El documento resume la historia y propiedades de la Sección Áurea. Explica que los griegos como Platón y Euclides estudiaron formas armónicas de dividir segmentos y objetos, dando origen a conceptos como la Sección Áurea y el Rectángulo Áureo. Luego describe cómo se puede calcular matemáticamente el valor de la Razón Áurea y cómo este número se encuentra presente en la naturaleza, el arte y la arquitectura de manera proporcionada y estéticamente agradable.

1. Profesor Fabricio Valdés Nieto Mayo del 2007

15. factorizando, Escribiendo como producto de raíces, a pasa dividiendo,

16. invertimos la razón y queda,

17. Tenemos dos soluciones ó

18. pero veamos bien , es un número irracional mayor que 1 por lo tanto: Es un número Positivo Es un número Negativo Escogemos el valor positivo de la Razón pues no existen distancias negativas

19. El número es aproximadamente 2,236067… luego Este valor encontrado para la Razón Áurea se llama  (se escribe Phi y se pronuncia Fi) Se nombró así en honor a Fidias, el arquitecto griego que construyó el Partenón usando la Razón Áurea.

22. ¿Dónde encontramos la Razón Áurea? La razón entre la distancia del ombligo a los pies y la distancia de la cabeza al ombligo es  , así como también la razón entre la altura de un hombre y la distancia del ombligo a los pies El Hombre de Vitrubio -Leonardo Da Vinci-

26. ¿Dónde podemos encontrar Rectángulos Áureos? Generalmente, las tarjetas de crédito, los carnet de identidad y pases escolares tienen forma de rectángulo áureo, es decir la razón entre su lado mayor y menor es  En la vida cotidiana: También asemejan a rectángulos áureos los televisores de pantalla ancha, las postales y las fotografías

28. La Gioconda -Leonardo Da Vinci- Sección Áurea -Piet Mondrian-

29. Dos de las composiciones en rojo, amarillo y azul del pintor Piet Mondrian

30. En las obras de muchos otros artistas del Renacimiento se han buscado relaciones áureas. Sir Theodore Cook (s XIX) describió una escala simple de divisiones áureas aplicable a la figura humana , que encaja sorprendentemente bien en las obras de algunos pintores, como Boticelli . El Nacimiento de Venus -Boticelli-

31. H ay otros casos de obras pictóricas en los que a parece el uso del Rectángulo Áureo como medio de distribución espacial (forma de componer un cuadro): E n “E l Martirio de S an Bartolomé ” , de Ribera, es evidente la división del espacio en base a rectángulos áureos verticales y horizontales: el objeto principal se ubica en el cuadrado central

32. En “L a Carta ” , de Vermeer, la ubicación del elemento principal está en el cruce de las divisiones áureas:

35. ¿Dónde encontramos la Espiral Mirabilis?

36. En el Arte: "Semitaza gigante volando con anexo inexplicable de cinco metros de longitud“ -Salvador Dalí- Observa cómo la espiral áurea se ajusta a los elementos importantes de la pintura

37. En la Naturaleza: La concha del cefalópodo marino Nautilus

38. Comentario Final Como ejercicio de observación te propongo que te fijes en todo lo que nos rodea y compruebes, que el número áureo está presente en todas partes. Si algo nos llama la atención por su belleza, tal vez el número de oro esté en la fuente de diseño

49. Rotación de un cuadrado

51. Traslación de un triángulo

53. Reflexión de un cuadrado respecto a la recta espejo

54. Ejemplos de Teselaciones Regulares

55. El tablero de Ajedrez es un plano teselado por un cuadrado Una teselación con triángulos equiláteros

58. Ejemplos de Teselaciones Irregulares

59. Pájaros M. Escher

60. Simetría nº 45 M. Escher

61. Día y noche M. C. Escher (1938)

62. Teselación de un plano con la figura de un pez

63. Construcción de Teselaciones

64. Teselación a partir de un triángulo Dibuja un triángulo cualquiera. Distorsiona cada lado del triángulo, de forma que siempre sea simétrico respecto de su punto medio. La figura que obtienes de este modo se llama triside y permite recubrir un plano. Puedes intentar hacer tu propio diseño y recubrir el plano con él. Ejemplo

73. “Geometría Infinita”

79. Rama de un Helecho Fractal

80. Música Fractal Mediante técnicas de computación, los fractales pueden ser “interpretados” como música.

81. Generemos Fractales con el programa WinFract Actividad

83. Gracias por participar del taller