Capitulo II Variables, funciones y límites El Cálculo Diferencial es una de las herramientas más potentes y eficaces para estudiar diversos fenómenos. Tiene aplicaciones en muchas ramas de las ciencias. Por lo tanto es indispensable que el estudiante desarrolle competencias en el manejo y aplicación de los conceptos del cálculo de una variable. El Cálculo Diferencial integra el pensamiento analítico con el comportamiento real de los sistemas físicos, dando respuesta a necesidades de formación relacionadas con el perfil del egresado, ya que el tecnólogo en el desarrollo de su profesión debe trabajar en procesos propios de su perfil al mismo tiempo que manejar y aplicar las innovaciones tecnológicas para una mayor optimización en su trabajo. Por tal motivo se sustentan las razones que justifican su inclusión en el plan de estudios d el programa de cálculo diferencial, como fundamento esencial en la formación integral del futuro profesional, el contenido del programa da las bases suficientes para la relación interdisciplinaria con otras ramas tecnológicas y científicas.

1. INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
EUROAMERICANO
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
DIAPOSITIVAS:
CAPITULO II
VARIABLES, FUNCIONES Y LIMITES
NOMBRE:
COCHEA GONZABAY ANTHONY
MATERIA:
CALCULO
PROFESOR:
ING. JOFFER VAZQUEZ DEL ROSARIO

2. Capitulo II
Variables, Funciones y limites
• 1.-Variables y Constantes
• Variable.- Es una cantidad a la que se le puede asignar
diferentes valores en el proceso de un análisis. Las variables
se designan usualmente con las últimas letras del alfabeto (w,
x, y, z, etc.)
• Constante.- Es una cantidad que tiene un valor fijo, que no
varía durante un proceso de análisis. . Podemos distinguir dos
tipos de constantes:
• Constantes Numéricas.- Aquellas que conservan su valor en
todos los procesos de cálculo, por ejemplo: 2, 4, etc
• Constantes Arbitrarias o Parámetros.- Aquellas a las que se
le puede asignar valores numéricos y que durante todo el
proceso conservan los valores que le asignaron.

3. Capitulo II
Variables, Funciones y limites
2.-Intervalo de la variable
• Por ejemplo:
(1, 3) son los números reales entre el 1 y el 3, sin el 1 y sin el 3
[1, 3] son los números reales entre el 1 y el 3 incluyendo el 1 y el 3
[1, ∞) son los números entre 1 e infinito incluyendo el 1, es decir, los números mayores o iguales
que 1. El infinito siempre se pone abierto.
(-∞, 1) los números menores de 1
• Un intervalo es el conjunto que contiene los números entre otros dos dados. Los intervalos
pueden ser abiertos, cuando no contienen a sus extremos, cerrados cuando sí los contienen; se
representan con ( ) o con [ ] respectivamente. También pueden tener un extremo abierto y otro
cerrado(]

4. Capitulo II
Variables, Funciones y limites
3.-Variacion continua
• Es una varible a varía de una manera
continua en un intervalo [a, b] de tal
manera que toma todos los valores
intermedios entre a y b en el orden de
sus magnitudes; 0 cuando x disminuye
desde x=b hasta x=a, toamando
sucesivamente todos los valores
intermedio.

5. Capitulo II
Variables, Funciones y limites
4.-Funciones
• Funciones: una regla de asociación que
relaciona dos o mas conjuntos entre si;
generalmente cuando tenemos la asociación
dos conjuntos las función se define como una
regla de asociación entre un conjunto
llamado dominio con uno llamado condominio,
también dominio e imagen respectivamente o
dominio y rango. Esta regla de asociación no
permite relacionar un mismo elemento del
dominio con dos elementos del condominio.

6. Capitulo II
Variables, Funciones y limites
5.-Variables independiente y dependiente
• Ejemplo:
• Sean "X y Y" dos variables, tal que:
• A la letra "X" se le asigna dentro una
"función" como variable independiente.
• Y a la letra "Y" se le asigna dentro una
"función" como variable dependiente.
• Variable dependiente
Es una letra cualquiera la cual depende de
otra ya conocida (valor numérico).
• Variable independiente
Es una letra cualquiera a la cual se le asigna
un valor ya conocido

7. Capitulo II
Variables, Funciones y limites
6.-Notacion de funciones
• La notación de funciones:
Es una forma de expresión matemática, en la
cual una ecuación (una forma de notación
matemática que expresa una igualdad con
valores discretos e indiscretos, como las
incógnitas) que permite establecer una grado
de dependencia entre una variable (o más) y
un valor generado por esta

8. Capitulo II
Variables, Funciones y limites
7.-La división por cero , excluida
• El cociente de dos números a y b es un
número x tal que a = bx. Evidentemente,
con esta definición la división por cero
que excluida. En defecto, si b = 0, y
recordando que cero tomado cualquier
numero de veces como sumado es
siempre igual a cero.

9. Capitulo II
Variables, Funciones y limites
8.-Grafica de una función: Continuidad
• la continuidad significa que un pequeño
cambio en la variable x implica sólo un
pequeño cambio en el valor de f(x). otra
manera de definir es que la continuidad
de la función f(x) para un valor a significa
que f(x) difiere arbitrariamente poco del
valor f(a) cuando x está suficientemente
cerca de a
expresando esto en terminos del
concepto de limite decimo que:
Una función f(x) es continua en un punto
a si
• lim f(x) = f(a).
x->a

10. Capitulo II
Variables, Funciones y limites
9.-Limite de una variable
• Se dice que la variable v tiende a la
constante l como limite, cuando los valores
sucesivos de v son tales que el valor numérico
de la diferencia de v-l, pueden llegar a ser
finalmente, menor que cualquier número
positivo predeterminado tan pequeño como se
quiera.
• La relación así definida de escribe lím v=l. por
conveniencia nos serviremos de la
notación v→l, que se leerá “v tiende hacia el
limite l” o más brevemente “v tiende a l”

11. Capitulo II
Variables, Funciones y limites
10.-Limite de una función
• EJEMPLO.
Demostrar que lím(x^2+4x)=12 x→2
DEMOSTRACÓN
La función dada es la suma de x^2+4x, en
primer lugar hallaremos los limites de estas dos
funciones,
según 2 lím x^2 x→2= 4, puesto que x^2
= x*x.
según 4 lím 4x x→2= 4 lím x x→2= 8
luego según 1, el límite buscado es 4+8 = 12.
• En las aplicaciones la definición de límite, se
presentan usualmente casos como el
siguiente: se tiene una variable v y una
función dada z de v, y se supone que la
variable v recibe valores tales que v→l.
Tenemos que examinar entonces los valores
de la variable dependiente z e investigar,
particularmente, si z tiende también a un
límite.

12. Capitulo II
Variables, Funciones y limites
12.-Funciones continuas y discontinuas
• Una función es continua si su gráfica puede
dibujarse de un solo trazo. Diríamos que
es continua si puede dibujarse sin separar el
lápiz de la hoja de papel.
• Se dice que la función es discontinua si no es
continua, es decir, presenta algún punto en el
que existe un salto y la gráfica se rompe

13. Capitulo II
Variables, Funciones y limites
13.-Infinito
• El límite infinito se define para aquellas
funciones que crecen o decrecen
infinitamente.
Si pensamos en los ejes xy, esto quiere
decir que la función puede ser tan grande
o tan chica como uno quiera en el eje y
para algún valor del eje x. Otra forma de
decirlo es que la función no tiene límite

14. Capitulo II
Variables, Funciones y limites
14.-Infinitesimos
• Un infinitesimal o infinitésimo se puede
definir como una cantidad infinitamente
pequeña, se usa en el cálculo infinitesimal,
se definen estrictamente como limites y se
suelen considerar como números en la
práctica.

15. Capitulo II
Variables, Funciones y limites
15.-Teoremas relativos a infinitésimos y limites
• Las variables se suponen funciones de la
misma variables independientes, y,
además, que tiende a sus limites
respectivos cuando estas variables tiene
un fijo valor.