P4
Figura No. 03
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II. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS Y VICEVERSA.
Para establecer una relación entre coordenadas polares y
rectangulares, se hace coincidir el eje polar con el eje x
positivo y el polo con el origen, como se ilustra en
lafigura No.04. Puesto que (x, y) se encuentra en un
círculo de radio r, se sigue que:
Figura No. 04
r2 = x2+ y2.
Para r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que:
tanθ= y/x ,cosθ=x/r ,
senθ=y/r.
Si r < 0,estas relaciones también son válidas, como se puede verificar.
TEOREMA 01: Si el polo y eje polar del sistema de coordenadas polares
coinciden, respectivamente, con el origen y parte positiva del eje x de un
sistema de coordenadas o cartesianas el paso de uno a otro de estos dos
sistemas puede efectuarse por medio de las siguientes fórmulas de
transformación:
X = r cosθ, y = r senθ, x2+ y2 = r2, θ = arctg(y/x), r = ±
𝑥
𝑦
Ejemplos:
1.
Encuentre las coordenadas polares del punto P= (1, 1).
Resolución
De la gráfica:
Usando las transformaciones
r=√
=√
Gráfica No. 01
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A demás se podría utilizar otras equivalencias polares:
2. Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación polar es: r2 = 2 sen
Resolución
Se sabe que r2 = x2+ y2,
Como r2 = 2 senθ
y= r senθ
senθ=
x2 + y2 =
(
)
III. ECUACIONES CANÓNICAS DE LAS SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS
POLARES. La ecuación polar de una cónica toma una forma particularmente sencilla y útil
cuando uno de los dos focos (Fig. No. 05) está en el polo y el eje focal coincide con el eje
polar. Sea la recta “l” la directriz correspondiente del foco O; esta recta es perpendicular al
eje polar, sea D el punto de intersección.
̅̅̅̅
Designemos la distancia |𝑂𝐷|, entre el
l
foco y la directriz, por la cantidad
P(r, θ)
C
positiva “d”. Sea P(r, θ) un punto
cualquiera de la cónica. Desde P
r
D
θ
d
̅̅̅̅
tracemos las perpendiculares |𝑃𝑂|y
O B
̅̅̅̅
|𝑃𝐶 | al eje polar y a la directriz,
Figura No. 05
respectivamente.
Según ella el punto P debe satisfacer la condición geométrica
|̅̅̅̅|
=
|̅̅̅̅ |
e,… (1)
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en donde e es la excentricidad. Ahora bien,
|̅̅̅̅|= r
y
|̅̅̅̅ |
|̅̅̅̅|
|̅̅̅̅|
|̅̅̅̅|= d
r cosθ.
Sustituyendo estos valores en (1), obtenemos:
,
de donde,
… (2)
Podemos demostrar, recíprocamente, que cualquier punto cuyas coordenadas satisface la
ecuación (2) satisface la condición geométrica (1) y, por tanto, está sobre el lugar
geométrico. Según esto, la ecuación (2) es la ecuación buscada de la cónica.
TEOREMA
02:
CLASIFICACIÓN
DE
LAS
CÓNICAS
DE
ACUERDO
CON
LA
EXCENTRICIDAD. Sean F un punto fijo (foco) y “l” una recta fija (directriz) en el plano. Sean
P otro punto en el plano y “e” (excentricidad) el cociente obtenido al dividir la distancia de P a
F entre la distancia de P a D. El conjunto de todos los puntos P con una determinada
excentricidad es una cónica.
1. La cónica es una elipse si 0 < e < 1.
2. La cónica es una parábola si e = 1.
3. La cónica es una hipérbola si e > 1.
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06
Figura No. 06
En la figura No. 06, obsérvese que en todos los tipos de cónicas el polo coincide con el
punto fijo (foco) que se da en la definición.
TEOREMA 03: ECUACIONES POLARES DE LAS
CÓNICAS. La gráfica de una ecuación de la forma:
𝑟
𝑒 𝑑
o
±𝑒 cos 𝜃
𝑟
𝑒 𝑑
± 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝜃
Es una cónica, donde e>0 es la excentricidad y |𝑑| es la
distancia entre el foco, en el polo y la directriz
correspondiente.
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Los cuatro tipos de ecuaciones que se indican en el Teorema, se pueden clasificar como
sigue, siendo d>o.
a) Directriz horizontal arriba del polo
:
b) Directriz horizontal abajo del polo
:
c) Directriz vertical a la derecha del polo
:
cos
d) Directriz vertical a la izquierda del polo :
cos
La figura No 07. Ilustra estas cuatro posibilidades en el caso de una parábola.
07
Figura No. 07
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Ejemplos:
1. Graficar:
Resolución
En este caso e = 1(coeficiente del coseno), por lo tanto tenemos una parábola con el
foco en el polo (el origen) y directriz con una ecuación cartesiana x=6 (a la derecha
y paralela al eje π/2). Parábola cóncava a la izquierda.
Ld
08
Q
Gráfica No. 02
* Si comparamos la ecuación del ejercicio con una de las ecuaciones deducidas, se puede
notar que la distancia entre el foco y la directriz es 6.
O sea: |̅̅̅̅| = 6
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2. Graficar:
Resolución
En este caso e = ½ (coeficiente del coseno) por tanto tenemos una
elipse con un foco en el polo y el otro foco a la izquierda del eje polar.
Ld
Q
Gráfica No. 03
* Si comparamos la ecuación del ejercicio con una de las ecuaciones deducidas, se puede
notar que la distancia entre el foco y la directriz es 12.
O sea: |̅̅̅̅| = 12
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3. Graficar:
Resolución
En este caso e = 2, por tanto tenemos una hipérbola con un foco en el polo y el
otro foco a su derecha del eje polar.
Ld
Q
Gráfica No. 04
* Si comparamos la ecuación del ejercicio con una de las ecuaciones deducidas, se puede
notar que la distancia entre el foco y la directriz es 3.
O sea: |̅̅̅̅| = 3
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IV.TRAZADO DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES. La gráfica o lugar geométrico de
una ecuación expresada en coordenadas polares es:
G={(r,θ) RxR/ r= f(θ)}
DISCUSIÓN DE UNA ECUACIÓN POLAR. Para facilitar el trazado de gráficas en las
ecuaciones en coordenadas polares es conveniente establecer el siguientes análisis.
1ero INTERSECCIONES:
a) CON EL EJE POLAR: se hace θ = πn, n
b) CON EL EJE A 90°
Z.
: se hace θ = π/2 + πn, n
Z.
2do SIMETRÍAS:
a) CON EL EJE POLAR: se reemplaza
(r,θ) = (r, - θ)
(r,θ) = (-r, π-θ)
b) CON EL EJE A 90°
: se reemplaza
(r,θ) = (r, π-θ)
(r,θ) = (-r, - θ)
c) CON EL POLO
: se reemplaza
(r,θ) = (-r, θ)
(r,θ) = (r, π +θ)
*Si la ecuación no cambia, entonces la curva presenta simetría.
*Sólo basta que cumpla con una condición para que sea simétrica.
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3ero EXTENSIÓN. Son los puntos máximo y mínimo de la gráfica.
Para determinar la extensión de la gráfica de un lugar geométrico dado en
coordenadas polares, primero se despeja el radio en función de θ, de modo que
tenemos:
r= f(θ)
Si r es finito para todos los valores de θ, se trata de una curva cerrada. Si, en
cambio, r se vuelve infinita para ciertos valores de θ la gráfica no puede ser una
curva cerrada. Para los valores de θ que hacen a r compleja no hay curva. Tales
valores de θ constituyen intervalos excluidos del lugar geométrico. Si la gráfica
es una curva cerrada, es útil, frecuentemente, determinar los valores máximo y
mínimo de r.
4to TABULACIÓN. Se determina los valores de r correspondientes a los valores
asignados a θ en el dominio y se ordena los pares.
5to TRAZADO DE LA GRÁFICA. En el sistema coordenado se localizan los puntos
hallados y se traza la curva.
Ejemplo: r = 1+ 2cosθ
1) Interceptos:
Si: θ= 0
: r = 1+ 2cos (0)
: r=3
θ=
: r = 1+ 2cos (π/2)
: r =1
θ= π
: r = 1+ 2cos (π)
: r
θ= 3π/2
: r = 1+ 2cos (3π/2)
: r =1
1
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2) Simetría:
CON EL EJE POLAR: se cambia (θ) por (-θ)
Como: 1+ 2cos(-θ)= 1+ 2cosθ
r = 1+ 2cos (-θ) r = 1+ 2cos (-θ)
simetría en el eje polar.
CON EL EJE A 90°: se cambia (θ) por (π-θ) r = 1+ 2cos (π-θ)
r = 1- 2cos (θ)
Como: 1+ 2cos (π -θ) 1- 2cos (θ)
simetría en el eje polar.
otra opción es reemplazar (r,θ) por (-r, - θ) -r = 1+ 2cos (-θ)
-r = 1+2cos (θ)
r = -1-2cos (θ)
simetría en el eje polar.
CON EL POLO: se cambia (r) por (-r)
-r = 1+ 2cos (θ)
r = -1- 2cos (θ)
simetría en el polo.
Otra opción es reemplazar (θ) por (π + θ) r = 1+ 2cos (π + θ)
r = 1- 2cos (θ)
Como: 1+ 2cos (π + θ) = 1- 2cos (θ)
simetría en el polo.
3) Extensión:
-1
1
-2
2
-1
-1
3
3
4) Tabulación:
r = 1+ 2cos[1(θ-0°)]
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análisis cartesiano: y = 1+ 2cos[1(x-0)]
Eje
: r =1
Amplitud : A=2
Desfase : D=0
: P= 2π/1 = 2π
Periódo
r
3
r = 1+ 2cosθ
tipo Pxy
1
π/2
θ
π 3π/2 2π
-1
r=0
0 = 1+2cos θ
5) Gráfica:
TABLA
θ
r
cos θ = -1/2
π/2
1
0
3
θ = arc cos (-1/2)
π
-1
3π/2
1
2π
3
90°
120°
60°
150°
30° * Gráfica referencial
180°
0°
210°
330°
240°
300°
270°
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