Matemática III

1. Límite y continuidad
en funciones de varias
variables
Realizado por:
Vásquez, Ysnaykellys
C.I: 25.656.277
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Escuela, Ingeniería de Sistemas
Sede Barcelona

2. Límites en funciones reales
de varias variables
Definiciones

3. Límites en funciones vectoriales
de varias variables
Definiciones

4. El estudio del límite de una función,
Se reduce al estudio de los límites de las m funciones
de componentes,
Con lo cual se tiene:
Definiciones. Continuación

5. Algunas propiedades de los límites
Sea:

 N

Se cumple:
• El límite si existe es único.
• Si una función tiene límite, está acotada:
• El límite relativo a un subconjunto , es también l,

6. Límites radiales o direccionales de una
función de varias variables
Son límites relativos a través del subconjunto y — b = m (x— a),
es decir, a lo largo de la recta que pasan por el punto (a,b).
Ejemplo:
Depende de . Luego,

7. Mas, los límites reiterados existen y son iguales.
Continuación

8. Ejemplos
1)

9. Cualquier acercamiento radical o direccional al origen es
mediante de la zona en la cual la función toma el valor —1,
después, el límite direccional tiene ese valor.
La única excepción es la recta X= 0, pero este subconjunto
del plano no pertenece al dominio de la función.
Continuación

10. Continuación
(0, 0), (-1, 0) , (1, 0), (-2, 0), (2, 0)

11. Existe límite direccional en
el primer punto y el mismo vale +1, y no existe en ninguno de
los otros cuatro restantes.
Continuación

12. 2) Utilizando la definición de límite probar que:
Solución
Si hacemos se cumplirá la definición de límite:

13. Si se desea comprobar, tomamos un = 0,01.
Entonces cualquier punto que pertenezca a este entorno debe
de tener su imagen en el mismo:
Para x = 0.995 f(x) = (0.995 + 3)/ 2= 1.9975
Para x = 1.015 f(x) = (1.015 + 3)/ 2 = 2.0075
Continuación

14. Continuidad en una función de varias
variables
Definiciones

15. Propiedades

16. Continuación

17. Continuación

18. Ejemplo
Estudiar la continuidad de la función:
Solución
La función es continua en los puntos que no pertenecen a la
circunferencia unidad: Sin
embargo, no lo es en los puntos de:

19. Bibliografía
http://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/03_2.pdf
http://personales.unican.es/gila/varias_variables.pdf
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Funciones_Varias_Var
iables_I.pdf