Este documento describe cómo calcular la longitud de una curva y define las integrales de línea de campos escalares y vectoriales a lo largo de una curva. Explica que la longitud de una curva se puede aproximar dividiéndola en segmentos pequeños y sumando las longitudes de esos segmentos. También define las integrales de línea como límites de sumas que aproximan el área bajo una función definida a lo largo de una curva o el trabajo realizado por un campo de fuerzas sobre un móvil que se desplaza a lo largo de la curva.

1. LONGITUD DE UNA CURVA
República Bolivariana DeVenezuela
UTSAntonio José de Sucre
Extensión Barquisimeto
Alumna: Pierangell Colmenarez
C,I: 22094900
Esc: 72
Diseño de Obras Civiles
Curso: Intensivo Matemáticas II

2. LONGITUD DE UNA CURVA
La idea para calcular la longitud de una curva contenida en el plano o
en el espacio consiste en dividirla en segmentos pequeños,
escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud
mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.

3. CuantosmaspuntosescojamosenC,mejorseráelvalorobtenidocomo
aproximacióndelalongituddeC.

4. Para ello, escogemos una parametrizacion α : [a, b] −→ R n de C, y una
partición P = {a = t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tk = b}, y calculamos aproximadamente
la longitud del arco α([ti , ti+1]) como la longitud del segmento [α(ti),
α(ti+1)]. Utilizando la norma euclıdea en R n , y aplicando a las
coordenadas de α el teorema del valor medio en el intervalo [ti , ti+1],
Utilizamos ahora que como αj es de claseC 1 , su derivada es continua, por
lo que si los intervalos [ti , ti+1] son suficientemente pequeños podemos
suponer que α 0 j (si) = α 0 j (ti), y sustituyendo en la formula anterior
queda

5. El valor de este sumatorio esta entre los valores de la suma inferior y la suma
superior de Riemann de la función g(t) = kα 0 (t)k asociadas a la particion P. Si
tomamos particiones de [a, b] cada vez mas finas, y dado que g(t) = kα 0 (t)k es
integrable por ser continua, las sumas superiores e inferiores tienden a la
integral de Riemann, y se obtiene la definición de la longitud de C como

6. Sinembargo,segúnestadefinición,aparentementelalongituddeunacurva
dependerádelaparametrizacionαqueseutilicepararepresentarla.Elsiguiente
teoremamuestraquegraciaslaequivalenciaentrelasparametrizacionesdeuna
curvaregularysimple,laformulaanteriornodependedeα.

7. Integral de línea de un campo escalar
SellamacampoescalarenRnaunafuncióndefinidadeRnenR,comopor
ejemplolafunciónquedescribelatemperaturaencadapuntodelespacioR3.
Paraentenderelsignificadodeladefinicióndeintegraldelíneadeuncampo
escalar,consideremoselsiguienteejemplo:Supongamosquetenemosunacurva
CenR2,parametrizadamedianteunafunciónα:[a,b]−→R2,yunafunción
escalarf:R2−→R,continua.Podemosrepresentargráficamentelafunciónf
sobrelacurvaCcomounmuroquelevantaunaalturaf(x,y)sobrecadapunto(x,y)
deC.SetrataahoradecalculareláreadeesemuroentrelacurvaCylagraficadef
sobrelacurva.

8. RepitiendolaideadelaconstruccióndelaintegraldeRiemannenunintervalo,
dividimoslacurvaCporunafamiliafinitadepuntos,definiendounaparticiónPde
[a,b],P={a=t0<t1<···<tn=b}
LacurvaquedadivididaenunauniónfinitadearcosCi=α([ti−1,ti])Definimoslas
sumasinferioresysuperiores

9. demodoque

10. yanálogamente
Alvariarlasparticionesde[a,b],ysuponiendocondicionesdecontinuidadparael
campof,lassumassuperioresylassumasinferioresseaproximanaunmismo
valor,queserájustamentelaintegralenelintervalo[a,b]delafunción
Engeneraldiremosquefesintegrablealolargodeαsielsupremodelassumas
inferiorescoincideconelinfinitodelassumassuperiores,alvariarlasparticionesde
[a,b]Aparentementeelresultadodeestaintegraldependeentoncesdela
parametrizacionαescogidapararepresentarlacurvaC,sinembargo,graciasala
equivalenciaentretodaslasparametrizacionesdeunacurvaregularysimple,esto
noesasi:

11. Si Cesunacurvaregularatrozos,sedefinelaintegraldefalolargodeCcomola
sumadelasintegralesencadatrozoregular.SiCesunacurvacerrada,sepuede
dividirportrespuntos,yconsiderarlacomounacurvaregularatrozos.

13. Integraldelíneadeuncampovectorial
UncampovectorialenRnesunafunciónF:Rn−→Rn,queasociaacadapunto
delespaciounvectordelmismoespacio.Porejemplo,uncampovectorialpuede
seralcampogravitatoriogeneradoporunamasa:sitenemosunamasaMsituado
enelorigendecoordenadas,sobreuncuerpodemasamsituadoenunpuntoxdel
espacioactúaunafuerzaF(x)quetieneladireccióndelvectorx,perosentido
opuesto(dexalorigendecoordenadas),ymagnitud Utilizandoel
lenguajevectorial,elcampo degravedadquedadefinidoporlafunción

14. Paraentenderelsignificadodelaintegraldeuncampovectorialalolargodeuna
curva,consideramoselejemplodelcalculodeltrabajogeneradoporuncampode
fuerzassobreunmóvilquesedesplazadentrodeel.
Elcasomássencilloeseldeltrabajogeneradoporlacaídadeuncuerpoporel
efectodelagravedad:
Enprincipioeltrabajogeneradosecalculacomoelproductodelafuerzaporel
desplazamiento,T=F·d Esteconceptoseconcretaunpocomás,añadiendoun
signoqueinterpretesieltrabajosegenera(cuandolafuerzatieneelmismo
sentidoqueeldesplazamiento) oseconsume(cuandolafuerzatienesentido
opuestoaldesplazamiento,

15. porejemploparalevantarotravezelobjeto).Enlenguajevectorial,
Uncasounpocomáscomplicadoeseldeltrabajogeneradoporeldesplazamiento
deunmóvilporunplanoinclinado,sujetosóloalefectodelafuerzadelagravedad.

17. Porultimo,consideremoselcasogeneral,enelquehayuncampovectorial
continuoperoquenoesconstante,yunmovimientoquenoesrectilíneo.
LaideaentoncesesdividirlacurvaCtrayectoriadelmóvilensegmentoslo
bastantepequeñoscomoparapodersuponerquesonrectosyqueencadaunoel
camposiesconstante(graciasalacontinuidad).Paraelloescogemosuna
parametrizacionα: deC,yunapartición

18. Calculamoseltrabajogeneradoencadaarcodecurva comosifuera
unsegmentorecto,yelcampofueraconstantemente La
componentetangencialde

19. Así,sillamamosL(Ci)alalongituddeCi,eltrabajogeneradoenCies
aproximadamente
EltrabajototalgeneradoalolargodelacurvaCserálasumadeestosvaloresTi

20. Si tomamosahoraparticionesdelintervalo[a,b]cadavezconmáspuntos,estas
sumastiendenalvalordelaintegral
EstaexpresióneslaquesevaautilizarcomodefinicióndelaintegraldeFalolargodelacurva
C.Aparentementeelresultadodelaintegraldependedelafunciónαqueseutilicepara
parametrizarlacurvaC.Elsiguienteresultadomuestraquerealmentesólodependedela
orientaciónqueαdefinesobrelacurva,loqueeradeesperarsipensamosenlainterpretación
delproblemaf´ısicoenelquenoshemosbasado:sirecorriendolacurvaenunsentidose
generatrabajo,alvolversobrelamismaensentidocontrarioseconsumiralamisma
cantidaddetrabajo.Lademostracióndelresultadosebasaenlaequivalenciadelas
parametrizacionesdeunacurvaregularysimple,yenelteoremadecambiodevariable.
Recordemosquedosparametrizacionesdelamismacurvatienenlamismaorientaciónsiy
sólosilafuncióndecambiodeparámetroescreciente,oloqueeslomismo,sisuderivadaes
positivaentodoslospuntos;ytienenorientacionesopuestassielcambiodeparámetroes
decreciente,osuderivadaesnegativa.

21. Definición(Integraldelíneadeuncampovectorial).

22. Si llamamosC−alacurvaCconlaorientaciónopuesta,setiene
Notaciones:
Ejemplo

23. TeoremadeGreenDefinición
(Regioneselementalesdelplano).

24. Demostración:Parademostrarelteorema,descomponemoselcampoFcomo
sumadedoscampos,F=(f1,f2)=(f1,0)+(0,f2).Vamosademostrarqueparael
campo(f1,0)severificalaecuación

25. LaFronteradeSestáformadaporcuatrotrozosregulares,
sepuedeparametrizarmediantelafunción

26. C−2sepuedeparametrizarmediantelafunciónquedescribelagraficadela
funciónq(x),

27. Portanto

28. Ejemplo2.AplicacióndelteoremadeGreenenregioneselementalesatrozos:
aunquelademostraciónsehacesóloenregioneselementales,laformulaquese
obtienesepuedeaplicartambiénacamposdefinidosenregionesdelplanoquese
puedendescomponercomouniónderegioneselementalesquenosesolapen
(comounpuzzle).Consideremosunejemplo:SiSeslaregióndelafigura,yla
descomponemoscomounióndedosregioneselementalesS1yS2trazandoel
segmentoL,podemosaplicarelteoremaenS1yS2porseparado.