Integraci´on en el plano complejo
4.1. Funciones complejas de variable real
Una funci´on compleja de variable real es una ...
38 4 Integraci´on en el plano complejo
es decir,
d
dt
z0w(t) = z0w′
(t).
(2) Si z0 = x0 + iy0 es constante, calcula la der...
4.1 Funciones complejas de variable real 39
(b) Aditividad:
b
a
w(t) dt =
c
a
w(t) dt +
b
c
w(t) dt.
(c) Acotaci´on:
b
a
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40 4 Integraci´on en el plano complejo
(2) La integral del ejemplo 4.2 se puede hacer a partir de la relaci´on
d
dt
−i
(1 ...
4.3 Integrales de contorno 41
En una curva regular en la que z′
(t) = 0 para a ≤ t ≤ b, el complejo
τ(t) =
z′
(t)
|z′(t)|
...
42 4 Integraci´on en el plano complejo
(3) si γ1 + γ2 denota la concatenaci´on de dos curvas tales que el extremo final de
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4.4 Independencia del contorno: primitivas 43
4.4. Independencia del contorno: primitivas
En general, las integrales de co...
44 4 Integraci´on en el plano complejo
Definici´on 4.2 (Primitiva). Sea Ω un dominio de C y f : Ω → C una funci´on
continua...
4.4 Independencia del contorno: primitivas 45
Para funciones cuya integral no depende del contorno, sino s´olo de los extr...
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Acotando esta expresi´on,
F(z + h) − F(z)
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4.4 Independencia del contorno: primitivas 47
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Consideremos primero γ′
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Una integral as´ı no puede realizarse directamente debido al corte sobre el e...
4.5 Teorema de Cauchy-Goursat 49
4.5. Teorema de Cauchy-Goursat
Ya hemos visto al introducir las integrales de contorno qu...
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Corolario 4.1. Toda funci´on f(z) holomorfa en un dominio Ω ⊂ C simplemente
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4.5 Teorema de Cauchy-Goursat 51
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n
k=1 γk
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52 4 Integraci´on en el plano complejo
La segunda integral es f´acil de parametrizar con z(θ) = a + ρeiθ
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4.6 F´ormula integral de Cauchy 53
est´e contenida ´ıntegramente en el interior de γ. Como f(z)/(z − a) es holomorfa
en γ,...
54 4 Integraci´on en el plano complejo
4.7. Aplicaciones de la f´ormula integral de Cauchy
En esta secci´on vamos a extrae...
4.7 Aplicaciones de la f´ormula integral de Cauchy 55
(denotaremos w = ζ − z para abreviar):
1
h
1
w − h
−
1
w
−
1
w2
=
w2...
56 4 Integraci´on en el plano complejo
tiende a 0 cuando h → 0. Como antes, el corchete se convierte en
1
h
1
(w − h)n
−
1...
4.7 Aplicaciones de la f´ormula integral de Cauchy 57
as´ı que
f(n−1)
(z − h) − f(n−1)
(z)
h
− f(n)
(z)
≤
(n + 1)!
2(d − |...
58 4 Integraci´on en el plano complejo
4.7.2. Teorema de Morera
Si f(z) es continua en un dominio Ω (que puede ser m´ultip...
4.7 Aplicaciones de la f´ormula integral de Cauchy 59
Ejemplo 4.10. Para evaluar la integral
2π
0
ecos θ
cos(sen θ) dθ, ra...
60 4 Integraci´on en el plano complejo
luego
|f(z0)| ≥
1
2π
2π
0
f z0 + ρeiθ
dθ.
Por lo tanto,
|f(z0)| =
1
2π
2π
0
f z0 + ...
4.7 Aplicaciones de la f´ormula integral de Cauchy 61
Y este teorema nos conduce a la siguiente conclusi´on:
Corolario 4.3...
62 4 Integraci´on en el plano complejo
siendo CR = ∂D(z0, R). Denotemos por MR el valor m´aximo de |f(z)| sobre CR.
Entonc...
4.7 Aplicaciones de la f´ormula integral de Cauchy 63
Vamos, pues, a probar que P(z) tiene al menos una ra´ız. Procederemo...
64 4 Integraci´on en el plano complejo
Dem.: Para el z dado y cualquier ζ ∈ γ, escribamos
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
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  1. 1. Integraci´on en el plano complejo 4.1. Funciones complejas de variable real Una funci´on compleja de variable real es una funci´on w : [a, b] → C, donde −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞. La parte real y la parte imaginaria de w son dos funciones reales de variable real: w(t) = u(t) + iv(t), de modo que, a todos los efectos, w puede interpretarse como una funci´on w : [a, b] → R2 . Como tal, la definici´on l´ogica de derivada es w′ (t) = u′ (t) + iv′ (t), admitiendo que u y v son derivables en t. Ejemplos 4.1. (1) Si z0 = x0 + iy0 es constante y w(t) = u(t) + iv(t) es derivable, calcula la derivada de z0w(t). d dt z0w(t) = d dt (x0 + iy0)(u + iv) = d dt (x0u − y0v) + i(y0u + x0v) = d dt (x0u − y0v) + i d dt (y0u + x0v) = (x0u′ − y0v′ ) + i(y0u′ + x0v′ ) = (x0 + iy0)(u′ + iv′ ),
  2. 2. 38 4 Integraci´on en el plano complejo es decir, d dt z0w(t) = z0w′ (t). (2) Si z0 = x0 + iy0 es constante, calcula la derivada de ez0t . d dt ez0t = d dt ex0t cos(y0t) + iex0t sen(y0t) = x0ex0t cos(y0t) − y0ex0t sen(y0t) + i x0ex0t sen(y0t) + y0ex0t cos(y0t) = x0eiz0t + iy0ez0t , o sea, d dt ez0t = z0ez0t . Tal como ilustran los ejemplos, las reglas del c´alculo de funciones reales se mantienen para funciones complejas de variable real (linealidad, regla del produc- to, regla del cociente y regla de la cadena). Tambi´en se mantienen la mayor´ıa de los resultados (con alguna excepci´on, como el teorema del valor medio, que no se cumple para este tipo de funciones). De manera an´aloga a las derivadas, las integrales de funciones complejas de variable real se definen como b a w(t) dt = b a u(t) dt + i b a v(t) dt, donde se supone que u y v son funciones integrables en (a, b). Las integrales pueden ser impropias. Esta definici´on se resume en las dos identidades Re b a w(t) dt = b a Re w(t) dt, Im b a w(t) dt = b a Im w(t) dt. Ejemplo 4.2. Eval´ua la integral 1 0 (1 + it)2 dt. 1 0 (1 + it)2 dt = 1 0 (1 − t2 ) dt + i 1 0 2t dt = 2 3 + i. Las propiedades de estas integrales est´an heredadas de las de las integrales de funciones reales: (a) Linealidad: b a αw1(t) + βw2(t) dt = α b a w1(t) dt + β b a w2(t) dt.
  3. 3. 4.1 Funciones complejas de variable real 39 (b) Aditividad: b a w(t) dt = c a w(t) dt + b c w(t) dt. (c) Acotaci´on: b a w(t) dt ≤ b a |w(t)| dt. Merece la pena ver la demostraci´on de la propiedad de acotaci´on, ya que es algo m´as elaborada que su equivalente real: b a w(t) dt = ρeiφ , ρ = b a w(t) dt , por lo tanto ρ = b a e−iφ w(t) dt = Re b a e−iφ w(t) dt = b a Re e−iφ w(t) dt ≤ b a e−iφ w(t) dt = b a |w(t)| dt. As´ı pues, b a w(t) dt ≤ b a |w(t)| dt. El teorema fundamental del c´alculo sigue siendo v´alido para este tipo de in- tegrales. As´ı, si U(t) es una primitiva de u(t) y V (t) es una primitiva de v(t), entonces W(t) = U(t) + iV (t) es una primitiva de w(t) = u(t) + iv(t) ya que W′ (t) = w(t). Entonces, b a w(t) dt = U(t) b a + iV (t) b a = W(b) − W(a). Por an´alogo motivo, la regla del cambio de variable y la integraci´on por partes siguen siendo v´alidas para estas integrales. Ejemplos 4.3. (1) Integra π/4 0 eit dt. Como −ieit es una primitiva de eit , π/4 0 eit dt = −ieit π/4 0 = −ieiπ/4 + i = 1 √ 2 − i 1 √ 2 + i = 1 √ 2 + i 1 − 1 √ 2 .
  4. 4. 40 4 Integraci´on en el plano complejo (2) La integral del ejemplo 4.2 se puede hacer a partir de la relaci´on d dt −i (1 + it)3 3 = (1 + it)2 . Con ella, 1 0 (1 + it)2 dt = −i (1 + it)3 3 1 0 = −i (1 + i)3 3 + i 3 = −i 3 (1 + 3i − 3 − i − 1) = −i 3 (2i − 3) = 2 3 + i. 4.2. Contornos El objetivo de esta secci´on es definir integrales de funciones de variable com- pleja sobre curvas del plano complejo, as´ı que tenemos que empezar por definir lo que entendemos por una curva. Una curva de C es una funci´on γ : [a, b] → C que a cada a ≤ t ≤ b le asocia el n´umero complejo z(t) = x(t) + iy(t), donde x, y : [a, b] → R son funciones continuas. Decimos que la curva γ es una curva simple si z(t1) = z(t2) cuando t1 = t2. Cuando z(a) = z(b) se dice que γ es una curva cerrada, y si cumple la condici´on de curva simple salvo en los extremos se dice que es una curva cerrada simple. Ejemplos 4.4. (1) La l´ınea poligonal z(x) = x + ix si 0 ≤ x ≤ 1, x + i si 1 ≤ x ≤ 2, es una curva simple. (2) La circunferencia de radio R y centrada en z0 ∈ C, z(θ) = z0 + Reiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π, es una curva cerrada simple. (3) La misma circunferencia parametrizada como z(θ) = z0 + Re−iθ es una curva distinta, porque est´a recorrida en sentido contrario. (4) Tambi´en la curva z(θ) = z0 + Rei2θ es el mismo conjunto de puntos pero una curva distinta, porque recorre dos veces la circunferencia. En este caso se trata de una curva cerrada pero no simple. Cuando la funci´on z(t) es derivable, se dice que γ es una curva regular. La longitud de una curva regular viene dada por la expresi´on L(γ) = b a |z′ (t)| dt, |z′ (t)| = x′(t)2 + y′(t)2.
  5. 5. 4.3 Integrales de contorno 41 En una curva regular en la que z′ (t) = 0 para a ≤ t ≤ b, el complejo τ(t) = z′ (t) |z′(t)| representa el vector unitario tangente a la curva en z(t). Cuando z′ (t) es continua decimos que γ es una curva suave. En este caso τ(t) cambia de manera continua con t. Finalmente, diremos que γ es un contorno si es una curva suave a trozos (z′ (t) es continua a trozos) en el intervalo [a, b]. Del mismo modo que para las curvas se definen contornos cerrados y contornos cerrados simples. 4.3. Integrales de contorno Definici´on 4.1. Sea Ω un dominio de C, γ : [a, b] → Ω un contorno de dicho dominio y f : Ω → C una funci´on tal que f ◦ γ es continua a trozos en [a, b]. Se define la integral de f sobre el contorno γ como γ f(z) dz = b a f z(t) z′ (t) dt. La integral de contorno as´ı definida es equivalente a dos integrales de l´ınea de dos campos vectoriales sobre Ω, ya que si f(z) = u(x, y) + iv(x, y), f(z)z′ = (u + iv)(x′ + iy′ ) = (ux′ − vy′ ) + i(vx′ + uy′ ), con lo que γ f(z) dz = γ P1 dx + Q1 dy + i γ P2 dx + Q2 dy, siendo P1 = u, Q1 = −v, P2 = v, Q2 = u. La integral de contorno hereda, por tanto, las propiedades de las integrales de l´ınea de campos vectoriales. As´ı: (1) son invariantes bajo cambios de parametrizaci´on que mantengan la orientaci´on de la curva; (2) si −γ denota la curva γ orientada en sentido opuesto, −γ f(z) dz = − γ f(z) dz;
  6. 6. 42 4 Integraci´on en el plano complejo (3) si γ1 + γ2 denota la concatenaci´on de dos curvas tales que el extremo final de la primera es el extremo inicial de la segunda, γ1+γ2 f(z) dz = γ1 f(z) dz + γ2 f(z) dz. Tambi´en hereda las propiedades de las integrales de funciones complejas de variable real: (4) si α, β ∈ C y f y g son integrables sobre γ, γ αf(z) + βg(z) dz = α γ f(z) dz + β γ g(z) dz, (5) y si |f(z)| ≤ M sobre γ, γ f(z) dz ≤ ML(γ). La ´ultima propiedad se sigue de que γ f(z) dz ≤ b a f z(t) z′ (t) dt ≤ M b a |z′ (t)| dt = ML(γ). En cuanto a la propiedad (3), la forma m´as general en la que puede expresarse es γ1∪···∪γn f(z) dz = γ1 f(z) dz + · · · + γn f(z) dz, cuando γ1, . . . , γn son contornos tales que L(γi ∩ γj) = 0 si i = j. Ejemplos 4.5. (1) Halla la integral γ z dz, siendo γ = {z(θ) = 2eiθ : −π/2 ≤ θ ≤ π/2}. Como z(θ) = 2e−iθ , z′ (θ) = i2eiθ , la integral valdr´a γ z dz = π/2 −π/2 2e−iθ 2ieiθ dθ = 4i π/2 −π/2 dθ = 4πi. (2) Halla la integral γ dz z siendo γ la circunferencia de radio R centrada en z = 0 y orientada en sentido positivo. Ahora γ = {Reiθ : 0 ≤ θ ≤ 2π}, luego γ dz z = 2π 0 iReiθ Reiθ dθ = i 2π 0 dθ = 2πi.
  7. 7. 4.4 Independencia del contorno: primitivas 43 4.4. Independencia del contorno: primitivas En general, las integrales de contorno dependen no s´olo de la funci´on integrada sino tambi´en del contorno. En algunos casos eso no es as´ı, y resultan independien- tes del contorno de integraci´on. Vamos a estudiar en esta secci´on cu´ando ocurre esto. Teorema 4.1. Sea Ω un dominio de C y f : Ω → C; entonces, son equivalentes: (a) dados los puntos z1, z2 ∈ Ω, γ1 f(z) dz = γ2 f(z) dz para todo par de contornos γ1, γ2 ⊂ Ω con origen en z1 y extremo final en z2; (b) la integral de contorno γ f(z) dz = 0 para todo contorno cerrado γ ⊂ Ω. Dem.: (a) ⇒ (b) Tomando dos puntos distintos z1, z2 ∈ γ cualesquiera, los dos trozos en que dividen γ son dos contornos γ1, γ2 con origen en z1 y extremo final z2. El contorno cerrado original se reconstruye como γ = γ1 − γ2. Entonces, γ f(z) dz = γ1 f(z) dz − γ2 f(z) dz = 0. (b) ⇒ (a) Dados dos contornos γ1, γ2 como los de las hip´otesis, el contorno γ = γ1 − γ2 es cerrado. Entonces γ1 f(z) dz − γ2 f(z) dz = γ f(z) dz = 0. Para indicar claramente que el contorno de una integral de contorno es cerrado se utiliza a veces la notaci´on γ f(z) dz.
  8. 8. 44 4 Integraci´on en el plano complejo Definici´on 4.2 (Primitiva). Sea Ω un dominio de C y f : Ω → C una funci´on continua. Si existe una funci´on holomorfa F : Ω → C tal que F′ (z) = f(z) para todo z ∈ Ω, decimos que F es una primitiva de f en Ω. Como ocurre en R, dos primitivas, F y G, de la misma funci´on f difieren en una constante compleja aditiva. La raz´on es que (F − G)′ = 0, y si una funci´on holomorfa tiene derivada nula, las ecuaciones (CR) implican que tiene que ser constante. Cuando una funci´on tiene primitiva, sus integrales de contorno verifican un teorema fundamental del c´alculo: Teorema 4.2. Sea f : Ω → C, con Ω un dominio de C, una funci´on continua con una primitiva F en Ω. Entonces, si γ ∈ Ω es un contorno entre los puntos z1, z2 ∈ Ω, γ f(z) dz = F(z2) − F(z1). Dem.: La raz´on de este resultado es la identidad d dt F z(t) = F′ z(t) z′ (t) = f z(t) z′ (t), gracias a la cual, si γ es una curva suave, γ f(z) dz = b a f z(t) z′ (t) dt = b a d dt F z(t) dt = F z(b) − F z(a) = F(z2) − F(z1). Para un contorno general γ, cuyos trozos se unen en los puntos z′ 1, . . . , z′ n, corres- pondientes a valores del par´ametro a < t′ 1 < . . . < t′ n < b, denotando t′ 0 = a y t′ n+1 = b, γ f(z) dz = n k=0 t′ k+1 t′ k f z(t) z′ (t) dt = n k=0 t′ k+1 t′ k d dt F z(t) dt = n k=0 F z(t′ k+1) − F z(t′ k) = F z(b) − F z(b) = F(z2) − F(z1).
  9. 9. 4.4 Independencia del contorno: primitivas 45 Para funciones cuya integral no depende del contorno, sino s´olo de los extre- mos, tiene sentido utilizar la notaci´on z2 z1 f(z) dz = γ f(z) dz, siendo γ cualquier contorno que una los puntos z1 y z2. Teorema 4.3. Sea Ω un dominio de C y f : Ω → C una funci´on continua. Enton- ces, existe una primitiva de f en Ω si y s´olo si γ f(z) dz = 0 para todo contorno cerrado γ ⊂ Ω. Dem.: ⇒ Si F′ (z) = f(z) en Ω, entonces, por el teorema 4.2, γ f(z) dz = F(z2) − F(z1), siendo z1 y z2 los extremos del contorno γ. Si γ es cerrado, z1 = z2 y el miembro de la derecha se anula. ⇐ Por el teorema 4.1, si γ f(z) dz = 0 para todo contorno cerrado γ ⊂ Ω, las integrales a lo largo de cualquier contorno no dependen del camino, sino s´olo de los extremos. Tomemos z0, z ∈ Ω y definamos F(z) = z z0 f(ζ) dζ. Vamos a probar que F′ (z) = f(z). Para ello tomemos un entorno de z lo bastante peque˜no como para que est´e en Ω, y tomemos h ∈ C tal que z + h est´e en ese entorno. Entonces, F(z + h) − F(z) = z+h z0 f(ζ) dζ − z z0 f(ζ) dζ = z+h z f(ζ) dζ. Como z+h z dζ = h (lo que puede probarse tomando, por ejemplo, el contorno z(t) = z + th, con 0 ≤ t ≤ 1), F(z + h) − F(z) h − f(z) = 1 h z+h z f(ζ) − f(z) dζ.
  10. 10. 46 4 Integraci´on en el plano complejo Acotando esta expresi´on, F(z + h) − F(z) h − f(z) ≤ 1 |h| z+h z f(ζ) − f(z) dζ . Ahora bien, como f(z) es continua en Ω, dado un ǫ > 0 arbitrario, podemos hacer que |f(ζ)−f(z)| < ǫ sin m´as que tomar h de modo que |h| sea lo suficientemente peque˜no, con lo que F(z + h) − F(z) h − f(z) ≤ 1 |h| ǫ|h| = ǫ, lo que implica que l´ım h→0 F(z + h) − F(z) h − f(z) = 0 y de ah´ı que F′ (z) = l´ım h→0 F(z + h) − F(z) h = f(z). Ejemplos 4.6. (1) La integral γ ez dz = 0 porque ez tiene como primitiva ez en C. (2) La integral γ dz z2 = 0 para todo contorno cerrado γ que no pase por z = 0, ya que una primitiva de 1/z2 en C−{0} es −1/z. (3) Vamos a hallar la integral γ dz z − a para cualquier contorno cerrado simple γ que rodee el punto z = a en sentido positivo, sin pasar por ´el. No podemos sin m´as decir que vale 0 alegando que log(z − a) es una primitiva de 1/(z − a), ya que la funci´on log(z − a) no es continua en todo C − {a} debido al corte que define la rama del logaritmo que uno adopte. As´ı que hay que adoptar otra estrategia para hallar la integral. Para ello vamos a dividir la curva γ en dos trozos, como indica la figura: uno peque˜no que corte la semirrecta Re(z − a) < 0, que denotaremos γǫ, y el resto, que denotaremos γ′ , ambos orientados en sentido positivo. Denotemos los puntos de divisi´on z1 y z2, tal como se indica en la figura.
  11. 11. 4.4 Independencia del contorno: primitivas 47 z1 γ a ε εz2 Consideremos primero γ′ . Como ´esta no cruza la semirrecta Re(z − a) < 0, una primitiva de 1/(z − a) que nos sirve para calcular γ′ dz z es F1(z) = log(z − a) tomada sobre la rama principal. Entonces, γ′ dz z − a = F1(z1) − F1(z2) = ln |z1 − a| + i(π − ǫ) − ln |z2 − a| − i(−π + ǫ) = ln z1 − a z2 − a + i2(π − ǫ). Para obtener la integral sobre γǫ tenemos que cambiar la rama del logaritmo. Entonces, F2(z) = log(z − a), tomando la rama [0, 2π), es una primitiva de 1/(z − a) con la que podemos calcular esa integral, luego γǫ dz z − a = F2(z2) − F2(z1) = ln |z2 − a| + i(π + ǫ) − ln |z1 − a| − i(π − ǫ) = − ln z1 − a z2 − a + i2ǫ. Sumando las dos integrales, γ dz z − a = γ′ dz z − a + γǫ dz z − a = ln z1 − a z2 − a + i2(π − ǫ) − ln z1 − a z2 − a + i2ǫ = 2πi. (4) Hallemos la integral γ √ z dz, donde γ es el contorno cerrado de la figura, que corta al eje real en 3 y en −3, orientado en sentido positivo, y la ra´ız est´a tomada sobre la rama √ z = √ reiθ/2 , 0 ≤ θ < 2π.
  12. 12. 48 4 Integraci´on en el plano complejo γ 3−3 Una integral as´ı no puede realizarse directamente debido al corte sobre el eje real positivo, as´ı que, para hacerla, dividimos la curva en dos mitades, la que cae sobre el semiplano Im z ≥ 0, que denotaremos γ+, y la que cae sobre el semiplano Im z ≤ 0, que denotaremos γ−. Para hacer la integral sobre γ+ buscamos una rama de la ra´ız que tenga el corte en Im z ≤ 0 y que coincida con nuestra definici´on de √ z sobre el semiplano Im z ≥ 0. Dicha rama corresponde a la determinaci´on −π/2 ≤ θ < 3π/2. Para esa rama hay una primitiva v´alida en Im z ≥ 0: F+(z) = 2 3 r3/2 ei3θ/2 , −π/2 ≤ θ < 3π/2. Utiliz´andola, γ+ √ z dz = F+(−3) − F+(3) = 2 3 3 √ 3(ei3π/2 − 1) = −2 √ 3(i + 1). Para hacer la integral sobre γ− buscamos una rama de la ra´ız que tenga el corte en Im z ≥ 0 y que coincida con nuestra definici´on de √ z sobre el semiplano Im z ≤ 0. Dicha rama corresponde a la determinaci´on π/2 ≤ θ < 5π/2. Para esa rama hay una primitiva v´alida en Im z ≤ 0: F−(z) = 2 3 r3/2 ei3θ/2 , π/2 ≤ θ < 5π/2. Utiliz´andola, γ− √ z dz = F−(3) − F−(−3) = 2 3 3 √ 3(ei3π − ei3π/2 ) = −2 √ 3(1 − i). Sumando las dos contribuciones, γ √ z dz = γ+ √ z dz + γ− √ z dz = −4 √ 3.
  13. 13. 4.5 Teorema de Cauchy-Goursat 49 4.5. Teorema de Cauchy-Goursat Ya hemos visto al introducir las integrales de contorno que la integral de una funci´on f(z) = u(x, y) + iv(x, y) sobre un contorno cerrado simple γ orientado en sentido positivo equivale a dos integrales de l´ınea reales: γ f(z) dz = γ u dx − v dy + i γ v dx + u dy. Si u y v tienen derivadas parciales continuas en un dominio que contenga tanto γ como la regi´on R delimitada por γ, podemos aplicar el teorema de Green y transformar la expresi´on anterior en γ f(z) dz = − R (vx + uy) dxdy + i R (ux − vy) dxdy. El resultado interesante es que si f(z) es holomorfa, entonces, por las ecuaciones (CR), los dos integrandos se anulan y tenemos que γ f(z) dz = 0. Este resultado es bastante m´as general de como lo acabamos de obtener. Para empezar, no es necesario pedir que u y v tengan derivadas continuas (eso es algo que, como veremos, est´a garantizado por el hecho de que f(z) es holomorfa). Adem´as, el resultado se puede generalizar a contornos cerrados no simples. Eso es evidente si tales contornos constan de un n´umero finito de “lazos”, ya que en ese caso se descomponen en una suma de un n´umero finito de contornos cerrados simples; pero ya no es evidente cuando el n´umero de “lazos” es infinito, y sin embargo el resultado sigue siendo cierto en esos casos. El teorema m´as general que proporciona este resultado fue obtenido en una primera versi´on por Cauchy y expresado en su forma actual por Goursat, y es conocido por ello como teorema de Cauchy-Goursat. Teorema 4.4 (Cauchy-Goursat). Sea f : Ω → C una funci´on holomorfa en un dominio simplemente conexo Ω ⊂ C; entonces, para cada contorno cerrado γ ⊂ Ω, γ f(z) dz = 0. Una consecuencia importante de este teorema es el siguiente resultado, conse- cuencia del teorema 4.3 combinado con el de Cauchy-Goursat:
  14. 14. 50 4 Integraci´on en el plano complejo Corolario 4.1. Toda funci´on f(z) holomorfa en un dominio Ω ⊂ C simplemente conexo tiene primitiva. El teorema de Cauchy-Goursat admite una extensi´on a dominios m´ultiplemente conexos: Teorema 4.5. Sea Ω un dominio de C, y sean (a) γ ⊂ Ω un contorno cerrado simple orientado positivamente, y (b) γ1, . . . , γn ⊂ Ω un n´umero finito de contornos cerrados simples orientados po- sitivamente, situados en el interior de γ y cuyos interiores tienen intersecci´on vac´ıa dos a dos. Si f(z) es holomorfa en la regi´on cerrada formada por los n + 1 contornos y la regi´on interior de γ excluidas las regiones interiores de γ1, . . . , γn, entonces γ f(z) dz = n k=1 γk f(z) dz. Dem.: La demostraci´on pasa por introducir unas curvas poligonales, que denota- remos l0, l1, . . . , ln, que unan el contorno γk con el γk+1 para todo k = 1, . . . , n, y los contornos γ1 y γn con el γ, como ilustra la figura. 0l 3l 2l 1lγ1 Γ1γ γ2 γ3 Γ2 El resultado son dos contornos cerrados simples, Γ1 y Γ2, tales que Γ1 + Γ2 = γ − n k=1 γk + n j=0 lj − n j=0 lj = γ − n k=1 γk. Para cada uno de estos dos contornos se verifican las condiciones del teorema de Cauchy-Goursat, de modo que Γ1 f(z) dz = Γ2 f(z) dz = 0,
  15. 15. 4.5 Teorema de Cauchy-Goursat 51 y, por tanto, γ− n k=1 γk f(z) dz = γ f(z) dz − n k=1 γk f(z) dz = 0. Hay una manera m´as compacta de expresar este resultado. Sea A una regi´on cerrada de C; su frontera, que denotaremos ∂A, es, en general, la uni´on de varios contornos cerrados simples, orientados de tal manera que el interior de A quede siempre a la izquierda de los contornos. Entonces, si f es holomorfa en A, ∂A f(z) dz = 0. Esto incluye tambi´en el caso en que A sea simplemente conexo y su frontera un ´unico contorno. En el caso particular en que A sea una regi´on “anular”, cuya frontera consta de un contorno exterior y otro interior, tenemos el siguiente resultado: Corolario 4.2 (Principio de deformaci´on de caminos). Sean γ1 y γ2 dos contornos cerrados simples orientados en sentido positivo, donde γ2 est´a en el interior de γ1. Si f(z) es holomorfa en la regi´on cerrada formada por esos contornos y los puntos situados entre ellos, entonces γ1 f(z) dz = γ2 f(z) dz. El nombre de este corolario alude al hecho de que esta situaci´on corresponde al caso en que el contorno γ1 se pueda deformar continuamente hasta el γ2 sin que en ning´un momento nos salgamos de la regi´on en que f es holomorfa. Ejemplos 4.7. (1) Para hallar la integral γ dz z − a sobre un contorno cerrado simple γ orientado en sentido positivo, trazamos la circunferencia C = {z ∈ C : |z − a| = ρ}, donde ρ > 0 es lo suficientemente peque˜no como para que la circunferencia est´e completamente en el interior de γ. Como 1/z es holomorfa entre γ y C, incluidos ambos contornos, γ dz z − a = C dz z − a .
  16. 16. 52 4 Integraci´on en el plano complejo La segunda integral es f´acil de parametrizar con z(θ) = a + ρeiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π, as´ı que C dz z − a = 2π 0 iρeiθ ρeiθ dθ = i 2π 0 dθ = 2πi, un resultado que ya obtuvimos anteriormente, pero que obtenemos de nuevo aqu´ı de una forma m´as sencilla. (2) Halla las integrales γ dz z2 + 1 , γ z z2 + 1 dz, donde γ es un contorno cerrado simple orientado positivamente que rodea los puntos ±i. Como 1 z2 + 1 = 1 2i 1 z − i − 1 z + i , z z2 + 1 = 1 2 1 z − i + 1 z + i , podemos escribir la primera integral como γ dz z2 + 1 = 1 2i γ dz z − i − 1 2i γ dz z + i = 2πi 2i − 2πi 2i = 0, y la segunda como γ z dz z2 + 1 = 1 2 γ dz z − i + 1 2 γ dz z + i = 2πi 2 + 2πi 2 = 2πi. 4.6. F´ormula integral de Cauchy Uno de los resultados m´as importantes de la teor´ıa de funciones de variable compleja es la f´ormula integral de Cauchy. Teorema 4.6 (F´ormula integral de Cauchy). Sea f(z) una funci´on holomorfa en un dominio Ω ⊂ C que contiene el contorno cerrado simple orientado positivamente γ y su interior. Si a es un punto del interior de γ, entonces f(a) = 1 2πi γ f(z) z − a dz. Dem.: Como f es continua en a, para cada ǫ > 0 habr´a un entorno D(a, δ) tal que si z ∈ D(a, δ), entonces |f(z) − f(a)| < ǫ. Tomemos ahora un 0 < ρ < δ tal que la circunferencia C = {z ∈ C : |z − a| = ρ}
  17. 17. 4.6 F´ormula integral de Cauchy 53 est´e contenida ´ıntegramente en el interior de γ. Como f(z)/(z − a) es holomorfa en γ, C y entre ambos contornos, γ f(z) z − a dz = C f(z) z − a dz. Por otro lado, sabemos que C dz z − a = 2πi, luego podemos escribir γ f(z) z − a dz − 2πif(a) = C f(z) − f(a) z − a dz. Ahora bien, en C, f(z) − f(a) z − a = |f(z) − f(a)| ρ < ǫ ρ , y la longitud de C es 2πρ, luego C f(z) − f(a) z − a dz < ǫ ρ 2πρ y, por tanto, γ f(z) z − a dz − 2πif(a) < 2πǫ. Este resultado es v´alido para cualquier ǫ > 0, luego el valor absoluto de la izquier- da debe valer 0, lo que prueba el resultado. Ejemplo 4.8. Este resultado permite hacer muchas integrales de contorno de una manera muy simple. Aunque exploraremos esta v´ıa con m´as detalle m´as adelante, veamos aqu´ı un simple ejemplo. Vamos a calcular la integral ∂D(0,2) z dz (9 − z2)(z + i) . Podemos escribir esta integral como ∂D(0,2) f(z) z − (−i) , f(z) = z (9 − z2) , y, por la f´ormula integral de Cauchy, ∂D(0,2) z dz (9 − z2)(z + i) = 2πif(−i) = 2πi (−i) 10 = π 5 .
  18. 18. 54 4 Integraci´on en el plano complejo 4.7. Aplicaciones de la f´ormula integral de Cauchy En esta secci´on vamos a extraer consecuencias de la f´ormula integral de Cau- chy. Como veremos, de esta sencilla f´ormula se siguen varios de los resultados m´as “potentes” de la teor´ıa de variable compleja. 4.7.1. Derivadas de funciones holomorfas Para empezar, la f´ormula integral de Cauchy ofrece una representaci´on de una funci´on holomorfa en t´erminos de una integral dependiente de un par´ametro. Si derivamos esa expresi´on, intercambiando derivada con integral sin preocuparnos de si tal cosa es l´ıcita, obtenemos la expresi´on f′ (z) = 1 2πi γ f(ζ) (ζ − z)2 dζ, que da como resultado la derivada de f(z) como una integral que involucra a f(z). Pero es m´as, podemos seguir haciendo sucesivas derivadas y encontrar la f´ormula f(n) (z) = n! 2πi γ f(ζ) (ζ − z)n+1 dζ. Desde luego, esto no garantiza que las sucesivas derivadas de f(z) existan, pero es muy sugerente el hecho de que el integrando sea, para cualquier n y cualquier z en el interior de γ, una funci´on integrable (ya que tanto f(ζ) como 1/(ζ − z)n+1 son continuas sobre γ). As´ı que vamos a tratar de demostrar que, efectivamente, la derivada de orden n est´a dada por la expresi´on que acabamos de hallar. Empezaremos por la primera derivada. Para ello tenemos que demostrar que f(z + h) − f(z) h − f′ (z) tiende a 0 cuando h → 0. Utilicemos las f´ormulas integrales para transformar la expresi´on anterior en 1 2πi γ 1 h 1 ζ − z − h − 1 ζ − z − 1 (ζ − z)2 f(ζ) dζ, siempre que 0 < |h| < d, siendo d = m´ınζ∈γ |ζ − z| la distancia de z a γ (para que z + h est´e en el interior de γ). Centr´emonos en el corchete del integrando
  19. 19. 4.7 Aplicaciones de la f´ormula integral de Cauchy 55 (denotaremos w = ζ − z para abreviar): 1 h 1 w − h − 1 w − 1 w2 = w2 − w(w − h) − h(w − h) h(w − h)w2 = h2 h(w − h)w2 = h (w − h)w2 . Nos encontramos, pues, con que f(z + h) − f(z) h − f′ (z) = h 2πi γ f(ζ) (ζ − z − h)(ζ − z)2 dζ. Para probar que el miembro derecho tiende a 0 cuando h → 0 vamos a acotar su m´odulo. Por un lado, para todo ζ ∈ γ, |ζ − z|2 ≥ d2 , |ζ − z − h| ≥ ||ζ − z| − |h|| ≥ d − |h|, con lo que 1 |(ζ − z − h)(ζ − z)2| ≤ 1 (d − |h|)d2 . Por otro lado, como f(ζ) es continua, sobre γ alcanzar´a su valor m´aximo M, de modo que |f(ζ)| ≤ M para todo ζ ∈ γ. Entonces, h 2πi γ f(ζ) (ζ − z − h)(ζ − z)2 dζ ≤ |h|ML(γ) 2π(d − |h|)d2 −−−−→ h→0 0, quedando, pues, probado que la expresi´on integral reproduce, de hecho, la deriva- da. Vamos ahora a probar la f´ormula para f(n) (z) por inducci´on. Dado que ya he- mos dado el primer paso de inducci´on (probar que es v´alida para n = 1), vamos a probar que si la f´ormula sirve para f(n−1) (z), entonces la derivada f(n) (z) existe y est´a dada por la misma f´ormula. Para ello tendremos que demostrar que f(n−1) (z + h) − f(n−1) (z) h − f(n) (z), que utilizando las f´ormulas se convierte en (n − 1)! 2πi γ 1 h 1 (ζ − z − h)n − 1 (ζ − z)n − n (ζ − z)n+1 f(ζ) dζ,
  20. 20. 56 4 Integraci´on en el plano complejo tiende a 0 cuando h → 0. Como antes, el corchete se convierte en 1 h 1 (w − h)n − 1 wn − n wn+1 = wn+1 − w(w − h)n − hn(w − h)n h(w − h)nwn+1 = wn+1 − (w − h)n (w + hn) h(w − h)nwn+1 . Ahora bien, (w − h)n = wn − nhwn−1 + n(n − 1) 2 h2 wn−2 + h3 R(w, h), donde R(w, h) es un polinomio en w y h, luego wn+1 − (w − h)n (w + hn) = wn+1 − wn+1 + nhwn − n(n − 1) 2 h2 wn−1 − h3 wR(w, h) − nhwn + n2 h2 wn−1 − n2 (n − 1) 2 h3 wn−2 − nh4 R(w, h) = n(n + 1) 2 h2 wn−1 + h3 ˜R(w, h), donde ˜R(w, h) = −wR(w, h) − n2 (n − 1) 2 wn−2 − nhR(w, h) es otro polinomio en w y h. Entonces el corchete se reescribe como wn+1 − (w − h)n (w + hn) h(w − h)nwn+1 = n(n + 1) 2 h (w − h)nw2 + h ˜R(w, h) (w − h)nwn+1 . Sobre γ, la funci´on | ˜R(w, h)| es continua y, por tanto, su m´odulo alcanza un valor m´aximo D. Por otro lado, como hemos visto antes, |w − h| ≥ d − |h|, |w| ≥ d. Sabiendo esto, wn+1 − (w − h)n (w + hn) h(w − h)nwn+1 ≤ n(n + 1) 2 h (w − h)nw2 + h ˜R(w, h) (w − h)nwn+1 ≤ n(n + 1) 2 |h| (d − |h|)nd2 + |h|D (d − |h|)ndn+1 ,
  21. 21. 4.7 Aplicaciones de la f´ormula integral de Cauchy 57 as´ı que f(n−1) (z − h) − f(n−1) (z) h − f(n) (z) ≤ (n + 1)! 2(d − |h|)nd2 + (n − 1)!D (d − |h|)ndn+1 |h| L(γ) 2π −−−−→ h→0 0. Podemos, en consecuencia, enunciar el siguiente teorema: Teorema 4.7. Sea f : Ω → C una funci´on holomorfa en el dominio simplemen- te conexo Ω ⊂ C; entonces, f ∈ C∞ (Ω) y todas sus derivadas son, por tanto, holomorfas en Ω. Adem´as, si γ es cualquier contorno cerrado simple orientado positivamente de Ω, la derivada n-´esima se puede obtener mediante la f´ormula f(n) (z) = n! 2πi γ f(ζ) (ζ − z)n+1 dζ, para todo z en el interior de γ. (Esta f´ormula incluye, como caso n = 0, la f´ormula integral de Cauchy). Una evidente consecuencia de este teorema es que si f(z) = u(x, y)+iv(x, y), entonces u, v ∈ C∞ (Ω). Ejemplos 4.9. (1) Una consecuencia del teorema de las derivadas es que γ dz (z − a)n+1 = 0, para todo n ∈ N y para todo contorno cerrado simple γ. La raz´on es que el valor de esta integral es ±2πif(n) (z)/n!, siendo f(z) = 1 (el signo depende de la orientaci´on de γ). (2) Halla el valor de la integral ∂D(0,2) z3 + 2z + 1 (z − 1)3 dz. Denotando f(z) = z3 + 2z + 1, el resultado de esta integral es ∂D(0,2) z3 + 2z + 1 (z − 1)3 dz = πif′′ (1). Como f′′ (z) = 6z, ∂D(0,2) z3 + 2z + 1 (z − 1)3 dz = 6πi.
  22. 22. 58 4 Integraci´on en el plano complejo 4.7.2. Teorema de Morera Si f(z) es continua en un dominio Ω (que puede ser m´ultiplemente conexo) y la integral sobre cualquier contorno cerrado de Ω se anula, entonces sabemos, por el teorema 4.3, que existe en Ω una funci´on F(z) tal que F′ (z) = f(z) para todo z ∈ Ω. La funci´on F(z) es, por tanto, holomorfa en Ω, y como f(z) es su derivada, por el teorema de las derivadas sabemos que f(z) tiene que ser tambi´en holomorfa. Este resultado, que limitado a dominios simplemente conexos resulta ser el rec´ıproco del teorema de Cauchy-Goursat, se debe a E. Morera, y se puede formular as´ı: Teorema 4.8 (Morera). Si f : Ω → C es continua en el dominio Ω ⊂ C y γ f(z) dz = 0 para todo contorno cerrado γ ⊂ Ω, entonces f(z) es holomorfa en Ω. 4.7.3. Teorema del valor medio de Gauss Teorema 4.9. Sea f(z) una funci´on holomorfa en un dominio Ω y sea z0 ∈ Ω. Entonces f(z0) es igual al valor medio de f(z) sobre cualquier circunferencia de Ω centrada en z0 y orientada positivamente. Dem.: Denotemos Cr la circunferencia de Ω dada por |z − z0| = r orientada positivamente. Entonces, por la f´ormula integral de Cauchy, f(z0) = 1 2πi Cr f(z) z − z0 dz, y parametrizando Cr como z(θ) = z0 + reiθ , con 0 ≤ θ ≤ 2π, la integral se convierte en f(z0) = 1 2π 2π 0 f z0 + reiθ dθ. Evidentemente, tomando la parte real e imaginaria de la f´ormula del valor me- dio de Gauss, llegamos a la conclusi´on de que la misma f´ormula la verifican todas las funciones arm´onicas.
  23. 23. 4.7 Aplicaciones de la f´ormula integral de Cauchy 59 Ejemplo 4.10. Para evaluar la integral 2π 0 ecos θ cos(sen θ) dθ, razonamos de la siguiente manera: ecos θ cos(sen θ) = ecos θ Re ei sen θ = Re ecos θ+i sen θ = Re eeiθ . Entonces, la integral se puede obtener como 2π 0 ecos θ cos(sen θ) dθ = Re 2π 0 eeiθ dθ = Re 2π 0 f eiθ dθ, definiendo f(z) = ez . En consecuencia, seg´un el teorema del valor medio de Cauchy, 2π 0 ecos θ cos(sen θ) dθ = 2π Re f(0) = 2π. El teorema del valor medio de Gauss se puede utilizar para resolver de forma aproximada la ecuaci´on de Laplace en un recinto, ya que la soluci´on, u(x, y) (una funci´on arm´onica) se puede aproximar en (x0, y0) a partir de algunos de sus valores sobre una circunferencia con centro en (x0, y0). Este es el fundamento del m´etodo de diferencias finitas para resolver la ecuaci´on de Laplace. 4.7.4. Principio del m´odulo m´aximo En esta secci´on vamos a estudiar las curiosas propiedades que tiene el m´odulo de una funci´on holomorfa respecto a su valor m´aximo. Lema 4.1. Sea f(z) una funci´on holomorfa en D(z0, ǫ). Si |f(z)| ≤ |f(z0)| para todo z ∈ D(z0, ǫ), entonces f(z) es constante en D(z0, ǫ). Dem.: Dado 0 < ρ < ǫ, el teorema del valor medio de Gauss nos asegura que f(z0) = 1 2π 2π 0 f z0 + ρeiθ dθ, de donde obtenemos la acotaci´on |f(z0)| ≤ 1 2π 2π 0 f z0 + ρeiθ dθ. Por otro lado, como por hip´otesis f z0 + ρeiθ ≤ |f(z0)| para todo 0 ≤ θ ≤ 2π, 2π 0 f z0 + ρeiθ dθ ≤ 2π 0 |f(z0)| dθ = 2π|f(z0)|,
  24. 24. 60 4 Integraci´on en el plano complejo luego |f(z0)| ≥ 1 2π 2π 0 f z0 + ρeiθ dθ. Por lo tanto, |f(z0)| = 1 2π 2π 0 f z0 + ρeiθ dθ, o, lo que es lo mismo, 2π 0 |f(z0)| − f z0 + ρeiθ dθ = 0. Como el integrando es una funci´on continua y no negativa en [0, 2π], para que la integral se anule el integrando debe ser 0, y, por tanto, |f(z)| = |f(z0)| sobre la circunferencia de radio ρ centrada en z0. Este razonamiento es v´alido para todo 0 < ρ < ǫ, luego |f(z)| = |f(z0)| para todo z ∈ D(z0, ǫ). Si el m´odulo de una funci´on holomorfa es constante en un dominio, entonces la funci´on es constante en ese dominio. Con este lema podemos probar el siguiente resultado: Teorema 4.10. Si una funci´on f(z) es holomorfa y no constante en un dominio Ω ⊂ C, entonces |f(z)| no tiene m´aximo en Ω. Dem.: Probaremos el contrapositivo de este teorema, es decir, si f(z) es holomor- fa en Ω y |f(z)| tiene m´aximo en Ω, entonces f es constante. Supongamos que |f(z)| alcanza un m´aximo en z0 ∈ Ω. Sea z′ 0 cualquier otro punto de Ω. Como Ω es conexo, construyamos una curva γ desde z0 a z′ 0. Sea d la distancia de γ a ∂Ω. Elijamos n puntos sobre γ, z1, . . . , zn, de tal modo que zn = z′ 0 y |zk − zk−1| < d, k = 1, 2, . . . , n. Ahora construyamos los entornos Dk = D(zk, d), k = 0, 1, . . . , n. Todos ellos est´an en Ω porque Ω es abierto y d es la distancia de γ a ∂Ω. Por el lema anterior, f(z) es constante en D0, luego f(z1) = f(z0) ya que z1 ∈ D0. Como |f(z0)| es m´aximo en Ω, tambi´en lo es |f(z1)|, luego otra vez por el lema f(z) es constante en D1 y, por tanto, f(z2) = f(z0), ya que z2 ∈ D1. Repitiendo el razonamiento llegamos a que f(z′ 0) = f(z0). El punto z′ 0 estaba elegido arbitrariamente en Ω, luego f(z) = f(z0) para todo z ∈ Ω.
  25. 25. 4.7 Aplicaciones de la f´ormula integral de Cauchy 61 Y este teorema nos conduce a la siguiente conclusi´on: Corolario 4.3 (Principio del m´odulo m´aximo). Sea Ω un dominio acotado de C y f(z) una funci´on holomorfa en Ω. Supongamos que f(z) es continua en Ω; entonces |f(z)| alcanza su valor m´aximo en Ω, y ´este se encuentra en ∂Ω. Dem.: Como Ω es un conjunto cerrado y acotado, |f(z)|, que es una funci´on conti- nua, alcanza su valor m´aximo en Ω. Como por el teorema anterior |f(z)| no puede ser m´aximo en Ω, el m´aximo debe estar en Ω − Ω = ∂Ω. Ejemplo 4.11. Consideremos la funci´on f(z) = sen z en el rect´angulo 0 ≤ Re z ≤ π, 0 ≤ Im z ≤ 1. Denotando z = z + iy, sabemos que | sen z| = sen2 x + senh2 y; entonces, | sen z| es m´aximo cuando lo son sen2 x en 0 ≤ x ≤ π, y senh2 y en 0 ≤ y ≤ 1, independientemente. La primera es m´axima en x = π/2, y la segunda en y = 1, y el punto z = π 2 + i est´a en la frontera del rect´angulo. Evidentemente, el principio del m´odulo m´aximo tiene una contrapartida para el m´odulo m´ınimo si f(z) = 0, ya que entonces el m´ınimo de |f(z)| es el m´aximo de la funci´on |1/f(z)|. Tambi´en existe un principio de m´odulo m´aximo para funciones arm´onicas: Corolario 4.4 (Principio del m´odulo m´aximo para funciones arm´onicas). Sea u(x, y) una funci´on arm´onica en el dominio acotado Ω de R2 . Supongamos que u(x, y) es continua en ∂Ω; entonces el m´aximo de u(x, y) se alcanza sobre ∂Ω. Dem.: Sea v(x, y) la arm´onica conjugada de u(x, y). Entonces f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es holomorfa en Ω y continua en ∂Ω, y lo mismo cabe decir de F(z) = ef(z) . Entonces, por el principio de m´odulo m´aximo |F(z)| = eu(x,y) alcanza su m´aximo sobre ∂Ω. Como la exponencial es mon´otona creciente estricta, lo mismo ocurre con u(x, y). 4.7.5. Teorema de Liouville Cuando la funci´on f(z) es holomorfa en una regi´on que contiene el disco ce- rrado D(z0, R), f(n) (z0) = n! 2πi CR f(z) (z − z0)n+1 dz,
  26. 26. 62 4 Integraci´on en el plano complejo siendo CR = ∂D(z0, R). Denotemos por MR el valor m´aximo de |f(z)| sobre CR. Entonces, |f(n) (z0)| ≤ n!MR Rn . Esta desigualdad se conoce como desigualdad de Cauchy. Para el caso particular n = 1 afirma que |f′ (z0)| ≤ MR R , una desigualdad que nos va a permitir obtener el siguiente resultado: Teorema 4.11 (Liouville). Si f(z) es holomorfa y acotada en todo C, entonces es constante. Dem.: Al ser f holomorfa en todo C, la desigualdad de Cauchy es v´alida para todo R y z0. Como |f(z)| ≤ M, para alg´un M > 0, en todo el plano complejo, tenemos que |f′ (z)| ≤ M R para todo z ∈ C y todo R > 0. En consecuencia, f′ (z) = 0 en todo C, y por tanto f es constante. 4.7.6. Teorema fundamental del ´Algebra Uno de los resultados m´as importantes de la teor´ıa de variable compleja es que todo polinomio de grado n tiene exactamente n ra´ıces complejas (contada cada ra´ız tantas veces como sea su multiplicidad). Esto se conoce como teorema funda- mental del ´Algebra. El teorema es una consecuencia del teorema de Liouville. Corolario 4.5 (Teorema fundamental del ´Algebra). Todo polinomio P(z) = a0 + a1z + · · · + anzn (an = 0), de grado n ≥ 1 tiene n ra´ıces complejas (contando su multiplicidad). Dem.: En realidad basta probar que P(z) tiene al menos una ra´ız, ya que si z1 es una ra´ız de P(z), entonces Q1(z) = P(z)/(z − z1) es un polinomio de grado n − 1.1 El mismo resultado asegura que Q1(z) tiene al menos una ra´ız z2 (igual o distinta), con lo que Q2(z) = Q1(z)/(z − z2) es un polinomio de grado n − 2, y as´ı sucesivamente hasta llegar a un polinomio de grado 0. 1 Para probarlo basta hacer una divisi´on por Ruffini y comprobar que el resto es P(z1) = 0.
  27. 27. 4.7 Aplicaciones de la f´ormula integral de Cauchy 63 Vamos, pues, a probar que P(z) tiene al menos una ra´ız. Procederemos por re- ducci´on al absurdo, suponiendo que P(z) = 0 para todo z ∈ C. Entonces 1/P(z) es holomorfa en C. Vamos a ver que tambi´en es acotada en C. Para ello escribamos w = a0 zn + a1 zn−1 + · · · + an−1 z , de modo que P(z) = (an + w)zn . Como |w| ≤ |a0| |zn| + |a1| |zn−1| + · · · + |an−1| |z| , podemos hacer que |w| sea arbitrariamente peque˜no en la regi´on |z| > R sin m´as que tomar R suficientemente grande. Elijamos R de tal modo que |w| < |an|/2; entonces |an + w| ≥ |an| − |w| > |an| 2 , con lo que 1 |P(z)| = 1 |an + w||z|n < 2 |an|Rn para todo |z| > R. As´ı que 1/P(z) es acotada fuera del disco cerrado D(0, R). Pero en el disco cerrado tambi´en es acotada porque se trata de una funci´on conti- nua en un conjunto cerrado y acotado, as´ı que 1/P(z) es acotada en todo C. Por el teorema de Liouville, 1/P(z) debe ser constante, luego P(z) = const., lo que contradice el hecho de que ning´un polinomio de grado n ≥ 1 es constante. En conclusi´on, tiene que existir alg´un z1 ∈ C tal que P(z1) = 0. 4.7.7. Teorema de Taylor finito Teorema 4.12. Sea f(z) una funci´on holomorfa en el disco D(a, R); entonces, para todo z ∈ D(a, R), f(z) = f(a) + f′ (a)(z − a) + f′′ (a) 2! (z − a)2 + · · · + f(n) (a) n! (z − a)n + Rn+1(z)(z − a)n+1 , donde Rn+1(z) = 1 2πi γ f(ζ) (ζ − z)(ζ − a)n+1 dζ, siendo γ ⊂ D(a, R) un contorno cerrado simple que rodea los puntos a y z.
  28. 28. 64 4 Integraci´on en el plano complejo Dem.: Para el z dado y cualquier ζ ∈ γ, escribamos 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a 1 1 − z − a ζ − a . Como ζ ∈ γ y z est´a en el interior de γ, w = z − a ζ − a = 1. Si w ∈ C es tal que w = 1, entonces sabemos que n k=0 wk = 1 − wn+1 1 − w , de donde 1 1 − w = n k=0 wk + wn+1 1 − w . Haciendo w = (z − a)/(ζ − a) en esta expresi´on, 1 1 − z − a ζ − a = n k=0 z − a ζ − a k + 1 1 − z − a ζ − a z − a ζ − a n+1 , con lo que multiplicando por 1/(ζ − a) llegamos a la identidad 1 ζ − z = n k=0 (z − a)k (ζ − a)k+1 + 1 ζ − z z − a ζ − a n+1 . Multiplicando por f(ζ)/2πi e integrando sobre γ, 1 2πi γ f(ζ) ζ − z dζ = n k=0 (z − a)k 1 2πi γ f(ζ) (ζ − a)k+1 dζ + (z − a)n+1 1 2πi γ f(ζ) (ζ − z)(ζ − a)n+1 dζ, y aplicando la f´ormula integral de Cauchy para f(z) y sus derivadas, e identifican- do Rn+1(z), obtenemos la f´ormula de Taylor.

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