Serie de Fibonacci y número de oro

1. Leonardo de Pisa (Fibonacci)
Fibonacci
Leonardo de Pisa (1170 – 1250), mejor conocido por su apodo Fibonacci (que
significa hijo de Bonacci) nació en la ciudad italiana de Pisa; Matemático italiano
que difundió en Occidente los conocimientos científicos del mundo árabe.
Era hijo de Guillermo Bonacci quien trabajaba como representante de la casa
comercial italiana más importante de la época, en el norte de África.
Es en medio de esta actividad comercial que Leonardo de Pisa comienza a
formarse como mercader y matemático en la ciudad de Bugia, hoy Bejaia un
puerto al noreste de Argelia. Se conoce muy poco sobre su vida; sin embargo, en
el prefacio de uno de sus libros más importantes, el Liber Abaci, Leonardo
comenta que fue su padre quien le enseñó Aritmética y lo animó a estudiar
matemáticas. En Bugia Leonardo recibió este tipo de enseñanza de maestros
árabes, lo cual era, sin duda, lo mejor que podía sucederle a un joven medieval
italiano que quisiera saber matemáticas.
Se convirtió en un especialista en Aritmética y en los distintos sistemas de
numeración que se usaban entonces. Muy pronto se convenció de que el sistema
hindo-arábigo era superior a cualquiera de los que se usaban en los distintos
países que había visitado. Decidió llevar este sistema a Italia y a toda Europa de
ser posible, en donde aún se usaban los numerales romanos y el ábaco. El
estudio de las matemáticas y de formas más prácticas de aplicarlas como un
instrumento indispensable para el desarrollo del comercio le ocupó prácticamente
toda la vida.
Leonardo regresó a Pisa alrededor del año 1200 y ahí escribió una gran cantidad
de libros y textos sobre matemáticas. En la época en la que vivió aún no existía
la imprenta, por lo que sus libros eran escritos a mano y las copias que de ellos

2. circulaban también se hacían a mano. Es fácil imaginar la pequeña cantidad de
copias que podían circular en ese entonces y aunque parezca imposible todavía
hoy se conservan copias de los siguientes libros: "Liber Abaci", escrito en
1202; "Practica geometriae", escrito en 1220; "Flos", escrito en 1225 y "Liber
quadratorum", escrito en 1227. Sin embargo son muchos más los que se perdieron
en el transcurso de la historia.
La reputación de Leonardo crecía de tal modo que para 1225 era reconocido como
uno de los mejores matemáticos y de distintas cortes y comercios le pedían
asesorías.
Fue uno de los primeros hombres que llevó la matemática árabe a Europa además
de poner muy en alto el nombre de la matemática griega y darla a conocer entre
los mercaderes y comerciantes, es decir sacarla de los monasterios y el monopolio
de los eruditos.
Leonardo de Pisa fue sin duda el matemático más original y hábil de toda la época
medieval cristiana, pero buena parte de sus trabajos eran demasiado difíciles para
ser bien comprendidos por sus contemporáneos.
Sucesión de Fibonacci
- La sucesión de Fibonacci es 1, 1, 2, 3, 5, 8,...
- Cada término es igual a la suma de los dos anteriores an = an-1 + an-2
Propiedades
- La sucesión de Fibonacci tiene muchas propiedades curiosas:
- La suma de los n primeros términos es: a1 + a2 +... + an = an+2 - 1
- La suma de los términos impares es: a1 + a3 +... + a2n-1 = a2n
- La suma de los términos pares es: a1 + a4 +... + a2n = a2n+1 - 1
- La suma de los cuadrados de los n primeros términos es: a12 + a22 +... + an2 =
anan+1
- Si n es divisible por m entonces an es divisible por am
- Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre sí.
- La propiedad más curiosa de esta sucesión es que el cociente de dos números
consecutivos de la serie se aproxima a la razón áurea. Esto es: an+1/an tiende a
(1 + ð 5)/2

3. Presencia de la sucesión de Fibonacci en el reino vegetal, reino animal y el
cuerpo humano
Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se
distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por
eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las
hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas
exclusivamente en estos números.
La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de fibonacci:
El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2),
luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así
sucesivamente.
El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas
consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un
sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.
Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.
Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que
coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5
y 8.
Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del
crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.
El número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano
nos conduce a la sucesión de Fibonacci
Según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de otro
enjambre), aquella se queda en su colmena y ya no sale más, dedicándose a la
puesta de huevos que ella misma va fecundando o no, dando origen así a abejas
obreras, o bien reinas, en el primer caso y machos o zánganos en el segundo,
podemos ver como el número de abejas en cada generación es uno de los
términos de la sucesión de Fibonacci.
El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra
(2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la
semejanza, pues el planeta que sigue en el Sistema Solar (Júpiter) tiene más de
60 satélites conocidos. Sin embargo, sólo 4 de ellos son observables fácilmente
(Io, Europa, Ganímedes y Calisto), dado que los otros son marcadamente más
pequeños. Así, podemos extender hasta el número 5 la presencia de la serie de
Fibonacci en nuestro Sistema Solar.

4. En la mano humana también se encuentra esta recurrencia, la longitud del
metacarpo es la suma de las dos falanges proximales y la longitud de la primera
falange es la suma de las dos falanges distales.
En la relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
En el cuerpo humano podemos decir que la cabeza es 1, el cuello, 1, los brazos
(2), brazo, antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5), es decir, la sucesión
de Fibonacci hasta el 5.
Como se relacionan las ciencias, las matemáticas y el arte
La base de todo es el lenguaje, cada arte tiene su lenguaje propio; por ejemplo,
toda la estructura en la que se apoya la música, como las reglas de la armonía y la
construcción de la escala, está basada en principios matemáticos, al igual que las
artes plásticas y la literatura
Por ejemplo:
A partir del triángulo de oro se puede dibujar una espiral logarítmica similar a la
espiral de Fibonacci, en la que mantiene relación con grandes obras de arte como
las que obtenemos en las siguientes figuras

5. El número áureo ha sido utilizado desde la época de los egipcios en las ciencias
de la construcción de edificios, si bien, son los griegos los que lo explotaron al
máximo usando en todas las facetas del arte.
El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la
pirámide de Keops, que data del 2600 a.C. Esta pirámide tiene cada una de sus
caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente, aunque no la
única, relación armónica identificable en el análisis de las proporciones de este
monumento funerario en apariencia simple.
Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.
El Templo de Ceres en Paestum (460 a.C.) tiene su fachada construida siguiendo
un sistema de triángulos áureos, al igual que los mayores templos griegos,
relacionados, sobre todo, con el orden dórico.

6. La Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor basa su construcción en un pentágono
áureo, en el que el cociente de la diagonal y el lado de dicho pentágono es el
número áureo.
Los lados del rectángulo en el cual está idealmente inscrita la estatua del Apolo de
Belvedere están relacionados según la sección áurea, es decir, con una
proporción de 1:1,618.
El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición
matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada
en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el
espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis
geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.

7. La matemática y la Historia se relacionan porque para saber de los siglos en los
que se realizaron muchos hechos históricos la utilizamos, porque el sistema de los
siglos son los Números Romanos. Ej. (V = 5, X = 10, etc.)
Esta también se relaciona con las matemáticas en cuanto a la medición,
depresiones, temperatura, variables del clima, alturas tanto de montañas como de
otras cosas.
En el área de la química aparecen aplicaciones matemáticas, como son los
logaritmos para calcular el pH, las ecuaciones químicas, el cálculo de mezclas,
etc. Esta también se relaciona en que cuando van a hacer ecuaciones químicas
hay que utilizar las matemáticas; Porque en las matemáticas, las ecuaciones se
utilizan para establecer la igualdad entre 2 expresiones algebraicas; y en química
es muy parecido el procedimiento.
La física es una ciencia que necesariamente necesita de las matemáticas para
existir, si queremos analizar un fenómeno físico, necesitamos traducirlo de algún
modo a una expresión matemática, como una ecuación. Isaac Newton se dio
cuenta que sin matemáticas él no podría estudiar física, entonces tubo que
desarrollar el cálculo infinitesimal.
En la economía para determinar cálculos como los de cuanto se ganara en la
producción y distribución de un producto o cálculos de cuanto hay que aportar en
el producto que serviría como economía y además sacar distintas cuentas para
determinar cuánto perderá.
La sociología es la ciencia que se encarga del análisis científico de la estructura y
funcionamiento de la sociedad humana.
Las matemáticas no solo nos enseñan a resolver ejercicios numéricos, sino
también a resolver problemas de nuestra sociedad como muchos de los temas
que nos son impartidos en los centros educativos, en charlas con amigos, etc.
Las matemáticas se relacionan con muchas ciencias por qué se necesita realizar
cálculos y resolver problemas de una manera lógica y analítica para encontrar su
resultado.
Numero de oro
El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón
dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la
letra griega φ (Phi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:

8. Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y
que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o
proporción.
Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la
naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de
algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la
razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha
atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque
algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.
El número de oro tiene relación con la serie de Fibonacci debido a que Si vamos
dividiendo cada valor de la Serie de Fibonacci por el anterior, el resultado tiende a
Phi. Cuanto más altos son los valores, mayor es la aproximación (considerad que
Phi, como todo número irracional, tiene infinitos decimales).
El número de oro ha tenido usos y relaciones a lo largo de la historia, con las
siguientes artes: en la Pirámide de Keops, El Partenón, El Templo de Ceres,
Tumba Rupestre de Mira. También tiene relación con respecto al ser humano
como por ejemplo: resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia
desde el ombligo a la mano es el número áureo, la relación entre las falanges de
los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su
anchura es también este número.
Rectángulo áureo: Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata
de un rectángulo armonioso en sus proporciones.
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo

9. unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el
lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.
Las tarjetas de crédito así como nuestro carnet tienen la proporción de un
rectángulo áureo.
Medidas:
Largo= 8.26 cm
Ancho= 5.14 cm
Calculando el cociente entre estas dos medidas obtenemos:
8.26/5.14=1,60700389... Un número similar al número de oro
Medidas de estudiantes
MEDIDAS
Estudiantes Altura
(cm)
Del
ombligo
a los
pies(cm)
Primer
falange
(cm)
Segundo
falange
(cm)
Tercer
falange
(cm)
Largo
cabeza
(cm)
Ancho
cabeza
(cm)
Lina Cortez 153 90 2.3 2.8 5.1 18 29
Daniela Paz 160 96 2.4 3 5.4 22 27
Andrés
170 106 2.5 3 5.5 20 27
Chates
Juan Diego
Fernández
172 108 2.7 3.2 5.9 22 26
La relación entre la altura y la medida del ombligo hasta los pies
Lina Cortez: 1.7
Daniela Paz: 1.66
Andrés Chates: 1.60
Juan Diego Fernández: 1.59
Algunos de los valores concuerdan para los parámetros de belleza, pero algunos
son aproximados o se diferencian en ciertos resultados. En cierta medida estamos

10. de acuerdo con estos parámetros; pero en otros casos no, porque si las personas
no están entre esos canones de belleza pueden tener baja autoestima, o recurrir a
métodos que afecten su bienestar personal, sentirte desafortunados.
Links de referencia:
http://laproporcionperfecta.blogspot.com/2011/06/numero-de-oro.html
http://www.ite.educacion.es/formacion/enred/web_espiral/naturaleza/vegetal/fibona
cci/fibonacci.htm
http://www.sabiask.com/sabiasque/ciencia/la-sucesion-de-fibonacci.html
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alu
mnado/vida.html