1. Tema 2: Fundamentos de la Física .
La descripción del movimiento de un cuerpo se reduce al estudio del movimiento de
su centro de masas (cuya definición no daremos), que simplifica las dimensiones del
cuerpo hasta reducirlas a un punto material, aunque conservando toda su masa.
Además, resulta indispensable para tal descripción el establecimiento de un
Sistema de Referencia, a partir del que realizar la descripción del movimiento del
móvil. Este hecho es importante, puesto que todos los movimientos tienen un
carácter relativo, y por tanto, dependen del sistema de referencia elegido.
Para determinar la POSICIÓN de un objeto, se utiliza el vector de posición:
, que, como vemos, es función del tiempo.
A partir de este concepto, podrá decirse que “un cuerpo se mueve cuando cambia
su vector de posición en el tiempo”.
La TRAYECTORIA descrita por un móvil equivale al camino recorrido por el. Se
obtendría a través de la unión de los puntos correspondientes a los vectores de
posición para los diferentes tiempos (Ver figura).
Tomemos 2 instantes, . Estos podrán asociarse con dos vectores de
posición, a los que llamaremos . Se denomina VECTOR
DESPLAZAMIENTO “al vector que une la posición inicial y la final”.
Matemáticamente:
),,(),,(),,(
Por otro lado, llamaremos ESPACIO RECORRIDO (o distancia recorrida), a una
magnitud escalar, representada por , medida sobre la trayectoria. En general
no coincide con el módulo del vector desplazamiento, salvo para trayectorias
rectilíneas sin cambio de sentido. Además, se trata de una magnitud, siempre
acumulativa (siempre se suma), independientemente de los desplazamientos del
móvil.
X
Z
Y
P
1
P
2
Trayectoria

2. Pero en un movimiento no basta con conocer el vector de posición y la
trayectoria. Interesa saber la rapidez con la que se desplaza el móvil. Se conoce
como VELOCIDAD MEDIA (vector) en el intervalo Δt a:
Del mismo modo, para intervalos de tiempo infinitesimales,
...
Gráficamente, la velocidad instantánea en un punto resulta ser un vector
tangente a la trayectoria en cada instante (mientras que el vector velocidad media
resulta ser secante). Por ello la velocidad instantánea puede representarse como:
(, donde es el vector unitario tangente a la trayectoria en ese punto)
Como hemos hecho mención, cuando hablamos de velocidad, nos estamos
refiriendo siempre a vectores. Se denomina RAPIDEZ, al módulo de la velocidad
con la que se mueve un móvil, sobre la trayectoria. Así:
Ojo!!!
La velocidad instantánea se simboliza simplemente como , y no
como

3. Es decir, el valor de la velocidad instantánea resulta ser, en una gráfica s
vs t, el valor de la pendiente de la recta tangente a dicha curva en un instante
determinado.
A partir de la rapidez de un móvil (en función del tiempo), es posible calcular la
distancia recorrida por él en cualquier intervalo de tiempo, considerando que:
“la distancia recorrida equivale al área delimitada por la línea que representa la
velocidad en función del tiempo, y las líneas verticales t1 y t2”
En el primero de los gráficos, el área encerrada será el área del triángulo
coloreado de azul más el área del rectángulo rojizo. En ese caso:
.
.
El segundo de los gráficos representaría un caso general (en el que tendría cabida
el caso anterior, claro está), cuyo desarrollo se llevará a cabo por integración de la
función en el intervalo de tiempo. Es decir:
Como ya sabemos, la velocidad puede permanecer constante a lo largo del
movimiento, o, por el contrario, variar. La primera de las situaciones indica un

4. MOVIMIENTO UNIFORME, en tanto que el segundo de los casos se manifiesta
para un MOVIMIENTO VARIABLE.
La magnitud que describe las variaciones de velocidad a lo largo del tiempo se
conoce como ACELERACIÓN:
Δt
vΔ
am (, magnitud vectorial)
, o, para intervalos de tiempo infinitesimales:
t
v
t
v
a
0
De otro modo:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zyx
zyx
zyx
dt
d
dt
d
,
dt
d
z)y,(x,
dt
d
dt
rd
a
)a,a,(a)
dt
dv
,
dt
dv
,
dt
dv
()v,v,(v
dt
d
dt
vd
a
,
,
Desde luego, 222
Pero existe otro modo de descomponer la aceleración (además de su
descomposición cartesiana). La aceleración puede presentarse como la suma
vectorial de sus componentes intrínsecas. Este tipo de descomposición resulta
ser muy útil ya que analiza separadamente los cambios temporales en el módulo
de la velocidad y los cambios (temporales) en la dirección de la velocidad.
)u(v.
dt
d
dt
vd
a t , donde tu es el vector unitario tangente a la trayectoria)
Derivando el producto, resulta:
dt
ud
v.u.
dt
dv
a t
t
i) El primer sumando, tu.
dt
dv
se conoce como aceleración
tangencial:
tt u.
dt
dv
a
, y representa la rapidez con la que varía el módulo de la velocidad
ii) El segundo de los sumandos,
dt
ud
v. t
, es conocido como
aceleración normal o centrípeta ca , y representa los cambios en
la dirección de la velocidad. Esta aceleración es perpendicular a la
trayectoria en cada punto en cualquier instante; es decir, tiene
dirección radial, dirigida hacia el interior de la curva.
Por otro lado, el módulo de esta aceleración resulta ser, para un
movimiento circular, igual a :

5. Nota: Recuerda que:
Tipo
Movimiento
Aceleración
tangencial
Aceleración
normal
Dirección Rapidez
MRU 0 0 Cte Cte
MRUA Cte 0 Cte Cte
MCU 0 Cte Variable Variable
MCUA Cte Variable Variable Variable
R
v
a
2
c ,
,donde v es el módulo de la velocidad en ese punto, y R el radio de
curvatura en dicho punto
ALGUNOS MOVIMIENTOS (I).
1. MRU
t.vrr 0
2. MRUA
t.avv
t.a.
2
1
t.vrr
0
2
00 ΔΔ
3. Tiro Parabólico
j.gt
2
1
.t.senαvyy
i..t.cosαvx
r
j.gt.senαvv
i..cosαvv
v
j..senvv
i..cosvv
v
2
00
0
0y
0x
0y,0
0x,0
0
α
α
(SR, el punto de lanzamiento)
4. Tiro Horizontal
j.gt
2
1
yy
i.v.tx
r
jgt.v
iv.v
v
j0.v
iv.v
v
2
0
y
x
y,0
x,0
0
(SR, un observador en el suelo, en la perpendicular al punto inicial de
lanzamiento).

6. ALGUNOS MOVIMIENTOS (II).
5. Movimientos Circulares
Los movimientos circulares se describen a
través de magnitudes angulares:
Se define como la rapidez angular media al
ángulo descrito por un móvil en un intervalo de
tiempo determinado:
Por extensión:
, expresadas ambas en rad/s.
Existe, desde luego, una relación entre las
magnitudes lineales y las angulares, obtenida
de la propia definición de radián. Puesto que, en
una circunferencia arco y ángulo están
relacionados a través de la expresión:
.
, resultará que:
R.ωv
Δt
.Δ
R
Δt
Δs
Esta ecuación no considera el sentido del
recorrido; si se tiene en cuenta, tan sólo existen
dos posibilidades de giro, el levógiro (sentido
horario), o el dextrógiro (antihorario), y
adopta un carácter vectorial, cuyas
características vendrán dadas por:
v
, donde es el vector radial de origen el
centro de la circunferencia de giro y final el
punto de la circunferencia en el que se
encuentra el móvil. Como podemos
apreciar, es perpendicular al plano sobre el
que gira el cuerpo, y su sentido vendrá dado por
la regla del sacacorchos o de la mano derecha.
Para el caso de un MCUA, existe otra magnitud, la aceleración angular,
,
cuya dirección es perpendicular al plano de la trayectoria, como puede
observarse en la figura 3.3 . Su unidad es el rad/s2
No nos queda sino indicar las ecuaciones propias de movimientos circulares. En
esta ocasión las presentaremos junto a sus análogas correspondientes al
movimiento rectilíneo
0

7. El estado dinámico de un cuerpo queda definido en el momento en el que la masa
de ese cuerpo y su velocidad quedan relacionadas. La magnitud física que pone de
manifiesto tal relación se conoce como CANTIDAD DE MOVIMIENTO o MOMENTO
LINEAL, magnitud vectorial definida como:
vm.p
Esta magnitud sólo varía (para un determinado cuerpo) si existe una interacción
con otro u otros cuerpos. La intensidad de tal interacción tendrá mayor o menor
intensidad según la rapidez con la que varíe la cantidad de movimiento.
Como ya se ha apuntado, el factor que provoca un cambio en el momento lineal es la
magnitud FUERZA, de naturaleza vectorial. La relación matemática entre la fuerza y la
cantidad de movimiento viene de la mano de la Segunda Ley de Newton:
Δt
pΔ
Fm
, que, para interacciones casi instantáneas se transforma en:
t
p
F
t
p
F
0
d
d
Δ
Δ
, lo que constituye la Ecuación Fundamental de la Dinámica
Desarrollando la expresión anterior,
tttt
p
F
d
dm
v
d
vd
d
)vd(m.
d
d
.
En el caso en el que la masa sea un valor constante (como sucede en la mayoría
de los casos):
.. F
t
F
d
vd
Expresión habitual de la 2ª Ley de Newton
Leyes de la Dinámica
Como ya hemos estudiado en cursos anteriores, la Dinámica de una partícula se
fundamenta en 3 enunciados conocidos como Leyes de la Dinámica de
Traslación (o Leyes de Newton). Estos son:
a) Primera Ley de Newton, o “Ley de la Inercia”
“Si sobre un cuerpo no actúa fuerza alguna o la resultante de estas
resulta ser nula (se trata de un sistema aislado), su momento lineal
permanecerá constante”.
De esta definición se desprende que tal cuerpo se hallará en reposo o
bien se moverá con movimiento rectilíneo y uniforme (MRU), siempre,
desde luego, que su masa permanezca constante.
ctevctep0
t
p
F
d
d
b) Segunda Ley , o “Ley Fundamental”
De la que ya hemos hablado anteriormente. “La aceleración de un
cuerpo de masa m es directamente proporcional a la fuerza neta, e
inversamente proporcional a la masa del cuerpo”:
m
F
F
t
F ..
d
vd

8. c) Tercera Ley, o “Ley de Acción y Reacción”
Ya se ha indicado que cuando un cuerpo experimenta un cambio en
su cantidad de movimiento, esto indica la existencia de una interacción
con otro cuerpo; este último, a su vez, experimentará asimismo un
cambio en su momento lineal debido a la existencia del primero.
Supongamos un sistema compuesto por 2 partículas. La cantidad de
movimiento correspondiente al sistema antes de la interacción será:
221121 vmvmppp
Tras la interacción, ambos cuerpos habrán modificado su estado de
movimiento. En ese momento, la nueva cantidad de movimiento del
sistema vendrá dada por:
221121 ´vm´vm´p´p´p
Sucede entonces que, en ausencia de interacciones externas
(SISTEMA AISLADO), la cantidad de movimiento es una magnitud
que permanece constante:
21221122221111
22112211
221121
221121
ppvmvmvm´vmvm´vm
´vm´vmvmvm´pp
´vm´vm´p´p´p
vmvmppp
ΔΔΔΔ ..
Es decir, “en un sistema aislado constituido por dos partículas, la
variación de la cantidad de movimiento de una de las partículas es igual
y de sentido contrario a la variación de la cantidad de movimiento de la
otra”.
Dicho de otro modo, la interacción entre partículas se produce
mediante un intercambio de momento lineal.
Pero, puesto que toda interacción se produce en un intervalo de
tiempo, podemos dividir por :
2112
2121 pppp dd
t
(La fuerza que actúa sobre1 debido a 2 es igual en módulo, dirección pero
sentido contrario a la fuerza que actúa sobre2 debido a 1)
Esta expresión constituye la LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN.
Fuerza de Rozamiento
Es la fuerza que se opone al deslizamiento entre dos superficies. Siempre es
paralela a la superficie de contacto y tiene sentido contrario al movimiento. Al tirar
de un cuerpo colocado sobre una superficie se observa que sólo se desliza si la
fuerza aplicada tiene un determinado valor.
Esta observación nos obliga a diferenciar dos situaciones: una cuando no hay
movimiento y otra cuando las superficies se deslizan.
Cuando no hay movimiento se observa que el módulo de la fuerza de rozamiento
tiene cualquier valor desde cero hasta un valor máximo. Es decir, si no hay
movimiento la fuerza de rozamiento es, en módulo, igual a la fuerza aplicada.
Importante!!!
Debe tenerse muy en cuenta que la acción y la reacción
ACTÚAN SOBRE CUERPOS DIFERENTES, y por lo
tanto NO SE ANULAN, y sus efectos dependen en cada
caso de LA MASA DEL CUERPO.

9. A esta fuerza de rozamiento se le denomina fuerza de rozamiento estático
)( y toma su máximo valor cuando el movimiento es inminente.
Al iniciarse el movimiento se observa que la
fuerza de rozamiento disminuye, permaneciendo
constante durante todo el movimiento.
Esta fuerza de rozamiento no depende del área
de contacto, y su módulo es proporcional al de la
fuerza normal a las superficies en contacto
A la fuerza de rozamiento una vez puesto el
móvil en movimiento se le denomina fuerza de
rozamiento dinámico )(
A la constante de proporcionalidad entre la
fuerza de rozamiento dinámico y la fuerza
normal, se le denomina coeficiente de
rozamiento dinámico , y a la constante de proporcionalidad entre la fuerza
de rozamiento estático máxima y la normal, se le denomina coeficiente de
rozamiento estático ,. Son dos números sin dimensiones y dependen
exclusivamente de la naturaleza de la superficie de contacto.
El módulo de la fuerza de rozamiento estático es: .
El módulo de la fuerza de rozamiento dinámico es: .
En general se cumple:
Sistemas de Referencia
En Dinámica resulta imperativa la elección de un sistema de referencia a partir
del cual realizar nuestras observaciones.
Un primer problema se plantea si se intenta elegir un sistema de referencia que
se encuentre en reposo absoluto, puesto que, como ya apuntó Galileo: “Es
imposible conocer, a través de experimentos físicos o químicos, si un sistema se
encuentra en reposo o dotado de MRU.”
Por lo tanto, para dos observadores en cuyo movimiento relativo sea del tipo
anteriormente señalado (MRU), las leyes de la Física serán iguales.
En este sentido se denomina Sistema de Referencia Inercial a aquellos
sistemas que se encuentren en reposo o dotados de MRU. En estos sistemas se
cumplen perfectamente las leyes de Newton.
Del mismo modo, los Sistemas de Referencia No Inerciales serán aquellos
otros que estén dotados de aceleración; en ellos no son válidas las leyes de la
Dinámica, y para poder aplicarlas, deben introducirse las llamadas FUERZAS DE
INERCIA, que no son producto de ninguna interacción, sino que son un artilugio
para poder aplicar las leyes de Newton en este tipo de sistema. (Por ejemplo, la
introducción de la fuerza centrífuga). Sin embargo, al observador no inercia le
parecen fuerzas reales (poner como ejemplo la propia fuerza centrífuga). Los
cálculos, es este tipo de sistemas, se realizan aplicando la fórmula:
)D´Alembertde(Principio0

10. Fuerza Centrípeta
Cuando un móvil describe un movimiento curvilíneo, su velocidad se modifica
continuamente en dirección y sentido.
Si se trata de un movimiento circular uniforme, el módulo de la velocidad
permanecerá constante, por lo que la aceleración tangencial será nula.
En cambio, existe, como sabemos, aceleración normal no nula, cuyo valor vendrá
dado por:
N
2
NN u.
R
v
aa
La partícula estará, pues, sometida a la acción de una fuerza dirigida hacia el
centro de la trayectoria, la fuerza normal, centrípeta o central:
N
2
N
2
NN u.R.m.ωu.
R
v
m.am.F
, donde v es la velocidad lineal de la partícula, y ω la velocidad angular, R el
radio de curvatura y uN el vector unitario perpendicular a la trayectoria y dirigido
hacia el interior de la misma.
Como ya sabemos del curso anterior, esta fuerza es la causante de cualquier
movimiento curvilíneo
Impulso Mecánico
Al integrar la ecuación fundamental de la dinámica entre dos instantes,
tendremos:
p
p
d
d
d
d
0
0
0
p
t
0
0
p
t
t
p.dtF
0ts(Supongamo,p.dtF
t
p
F )
El primer miembro se conoce como IMPULSO LINEAL ( ), y expresa el efecto
realizado por una fuerza que actúa durante un intervalo temporal.
)v-vm(
)v-vm(pp-ppp.dtF
0
00
p
t
0
0
0
p
d
Es decir:
“El impulso que actúa sobre un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de
movimiento sufrida por dicho cuerpo”
Fuerzas Elásticas
Los sólidos elásticos se deforman al ser sometidos a fuerzas. El valor de tal
deformación resulta ser proporcional a la fuerza aplicada (hasta un determinado
límite, a partir del cual el cuerpo deja de ser elástico y no recupera su forma
original).
La fuerza necesaria para deformar un muelle de longitud 0 hasta otra tendrá
un valor dado por la expresión:
)..( 0
Y el resorte se opone a esa deformación realizando una fuerza igual a:
)..( 0 (de sentido opuesto a la causa deformadora)

11. , ecuación conocida como LEY DE HOOKE, donde k es la constante
recuperadora del muelle.
Dinámica de Rotación
En la Naturaleza, además de movimientos puramente de traslación, se producen
otros en los que están implicados giros.
Para describir el movimiento de una partícula que gira
en un plano alrededor de un punto fijo del mismo, se
recurre a la introducción de una magnitud que recibe el
nombre de momento angular, llamada también
momento cinético o momento de la cantidad de
movimiento. Esta magnitud desempeña el mismo papel
en el movimiento de rotación que el que desempeña la
cantidad de movimiento o momento lineal en el
movimiento de traslación.
“Se define el momento angular de una partícula
de masa m animada con una velocidad lineal v y,
por tanto, con una cantidad de movimiento ,
respecto de un punto O, al momento de la
cantidad de movimiento” Matemáticamente:
vmrprL
Es un vector perpendicular al plano determinado
por r y v , cuyo sentido viene indicado por la regla
del tornillo al voltear r sobre v por el camino más
corto. Su módulo es:
r.m.v.sen θL
Siendo el ángulo formado por el vector de
posición y el vector velocidad. En general, el
momento angular de la partícula cambia en
magnitud y dirección durante el movimiento. Sin
embargo, si la partícula se mueve en un plano y el
punto O está situado en él, la dirección del
momento angular permanece invariante; éste es el caso del movimiento circular
cuando O es el centro del círculo.
En este último caso, considerando a la velocidad angular como una magnitud
vectorial perpendicular al plano de la circunferencia que describe la partícula y
que, por tanto, se cumple que rωv , el momento angular se puede expresar
como:
ωω .( 2
mr)rmrvmrL
El vector posición y la cantidad de movimiento de la partícula pueden variar
con el tiempo y, por tanto, también lo puede hacer el momento angular .
Veamos la variación del momento angular con respecto al tiempo:
0
)(

12. Por tanto, “la variación del momento angular de una partícula con respecto al
tiempo es igual al momento de la fuerza que actúa sobre la de ella”.
En el caso en el que:
0
, y esto sucede cuando el momento de la fuerza que actúa sobre la
partícula, 0 , es decir:
- Cuando no actúa ninguna fuerza sobre la partícula.
- Cuando la fuerza es paralela al vector de posición de la partícula.
- Cuando el vector posición es nulo.
La dinámica de traslación precisa, pues, junto a las magnitudes masa, cantidad
de movimiento y fuerza, el radio de giro, a partir del cual surgen magnitudes
nuevas (momento de inercia, momento angular y momento de una fuerza).
Resumiendo:
TRASLACIÓN ROTACIÓN
m Masa I Momento de inercia
Cantidad de movimiento Momento angular
v Rapidez Rapidez angular
atg Aceleración tangencial Aceleración angular
fuerza Momento de una fuerza
.
Cuando una partícula está sometida a la acción de FUERZAS CENTRALES, es
decir, fuerzas que convergen en un punto o centro (como sucede con las fuerzas
gravitatorias, interacciones electrostáticas,...), r y F resultan ser paralelos, por lo
que su producto vectorial es nulo; por lo tanto M es nulo, lo que se traduce en
que L será un vector constante en módulo, dirección y sentido. La consecuencia
es que una partícula sometida tan sólo a la acción de fuerzas centrales
describirá una trayectoria plana (como veremos en el caso del movimiento
planetario).
Trabajo
Partiremos del caso en el que un cuerpo está sometido a la acción de una
fuerza constante, y por la que se desplaza, siguiendo una trayectoria
rectilínea, desde A hasta B; Se define como TRABAJO realizado por tal
fuerza a una magnitud escalar definida por:
cos...
, donde es el ángulo que forman los vectores y .
El significado físico del signo que adopte es muy claro: si el trabajo es
positivo, indica que la fuerza aplicada es favorable al desplazamiento. Si el
signo es negativo, la fuerza se opondrá a dicho desplazamiento. Por último,
en caso de ser nulo, fuerza y desplazamiento resultarán perpendiculares.
La unidad SI de trabajo se denomina JULIO (simbolizado por J, y equivalente
a 1 newton. Metro)

13. En el caso en el que actúen varias fuerzas sobre el mismo cuerpo, el trabajo
total será la suma algebraica de los trabajos individuales realizados por cada
una de las fuerzas que actúan.
Si, por otro lado, la fuerza que actúa no es constante, o si el punto de
aplicación describe una trayectoria cualquiera, dividiremos esta trayectoria en
desplazamientos elementales , de modo que cada uno de ellos pueda ser
considerado rectilíneo, y la fuerza sea prácticamente constante en cada uno
de ellos. En tales circunstancias , y el trabajo elemental realizado por la
fuerza será:
cos..cos...
, siendo el ángulo entre la fuerza y la tangente a la trayectoria en cada uno
de sus puntos.
Para un desplazamiento entre los puntos A y B,
1
0
1
0
1
0
....
, aunque, en el caso de que la fuerza y el ángulo que forma con el
desplazamiento sean constantes la primera integral queda como:
2
1
cos...
Energía Cinética
Partamos de un cuerpo de masa m, que pasa por A y se mueve inicialmente
con una velocidad Av . Instantes posteriores, y por acción de una fuerza F se
desplaza por un punto B con una velocidad Bv .
El trabajo realizado por esa fuerza para llevar la m de A hasta B será:
,,
2
A
2
B
2B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
BA
mv
2
1
mv
2
1
2
mv
vd..vm.
vd..vm.vd.
dt
rd
m.r.d
dt
vd
m.r.dam.r.dFW
Podrá definirse la energía cinética (de un cuerpo), a partir del desarrollo
anterior, como la capacidad de ese sistema para realizar un trabajo debido a
su velocidad. Su unidad de medida, lógicamente, será el Julio.
Ejemplo: Calcular el trabajo realizado por la fuerza 23 al
desplazar una partícula desde A(0,0,0) hasta B(3,-1,2)
170004
2
1
2
27
22
3
2323
2
0
2
1
0
2
3
0
2
2
0
1
0
3
0
)()(
),,)((.
“El trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo
es igual a la variación de la energía cinética del mismo”
(Teorema de la Energía Cinética)

14. Fuerzas Conservativas
Supongamos que queremos elevar un cuerpo de masa m desde un punto A
(situado a una altura hA) hasta otro B
(situado a una altura hB).
Para elevar el cuerpo (Fig. superior),
deberemos realizar una fuerza igual al
peso, pero de sentido contrario a él
( jm.g.F ). La elevación se producirá a
velocidad constante (en un proceso
infinitamente lento), puesto que al
ser la fuerza neta es nula y la
velocidad del movimiento, como acabamos
de indicar, constante. Es decir, durante la
elevación no se produce cambio en la
energía cinética.
El trabajo realizado por el peso, durante la
ascensión, vendrá dado por:
cos......
(Ver figura)
Pero si miramos el dibujo,
)cos(cos 180
, y cos.)cos(. 180
Por lo tanto, siguiendo con la integral:
..).(...
(indicando el signo negativo que el peso y
el desplazamiento son de distinto signo)
Cuando el cuerpo cae en un proceso
infinitamente lento, aplicando hacia arriba la
fuerza estrictamente necesaria para que el
cuerpo no acelere en su caída (velocidad
constante), el trabajo realizado por el peso
será:
cos......
(Ver figura inferior)
Pero si miramos de nuevo el dibujo
central,
, y cos.
..).(...
, positivo en este caso por ser el peso y el
desplazamiento del mismo signo. Sumando
ahora el trabajo realizado en todo el
ciclo,

15. 0
Como vemos, el trabajo resulta ser nulo, para un ciclo completo. A partir de
este hecho, se define como:
Vayamos a la figura inferior de la página anterior. Tomemos 2 caminos para
completar el ciclo:
a) Desde A hasta B siguiendo el camino a, y vuelta a A siguiendo c
b) Desde A hasta B siguiendo el camino b, y vuelta a A siguiendo c
Podemos deducir que:
“En presencia de fuerzas conservativas, el trabajo desde A a B es
el mismo independientemente del camino realizado (a o b); tan
sólo depende de la posición inicial y final.”
Energía Potencial Gravitatoria
Como hemos visto anteriormente, el trabajo realizado por el peso para llevar
un cuerpo desde un punto A hasta otro B viene dado por:
)(...
Cada término se conoce con el nombre de ENERGÍA POTENCIAL
De este modo, a las fuerzas conservativas se les puede asignar una función
(la energía potencial), que depende de la posición inicial y final.
De este modo, el trabajo realizado por una fuerza conservativa puede
cuantificarse como la variación en la energía potencial entre los puntos inicial
y final, sin tener en cuenta el recorrido realizado. De modo que, el trabajo
realizado por una fuerza conservativa será igual a la variación de la energía
potencial cambiada de signo:
Vamos a concluir diciendo que las fuerzas que no cumplen estas
características son fuerzas no conservativas, como la fuerza de
rozamiento, cuyo trabajo si es función de la trayectoria recorrida.
Energía Potencial Elástica
Como ya se ha comentado más arriba, el estiramiento de un resorte viene
expresado por la LEY DE HOOKE (hasta que se rompe el comportamiento
elástico del resorte).
Si un cuerpo de masa m está unido a un resorte de constante recuperadora
k, al estirar el muelle de forma infinitamente lenta, de modo que no se
modifique su velocidad, la fuerza recuperadora tiende a llevar al muelle a su
posición de equilibrio. Si consideramos el eje X como eje de desplazamiento,
FUERZA CONSERVATIVA aquella fuerza que realizada a
lo largo de un ciclo cerrado da como resultado un trabajo
nulo.

16. y la posición inicial de la masa como origen de coordenadas, el valor de la
fuerza elástica será:
..
, siendo x el alargamiento del muelle, y correspondiendo el signo negativo al
hecho de ser de sentido contrario fuerza elástica y desplazamiento.
El trabajo desarrollado por esta fuerza será:
222
2
1
2
1
2
1
).().(.
, negativo, puesto que el desplazamiento y la fuerza recuperadora
tienen distinto sentido.
Al volver el muelle a su posición de equilibrio, el trabajo que realiza ahora la
fuerza elástica vendrá dado por:
222
2
1
2
1
2
1
).().(.
, positivo, por ser en este caso del mismo sentido desplazamiento y fuerza
recuperadora.
Al sumar el trabajo realizado por la fuerza elástica para el ciclo completo, se
observa que su valor es cero.
Cada uno de los términos
2
2
1
se denomina Energía Potencial Elástica,
dependiente tan sólo de la posición del resorte respecto a la de equilibrio (y
también de la constante del muelle).
Durante el estiramiento:
,
22
2
1
2
1
En tanto que en la recuperación:
,
22
2
1
2
1
Podemos concluir indicando que “las fuerzas elásticas son de naturaleza
conservativa”

17. Teorema de Conservación de la Energía Mecánica
Imaginemos una fuerza conservativa que actúa sobre un cuerpo,
desplazándolo desde A hasta B.
- Según el teorema de la Energía Cinética:
- Pero, por otro lado, por tratarse de fuerzas conservativas:
Por tratarse de la misma situación, resultará que:
,,,,
)(
22
22
2
1
2
1
2
1
2
1
La suma recibe el nombre de ENERGÍA MECÁNICA.
Así:
“En presencia únicamente de fuerzas conservativas, la energía
mecánica de un sistema es una magnitud que permanece constante”
Matemáticamente:
0
En el caso en el que además aparezca alguna fuerza no conservativa, como
ocurre cuando surgen fuerzas de rozamiento:
NO
, según el teorema de la energía cinética
Pero, además:
Con lo que nos queda, para el trabajo total:
NO
NO
Es decir:
“El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento (fuerza no conservativa)
transforma en calor parte de la energía inicial del cuerpo”.
Potencia
Es la magnitud que pone de manifiesto la velocidad con la que se
intercambia energía, ya sea en forma de calor o bien en forma de trabajo.
Matemáticamente:
mm v.F
Δt
r.ΔF
Δt
W
P
, expresión que indica la potencia media
La unidad de esta magnitud en SI se conoce con el nombre de watt (w),
equivalente a 1 Julio/segundo
La potencia instantánea, por su lado, será igual a:
v.F
t
r.F
t
dW
Pm
d
d
d
Por último, recordar que el rendimiento de una máquina es la relación
existente entre el trabajo útil y la energía consumida por el aparato (en tanto
por uno o en tanto por ciento):

18. 100
consumidaEnergía
W
consumidaEnergía
W
η
util
util
.%η
Choques
Supongamos dos cuerpos de masas y velocidades respectivas Av ,
Bv que sufren una interacción.
Si tratamos al sistema formado por las dos masas como un sistema aislado,
en el que no existen fuerzas externas, la variación del momento lineal del
sistema como consecuencia de la interacción deberá ser nula (puesto que la
magnitud se conserva). En tal caso.
B1,BA1,AB0,BA0,Afinalinicial v.mv.mv.mv.mpp
Existen 3 posibilidades:
a) Choque elástico: no se produce deformación de las masas, con lo que la
energía cinética del sistema se conserva.
b) Choque no elástico: se produce deformación de las masas, con lo que la
energía cinética del sistema no se conserva
c) Choque inelástico: es un tipo de choque no elástico en el que las masas
quedan adheridas tras el choque.