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1.
BLOQUE II
Álgebra 5. Operaciones con polinomios 6. Ecuaciones de 1er y 2º grado 7. Sistemas de ecuaciones lineales
2.
5
Operaciones con polinomios 1. Polinomios. Suma y resta PIENSA Y CALCULA Dado el cubo de la figura, calcula en función de x: x a) El área. x b) El volumen. x Solución: a) A(x) = 6x2 b) V(x) = x3 APLICA LA TEORÍA 1 Dado el prisma cuadrangular del dibujo, Solución: calcula en función de x: 3x a) – 5x3 + 7x2 + 4 a) El área. Grado: 3, coeficiente principal: – 5 b) El volumen. x x Término independiente: 4 Solución: b) 4x6 – 6x5 – 9x2 – 7 Grado: 6, coeficiente principal: 4 a) A(x) = 2x2 + 4 · 3x · x = 14x2 Término independiente: – 7 b) V(x) = 3x3 c) 4x5 + 8x2 – 5x 2 ¿Cuáles de las siguientes expresiones son mono- Grado: 5, coeficiente principal: 4 mios? Calcula el grado de éstos. Término independiente: 0 d) – x8 – 4x6 – 7x2 – 7x + 9 a) 5x3y b) 3x–2y3 c) 7x2y5 + 3xy2 d) 4a Grado: 8, coeficiente principal: – 1 Solución: Término independiente: 9 Son monomios: a) y d) El grado del a) es 4 4 Halla el valor de a, b y c para que los siguientes El grado del d) es 1 polinomios sean iguales: P(x) = ax4 – 8x3 + 4x – b © Grupo Editorial Bruño, S.L. 3 Ordena de forma decreciente, según los grados, Q(x) = 5x4 – 8x3 – cx2 + 4x + 6 los siguientes polinomios y calcula el grado, el coe- ficiente principal y el término independiente: Solución: a) 7x2 – 5x3 + 4 b) – 9x2 – 6x5 – 7 + 4x6 a = 5, b = – 6, c = 0 c) 8x2 – 5x + 4x5 d) – 7x2 – x8 – 7x + 9 – 4x6 154 SOLUCIONARIO
3.
5 Suma los
siguientes polinomios: 7 Calcula P(x) – Q(x): P(x) = 7x4 – 6x3 + 5x – 3 P(x) = 5x4 + x3 – 2x2 – 5 Q(x) = x4 + 8x3 – x2 + 4x + 6 Q(x) = 7x4 – 5x2 + 3x + 2 Solución: Solución: P(x) + Q(x) = 8x4 + 2x3 – x2 + 9x + 3 P(x) – Q(x) = – 2x4 + x3 + 3x2 – 3x – 7 6 Halla el opuesto de los siguientes polinomios: 8 Los ingresos y los gastos de una empresa en millo- P(x) = 5x5 – 7x3 + 4x – 1 nes de euros, en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados por: Q(x) = – x4 + 6x3 – x2 + 5x + 1 I(t) = t2 – 3t + 5 G(t) = t2 – 4t + 9 Solución: Halla la expresión B(t) de los beneficios. P(x) = – 5x5 + 7x3 – 4x + 1 Q(x) = x4 – 6x3 + x2 – 5x – 1 Solución: B(t) = I(t) – G(t) = t – 4 2. Multiplicación de polinomios PIENSA Y CALCULA Calcula, en función de x, el área del rectángulo de la figura: x x+5 Solución: A(x) = (x + 5)x = x2 + 5x APLICA LA TEORÍA 9 Calcula mentalmente: 11 Desarrolla y simplifica: a) (x + 2)0 b) (x – 3)1 c) (x – 7)1 d) (2x + 6)0 a) (2x + 1/2)2 b) (x/3 + 1) (x/3 – 1) c) (6x – 2/3)2 d) (5x + 3/4) (5x – 3/4) Solución: a) 1 b) x – 3 Solución: c) x – 7 d) 1 a) 4x2 + 2x + 1/4 b) x2/9 – 1 c) 36x2 – 8x + 4/9 d) 25x2 – 9/16 10 Desarrolla mentalmente: © Grupo Editorial Bruño, S.L. a) (x + 5)2 b) (x + 3) (x – 3) 12 Halla el polinomio que da el área x+3 c) (x – 6)2 d) (x + √5 ) (x – √5 ) del cuadrado de la figura: Solución: Solución: a) x2 + 10x + 25 b) x2 – 9 A(x) = (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 c) x2 – 12x + 36 d) x2 – 5 UNIDAD 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS 155
4.
13 Desarrolla los
siguientes productos: 16 Multiplica los polinomios: a) ( – 3x) 5x2 2x3 b) – 2x3 ( 7x4 – 4x2) P(x) = 2x3 – 3x + 5 c) – 3x (– 8x5 – 5x2) d) 6x4 (– x5 + 2x) Q(x) = 3x2 + x – 4 Solución: Solución: a) 10x5 – 15x3 b) – 14x7 + 8x5 6x5 + 2x4 – 17x3 + 12x2 + 17x – 20 c) 24x6 + 15x3 d) – 6x9 + 12x5 17 Multiplica los polinomios: 14 Factoriza mentalmente: P(x) = x4 – 3x2 + x – 5 a) 2x2 + 6x b) x2 – 6x + 9 Q(x) = 2x3 + x2 – 4 c) x2 – 25 d) x2 + 8x + 16 Solución: Solución: 2x7 + x6 – 6x5 – 5x4 – 9x3 + 7x2 – 4x + 20 a) 2x(x + 3) b) (x – 3)2 c) (x + 5)(x – 5) d) (x + 4)2 18 Multiplica los polinomios: P(x) = 3x5 – x3 – 5x +1 15 Factoriza: Q(x) = 2x4 + 4x2 – 3 a) 12x4 + 8x3 b) 5x3 + 20x2 + 20x c) x2 – 3 d) 9x2 – 30x + 25 Solución: 6x9 + 10x7 – 23x5 + 2x4 – 17x3 + 4x2 + 15x – 3 Solución: a) 4x3(3x + 2) b) 5x(x + 2)2 — — c) (x + √ 3 )(x – √ 3 ) d) (3x – 5)2 3. División de polinomios PIENSA Y CALCULA Realiza mentalmente las siguientes divisiones: a) (x3 + 6x2 – 7x) : x b) (x2 + 6x + 9) : (x + 3) c) (x2 – 8x + 16) : (x – 4) d) (x2 – 25) : (x + 5) Solución: a) x2 + 6x – 7 b) x + 3 c) x – 4 d) x – 5 APLICA LA TEORÍA 19 Divide y haz la comprobación: 20 Divide por Ruffini: P(x) = 2x5 – 8x4 + 12x2 + 18 P(x) = 2x3 – 13x + 8 entre entre © Grupo Editorial Bruño, S.L. Q(x) = x2 – 3x – 1 Q(x) = x + 3 Solución: Solución: C(x) = 2x3 – 2x2 – 4x – 2 C(x) = 2x2 – 6x + 5 R(x) = – 10x + 16 R = –7 Se comprueba que C(x) · Q(x) + R(x) = P(x) 156 SOLUCIONARIO
5.
21 Divide:
Solución: P(x) = 6x5 + 2x4 – 17x3 + 20x – 25 C(x) = 2x3 + x2 – 3x – 4 entre R(x) = 5x2 – 11x – 12 Q(x) = 2x3 – 3x + 5 24 Divide por Ruffini: Solución: P(x) = x5 – 4x3 + 7x + 12 C(x) = 3x2 + x – 4 entre R(x) = – 12x2 + 3x – 5 Q(x) = x + 1 22 Divide por Ruffini: Solución: P(x) = x4 – 6x3 + 9x + 10 C(x) = x4 – x3 – 3x2 + 3x + 4 entre R=8 Q(x) = x – 3 25 Halla un polinomio tal que al dividirlo entre Solución: 2x3 – 5x + 1 C(x) = x3 – 3x2 – 9x – 18 se obtenga de cociente: R = – 44 x2 + 3x – 4 23 Divide: y de resto: P(x) = 2x7 + x6 – 9x5 – 5x4 + 9x2 + 8 – 7x2 + x + 8 entre Solución: Q(x) = x4 – 3x2 + x – 5 (2x3 – 5x + 1)(x2 + 3x – 4) – 7x2 + x + 8 = = 2x5 + 6x4 – 13x3 – 21x2 + 24x + 4 4. Teorema del resto y del factor PIENSA Y CALCULA Tenemos un rectángulo de 12 m de perímetro, luego la base más la altura medirán 6 m. Si la altura mide x metros, la base medirá 6 – x metros. La fórmula del área será: x A(x) = (6 – x)x ⇒ A(x) = 6x – x2 6–x Completa en tu cuaderno la tabla de la de- x 1 2 3 4 5 recha y halla cuándo el área es máxima. 2 A(x) = 6x – x © Grupo Editorial Bruño, S.L. Solución: x 1 2 3 4 5 A(x) = 6x – x2 5 8 9 8 5 El área es máxima cuando x = 3 m UNIDAD 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS 157
6.
APLICA LA TEORÍA 26
Calcula mentalmente el valor numérico del siguien- 32 Observa la gráfica y calcula las raíces del polino- te polinomio para los valores que se indican: mio P(x) = 2x2 – 8x + 6 P(x) = x5 – 3x4 + 6x2 – 8 Y a) Para x = 0 b) Para x = 1 Solución: a) P(0) = – 8 b) P(1) = – 4 X 27 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P(x) = 2x2 – 8x + 6 P(x) = x4 – 3x3 + 5x – 2 a) Para x = 3 b) Para x = – 3 Solución: Solución: x1 = 1, x2 = 3 a) P(3) = 13 b) P(– 3) = 145 33 Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio 28 Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6 es divisible entre x + 1 P(x) = x3 – 6x2 + 5 entre x – 2 Solución: Solución: Se aplica el teorema del factor: Se aplica el teorema del resto: R = P(– 1) = 0 ⇒ sí es divisible. R = P(2) = – 11 34 Halla el valor de k para que el polinomio: 29 Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P(x) = x3 – 4x2 + kx + 10 P(x) = x4 + 3x3 – 5x – 7 entre x + 3 sea divisible entre x – 1 Solución: Solución: Se aplica el teorema del resto: Se aplica el teorema del factor: R = P(– 3) = 8 R = P(1) = 0 ⇒ 7 + k = 0 ⇒ k = – 7 30 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente 35 ¿El polinomio x2 + 9 tiene alguna raíz real? Razona división sea 5: la respuesta. (x3 + kx2 – 4) : (x + 3) Solución: Solución: No, porque x2 siempre es mayor o igual que cero y Se aplica el teorema del resto: al sumarle 9, siempre es positivo; por tanto nunca P(– 3) = 5 ⇒ 9k – 31 = 5 ⇒ k = 4 puede ser cero. 31 ¿Cuál de los números, 3 o – 3, es raíz del polino- mio P(x) = x3 + x2 – 9x – 9? Solución: © Grupo Editorial Bruño, S.L. Se aplica el teorema del factor: R = P(3) = 0 ⇒ x = 3 es raíz R = P(– 3) = 0 ⇒ x = – 3 es raíz 158 SOLUCIONARIO
7.
Ejercicios y problemas
1. Polinomios. Suma y resta Solución: 36 ¿Cuáles de las siguientes expresiones son mono- 4x5 – 5x4 + 10x3 – 8x – 4 mios? Calcula el grado de éstos. a) 5x4 + x3y b) 5x2y3 c) x2y5 – 4xy2 d) 7 2. Multiplicación de polinomios Solución: 41 Desarrolla mentalmente: Son monomios: b) y d) a) (x + 3)2 b) (x + 1)(x – 1) El grado del b) es 5 c) (x – 7)2 d) (x + √2 )(x – √2 ) El grado del d) es 0 Solución: 37 Clasifica las siguientes expresiones algebraicas en a) x2 + 6x + 9 b) x2 – 1 monomios, binomios o trinomios. c) x2 – 14x + 49 d) x2 – 2 a) x + y + z b) – 7x5y3 c) x – y d) 3x2 – 3 42 Desarrolla y simplifica: a) (3x + 1/3)2 b) (x + 1/3)(x – 1/3) Solución: c) (x/2 – 2/3)2 d) (2x + 3/2)(2x – 3/2) a) Trinomio b) Monomio c) Binomio d) Binomio Solución: a) 9x2 + 2x + 1/9 b) x2 – 1/9 38 Calcula el grado, el coeficiente principal y el término c) x2/4 – 2x/3 + 4/9 d) 4x2 – 9/4 independiente de los siguientes polinomios: a) 5x4 – 2x3 + 1 b) – 4x7 – 5x4 – 7x3 – 1 43 Desarrolla los siguientes productos: c) 5x2 – 4x + 3 d) – 6x10 – x8 – 3x6 + 8x – 7 a) 4x(5x4 – 6x) b) – 7x2(5x3 – 3x2) Solución: c) – 3x3(–6x2 – 1) d) 5x4(– x2 + 5x) a) Grado: 4, coeficiente principal: 5 Solución: Término independiente: 1 a) 20x5 – 24x2 b) – 35x5 + 21x4 b) Grado: 7, coeficiente principal: – 4 c) 18x5 + 3x3 d) – 5x6 + 25x5 Término independiente: – 1 c) Grado: 2, coeficiente principal: 5 44 Factoriza mentalmente: Término independiente: 3 a) 8x3 + 12x2 b) x2 + 10x + 25 d) Grado: 10, coeficiente principal: – 6 c) x2 – 5 d) x2 – 14x + 49 Término independiente: – 7 Solución: 39 Suma los siguientes polinomios: a) 4x2(2x + 3) b) (x + 5)2 — — P(x) = 7x5 – 5x3 + 3x2 – 1 c) (x + √ 5 )(x – √ 5 ) d) (x – 7)2 Q(x) = – 3x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + 1 45 Multiplica los polinomios: Solución: P(x) = x3 – 2x2 + 3 7x5 – 3x4 – x2 + 3x Q(x) = 2x3 – 5x + 1 © Grupo Editorial Bruño, S.L. 40 Calcula P(x) – Q(x): Solución: P(x) = 4x5 + 7x3 –x–2 2x6 – 4x5 – 5x4 + 17x3 – 2x2 – 15x + 3 Q(x) = 5x4 – 3x3 + 7x + 2 UNIDAD 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS 159
8.
Ejercicios y problemas 46
Multiplica los polinomios: Solución: P(x) = 2x4 – 4x3 – 5x + 1 C(x) = x3 – 2x2 – 2x + 8 Q(x) = x3 – 2x + 7 R = –11 Solución: 52 Divide por Ruffini: 2x7 – 4x6 – 4x5 + 17x4 – 27x3 + 10x2 – 37x + 7 P(x) = x5 – 4x3 + 5x2 + 3 entre Q(x) = x – 1 47 Multiplica los polinomios: P(x) = x5 – 2x3 + 3x2 – 1 Solución: Q(x) = x4 – 5x2 + 2 C(x) = x4 + x3 – 3x2 + 2x + 2 R=5 Solución: x9 – 7x7 + 3x6 + 12x5 – 16x4 – 4x3 + 11x2 – 2 53 Divide por Ruffini: P(x) = x6 – 4x4 + 6x3 + 1 3. División de polinomios entre Q(x) = x – 2 48 Divide y haz la comprobación: Solución: P(x) = 2x5 – 6x4 + 20x2 – 38x + 12 C(x) = x5 + 2x4 + 6x2 + 12x + 24 entre Q(x) = x3 – 5x + 3 R = 49 Solución: C(x) = 2x2 – 6x + 10 4. Teorema del resto y del factor R(x) = – 16x2 + 30x – 18 54 Calcula mentalmente el valor numérico del Hay que hacer la comprobación: siguiente polinomio para los valores que se indi- Q(x) · C(x) + R(x) tiene que dar P(x) can: P(x) = 4x7 – 5x3 + 9x2 – 6 49 Divide y haz la comprobación: a) Para x = 0 b) Para x = 1 P(x) = 4x6 – 12x4 + 8x3 + 9 Solución: entre Q(x) = 2x3 – 5x + 1 a) P(0) = – 6 b) P(1) = 2 Solución: C(x) = 2x3 – x + 3 55 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio R(x) = – 5x2 + 16x + 6 para los valores que se indican: Hay que hacer la comprobación: P(x) = x5 – 2x3 + 4x – 1 Q(x) · C(x) + R(x) tiene que dar P(x) a) Para x = 2 b) Para x = –1 50 Divide P(x) = 6x6 – 13x5 – 20x3 + 50x2 – 4 Solución: a) P(2) = 23 b) P(– 1) = – 4 entre Q(x) = 2x3 – 3x2 + 1 Solución: 56 Halla, sin hacer la división, el resto de dividir C(x) = 3x3 – 2x2 – 3x – 16 P(x) = x3 – 5x2 + 7 entre x – 3 © Grupo Editorial Bruño, S.L. R(x) = 4x2 + 3x + 12 Solución: 51 Divide por Ruffini: Se aplica el teorema del resto: P(x) = x4 – 6x2 + 4x + 5 R = P(3) = – 11 entre Q(x) = x + 2 160 SOLUCIONARIO
9.
57 Halla, sin
hacer la división, el resto de dividir 59 Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P(x) = x4 – 2x3 + 7x – 3 entre x + 2 P(x) = x4 – 6x3 + 8x2 + 6x – 9 es divisible entre x–3 Solución: Solución: Se aplica el teorema del resto: R = P(– 2) = 15 Se aplica el teorema del factor: R = P(3) = 0 ⇒ Sí es divisible. 58 ¿Cuál de los números, 2 o – 2, es raíz del polino- mio P(x) = x3 + 2x2 – x – 2? 60 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 7: Solución: (x4 + kx2 – 5x + 6) : (x + 1) R = P(2) = 12 ⇒ No es raíz. R = P(– 2) = 0 ⇒ Sí es raíz. Solución: Se aplica el teorema del resto: P(– 1) = 7 ⇒ k + 12 = 7 ⇒ k = – 5 Para ampliar 61 Halla el valor de a, b y c para que los siguientes 64 Factoriza: polinomios sean iguales: a) 24x3 – 18x2 b) 2x3 + 12x2 + 18x P(x) = 6x5 – bx3 + 3x – 4 c) 9x2 – 4 d) 5x4 – 10x3 + 5x2 Q(x) = ax5 + 3x – c Solución: Solución: a) 6x2(4x – 3) b) 2x(x + 3)2 a = 6, b = 0, c = 4 c) (3x + 2)(3x – 2) d) 5x2(x – 1)2 62 Halla el opuesto de los siguientes polinomios: 65 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente P(x) = 4x5 – 6x4 + 5x – 2 división sea 13: Q(x) = – 3x6 + x4 – x2 + 9x + 10 (x5 + kx3 – 7x2 + 4) : (x – 1) Solución: Solución: P(x) = – 4x5+ 6x4 – 5x + 2 Se aplica el teorema del resto: Q(x) = 3x6 – x4 + x2 – 9x – 10 P(1) = 13 ⇒ k – 2 = 13 ⇒ k = 15 63 Calcula mentalmente: 66 Halla el valor de k para que el polinomio: a) (2x/3 + 5)0 b) (3x – 25)1 P(x) = x3 + 5x2 + kx – 8 c) (7x – 3/5)1 d) (5x + 13)0 sea divisible entre x + 2 Solución: Solución: a) 1 b) 3x – 25 Se aplica el teorema del factor: P(– 2) = 0 ⇒ 4 – 2k = 0 ⇒ k = 2 © Grupo Editorial Bruño, S.L. c) 7x – 3/5 d) 1 UNIDAD 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS 161
10.
Ejercicios y problemas 67
Halla el polinomio que da el área del siguiente 68 Observa la gráfica y calcula las raíces del polino- triángulo: mio P(x) = x2 – 4 Y x+5 X x Solución: P(x) = x2 – 4 x(x + 5) 5x x2 A(x) = — = — + — 2 2 2 Solución: x1 = 2, x2 = – 2 Problemas 69 Escribe en forma de polinomio, en una variable, x x x x cada uno de los enunciados siguientes: 6m a) El cuadrado de un número, menos dicho núme- x x ro, más 5 x x b) El cubo de un número, más el doble del cuadrado 10 m del número, menos el triple del número, más 4 Solución: c) El área de un cuadrado de lado x a) A(x) = (10 – 2x)(6 – 2x) + 2x(10 – 2x) + d) El área de un rombo en el que una diagonal es + 2x(6 – 2x) = 60 – 4x2 el doble de la otra. A(x) = 60 – 4x2 Solución: b) V(x) = (10 – 2x)(6 – 2x)x = 4x3 – 32x2 + 60x a) P(x) = x2 – x + 5 b) P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 4 72 Halla el polinomio que da el área del siguiente rec- c) A(x) = x2 tángulo: d) A(x) = x · 2x/2 = x2 2x – 3 x 70 ¿Qué polinomio tenemos que sumar a P(x) = 5x3 – 9x + 8 Solución: para obtener el polinomio A(x) = x(2x – 3) = 2x2 – 3x Q(x) = 2x3 – 4x2 + 5x + 1? 73 Halla el polinomio que da el área del siguiente Solución: triángulo rectángulo: Q(x) – P(x) = – 3x3 – 4x2 + 14x – 7 © Grupo Editorial Bruño, S.L. 71 Dada una caja sin tapa y su desarrollo, calcula en x función de x: a) El área. b) El volumen. 2x + 1 162 SOLUCIONARIO
11.
Solución:
78 Observa la gráfica y calcula las raíces del polino- mio P(x) = x3 – 3x2 – x + 3 A(x) = (2x + 1)x/2 = x2 + x/2 Y 74 Halla el polinomio que da el área del siguiente rombo: x+1 X y = x3 – 3x2 – x + 3 x–1 Solución: Solución: x1 = –1, x2 = 1, x3 = 3 A(x) = (x + 1)(x – 1)/2 = x2/2 – 1/2 75 Halla un polinomio tal que al dividirlo entre Para profundizar x3 – 3x + 1 79 Dado el siguiente paralelepípedo: se obtenga de cociente 2x2 + 5x – 3 y de resto 3x 5x2 – 3x + 9 2x 4x Solución: calcula en función de x el área y el volumen. (x3 – 3x + 1)(2x2 + 5x – 3) + 5x2 – 3x + 9 = = 2x5 + 5x4 – 9x3 – 8x2 + 11x + 6 Solución: A(x) = 2 · 4x · 3x + 2 · 4x · 2x + 2 · 3x · 2x = 52x2 76 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente V(x) = 4x · 3x · 2x = 24x3 división sea 5: 80 Halla el monomio que da el área de un triángulo (x3 + kx2 – 4) : (x – 2) equilátero en el que el lado mide x Solución: Se aplica el teorema del resto: x P(2) = 5 ⇒ 4k + 4 = 5 ⇒ k = 1/4 77 Halla el valor de k para que el polinomio Solución: P(x) = x4 – x3 – 19x2 + kx + 30 sea divisible entre x + 3 x h Solución: © Grupo Editorial Bruño, S.L. Se aplica el teorema del factor: x/2 P(– 3) = 0 ⇒ – 3k – 33 = 0 ⇒ k = – 11 — — — — √ () √ √ h= x 2 x2 – — = x2 – — =x2 3x2 √ 3 —=—x 2 4 4 2 — — 1 √3 √3 A(x) = — x · — x = — x2 2 2 4 UNIDAD 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS 163
12.
Ejercicios y problemas 81
Halla el polinomio que da el área del siguiente tra- 84 Halla el valor de k para que el polinomio pecio: P(x) = x4 + 8x3 + kx2 – 8x – 15 x–1 sea divisible entre x + 5 x Solución: Se aplica el teorema del resto: x+1 P(– 5) = 0 ⇒ 25k – 350 = 0 ⇒ k = 14 Solución: 85 ¿El polinomio x2 + 25 tiene alguna raíz real? Razo- x+1+x–1 na la respuesta. A(x) = —— · x = x2 2 Solución: 82 Halla el polinomio que da el área del siguiente cír- x 2 es siempre positivo o cero y al sumarle 25 es culo: positivo, por tanto nunca se puede hacer cero. No tiene raíces reales. x–5 86 Observa la gráfica y calcula las raíces del polino- mio P(x) = x2 – 4x Y Solución: A(x) = π(x – 5)2 = πx2 – 10πx + 25π X 83 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 9: (x4 – x3 – 13x2 – x + k) : (x – 4) P(x) = x2 – 4x Solución: Se aplica el teorema del factor: Solución: P(4) = 9 ⇒ k – 20 = 9 ⇒ k = 29 x1 = 0, x1 = 4 Aplica tus competencias 87 Calcula el polinomio que define un movimiento Solución: uniformemente acelerado en el que: e(5) = 118 m a = 6 m/s2, v0 = 8 m/s y e0 = 3 m © Grupo Editorial Bruño, S.L. Solución: 89 Calcula el espacio que recorre entre el segundo e(t) = 3t2 + 8t + 3 10 y el segundo 20 Solución: 88 Calcula el espacio que lleva recorrido cuando e(20) – e(10) = 1 363 – 383 = 980 m hayan pasado 5 s 164 SOLUCIONARIO
13.
Comprueba lo que
sabes 1 Enuncia el teorema del resto y pon un ejemplo. 5 Divide P(x) = 8x 5 – 16x 4 + 21x 2 – 19x + 10 entre Q(x) = 2x2 – 5x + 4. Haz la comprobación. Solución: El resto que se obtiene al dividir el polinomio Solución: P(x) entre el binomio x – a es el valor numérico C(x) = 4x3 + 2x2 – 3x – 1 del polinomio para x = a R(x) = –12x + 14 R = P(a) Se comprueba que Q(x) · C(x) + R(x) = P(x) Ejemplo Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P(x) = x3 – 7x + 15 entre x + 3 6 Divide por Ruffini P(x) = x4 – 10x2 + 12 entre Q(x) = x + 3 R = P(– 3) = (– 3)3 – 7 · (– 3) + 15 = = – 27 + 21 + 15 = 9 Solución: C(x) = x3 – 3x2 – x + 3 2 Ordena de forma decreciente de los grados el R=3 siguiente polinomio y calcula el grado, el coefi- ciente principal y el término independiente: 7 Dado el siguiente paralelepípedo: 5x3 – 6x7 – 5x + 9 Solución: 3x – 6x7 + 5x3 – 5x + 9 4x 5x Grado: 7 Coeficiente principal: – 6 calcula en función de x: Término independiente: 9 a) El área. b) El volumen. 3 Desarrolla mentalmente los apartados a y b y Solución: factoriza los apartados c y d: a) A(x) = 2 · 5x · 4x + 2 · 5x · 3x + 2 · 4x · 3x = 94x2 a) (2x – 5)2 b) (x + √3 )(x – √3 ) b) V(x) = 3x · 4x · 5x = 60x3 c) 3x3 + 12x2 + 12x d) x2 – 5 Solución: 8 Halla el valor de k para que el resto de la si- guiente división sea 5: a) 4x2 – 20x + 25 b) x2 – 3 — — (x3 + kx – 6) : (x – 2) c) 3x(x + 2)2 d) (x + √ 5 )(x – √ 5 ) Solución: Se aplica el teoremadel resto, se tiene que verificar 4 Multiplica los polinomios: que P(2) = 5 P(x) = 5x3 – x2 + 3 23 + 2k – 6 = 5 Q(x) = 3x2 – 2x + 4 8 + 2k – 6 = 5 Solución: 2k = 3 15x5 – 13x4 + 22x3 + 5x2 – 6x+ 12 k = 3/2 © Grupo Editorial Bruño, S.L. UNIDAD 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS 165
14.
Windows Derive Paso a
paso 90 Multiplica los polinomios: 94 Calcula el valor numérico del polinomio: P(x) = 5x3 – x2 + 3 y Q(x) = 3x2 – 2x + 4 P(x) = x3 – 5x2 + 17 para x = 2 Solución: Solución: Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. 91 Desarrolla (5x + 3/7)2 95 Halla las raíces del polinomio: P(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6 Solución: Resuelto en el libro del alumnado. Solución: Resuelto en el libro del alumnado. 92 Factoriza x3 + 10x2 + 25x Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de Solución: DERIVE o Wiris: Resuelto en el libro del alumnado. 96 Halla el valor de k para que el resto de la si- guiente división sea 5 93 Divide D(x) = 6x 5 – 30x 3 + 22x 2 + 27x – 11 (x3 + kx – 6) : (x – 2) entre d(x) = 2x3 – 4x2 + 6 Solución: Solución: Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. © Grupo Editorial Bruño, S.L. 166 SOLUCIONARIO
15.
Linux/Windows
Practica 97 Desarrolla: 102 Halla, sin hacer la división, el resto de dividir a) 4x3(2x + 3)2 P(x) = x3 – 6x2 + 5 entre x – 2 b) (x + 3) (x – 3) (x + √3 ) (x – √3 ) Solución: Solución: Se aplica el teorema del resto: a) 16x5 + 48x4 + 36x3 b) x4 – 12x2 + 27 R = P(2) = – 11 98 Factoriza: 103 Halla las raíces del polinomio: a) x3 – 9x P(x) = x3 + 7x2 – 4x – 28 b) x2 – 5 Solución: Solución: x1 = – 7, x2 = – 2, x3 = 2 — — a) x(x + 3)(x – 3) b) (x + √ 5 ) (x – √ 5 ) Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda 99 Multiplica los polinomios: de DERIVE o Wiris: P(x) = 2x3 – 3x + 5 Q(x) = 3x2 + x – 4 104 Halla el valor de k para que el resto de la si- guiente división sea 5: Solución: (x3 + kx2 – 4) : (x + 3) 6x5 + 2x4 – 17x3 + 12x2 + 17x – 20 Solución: Se aplica el teorema del resto: 100 Divide y haz la comprobación: P(– 3) = 5 ⇒ 9k – 31 = 5 ⇒ k = 4 P(x) = 2x5 – 8x4 + 12x2 + 18 entre Q(x) = x2 – 3x – 1 105 Comprueba, sin hacer la división, que el polino- Solución: mio C(x) = 2x3 – 2x2 – 4x – 2 P(x) = x4 – 6x3 + 8x2 + 6x – 9 R(x) = –10x + 16 es divisible entre x – 3 Se comprueba que C(x) · Q(x) + R(x) = P(x) Solución: Se aplica el teorema del factor: 101 Divide R = P(3) = 0 ⇒ Sí es divisible. D(x) = 6x3 – 13x + 5 entre d(x) = x + 2 106 Internet. Abre la web: www.editorial-bruno.es Solución: y elige Matemáticas, curso y tema. C(x) = 6x2 – 12x + 11 R = – 17 © Grupo Editorial Bruño, S.L. UNIDAD 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS 167
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