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El numero áureo y su relación con
la serie de Fibonacci
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Por: Rodrigo Cruz Cózol
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25/10/2011
Profesor: Luis Miguel Grupo: 3 “B”
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3. INTRODUCCION
Existe una gran cantidad de números con propiedades especiales, entre ellos se
pueden encontrar los números primos, números perfectos, números amigos,
sociables, etc. La lista es bastante larga y lo más interesante es que cada clase de
éstas ha conducido a importantes e interesantes estudios teóricos. Los números
de Fibonacci son algunos de los que más frutos han dado, pues cuentan con
asiduos matemáticos y aficionados que se han dedicado a la búsqueda de las
relaciones mas insospechadas de estos números y que han encontrado resultados
de estas características en la mano humana, en los pétalos de una flor, las
espirales de los girasoles, las espirales de las piñas, la altura de la cadera, la
altura de la rodilla, la altura de un ser humano y la altura de su ombligo, la cría de
los conejos, la Mona Lisa, y otras más.
4. CONTENIDO
Sucesión de Fibonacci
Una sucesión de Fibonacci es aquella cuya ley de recurrencia es:
an = an-1 + an-2
Es decir, cada término de la sucesión se obtiene sumando los dos anteriores. Para
empezar a construirla necesitamos, por tanto, dos números de partida, a1 y a2. De
esta forma, a3 sería a2 + a1; a4 sería a3 + a2 y así sucesivamente.
La más conocida es la que tiene a1 = 1 y a2 = 1, cuyos términos son:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 ...
Números que son conocidos como Números de Fibonacci.
Los términos de cualquier sucesión de Fibonacci tienen la particularidad de que el
cociente entre dos términos consecutivos se aproxima al Número de Oro
(1.6180339887499...), es decir, el límite de los cocientes an+1/an tiende al
Número de Oro cuando n tiende a infinito.
Además, las series de Fibonacci cumplen otras curiosas propiedades, como por
ejemplo, que la suma de n términos es igual al término n+2 menos uno:
a1 + a2 + a3 + a4 +..... + an-1 + an = an+2 - 1
El número de oro
El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón
dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la
letra griega φ (fi) (en honor a Leonardo de Pisa Fibonacci), es el número irracional:
Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y
que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o
5. proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas
como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las
hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la
razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha
atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque
algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.
Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:
Para obtener el valor de
a partir de esta razón considere lo siguiente:
Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que
estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:
Multiplicando ambos lados por x y reordenando:
Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que
las dos soluciones de la ecuación sean:
La solución positiva es el valor del número áureo.
Los pitagóricos obtuvieron este número de hallar la relación entre la diagonal del
pentágono regular y su lado. Esta proporción se puede encontrar en muchas obras
de arte.
En la Torre Eiffel de París la razón entre la altura de un nivel y el precedente
guarda la relación áurea.
6. En el cuadro “Atomic Leda” Salvador Dali hizo uso también de la proporción áurea.
En la Mona Lisa la cara está perfectamente encuadrada en un rectángulo áureo,
al igual que el resto de proporciones de la misma.
La serie de Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
7. Es aquella en la que cada número, a partir del tercero, se obtiene sumando los
dos que le preceden. Los cocientes entre dos números consecutivos se aproximan
cada vez más al número de oro según se avanza en la sucesión.
2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 = 1,66, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 = 1,615...
La espiral logarítmica basada en la relación áurea
Partimos de un cuadrado de lado 1 y añadimos otro cuadrado de lado también
igual a 1, para formar un rectángulo de 2x1. Añadimos otro cuadrado de 2x2 para
formar otro rectángulo de 3x2 (siguiendo la serie de Fibonacci) y después un
cuadrado de 3x3 teniendo un rectángulo de 5x3 y así sucesivamente. Trazando un
cuarto de círculo con origen del mismo desde un vértice de cada cuadrado
obtendremos la espiral.
Las pirámides de Egipto, construidas cuatro mil años antes de que Fibonacci diera
con la serie, fueron construidas manteniendo una sorprendente proporción áurea.
El Partenón griego fue construido también respetando las proporciones áureas.
8.
9. ACTIVIDAD
H P I T A G O R I C O S N T I
M B F S D Ñ G Q W R T U M O N
K J P E N Q R N F A H S B R R
S D F D S B Y R U S J W V R S
G S L I K X Z S A M F B A E B
Y D G M B Q D P Ñ F E B H E T
Q C D A N O G R U B N R B I U
Y P A R T E N O N P C X O F Y
E R H I S C S A A R U Q D F F
Ñ F R P Q J X D C Y E B A E R
U H D S E V S J Y C P A Q L C
R E C T A N G U L O I L Y R P
1. FIBONACCI
2. TORRE EIFFEL
3. RECTANGULO
4. PARTENON
5. PITAGORICOS
6. PIRAMIDES
7. NUMERO
8. AUREO
