LONGITUD DE UNA CURVA
República Bolivariana DeVenezuela
UTSAntonio José de Sucre
Extensión Barquisimeto
Alumna: Pierangell...
LONGITUD DE UNA CURVA
La idea para calcular la longitud de una curva contenida en el plano o
en el espacio consiste en div...
CuantosmaspuntosescojamosenC,mejorseráelvalorobtenidocomo
aproximacióndelalongituddeC.
Para ello, escogemos una parametrizacion α : [a, b] −→ R n de C, y una
partición P = {a = t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tk = b}, ...
El valor de este sumatorio esta entre los valores de la suma inferior y la suma
superior de Riemann de la función g(t) = k...
Sinembargo,segúnestadefinición,aparentementelalongituddeunacurva
dependerádelaparametrizacionαqueseutilicepararepresentarl...
Integral de línea de un campo escalar
SellamacampoescalarenRnaunafuncióndefinidadeRnenR,comopor
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  1. 1. LONGITUD DE UNA CURVA República Bolivariana DeVenezuela UTSAntonio José de Sucre Extensión Barquisimeto Alumna: Pierangell Colmenarez C,I: 22094900 Esc: 72 Diseño de Obras Civiles Curso: Intensivo Matemáticas II
  2. 2. LONGITUD DE UNA CURVA La idea para calcular la longitud de una curva contenida en el plano o en el espacio consiste en dividirla en segmentos pequeños, escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.
  3. 3. CuantosmaspuntosescojamosenC,mejorseráelvalorobtenidocomo aproximacióndelalongituddeC.
  4. 4. Para ello, escogemos una parametrizacion α : [a, b] −→ R n de C, y una partición P = {a = t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tk = b}, y calculamos aproximadamente la longitud del arco α([ti , ti+1]) como la longitud del segmento [α(ti), α(ti+1)]. Utilizando la norma euclıdea en R n , y aplicando a las coordenadas de α el teorema del valor medio en el intervalo [ti , ti+1], Utilizamos ahora que como αj es de claseC 1 , su derivada es continua, por lo que si los intervalos [ti , ti+1] son suficientemente pequeños podemos suponer que α 0 j (si) = α 0 j (ti), y sustituyendo en la formula anterior queda
  5. 5. El valor de este sumatorio esta entre los valores de la suma inferior y la suma superior de Riemann de la función g(t) = kα 0 (t)k asociadas a la particion P. Si tomamos particiones de [a, b] cada vez mas finas, y dado que g(t) = kα 0 (t)k es integrable por ser continua, las sumas superiores e inferiores tienden a la integral de Riemann, y se obtiene la definición de la longitud de C como
  6. 6. Sinembargo,segúnestadefinición,aparentementelalongituddeunacurva dependerádelaparametrizacionαqueseutilicepararepresentarla.Elsiguiente teoremamuestraquegraciaslaequivalenciaentrelasparametrizacionesdeuna curvaregularysimple,laformulaanteriornodependedeα.
  7. 7. Integral de línea de un campo escalar SellamacampoescalarenRnaunafuncióndefinidadeRnenR,comopor ejemplolafunciónquedescribelatemperaturaencadapuntodelespacioR3. Paraentenderelsignificadodeladefinicióndeintegraldelíneadeuncampo escalar,consideremoselsiguienteejemplo:Supongamosquetenemosunacurva CenR2,parametrizadamedianteunafunciónα:[a,b]−→R2,yunafunción escalarf:R2−→R,continua.Podemosrepresentargráficamentelafunciónf sobrelacurvaCcomounmuroquelevantaunaalturaf(x,y)sobrecadapunto(x,y) deC.SetrataahoradecalculareláreadeesemuroentrelacurvaCylagraficadef sobrelacurva.
  8. 8. RepitiendolaideadelaconstruccióndelaintegraldeRiemannenunintervalo, dividimoslacurvaCporunafamiliafinitadepuntos,definiendounaparticiónPde [a,b],P={a=t0<t1<···<tn=b} LacurvaquedadivididaenunauniónfinitadearcosCi=α([ti−1,ti])Definimoslas sumasinferioresysuperiores
  9. 9. demodoque
  10. 10. yanálogamente Alvariarlasparticionesde[a,b],ysuponiendocondicionesdecontinuidadparael campof,lassumassuperioresylassumasinferioresseaproximanaunmismo valor,queserájustamentelaintegralenelintervalo[a,b]delafunción Engeneraldiremosquefesintegrablealolargodeαsielsupremodelassumas inferiorescoincideconelinfinitodelassumassuperiores,alvariarlasparticionesde [a,b]Aparentementeelresultadodeestaintegraldependeentoncesdela parametrizacionαescogidapararepresentarlacurvaC,sinembargo,graciasala equivalenciaentretodaslasparametrizacionesdeunacurvaregularysimple,esto noesasi:
  11. 11. Si Cesunacurvaregularatrozos,sedefinelaintegraldefalolargodeCcomola sumadelasintegralesencadatrozoregular.SiCesunacurvacerrada,sepuede dividirportrespuntos,yconsiderarlacomounacurvaregularatrozos.
  12. 12. Integraldelíneadeuncampovectorial UncampovectorialenRnesunafunciónF:Rn−→Rn,queasociaacadapunto delespaciounvectordelmismoespacio.Porejemplo,uncampovectorialpuede seralcampogravitatoriogeneradoporunamasa:sitenemosunamasaMsituado enelorigendecoordenadas,sobreuncuerpodemasamsituadoenunpuntoxdel espacioactúaunafuerzaF(x)quetieneladireccióndelvectorx,perosentido opuesto(dexalorigendecoordenadas),ymagnitud Utilizandoel lenguajevectorial,elcampo degravedadquedadefinidoporlafunción
  13. 13. Paraentenderelsignificadodelaintegraldeuncampovectorialalolargodeuna curva,consideramoselejemplodelcalculodeltrabajogeneradoporuncampode fuerzassobreunmóvilquesedesplazadentrodeel. Elcasomássencilloeseldeltrabajogeneradoporlacaídadeuncuerpoporel efectodelagravedad: Enprincipioeltrabajogeneradosecalculacomoelproductodelafuerzaporel desplazamiento,T=F·d Esteconceptoseconcretaunpocomás,añadiendoun signoqueinterpretesieltrabajosegenera(cuandolafuerzatieneelmismo sentidoqueeldesplazamiento) oseconsume(cuandolafuerzatienesentido opuestoaldesplazamiento,
  14. 14. porejemploparalevantarotravezelobjeto).Enlenguajevectorial, Uncasounpocomáscomplicadoeseldeltrabajogeneradoporeldesplazamiento deunmóvilporunplanoinclinado,sujetosóloalefectodelafuerzadelagravedad.
  15. 15. Porultimo,consideremoselcasogeneral,enelquehayuncampovectorial continuoperoquenoesconstante,yunmovimientoquenoesrectilíneo. LaideaentoncesesdividirlacurvaCtrayectoriadelmóvilensegmentoslo bastantepequeñoscomoparapodersuponerquesonrectosyqueencadaunoel camposiesconstante(graciasalacontinuidad).Paraelloescogemosuna parametrizacionα: deC,yunapartición
  16. 16. Calculamoseltrabajogeneradoencadaarcodecurva comosifuera unsegmentorecto,yelcampofueraconstantemente La componentetangencialde
  17. 17. Así,sillamamosL(Ci)alalongituddeCi,eltrabajogeneradoenCies aproximadamente EltrabajototalgeneradoalolargodelacurvaCserálasumadeestosvaloresTi
  18. 18. Si tomamosahoraparticionesdelintervalo[a,b]cadavezconmáspuntos,estas sumastiendenalvalordelaintegral EstaexpresióneslaquesevaautilizarcomodefinicióndelaintegraldeFalolargodelacurva C.Aparentementeelresultadodelaintegraldependedelafunciónαqueseutilicepara parametrizarlacurvaC.Elsiguienteresultadomuestraquerealmentesólodependedela orientaciónqueαdefinesobrelacurva,loqueeradeesperarsipensamosenlainterpretación delproblemaf´ısicoenelquenoshemosbasado:sirecorriendolacurvaenunsentidose generatrabajo,alvolversobrelamismaensentidocontrarioseconsumiralamisma cantidaddetrabajo.Lademostracióndelresultadosebasaenlaequivalenciadelas parametrizacionesdeunacurvaregularysimple,yenelteoremadecambiodevariable. Recordemosquedosparametrizacionesdelamismacurvatienenlamismaorientaciónsiy sólosilafuncióndecambiodeparámetroescreciente,oloqueeslomismo,sisuderivadaes positivaentodoslospuntos;ytienenorientacionesopuestassielcambiodeparámetroes decreciente,osuderivadaesnegativa.
  19. 19. Definición(Integraldelíneadeuncampovectorial).
  20. 20. Si llamamosC−alacurvaCconlaorientaciónopuesta,setiene Notaciones: Ejemplo
  21. 21. TeoremadeGreenDefinición (Regioneselementalesdelplano).
  22. 22. Demostración:Parademostrarelteorema,descomponemoselcampoFcomo sumadedoscampos,F=(f1,f2)=(f1,0)+(0,f2).Vamosademostrarqueparael campo(f1,0)severificalaecuación
  23. 23. LaFronteradeSestáformadaporcuatrotrozosregulares, sepuedeparametrizarmediantelafunción
  24. 24. C−2sepuedeparametrizarmediantelafunciónquedescribelagraficadela funciónq(x),
  25. 25. Portanto
  26. 26. Ejemplo2.AplicacióndelteoremadeGreenenregioneselementalesatrozos: aunquelademostraciónsehacesóloenregioneselementales,laformulaquese obtienesepuedeaplicartambiénacamposdefinidosenregionesdelplanoquese puedendescomponercomouniónderegioneselementalesquenosesolapen (comounpuzzle).Consideremosunejemplo:SiSeslaregióndelafigura,yla descomponemoscomounióndedosregioneselementalesS1yS2trazandoel segmentoL,podemosaplicarelteoremaenS1yS2porseparado.

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