El documento presenta una reseña del libro "Set Theory" de Thomas Jech. En pocas oraciones, resume que el libro es un texto fundamental sobre teoría de conjuntos dirigido a estudiantes avanzados y académicos. Explica que el libro cubre temas básicos, avanzados y de especialista de manera exhaustiva, consolidándose como una referencia importante para la disciplina.

1. Andrés Villaveces
Thomas Jech. Set theory. Tercera edición del milenio, revisada y
expandida, 4ta reimpresión corregida, Springer Monographs in
Mathematics, Springer, Berlín, 2006, xiii + 769 pp, US$ 160.00,
ISBN: 978­ 3-­ 40­ 44085-­
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Recibido: 05/06/10
Revisado: 21/06/10
Aprobado: 02/09/10
¿Por qué leer teoría de conjuntos? ¿Por qué leer a Jech?
La teoría de conjuntos tiene un siglo largo de existencia: se puede
decir —algo muy inusual en matemáticas— que esta área nació el
7 de diciembre de 1873, si uno acepta considerar como el momento
de nacimiento la fecha de la carta de Cantor a Dedekind, donde
demuestra mediante la famosa “prueba diagonal” que los reales
no son enumerables.
Durante su tiempo de existencia, la teoría de conjuntos se ha
consolidado no sólo como una de las (sub)áreas más importantes
de la lógica matemática sino como uno de los dos extremos de una
polaridad filosófica bastante acentuada en la matemática de los últimos
setenta años: la dicotomía entre la fundamentación conjuntística y
la categórica del resto de la matemática, entre el representar todo
objeto (función, operador, espacio, estructura) como un conjunto
de conjuntos de conjuntos (etc.) en últimas basado en el vacío
(extremo conjuntístico) o enfatizar las conexiones entre distintos
objetos, las múltiples flechas, acciones (funtores, transformaciones
naturales, adjunciones, etc.). Finalmente, la dicotomía matemática
entre el extremo conjuntista y el extremo categórico es una
expresión más de viejas dicotomías filosóficas (extremo analítico
versus extremo sintético, ser estático versus devenir dinámico, etc.).
No es excesivo decir que parte de la más interesante filosofía de la
matemática hoy en día surge en tensión contra la filosofía analítica:
la filosofía sintética de la matemática que proponen F. Zalamea,
Filosofía sintética de las matemáticas contemporáneas, (Bogotá:
Editorial Universidad Nacional de Colombia), 2009; A. Badiou,
L’Être et l’Événement, (París: Seuil), 1988; J. Petitot, Naturaliser
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2. T. Jech, Set theory
la phénoménologie, (París: Éditions CNRS), 2002; J. Baldwin,
Model theoretic perspectives on the philosophy of mathematics,
Workshop in Practice­ Based Philosophy, Amsterdam, 2009; etc.,
-
entre otros autores. En tensión contra el extremo conjuntístico, a
favor del extremo (más novedoso) categórico.
Una lectura posible del estado actual de la matemática con-
temporánea hace énfasis en la tensión entre dos extremos que,
simplificando, se podrían llamar el “extremo conjuntístico” y el
“extremo categórico” de la matemática contemporánea. Esta vi-
sión corresponde de manera intuitiva (y muy esquemática) a la
tensión entre lo endógeno (ENDO) y lo exógeno (EXO), entre el
análisis y la síntesis, entre una ontología estática y una ontología
dinámica. De acuerdo con esa visión la teoría de conjuntos sería
el culmen del primer extremo, del extremo ENDO, del extremo
analítico de la matemática. Aunque tal tipo de lectura puede ser
extremadamente simplista (y en la realidad hay toda una red,
toda una espiral de caminos insospechados entre los dos “extre-
mos”), es conveniente para ubicar momentáneamente las demás
disciplinas matemáticas las unas con respecto a las otras.
En ese orden de cosas, el desarrollo de algunas áreas de la
matemática en el siglo XX (distintas de la teoría de conjuntos)
pasó por un primer momento (“estructuralista” —años 20 y 30)
durante el cual muchas construcciones, muchas subáreas que ve-
nían de antes se organizaron en torno a la construcción de mul-
tiplísimas estructuras —todas ellas ancladas en ese paraíso de
Cantor que era la teoría de conjuntos. Durante las siguientes dé-
cadas, sucedió algo sorprendente —una especie de explosión en
dos caminos aparen­ emente opuestos y ubicados en los extremos
t
ENDO y EXO. En realidad la explosión no fue entre verdaderos
opuestos, pero se requiere una formación como la que puede dar
la lectura del libro de Jech y de muchas otras obras en varias dis-
ciplinas el ver por qué es más complejo: por un lado la necesidad
de lograr un mejor control de la tensión “local­ lobal” en partes
g
de la geometría, la necesidad de tener herramientas de pegamen-
to matemático de estructuras bien controladas localmente en un
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3. Andrés Villaveces
todo global coherente lle­ ó disciplinas enormes (geometría alge-
v
braica, geometría diferencial, análisis complejo) del lado de los
esquemas y los haces; por otro lado, hacia la misma época suce-
dió una verdadera revolución en el “otro extremo”, en la teoría
de conjuntos.
Teoría de conjuntos: de fundamentos a matemática pura
Con el tiempo, logran­ o trascender su primer rol cercano a los
d
fundamentos de la matemática, la teoría de conjuntos se consolidó
como una componente central e ineludible de la lógica mate­
mática. El vaivén de ideas entre la teoría de conjuntos y la teoría
de modelos ha sido sumamente fructífero, sobrepasando de lejos
lo que inicialmente se hubiera podido sos­ echar —definiciones
p
y construcciones fundamentales inspiradas en la otra disciplina
(indiscernibles, modelos construidos como cubiertas de Ehrenfeucht­
-Mostowski en torno a ordinales, lema de cubrimiento de Jensen,
ultrapotencias genéricas, etc.), técnicas de teoría de modelos útiles
para la teoría de conjuntos —y viceversa— han aparecido de
manera natural a lo largo de toda su historia. Por otro lado, toda
una red de conexiones entre la teoría de conjuntos y la topología
y más recientemente con la topología algebraica y con las álgebras
de operadores (paralelos entre cardinales invariantes del continuo
y cardinales invariantes de C*­ lgebras, entre otros ejemplos de
á
interacción sorprendente) han sido expresiones de ese fluir natural,
sorprendente y enriquecedor entre la teoría de conjuntos y el resto
de la matemática.
En 1963 Cohen demostró la independencia de la Hipótesis
del Continuo. Pero más allá del resultado en sí (que respondía a
trabajos iniciados ochenta años antes por Cantor, entronizados
por Hilbert en su primer problema en 1900 y refinados de manera
extrema por Gödel hacia 1938, Cohen y la generación siguiente
—sobretodo Silver, Solovay, Martin en Berkeley), la demostración
de Cohen introdujo un método que cambió por completo toda la
teoría de conjuntos: el forcing.
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4. T. Jech, Set theory
El forcing se ha convertido desde entonces en parte obligada de
la “paleta” de cual­ uier especialista en teoría de conjuntos. Es una
q
de esas técnicas inmensas en variantes y alcance, en conexiones
con otras áreas, en versatilidad de variantes. La idea, muy escue­
tamente, consiste en armar un “sistema de aproximaciones”
suficientemente coherente de algún “objeto” matemático que
uno quisiera construir, pero que no puede construir directamente
—entre otras razones porque puede no existir en “el universo
base” V. La fuerza de la técnica radica en que permite determinar
cuándo en alguna extensión del universo bien controlada por un filtro
genérico G (de manera tal que V ⊂ V [G]) aparece el objeto ideal que
se quería construir. Detrás de esto hay cantidad de sutilezas que
ter­ inan íntimamente conectadas con la estructura topológica y
m
de teoría de medida de los reales —entre muchas otras cosas.
El otro tema grande dentro de la teoría de conjuntos que ha
vivido una revolución durante los últimos treinta años es la teoría
descriptiva de conjuntos. Los orígenes de ésta se remontan a la escue-
la de Moscú durante la década de 1910, en trabajos que buscaban
extender el análisis de subconjuntos definibles de los reales que
surgió en Francia con los aportes de Baire, Borel y Lebesgue. En
décadas recientes la teoría descriptiva de conjuntos se ha centrado
fuertemente en el estudio del modelo L() bajo hipótesis de gran-
des cardinales.
Set theory - The third millenium edition, revised and expanded
(que en adelante señalo mediante STTM) se ubica principalmente
en ese punto, en lo que llamamos “teoría de conjuntos moderna” y
que consideramos que arranca con los trabajos de Cohen —y llega
a partir de esos trabajos a desarrollos contemporáneos de la disci-
plina hacia 2003 (su fecha de edición).
Es, de manera muy radical, un libro dirigido a público princi-
palmente matemático: estudiantes de posgrado (o pregrado avan-
zado en algunas partes) de lógica matemática, investigadores que
trabajan en teoría de conjuntos o en topología, teoría de modelos,
álgebra, etc. pero requieren usar forcing u otras técnicas conjuntís-
ticas en su trabajo. Puede, incluso, ser una excelente referencia para
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5. Andrés Villaveces
diversos filósofos de la matemática —principalmente filósofos no
analíticos que requieran ir al grano de una disciplina que (aún) se
puede ver como gran fundamentación de buena parte de la ma-
temática—, estudiosos serios de los trabajos de Maddy o Badiou
acudirán a STTM como una fuente de referencia o de estudio de
temas obligatoria en este momento.
El libro es un libro de texto, pero no para ser seguido linealmente
por completo en un curso, sino para ser estudiado por distintos
públicos, en distintas etapas de formación, siguiendo distintas
líneas a lo largo del libro. Un semestre típico de nivel maestría
puede consistir en todos los temas de forcing del libro, o en los de
teoría de grandes cardinales, o en varios otros.
La edición del tercer milenio
La historia de uso de STTM ha mostrado que realmente sirve como
fuente muy útil a la hora de escoger un “libro de texto”. Cabe
aclarar que disciplinas como Matemática (o en general las ciencias
o disciplinas estilo teoría musical) dependen muy fuertemente de
la calidad de los libros de texto, incluso a niveles muy avanzados
(cursos de doctorado). Esto puede sorprender un poco a quienes
vengan de otras disciplinas, donde los cursos avanzados dependen
mucho más de textos, fragmentos, etc. originales. En Matemática,
un buen libro de texto rebasa de lejos el rol un poco escolar que
alguien podría ver de manera un poco superficial. Algunos libros
de texto han marcado maneras de pensar, maneras de enfocar
disciplinas enteras. El rol epistemológico de textos como Jacobson
o Lang en Álgebra, Spanier en Topología Algebraica, o Atiyah en
Álgebra Conmutativa rebasa de lejos el rol primario pedagógico. El
ejemplo extremo de este fenómeno es (naturalmente) los Elementos
de Euclides.
En este sentido el reto de Jech (reflejado en el título ambicioso
“del tercer milenio”) es altísimo: intenta dar a estudiantes, estudio-
sos, investigadores, filósofos o sencillamente curiosos un marco de
pensamiento a través de su libro.
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6. T. Jech, Set theory
Jech no es novato en el tema: en 1978 había sacado una prime-
ra edición de su Set theory. El libro salió en época cercana al otro
texto de referencia y uso en universidades, de Kenneth Kunen. Du-
rante casi tres décadas, las dos referencias esenciales eran Kunen
y Jech. El contraste entre estos libros (Kunen breve, al grano, casi
humorístico en la profundidad de algunos de sus ejercicios, que
llevaban al estudiante casi por su cuenta a “descubrir” secretos de
la teoría de conjuntos – Jech exhaustivo, extenso, detallado) definía
estilos enteros de abordar inicialmente los temas. Usualmente, se
consideraba mejor pasar por Kunen primero y luego llenar vacíos
y detalles con Jech —evitando (por ejemplo) el tratamiento algo
engorroso de la definición de las extensiones genéricas en Jech,
pero luego sí usándolo para estudiar en detalle muchos temas que
Kunen en su elegancia extrema juzgaba oportuno omitir.
En 1997 Jech sacó una segunda edición, aún muy parecida a la
primera (correcciones menores, poco material nuevo).
La “tercera edición” (STTM) trae cambios profundos. Estruc-
turalmente, el libro ahora trae las tres partes bien distintas men-
cionadas antes —pero sobre todo trae consigo un enfoque que
simultáneamente cubre muchos temas nuevos— o conexiones
nuevas entre temas antes más distantes. Los ejercicios no son par-
ticularmente difíciles para alguien que haya absorbido el material
del libro —sirven principalmente para complementar temas, cons-
trucciones, ejemplos.
Es evidente que Jech intenta definir lo que cierto mainstream con-
juntístico debe con­ iderar como “básico”, lo que debe considerarse
s
“avanzado” y finalmente “nivel de especialista”. Esta diferencia-
ción nítida no aparece en ningún otro libro de teoría de conjuntos,
y tampoco aparecía en las dos primeras ediciones de Jech.
El libro consta entonces de tres partes: la primera (Basic
set theory) con temas generales y un desarrollo rápido a través
de la historia de la disciplina y con los temas que (a decir del
autor) “todo estudiante de teoría de conjuntos debe aprender”.
Es importante señalar aquí que STTM no pretende ser una fuente
histórica exhaustiva del área. Aunque en las referencias finales
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de cada capítulo aparecen unas notas históricas muy útiles, con
mención a los autores de observaciones, ejercicios, teoremas y
fuentes iniciales, el objetivo primordial del libro no es histórico.
En esta parte todos los resultados contienen demostraciones
detalladas. Arranca desde la axiomática de Zermelo­ raenkel, pasa
F
por ordinales, cardinales, axioma de elección, ultrafiltros, algo de
teoría combinatoria de conjuntos, cardinales medibles, de Ramsey,
débilmente compactos, etc., y un inicio de teoría descriptiva de
conjuntos (conjuntos borelianos y analíticos). La segunda parte
(Advanced set theory) consta de lo que todo especialista en teoría
de conjuntos debe manejar: forcing y forcing iterado, el universo
construible y modelos internos, grandes cardinales, el ideal no
estacionario, ultrapotencias iteradas y L(U), algo de teoría pcf, etc.
El tratamiento es menos detallado que en la primera parte aquí.
Finalmente, en la tercera parte (Selected topics), el autor entra en
muchos temas más contemporáneos que reflejan de manera bastante
fiel el “estado del arte” de la teoría de conjuntos hacia el inicio
del tercer milenio: trabajos de Woodin y la escuela de California,
determinación, modelos internos para grandes cardinales, el
máximo de Martin, forcing propio, tower forcing, etc.
El libro hace justicia a la impresionante mezcla (contaminación,
dirían algunos, ha­ lando de manera entusiasta sobre el tema, ver
b
Zalamea, op. cit.) de temas que estamos atestiguando en matemá-
tica hoy en día —aunque por razones obvias lo hace dentro del
ámbito de la teoría de conjuntos. En ese sentido el libro hace justi-
cia a la segunda parte de su nombre —la “edición del tercer mile-
nio”. En 1978 (y en la edición casi igual a la primera, de 1997) los
temas estaban mucho más separados en compartimientos. Uno de
los grandes logros de la edición de 2003 es ser el primer récord en
forma de libro de texto de la genuina “polinización cruzada” que
se vive en teoría de conjuntos (al igual que en varias otras áreas de
la matemática, y entre estas áreas también). Así, en ese impresio­
nante Selected topics que constituye la tercera parte el forcing apa-
rece como herramienta ubicua, la teoría de grandes cardinales y
de modelos internos aparecen mezcladas y la teoría descriptiva de
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conjuntos es el estudio del modelo L() bajo hipótesis de grandes
cardinales. En ese sentido muy preciso STTM es genuinamente la
edición para el (abrir del) tercer milenio.
En síntesis: en su tercera edición, STTM es un verdadero ma-
nual de consulta de teoría de conjuntos, que sirve para un amplí-
simo espectro de lectores: desde estudiantes de nivel licenciatura
(avanzada) hasta investigadores en el área —pasando por estu-
diantes de doctorado que se estén formando en teoría de conjuntos
o en disciplinas relaciona­ as con ésta. Para el público filosófico,
d
claramente es material de consulta (además de las fuentes origi-
nales) en temas frecuentemente mencionados, usados o criticados
por filósofos (fenomenólogos como Badiou, Petitot; sintéticos / ca-
tegóricos como Zalamea; o filósofos de la teoría de conjuntos de la
línea de Maddy).
Aunque es muy probable que el lema “del tercer milenio” que-
de obsoleto muy pronto (como sucede siempre en estas discipli-
nas), rebasado por textos que recojan desarrollos más novedosos,
o sencillamente mejor conectados con el resto de la matemática (li-
bros recientes de Todorcevic o áreas de trabajo que conectan teoría
de conjuntos con sistemas dinámicos —trabajos de Pestov, Kechris
y Todorcevic vienen a la mente), es claro que por ahora Jech ha
logrado un hito epistemológico/pedagógico con su libro —no solo
en términos de los temas y de su uso muy amplio en seminarios de
investigación o en cursos, sino por su definición (más incluyente,
más exhaustiva aún que en las dos ediciones anteriores) nítida de
qué es lo básico que “todo estudiante” debe saber, qué es lo “avan-
zado” y qué es lo “de especialistas”.
Andrés Villaveces
Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Nacio-
nal de Co­ ombia, AK 30 # 45­ 7, Bogotá D.C., Colombia.
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Correo electrónico: avillavecesn@unal.edu.co
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