Distribuciones Continuas de Probabilidad

 
MINE José Alejandro López Rentería
12 de diciembre de 2012

 Una distribución de probabilidad de una
variable aleatoria es una función que asigna a
cada suceso definido sobre la variable
aleatoria la probabilidad de que dicho suceso
ocurra. La distribución de probabilidad está
definida sobre el conjunto de todos los sucesos,
cada uno de los sucesos es el rango de valores
de la variable aleatoria.
12 de diciembre de 2012 | MINE José Alejandro López Rentería

 Una variable aleatoria continua es aquella que
puede tomar cualquier valor en algún intervalo
de valores acotados o no acotados.
Generalmente los valores de una variable
aleatoria continua se obtienen de experimentos
reales o mediciones. Por ejemplo, al realizar los
experimentos de medir estaturas, medir pesos,
registrar ingresos económicos, etc.; se obtienen
variables aleatorias continuas.

 Una distribución de probabilidad continua es
una función que asigna a un intervalo de la
variable aleatoria continua X su valor de
probabilidad correspondiente. Es decir, la
probabilidad de que un evento ocurra en un
intervalo de la variable. Esto puede ocurrir de
tres formas distintas:
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) 𝑃(𝑋 ≤ 𝑏) 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋)

 Hallar la distribución de probabilidad para la
variable continua definida como la edad de los
estudiantes mexicanos con 15 años cumplidos
o más, que estuvieron inscritos en alguna
escuela durante el año 2011.

 X= edad de los estudiantes mexicanos con 15
años cumplidos o más.
 X= {15, 16, 17,18, ….}
Dado que la variable es continua y no se conoce
el valor máximo específico, entonces se debe
organizar los valores de la variable a través de
intervalos.
Edad 15 a 19 20 a 24 25 a 29 30 a 35 Mas de
35

 ¿Cómo calcular la probabilidad para cada
intervalo?
 Existen dos formas, la primera es a través de los
datos estadísticos generados, o sea como
probabilidad clásica. La segunda es conociendo
la función explícita para calcular la probabilidad.
 En este caso, sólo se conocen los valores
estadísticos para cada intervalo, se presentan
en la siguiente tabla de distribución de
frecuencias.

 De acuerdo con el INEGI, la población de
estudiantes de 15 años o más se distribuye así:
Edad (variable en
intervalos)
Frecuencia
(número de
alumnos en
millones)
Frecuencia relativa
(%)
15 – 19 2.7 22
20 – 24 4.8 39
25 – 29 1.9 15
30 – 35 1.2 10
más de 35 1.8 15
TOTAL 12.4 100


Distribución de probabilidad continua

La distribución normal, distribución de
Gauss o distribución gaussiana, es una de
las distribuciones de probabilidad de
variable continua que con más frecuencia
aparece aproximada en fenómenos
naturales, sociales y psicológicos.

La gráfica de su función de densidad
tiene una forma acampanada y es
simétrica respecto de un determinado
parámetro estadístico. Esta curva se
conoce como campana de Gauss y es el
gráfico de una función gaussiana.

 Se dice que una variable aleatoria continua X
sigue una distribución normal de parámetros 𝜇 y
𝜎 y se denota 𝑿~𝑵(𝝁, 𝝈) donde μ (mu) es la
media y σ (sigma) es la desviación estándar.
 Para calcular la probabilidad de una variable
Normal se utiliza la siguiente fórmula:
𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 =
1
𝜎 2𝜋
𝑎
𝑏
𝑒−
1
2
𝑥2
𝑑𝑥

 Análogamente, se calcula:
𝑃 𝑋 ≤ 𝑏 =
1
𝜎 2𝜋
−∞
𝑏
𝑒−
1
2
𝑥2
𝑑𝑥
𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 =
1
𝜎 2𝜋
𝑎
∞
𝑒−
1
2
𝑥2
𝑑𝑥

Para calcular probabilidades con variables
que siguen la distribución normal se usan
tablas. Pero, puesto que sería imposible
tener una tabla para cada posible
distribución normal, solamente la tenemos
para la distribución normal estándar, es
decir, para la 𝑵( 𝟎 , 𝟏 ).

Cualquier variable 𝑋 que se distribuya
normal X~𝑁(µ, 𝜎) puede transformarse en
una variable 𝒁 que sigan una distribución
normal estándar 𝐙~𝑵(𝟎, 𝟏). Este proceso
se llama tipificación de la variable.
Dicha tipificación se calcula como:
𝑋 =
𝑥 − 𝜇
𝜎

Por tanto, para calcular la probabilidad de
una variable Normal estándar se utiliza la
siguiente fórmula:
𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 =
1
𝜎 2𝜋
𝑎
𝑏
𝑒−
1
2
(
𝑥−𝜇
𝜎
)2
𝑑𝑥

 Análogamente, se calcula:
𝑃 𝑋 ≤ 𝑏 =
1
𝜎 2𝜋
−∞
𝑏
𝑒−
1
2
(
𝑥−𝜇
𝜎
)2
𝑑𝑥
𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 =
1
𝜎 2𝜋
𝑎
−∞
𝑒−
1
2
(
𝑥−𝜇
𝜎
)2
𝑑𝑥

Calcular la distribución de probabilidad de
la variable continua definida como “pesos
de los habitantes” de la ciudad de Mérida,
si se sabe que la media es 65 kg y la
desviación estándar es 8 kg.

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