1. Operaciones Binarias Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

3. 11/03/10 Racso Editores Tabla de doble entrada Ejemplo.- Dada la siguiente tabla de doble entrada, para la operación binaria definida en A = { a, b, c }, se pide determinar: i) a*b ii) c*c iii) b*c iv) c*a a*b b*c c*a c*c Rpta: a*b = b Rpta: c*c = b Rpta: b*c = a Rpta: c*a = c

5. 11/03/10 Racso Editores PROPIEDADES DE LA OPERACIÓN BINARIA Sea: S = { a; b; c; .... }, y sea * una operación binaria definida en S  S . , { a , a -1 , e }  S Propiedad de la cerradura Propiedad Conmutativa Propiedad Asociativa Propiedad del Elemento Neutro Propiedad del Elemento Inverso

6. 11/03/10 Racso Editores Ejemplo 1.- Determinar si las siguientes operaciones son o no cerradas en  : Rpta: SÍ En efecto, si asignamos cualquier valor natural a los términos « a » y « b », el resultado siempre es otro número natural. Rpta: NO a) a*b = 2a +b. b) En efecto, si a =3 y b = 5, se obtiene: y este número no es natural.

7. 11/03/10 Racso Editores Ejemplo 2.- Analizar si la operación: a * b definida en S = { a, b }, cuya regla de correspondencia está dada por la tabla adjunta, es conmutativa . Para probar la conmutatividad de la operación dada haremos todas las evaluaciones posibles: i) a * a = a ii) a * b = b y b * a = b iii) b * b = a Finalmente concluimos que la operación binaria *, goza de la propiedad conmutativa a*b a*a b*a b*b Luego: b * a = b * a * a b a a b b b a * a b a a b b b a

9. 11/03/10 Racso Editores Ejemplo 4.- Analizar si S = { a, b, c }, tiene elemento neutro para la operación definida mediante la siguiente tabla de doble entrada: La repetición de una fila y columna en el cuadro de resultados evidencia la existencia de un elemento neutro. En nuestro caso, el elemento neutro está ubicado en la intersección de la 1ra columna y 1ra fila que se repiten. Por lo tanto, el elemento neutro de S es: « a ». * a b c a a b c b b a c c c b a * a b c a a b c b b a c c c b a

10. 11/03/10 Racso Editores Ejemplo 5 .- Analizar si los elementos del conjunto « S » , del último ejemplo, tienen inverso . Recordando que el elemento neutro es « a », efectuamos una inspección de la operación: ii) b * b = a iii) c * c = a Obsérvese que la identificación de los inversos es más directa si nos referimos a la diagonal formada por los elementos neutros de la tabla. i) a * a = a  « a » es el inverso de « a »  « b » es el inverso de « b »  « c » es el inverso de « c » Por lo tanto en el conjunto S = {a, b, c}, cada uno de sus elementos es el inverso de sí mismo en la operación *. * a b c a a b c b b a c c c b a