Este documento presenta varios ejercicios relacionados con ángulos y funciones trigonométricas. Define términos como semirrecta, ángulo, grados sexagesimales y radianes. Luego plantea ejercicios para calcular medidas de ángulos, convertir entre grados y radianes, y determinar valores de funciones trigonométricas para diferentes ángulos.

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de
14
1
ESCUELA
SUPERIOR
POLITÉCNICA
DEL
LITORAL
FACULTAD
DE
CIENCIAS
NATURALES
Y
MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO
DE
MATEMÁTICAS
CURSO
DE
NIVELACIÓN
2014
(2S)
CAPÍTULO:
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
Í
A
D
E
B
E
R
5
4.1
Ángulos
y
sus
medidas
1) Defina:
a) Semirrecta.
b) Ángulo.
c) Grado
sexagesimal.
d) Radián.
e) Ángulos
coterminales.
f) Ángulos
consecutivos.
g) Ángulos
adyacentes.
h) Ángulos
complementarios.
i) Ángulos
suplementarios.
j) Ángulos
opuestos
por
el
vértice.
2) Dos
ángulos
complementarios
son
siempre
agudos.
a)
Verdadero
b)
Falso
Respuesta:
a)
3) Dos
ángulos
suplementarios
son
siempre
agudos.
a)
Verdadero
b)
Falso
Respuesta:
b)
4) Dos
ángulos
opuestos
por
el
vértice
siempre
son
complementarios.
a)
Verdadero
b)
Falso
Respuesta:
b)
5) Dos
ángulos
opuestos
por
el
vértice
siempre
son
suplementarios.
a)
Verdadero
b)
Falso
Respuesta:
b)
6) Dos
ángulos
son
adyacentes
si
son
consecutivos
y
son
suplementarios.
Respuesta:
a)
7) La
medida
del
ángulo
suplementario
de
x
es
igual
a
123o
.
Calcule
la
medida
del
ángulo
x
y
la
medida
de
su
ángulo
complementario.
Respuesta:
57o
,
33o
8) Si
la
medida
de
8
ángulos
congruentes
es
igual
a
180o
,
calcule
la
medida
de
cada
ángulo
en
radianes.
Respuesta:
π/8

2. Página
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14
2
9) Transforme
cada
ángulo
de
grados
sexagesimales
a
radianes
y
ubíquelos
en
el
cuadrante
respectivo.
a) 420
°
b) 2000°
c) –300°
d) –100°
e) –510°
f) 240°
Respuesta:
a)
7π/3,
b)
100π/9,
c)
–5π/3,
d)
–5π/9,
e)
–17π/6,
f)
4π/3
10) Transforme
cada
ángulo
de
radianes
a
grados
sexagesimales
y
ubíquelos
en
el
cuadrante
respectivo.
a)
!
!
radianes
b)
!!
!
radianes
c) −
!!
!
radianes
d) −
!!
!
radianes
e)
!!
!
radianes
f)
!!
!
radianes
Respuesta:
a)
60o
,
b)
120o
,
c)
–225o
,
d)
–630o
,
e)
210o
,
f)
150o
4.2
Funciones
trigonométricas
elementales
11) Determine,
sin
usar
calculadora,
el
valor
numérico
de
las
siguientes
expresiones:
a)
𝑐 𝑜𝑠 225!
b)
𝑡 𝑎𝑛 150!
c)
𝑠 𝑒𝑛 −
!
!
d)
𝑠 𝑒𝑐
!!
!
e)
𝑐 𝑜𝑡
!!
!
f)
𝑐 𝑠𝑐 300!
g)
𝑠 𝑒𝑛 315!
h)
𝑐 𝑜𝑠 −150!
Respuesta:
𝑎) −
!
!
, 𝑏) −
!
!
, 𝑐) −
!
!
, 𝑑) − 2,
𝑒) − 1, 𝑓) −
! !
!
, 𝑔) −
!
!
, ℎ) −
!
!
12) Especificando
los
resultados
parciales,
calcule
el
valor
numérico
de:
𝑐𝑜𝑠 300!
+ 𝑠𝑒𝑛 330!
+ 𝑡𝑎𝑛 −135!
Respuesta:
1
13) Especificando
los
resultados
parciales,
calcule
el
valor
numérico
de:
3cos
π
6
!
"
#
$
%
&+ sen
5π
6
!
"
#
$
%
&− tan
π
3
!
"
#
$
%
&
Respuesta:
3 +1
2
14) Especificando
los
resultados
parciales,
calcule
el
valor
numérico
de:
𝑐𝑜𝑠 2𝜋
3
+tan 5𝜋
4
𝑠𝑒𝑛 5𝜋
3
Respuesta:
−
!
!

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3
15) Especificando
los
resultados
parciales,
calcule
el
valor
numérico
de:
2sen2 π
6
!
"
#
$
%
&cos2
π( )
4tan
π
4
!
"
#
$
%
&sen2 3π
4
!
"
#
$
%
&
Respuesta:
!
!
16) Determine
los
valores
de
las
funciones
trigonométricas
del
ángulo
𝛼
definido
por
el
punto
P,
el
origen
de
coordenadas
y
el
semieje
𝑋
positivo.
a)
𝑃 = (0,1)
Respuesta:
𝑠 𝑒𝑛 𝛼 = 1
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 0
𝑡𝑎𝑛 𝛼 𝑒𝑠𝑡á 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 0
𝑠𝑒𝑐 𝛼 𝑒𝑠𝑡á 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
𝑐𝑠𝑐 𝛼 = 1
b)
𝑃 = (6, −7)
Respuesta:
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −
! !"
!"
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
! !"
!"
𝑡𝑎𝑛 𝛼 = −
!
!
𝑐𝑜𝑡 𝛼 = −
!
!
𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
!"
!
𝑐𝑠𝑐 𝛼 = −
!"
!
c)
𝑃 = (−3, −2)
Respuesta:
𝑠 𝑒𝑛 𝛼 = −
! !"
!"
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = −
! !"
!"
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
!
!
𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
!
!
𝑠𝑒𝑐 𝛼 = −
!"
!
𝑐𝑠𝑐 𝛼 = −
!"
!
17) En
cada
caso,
determine
los
valores
de
las
restantes
funciones
trigonométricas
sabiendo
que:
a)
𝑠 𝑒𝑛 𝛼 = −
!
!
,
con
𝛼
en
el
tercer
cuadrante.
Respuesta:
𝑐 𝑜𝑠 𝛼 = −
!
!
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
!
!
𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 3
𝑠𝑒𝑐 𝛼 = −
! !
!
𝑐𝑠𝑐 𝛼 = −2
b)
𝑐 𝑜𝑠 𝛼 =
!
!
,
con
𝛼
en
el
cuarto
cuadrante.
Respuesta:
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −
!
!
𝑡𝑎𝑛 𝛼 = −
!
!
𝑐𝑜𝑡 𝛼 = −
! !
!
𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
!
!
𝑐𝑠𝑐 𝛼 = −
! !
!
c)
𝑡 𝑎𝑛 𝛼 = 3
,
con
𝛼
en
el
primer
cuadrante.
Respuesta:
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
! !"
!"
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
!"
!"
𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
!
!
𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 10
𝑐𝑠𝑐 𝛼 =
!"
!
18) El
valor
aproximado
de:
𝑐𝑜𝑠
!
!
−
!
!
+
!
!
−
!
!
+
!
!
−
!
!"
+ ⋯
es
igual
a:
a)
0
b)
1/2
c)
2
d)
3
e)
4
Respuesta:
b)

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4
4.3
Gráficas
de
funciones
trigonométricas
19) Bosqueje
la
gráfica
de
la
función
𝑓 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑥 ∈ −2𝜋, 2𝜋
20) Bosqueje
la
gráfica
de
la
función
𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 2𝜋𝑥 , 𝑥 ∈ −1,1
21) Bosqueje
la
gráfica
de
la
función
𝑓 𝑥 = −3𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 −
!
!
, 𝑥 ∈ −2,2
22) Considerando
la
función
del
ejercicio
anterior,
ahora
bosqueje
la
gráfica
de:
𝑔 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛 𝑓 𝑥
y
ℎ 𝑥 = 𝜇 𝑓 𝑥
23) Bosqueje
la
gráfica
de
la
función
f : −4π,4π!
"
#
$ ! "
cuya
regla
de
correspondencia
es
f x( )= 2e
cos x( )
.
Describa
las
características
de
esta
función:
inyectiva,
sobreyectiva,
biyectiva,
inversible,
par,
impar,
intervalos
de
monotonía,
acotada,
periódica.
24) Restrinja
el
dominio
para
x ∈ −2π,2π( )
y
bosqueje
la
gráfica
de
f x( )= ln sen x( )( )
25) Defina
un
dominio
adecuado
y
bosqueje
la
gráfica
de
la
función
f x( )= e
ln cos πx( )( )
26) Considere
la
gráfica
de
una
función
de
variable
real:
Su
regla
de
correspondencia
es:
a) f x( )= µ sen 2x( )( )
b) f x( )= µ tan 2x( )( )
c) f x( )= µ csc 2x( )( )
d) f x( )= µ cot 2x( )( )
e) f x( )= µ sec 2x( )( )
Respuesta:
a)

5. Página
de
14
5
27) Respecto
a
la
función
de
variable
real
f
tal
que
f x( )=
π
2
cos π x + π( )+1; x ∈ −3,5#
$
%
&,
es
FALSO
que:
a) f x( )≥ 0
en
todo
su
dominio.
b) Es
una
función
acotada.
c) Es
creciente
en
el
intervalo
2,3( )
d) Es
decreciente
en
el
intervalo
!
!
,
!
!
e) Es
una
función
periódica.
Respuesta:
d)
28) El
número
de
horas
de
luz
natural
para
un
área
particular
se
puede
modelar
con
la
expresión:
𝐷(𝑡) =
5
2
𝑠𝑒𝑛
1
2
𝑡 −
𝜋
6
Donde
D
es
el
número
de
horas
de
luz
natural
y
t
es
el
día
del
año,
considerando
t=1
correspondiente
al
primero
de
enero.
Trace
la
gráfica
de
esta
función
e
indique
período,
amplitud
y
ángulo
de
fase.
29) Exprese
la
amplitud
A
y
el
período
T
de
cada
función
en
los
problemas
siguientes
y
grafique
la
función
sobre
el
intervalo
indicado:
a)
𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛𝑥, −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
b)
𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠2𝑥, −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
c)
𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛4𝑥, −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
d)
𝑦 = 3 + 3𝑐𝑜𝑠
!"
!
, −4 ≤ 𝑥 ≤ 4
e)
𝑦 = 4 − 2𝑐𝑜𝑠
!
!
, −4𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 4𝜋
30) Un
peso
de
6
libras
cuelga
del
final
de
un
resorte
que
se
estira
1/3
de
pie
debajo
de
la
posición
del
equilibrio
y
entonces
se
libera.
Si
la
resistencia
del
aire
y
la
fricción
se
desprecian,
la
distancia
𝑥,
que
el
peso
se
desplaza
con
respecto
de
su
posición
de
equilibrio
en
un
tiempo
𝑡,
medido
en
segundos,
está
dada
por
𝑥 =
!
!
cos (8𝑡).
Exprese
el
período
T
y
la
amplitud
A
de
esta
función,
y
grafique
para
0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.
31) Un
generador
de
corriente
alterna
genera
una
corriente
dada
por
𝐼 = 30𝑠𝑒𝑛 120𝑡
donde
t
es
el
tiempo
en
segundos.
¿Cuál
es
la
amplitud
A
y
el
período
T
de
esta
función?
¿Cuál
es
la
frecuencia
de
la
corriente?;
es
decir,
¿Cuántos
ciclos
(períodos)
se
completarán
en
un
segundo?
32) Si
el
voltaje
E
en
un
circuito
eléctrico
tiene
una
amplitud
de
110
voltios
y
un
período
de
1/60
segundos,
y
si
𝐸 = 110 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠
cuando
𝑡 = 0 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠,
encuentre
una
ecuación
de
la
forma
𝐸 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝐵𝑡
que
entregue
el
voltaje
para
cualquier
valor
de
𝑡 ≥ 0.
33) La
cantidad
de
bióxido
de
azufre,
obtenido
de
la
combustión
de
hidrocarburos,
liberado
hacia
la
atmósfera
en
una
ciudad,
varía
durante
el
año.
Suponga
que
el
número
toneladas
de
bióxido
de
azufre
liberado
hacia
la
atmósfera,
en
una
ciudad,
durante
la
semana
𝑛 del
año
está
dada
por:
𝐴 𝑛 =
!
!
+ 𝑐𝑜𝑠
!"
!"
; 0 ≤ 𝑛 ≤ 104
Grafique
la
función
en
el
intervalo
indicado
y
describa
lo
que
muestra
la
gráfica.

6. Página
de
14
6
34) En
los
problemas
siguientes,
encuentra
la
ecuación
de
la
forma
𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥 ,
que
produzca
la
gráfica
mostrada.
a)
b)
c)
d)

7. Página
de
14
7
35) Bosqueje
la
gráfica
de
la
función:
f x( )= sgn cos 2x( )( ) x ∈ −2π,2π#
$
%
&
36) Bosqueje
la
gráfica
de
la
función:
f x( )= sen
x
2
!
"
#
$
%
& x ∈ −2π,2π)
*
+
,
37) Bosqueje
la
gráfica
de
la
función:
f x( )=1− tan π − x( ) x ∈ −2π,2π#
$
%
&
38) Bosqueje
la
gráfica
de
la
función:
f x( )= µ sec x( )( ) x ∈ −2π,2π#
$
%
&
4.4
Funciones
trigonométricas
inversas
39) Determine
el
ángulo
𝜃 ∈ [0,2𝜋)
en
cada
caso:
a)
𝑠 𝑒𝑛 𝜃 =
!
!
; 𝑐𝑜𝑠 𝜃 < 0
b)
𝑡 𝑎𝑛 𝜃 =
!
!
; 𝐶𝑜𝑠(𝜃) < 0
c)
𝑠 𝑒𝑐 𝜃 = 3; 𝑐𝑜𝑠(𝜃) > 0
d)
𝑠 𝑒𝑐 𝜃 = −
!"
!"
; 𝐶𝑠𝑐(𝜃) < 0
e)
𝑠 𝑒𝑛 𝜃 =
!
!
; 𝜃 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
f)
𝑐 𝑜𝑠 𝜃 = −
!
!"
; 𝜃 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
40) Si
𝑓: −1, −
!
!
→ −𝜋, 𝜋
tal
que
𝑓 𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 2),
determine
la
regla
de
correspondecia
de
su
función
inversa
𝑓!!
.
Luego
grafique
la
función
identidad,
𝑓y
𝑓!!
en
el
mismo
plano
cartesiano.
Respuesta:
𝑓!!
𝑥 =
!
!
𝑠𝑒𝑛
!
!
− 2 ; 𝑥 ∈ −𝜋, 𝜋
41) Si
𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
!
!
y
𝑧 ∈
!
!
, 𝜋 ,
calcule
𝑐𝑜𝑠 𝑧 + 𝑡𝑎𝑛(𝑧)
Respuesta:
!!!! !
!
42) Al
considerar
dos
ángulos
en
el
primer
cuadrante,
el
valor
numérico
de
la
expresión
trigonométrica:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
2
3
1
arcsenarcsensen
es
igual
a:
a)
9
245 +
b)
9
245 −
c) 24−
d) 5
e) 1
Respuesta:
a)

8. Página
de
14
8
43) Sea
la
función
de
variable
real
f x( )=
e−2x−3
, x ≤ −
3
2
sen π x( ), −
3
2
< x < −
1
2
log1 2
2x +3( ), x ≥ −
1
2
$
%
&
&
&
'
&
&
&
,
la
regla
de
correspondencia
de
su
función
inversa
es:
a) f −1
x( )=
−3−ln x( )
2
, x ≥1
arcsen x( )
π
, −1< x <1
1
2
#
$
%
&
'
(
x
−3
2
, x ≤ −1
*
+
,
,
,
,,
-
,
,
,
,
,
b) f −1
x( )=
ln x +3( )
2
, x ≥
3
2
arcsen x( )
2π
, −1< x <
3
2
2( )
x
−1
2
, x ≤ −1
$
%
&
&
&&
'
&
&
&
&
c) f −1
x( )=
arcsen π x( )
2
, x ≥1
1
2
#
$
%
&
'
(
x
−3
2
, x <1
)
*
+
++
,
+
+
+
d) f −1
x( )=
ln x( )
2
, x ≥ 2
arcsen x( )
2
, −1< x < 2
2x
+1
2
, x ≤ −1
$
%
&
&
&&
'
&
&
&
&

9. Página
de
14
9
e) f −1
x( )=
−3−ln x( )
2
, x ≤ −
3
2
arcsen x( )
π
, −
3
2
< x < −
1
2
1
2
#
$
%
&
'
(
x
−3
2
, x ≥ −
1
2
*
+
,
,
,
,,
-
,
,
,
,
,
Respuesta:
a)
44) Sean
dos
ángulos
de
medidas
α
y
β
que
están
en
el
primer
cuadrante,
donde
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
5
2
arccosα
y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
10
3
arccosβ ,
entonces
la
medida
del
ángulo
βα +
es:
a)
6
π
b)
4
π
c)
3
π
d)
2
π
e)
3
2π
Respuesta:
b)
45) Defina
un
dominio
adecuado
y
bosqueje
la
gráfica
de
la
función
f x( )= arcsen 2x − 4( )
Respuesta:
dom f =
3
2
,
5
2
!
"
#
$
%
&
46) Calcule
el
valor
solicitado
en
el
primer
cuadrante:
cos arcsen x( )( )
47) Calcule
el
valor
solicitado
en
el
tercer
cuadrante:
cos arctan x( )( )
48) Calcule
el
valor
solicitado
en
el
segundo
cuadrante:
sen arctan −
5
3
"
#
$
%
&
'
"
#
$
%
&
'
49) Calcule
el
valor
solicitado
en
el
cuarto
cuadrante:
arccos cos −
π
6
"
#
$
%
&
'
"
#
$
%
&
'
50) El
valor
aproximado
de
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+−+− .....
1286432
coslog6
ππππππ
π
arcsen
es:
a)
0
b)
1
c)
–1
d)log6
π
1
2
!
"
#
$
%
&
e) logπ
6
1
2
!
"
#
$
%
&
Respuesta:
c)

10. Página
de
14
10
51) Considere
que
los
ángulos
están
en
el
primer
cuadrante:
€
x = sec arccos
3
2
"
#
$
%
&
'
"
#
$$
%
&
''
€
y = csc arccos
3
2
"
#
$
%
&
'
"
#
$$
%
&
''
El
resultado
de
la
suma
x + y( )
es
igual
a:
a)
€
2
3
3+ 3( )
b)
€
1
2
3+ 2( )
c)
€
3
2
2 + 2( )
d)
€
1
3
2 + 3( )
e)
€
1
2
3+ 3( )
Respuesta:
a)
52) Sea
f : −2,2"
#
$
% ! 0,
π
3
"
#
&
$
%
'
definida
por
f x( )=
1
3
arcsen −
x
2
!
"
#
$
%
&+
π
6
La
regla
de
correspondencia
de
1−
f ,
es:
a) f −1
: 0,
π
3
"
#
$
%
&
' ! −2,2"
#
%
&/ f −1
x( )= −2sen 3x −
π
2
(
)
*
+
,
-
b) f −1
: 0,
π
3
"
#
$
%
&
' ! −2,2"
#
%
&/ f −1
x( )= −2sen 3x( )
c) f −1
: 0,
π
3
"
#
$
%
&
' ! −2,2"
#
%
&/ f −1
x( )= −cos 3x( )
d) f −1
: 0,
π
3
"
#
$
%
&
' ! −2,2"
#
%
&/ f −1
x( )= 3sen 2x( )
e) f −1
: 0,
π
3
"
#
$
%
&
' ! −2,2"
#
%
&/ f −1
x( )= −2sen 3x +
π
2
(
)
*
+
,
-
Respuesta:
a)
53) Si
α = arctan −
7
24
"
#
$
%
&
'
y
β = arccot
3
4
!
"
#
$
%
&,
π
2
< α < π, π < β <
3π
2
,
entonces
el
valor
de
cos α + β( ),
es
igual
a:
a)
4
5
b)
4
5
−
c)
5
4
d)
5
4
−
e)
125
44
Respuesta:
c)

11. Página
de
14
11
4.5
Identidades
trigonométricas
54) Al
simplificar
la
expresión
trigonométrica:
−2cot 2x( )
cos3
x( )csc x( )− sen3
x( )sec x( )
se
obtiene:
a) –4
b)
–1
c)
–1/4
d)
1
e)
2
Respuesta:
b)
55) Demuestre
que:
1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑠𝑒𝑐(𝜃)
=
𝑐𝑜𝑠!(𝜃)
1 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
56) Demuestre
que:
𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(4𝜃)
𝑐𝑜𝑠 2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠(4𝜃)
= 𝑡𝑎𝑛(3𝜃)
57) Demuestre
las
siguientes
identidades:
a)
!!" !! !!!"(!!)
!!" !! !!!"(!!)
= 𝑡𝑎𝑛(6𝑥)
b)
𝑐 𝑜𝑠! !
!
=
!
!
1 + 𝑐𝑜𝑠
!!
!
58) Demuestre
que:
1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
=
2𝑐𝑜𝑠(𝑥)
2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1
59) Si
𝛼
y
𝛽
son
ángulos
interiores
de
un
triángulo
rectángulo,
y
𝑐 𝑜𝑠 𝛼 =
!
!
,
calcule:
𝑠𝑒𝑛 2𝛼 − 3𝑐𝑜𝑠(2𝛽)
𝑡𝑎𝑛 𝛽 + 𝑐𝑜𝑡(𝛼)
Respuesta:
!
!"
60) Demuestre,
de
ser
posible,
que:
!!"(!!!)
!!"(!!!)
=
!!!!" ! !!"(!)
!!!!" ! !!"(!)
61) La
expresión:
tan 2x( ) 1− sen x( )( )
1+sec 2x( )
1+ sen x( )
− sen 7x( )cos 5x( )+
1
2csc 12x( )
,
es
equivalente
a:
a) 0
b) 1
c) sec 12x( )
d) cos 12x( )
e) cot 12x( )
Respuesta:
a)

12. Página
de
14
12
62) Una
de
las
siguientes
proposiciones
es
VERDADERA,
identifíquela:
a) ∀x, y ∈ ! sen x + y( )= sen x( )+ sen y( )#
$
%
&
b) ∀x, y ∈ !
1
2
sen x − y( )+ sen x + y( )$
%
&
'= cos x( )sen y( )
$
%
(
&
'
)
c) ∀x ∈ ! cos2
x( )=
1−cos 2x( )
2
$
%
&
&
'
(
)
)
d) ∀x ∈ ! − 2n +1( )π,n ∈ Z{ } tan
x
2
$
%
&
'
(
) =
1−cos x( )
sen x( )
*
+
,
,
-
.
/
/
e) ∀x ∈ ! cos 2x( )= sen2
x( )−cos2
x( )$
%
&
'
Respuesta:
d)
63) Demuestre,
de
ser
posible,
las
siguientes
identidades:
a)
𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽
𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝛽
=
1 − 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑡𝑎𝑛𝛽
1 + 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑡𝑎𝑛𝛽
b)
𝑡𝑎𝑛 𝑥 +
𝜋
3
=
4 tan 𝑥 + 3𝑠𝑒𝑐! 𝑥
𝑠𝑒𝑐! 𝑥 − 4𝑡𝑎𝑛! 𝑥
c)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (𝑥)
cos (2𝑥)
−
tan (𝑥)
1 − 𝑡𝑎𝑛!(𝑥)
= 0
64) Demuestre,
de
ser
posible,
las
siguientes
identidades:
a)
𝑠𝑒𝑛(𝛼) + 𝑠𝑒𝑛(2𝛼)
1 + cos (𝛼) + cos (2𝛼)
= tan (𝛼)
b)
cos (2𝛼) =
𝑐𝑠𝑐!(𝛼) − 2
𝑐𝑠𝑐!(𝛼)
c)
cos (𝛼)
1 − 𝑠𝑒𝑛(2𝛼)
=
1 + tan (𝛼)
1 − tan (𝛼)
4.6
Ecuaciones
e
inecuaciones
trigonométricas
65) Si
𝑅 𝑒 = −𝜋, 2𝜋 ,
determine
el
conjunto
de
verdad
del
predicado:
𝑝 𝜃 : 𝑡𝑎𝑛 2𝜃 + 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0
Respuesta:
𝐴 𝑝 𝜃 = −
!
!
, −
!
!
, −
!!
!
,
!
!
,
!!
!
,
!!
!
,
!!!
!

13. Página
de
14
13
66) Demuestre,
de
ser
posible,
que:
cos−1 3
10
"
#
$
%
&
'+cos−1 2
5
"
#
$
%
&
' =
π
4
67) Si
𝑅 𝑒 = −𝜋, 𝜋 ,
determine
el
conjunto
de
verdad
del
predicado:
𝑝 𝜃 : 𝜇 𝑆𝑒𝑛 2𝜃 − 1 < 0
Respuesta:
𝐴 𝑝 𝜃 = ∅
68) Sea
el
conjunto
referencial
𝑅𝑒 = 0,2𝜋
y
los
predicados
𝑝 𝑥 : 1 − 2𝐶𝑜𝑠
!
!
= 1
y
𝑞 𝑥 : 𝑠𝑔𝑛 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 = 0.
Determine
el
conjunto
de
verdad
𝐴[𝑝 𝑥 → 𝑞 𝑥 ].
Respuesta:
𝐴[𝑝 𝑥 → 𝑞 𝑥 ] = 0, 𝜋 ∪
!!
!
, 2𝜋
69) Sea
𝑅𝑒 = 0,2𝜋
y
el
predicado
𝑝 𝑥 : 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 = 1 + 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 .
Determine
el
conjunto
de
verdad
𝐴 𝑝 𝑥 .
Respuesta:
𝐴 𝑝 𝑥 =
!
!
,
!
!
,
!!
!
,
!!
!
70)
Si
𝑅 𝑒 = −𝜋, 2𝜋 ,
determine
el
conjunto
de
verdad
del
predicado:
𝑝 𝜃 : 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠(𝜃)
Respuesta:
𝐴 𝑝 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
!!! !
!
, 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
!!! !
!
71) Si
𝑅 𝑒 = −𝜋, 𝜋 ,
determine
el
conjunto
de
verdad
del
predicado:
𝑝 𝑥 : 𝑠𝑔𝑛 𝑆𝑒𝑛
𝑥
2
≥ 1
Respuesta:
𝐴 𝑝 𝜃 = 𝑥 0 < 𝑥 ≤ 𝜋
72) Resuelva
para
𝑥
en
el
intervalo
indicado:
a)
1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,
𝑥 ∈ [0,2𝜋)
Respuesta:
𝑥 = 𝜋
b) 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0,
𝑥 ∈ ℝ!
Respuesta:
𝑥 =
!
!
4𝑛 − 3 ; 𝑛 ∈ ℕ
c)
1 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0,
𝑥 ∈ [0,2𝜋)
Respuesta:
𝑥 ∈
!!
!
,
!!
!
d)
1 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,
𝑥 ∈ ℝ!
Respuesta:
𝑥 ∈
!
!
,
!!
!
,
!!
!
,
!"!
!
,
!"!
!
73) Resuelva
para
𝑥
en
el
intervalo
indicado:
a)
4 𝑐𝑜𝑠!
𝑥 − 3 = 0,
𝑥 ∈ [0,2𝜋)
Respuesta:
𝑥 ∈
!
!
,
!!
!
,
!!
!
,
!!!
!

14. Página
de
14
14
b)
2 𝑠𝑒𝑛!
𝑥 − 1 = 0,
𝑥 ∈ ℝ!
Respuesta:
𝑥 ∈
!
!
,
!!
!
,
!!
!
,
!!
!
, …
c)
2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 1,
𝑥 ∈ [0,2𝜋)
Respuesta:
𝑥 ∈
!
!
,
!!
!
,
!!
!
,
!!!
!
d)
2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 3,
𝑥 ∈ ℝ!
Respuesta:
𝑥 ∈
!
!
,
!
!
,
!!
!
,
!!
!
, …
74) Sea
Re = 0,π!
"
#
$
y
p x( ): tan 2x( )− 2sen x( )= 0 .
La
suma
de
los
elementos
de
Ap x( )
es
igual
a:
a)
0
b)
3
π
c)
π
d)
3
5π
e)
3
7π
Respuesta:
d)
75) Sea
Re = 0,2π( )
y
p x( ): sen x( )= cos x( ).
Determine
Ap x( )
76) Sea
Re = 0,π!
"
#
$
y
p x( ): 2cos2
x( )− sen 2x( )= 0.
Determine
Ap x( )
Respuesta:
π/4,
π/2
77) Sea
Re = 0,2π( )
y
p x( ): sen x( )>
1
2
.
Determine
Ap x( )
78) Sea
Re = 0,2π( )
y
p x( ): cos x( )<
1
3
.
Determine
Ap x( )
79) Sea
Re = 0,2π!
"
#
$
y
p x( ): 2sen2
x( )=1−cos x( )
entonces
la
suma
de
los
elementos
de
Ap x( )
es
igual
a:
a)
8π
3
b)
3π
c)
4π
3
d)
4π
e)
7π
3
Respuesta:
d)
80) Sea
Re = 0,2π!
"
#
$
y
p x( ):sgn sen x( )cos x( )−
1
4
"
#
$
%
&
' = 0
entonces
la
suma
de
los
elementos
de
Ap x( )
es
igual
a:
a)
π
12
b)
2π
c)
π
2
d)
π
e)
3π
Respuesta:
e)