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  • 1. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 1 Curso 2006/07 Problemas de Mec´anica y Ondas II. Bolet´ın N◦ 1 Problema 1.1 Un cilindro de altura h y radio R1 tiene una de sus bases pegada tangen- cialmente, en su centro, a la superficie de una esfera de radio R2. Ambos cuerpos tienen la misma masa M y la misma densidad. Se supone que el centro de masas del sistema completo (cilindro y esfera) est´a en el punto de contacto. Calcule el momento de inercia del sistema respecto a un eje perpendicular al eje de simetr´ıa de aquel y que pasa por el centro de masas (expresar el resultado final en t´erminos de h). Problema 1.2 Un bal´on de radio R rueda sin deslizar hacia adelante a lo largo del pasillo de un tren. Su velocidad respecto al tren es VB y la velocidad del tren respecto a las v´ıas es VT . Indique d´onde se encuentra el centro instant´aneo de rotaci´on del bal´on. Problema 1.3 Una esfera no homog´ena de radio R y densidad ρ(r) = ρ0r/R, siendo r la distancia al centro y ρ0 una constante positiva, se cuelga por un punto fijo de su superficie. Calcule la frecuencia de las peque˜nas oscilaciones cuando su centro se mueve siempre en el mismo plano vertical bajo la acci´on de la gravedad. Problema 1.4 El sistema de la figura consiste en un aro de radio R y una varilla AB de longitud 3R y masa m, estando dicho sistema conte- nido en un plano vertical. El aro est´a fijo, mientras el extremo A de la varilla puede deslizar sin rozamiento a lo largo del aro. La varilla en su movimiento siem- pre pasa por el punto C, interesecci´on del aro con su di´ametro horizontal. Determine la posici´on del cen- tro instant´aneo de rotaci´on. Si en el instante inicial el segmento AC de la varilla est´a situado por encima del di´ametro horizontal, formando con ´el un ´angulo de π/6, y se deja caer la varilla sin velocidad inicial, calcular la velocidad del extremo A de la varilla cuando pasa por la posici´on horizontal. Problema 1.5 Pruebe que la energ´ıa cin´etica de una barra homog´enea de masa m es T = m 6 u 2 + u · v + v 2 , donde u y v son las velocidades de los extremos. Problema 1.6 Halle la energ´ıa cin´etica de un cilindro de masa m, radio R y altura h, que gira con velocidad angular ω constante alrededor de un eje que forma un ´angulo de π/4 con el eje del cilindro y que pasa por su centro de masas, que es un punto fijo. Problema 1.7 Se considera un cono homog´eneo de masa m, altura h, y radio de la base r, sobre el cual se coloca un sistema de referencia con origen en el v´ertice y el eje Z coincidiendo con el eje del cono. Los elementos de la matriz de inercia respecto a estos ejes son Ixx = Iyy = (3m/5)(r2 /4 + h2 ), Izz = (3/10)mr2 y los productos de inercia son nulos. Calcule el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje X que sea tangente a la Universidad Complutense 1
  • 2. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 1 Curso 2006/07 circunferencia de la base. (Dato: El centro de masas de un cono homog´eneo est´a situado a una distancia 3h/4 de su v´ertice). Suponiendo que el v´ertice es un punto fijo, calcule el momento angular L respecto al v´ertice y la energ´ıa cin´etica de rotaci´on T del cono cuando la velocidad angular es ω = ωu, donde u es un vector unitario seg´un la generatriz del cono contenida en el plano XZ. Problema 1.8 Encuentre los momentos principales de inercia de una placa rectangular de masa m y lados a y b. ¿Cu´al es el par que se necesita para hacer rotar la placa alrededor de una de las diagonales con velocidad angular constante ω? Problema 1.9 Un disco homog´eneo de masa m, radio R y espesor despreciable se mueve sin rozamiento alrededor de su centro que permanece fijo. Estudie el movimiento del disco sabiendo que en el instante inicial gira con una velocidad ω que forma un ´angulo de π/4 con el eje del disco. ¿Cu´anto vale el m´odulo del momento angular? Problema 1.10 Un paralelep´ıpedo homog´eneo de masa m, recto, de base cuadrada de lado a y altura h, se mueve en ausencia de fuerzas externas y de modo que el centro O de una de las bases cuadradas es fijo. Sean ˆı, ˆ y ˆk tres vectores ortonormales solidarios con el s´olido y dirigidos seg´un sus aristas, con origen en O, de forma que dicha base est´a en el plano que forman ˆı y ˆ. Los momentos principales de inercia en este sistema de referencia son Ix = Iy = (m/12)(a2 + 4h2 ) y Iz = (m/6)a2 y los productos de inercia son nulos. En dicho sistema de referencia, la velocidad angular inicial es ω0(1, 0, 1). Sabiendo que a = 2 √ 3h, calcule la velocidad angular en un instante t tal que ω0t = π. Problema 1.11 El sistema de la figura est´a constituido por una barra homog´enea y delgada, de longitud y masa m. El extremo A de la barra est´a inicialmente sujeto, de forma que el ´angulo entre la barra y el suelo es 60◦ . El extremo opuesto B de la barra se anuda a una cuerda que pasa por una polea y se suspende una pesa de masa m. Dicho extremo se mueve siempre por la gu´ıa vertical indicada en el dibujo adjunto. Determine la aceleraci´on inicial de la pesa si se rompe el enganche A. Dato: Ic = (1/12)m 2 . Problema 1.12 Una varilla r´ıgida y homog´enea de masa m y longitud 2L est´a inicial- mente en posici´on vertical sobre el suelo, y su centro se mueve a lo largo de una gu´ıa vertical. Si la varilla comienza a caer con velocidad inicial despreciable y sin rozamien- to, determine en funci´on del ´angulo que forma con la horizontal: a) trayectoria del centro instant´aneo de rotaci´on respecto al sistema de referencia no inercial y b) al inercial. c) Cal- cule la energ´ıa cin´etica de la varilla empleando el centro instant´aneo de rotaci´on y d) la velocidad angular al llegar al suelo. Dato: Ic = mL2 /3. Problema 1.13 Una barra homog´enea AB muy delgada, de longitud L y masa m, est´a articulada en el extremo A y unida a un eje vertical, como indica la figura. El eje gira con velocidad angular constante ω = 3g/L. Determine para la barra: Universidad Complutense 2
  • 3. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 1 Curso 2006/07 1. Grados de libertad. 2. Energ´ıa cin´etica en funci´on de las coordenadas ge- neralizadas. 3. Ecuaci´on de movimiento. 4. ´Angulo θ de equilibrio estable. 5. Frecuencia de las oscilaciones peque˜nas en torno a la posici´on de equilibrio. Problema 1.14 Un cilindro inm´ovil de radio R tiene su eje horizontal. Se coloca un segundo cilindro, de masa m y radio R, sobre el primero, de manera que los ejes son paralelos. Inicialmente cilindro se encuentra en la posici´on m´as elevada y comienza a rodar sin deslizar con velocidad angular despreciable. Determine para dicho cilindro: 1. Grados de libertad. 2. Lagrangiano mientras est´a en contacto con el cilin- dro fijo. 3. Posici´on en la que deja de estar en contacto con el cilindro fijo. 4. Momento de las fuerzas que act´uan sobre el cilindro en dicha posici´on respecto al centro del cilindro fijo. Problema 1.15 Un cilindro homog´eneo de masa m, radio R y altura H puede rotar con velocidad angular constante ω alrededor de un eje fijo que pasa por el centro de masas y por los apoyos A y B de la circunferencia de sus caras, seg´un indica el dibujo. Las componentes del tensor de inercia respecto a los ejes cartesianos indicados son Ix = Iy = (1/12)m(3R2 +H2 ) y Iz = (1/2)mR2 , siendo nulos los productos de inercia. Despreciando los efectos de la gravedad, obtenga: 1. Energ´ıa cin´etica del cilindro. 2. Momento de las fuerzas que act´uan sobre los apoyos A y B. 3. Relaci´on entre R y H para que sea nulo el momento aplicado. 4. M´odulo de las fuerzas normales al eje aplicadas sobre los apoyos A y B. Nota: A⊥ = A − n (A · n). Problema 1.16 Un semidisco homog´eneo de masa m y radio R oscila sin deslizar sobre una superficie horizontal, de manera su plano se mantiene vertical. La distancia entre el centro de masas (cm) del semidisco y el centro P es h. El momento de inercia respecto al eje pararalelo a Z que pasa por P es IP = (1/2)mR2 . Determine: Universidad Complutense 3
  • 4. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 1 Curso 2006/07 1. las coordenadas del cm en funci´on de θ, 2. momento de inercia respecto al eje pararalelo a Z que pasa por el cm, 3. el lagrangiano del semidisco y 4. la frecuencia de las peque˜nas oscilaciones cerca de la posici´on de equilibrio (θeq = 0). Problema 1.17 Se coloca un sistema de referencia con origen en el v´ertice de un cono homog´eneo de masa m, altura h, y radio de la base r. El eje Z coincide con el eje de simetr´ıa axial del cono, de manera que los elementos de la matriz de inercia respecto a estos ejes son Ix = Iy = (3m/5)(r2 /4 + h2 ), Iz = (3/10)mr2 y los productos de inercia son nulos. Calcule la energ´ıa cin´etica del cono cuando rueda sin deslizar sobre un plano horizontal. Problema 1.18 El cono del problema anterior se coloca sobre un plano inclinado un ´angulo β respecto a la horizontal. Determine la frecuencia de las peque˜nas oscilaciones en torno a la posici´on de equilibrio estable. (Dato: El centro de masas de un cono homog´eneo est´a situado a una distancia 3h/4 de su v´ertice). Problema 1.19 Obtenga la energ´ıa cin´etica de un cono homog´eneo, de masa m y altura h, cuya base de radio r rueda sin deslizar por un plano horizontal, y cuyo v´ertice es fijo y se encuentra a una altura r sobre el plano. Problema 1.20 Se pretende estudiar la din´amica de una estrella de neutrones que se deforma lentamente. Como la deformaci´on es muy lenta, se puede suponer que la estrella se comporta como un s´olido r´ıgido homog´eneo casi esf´erico durante tiempos cortos. Se utilizan entonces los siguientes momentos principales de inercia: I1 = I2 = I0 1 − 1 2 cos Ωt I3 = I0(1 + cos Ωt) con 1 e I0 = (2/5)mR2 . Simult´aneamente la estrella rota con velocidad angular ω(t). Encuentre y simplifique las ecuaciones del movimiento para las componentes la velocidad angular cuando ω Ω, admitiendo que el momento de las fuerzas externas es nulo. Universidad Complutense 4
  • 5. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 2 Curso 2006/07 Problemas de Mec´anica y Ondas II. Bolet´ın N◦ 2 Problema 2.1 Determine el perfil de la superficie de un l´ıquido en reposo cerca de una pared vertical. ¿Existe alguna escala espacial caracter´ıstica? En caso afirmativo, halle su valor para el agua. Problema 2.2 La figura representa un dep´osito de agua de altura h = 1 m con paredes verticales y planas, abierto en la parte superior. En una de las paredes del dep´osito existe una puerta cuadrada que puede girar en torno a un eje horizontal mediante una bi- sagra A. La longitud de la arista es d = 0,3 m. Determine la fuerza F perpendicular a la puerta que hay que apli- car en el punto m´as bajo para que la puerta no se abra. Discuta cu´al ser´ıa el valor de la fuerza si el dep´osito fuera completamente herm´etico. Problema 2.3 Un peso cil´ıdrico de 5 cm de altura, 5,995 cm de di´ametro y 0,3 kg de masa cae con velocidad constante dentro de un tubo cil´ındrico cuyo di´ametro interior es 6,000 cm. Existe una capa de aceite entre las superficies de ambos cilindros, cuya viscosidad es 7 × 10−3 Nsm−2 . Determine la velocidad l´ımite de ca´ıda del peso, sabiendo que el perfil de velocidad en la capa de aceite es lineal. Problema 2.4 Deduzca el valor de la presi´on en la atm´osfera hasta 12 km de altura, suponiendo que el aire se encuentra en reposo y se comporta como un gas ideal. La temperatura en funci´on de la altura z viene dada por la relaci´on T(z) = T0 − γz, donde T0 es la temperatura en la superficie (z = 0) y γ = 6,5 K/km. Problema 2.5 Un flujo es tal que ui/|u| es independiente del tiempo. Demuestre que las l´ıneas de corriente coinciden con las trayectorias ¿Qu´e se puede decir de un flujo estacionario? Problema 2.6 Un fluido presenta el siguiente campo de velocidades u = − x t0 v = y t + t0 w = zt t0(t + t0) . donde t0 es una constante con dimensiones de tiempo. Determine si se trata de un flujo incompresible e irrotacional. Calcule la trayectoria de una part´ıcula fluida cuya posici´on en t = 0 es (x0, y0, z0) y obtenga las ecuaciones de las l´ıneas de corriente en dicho instante inicial. Problema 2.7 Dos discos horizontales, paralelos y conc´entricos, se acercan uno a otro con velocidad relativa V0 constante. Entre los discos existe un fluido incompresible. Determine la velocidad del fluido en funci´on de la separaci´on de los discos, admitiendo que el flujo es radial y depende exclusivamente de la distancia al eje que une los centros de ambos discos. Universidad Complutense 5
  • 6. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 2 Curso 2006/07 Problema 2.8 La figura muestra la secci´on horizontal de un canal convergente por el que circula un fluido incompresible. El perfil del canal se determina mediante la funci´on Y (x) = Y0/(1+x/l), siendo el canal sim´etrico respecto al plano vertical central y x indica la distancia desde el punto de entrada. En esta expresi´on Y0 y l son constantes con dimensiones de longitud. Calcule la componente y del flujo, v(x, y), sabiendo que la componente x viene dada por u(x, y) = u0 1 + x l 1 − y Y 2 . X Y (x,y) Y(x)=Y0 /(1+x/l) Problema 2.9 Un fluido incompresible presenta un campo de velocidades cuyas compo- nentes cartesianas son las siguientes: u = V0 x/a, v = 0 y w = −V0z/a, donde V0 y a son constantes con las dimensiones apropiadas. Consi- dere un volumen fijo con forma de prisma recto, como el mostrado en la figura. Las caras triangulares son tri´angulos rectagulos, perpen- diculares al eje Y , con catetos de longitud L, mientras que las caras rectangulares tienen una anchura b. Sin emplear la ecuaci´on de con- tinuidad, calcule el caudal a trav´es de la superficie del volumen fijo. Discuta si era esperable el resultado. Problema 2.10 Un dep´osito de aceite se vac´ıa a trav´es de dos planos paralelos, separados por una distancia z0. En la embocadura el flujo presenta un perfil uniforme donde la velocidad es u0 = 8 cm/s, mientras que m´as adelante el perfil es parab´olico, anul´andose en la planos como indica el dibujo. Encuentra la velocidad m´axi- ma umax cuando el perfil es parab´olico, admitiendo que el aceite es incompresible. Problema 2.11 La figura muestra la secci´on horizontal de un canal convergente. En la regi´on central del estrachamiento de longitud L, el flujo a lo largo del eje X a una distancia x de la entrada se expresa por u = u0(1 + x/L)ˆı, siendo u0 constante. Para una part´ıcula fluida que se mueve en la regi´on central, determine: 1. su aceleraci´on, 2. su posici´on y su aceleraci´on en el instante t = L/2u0, si en el instante inicial se encuentra en el origen de coordenadas. Universidad Complutense 6
  • 7. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 3 Curso 2006/07 Problemas de Mec´anica y Ondas II. Bolet´ın N◦ 3 Problema 3.1 Demuestre que la magnitud φ ≡ eijeij − (1/3)( · u)2 es positiva. Problema 3.2 El producto de la densidad por la velocidad de un cierto fluido es ρu = [axˆı−bxyˆ] exp(−λt), siendo a, b y λ constantes con las dimensiones apropiadas. Determine la densidad en funci´on del tiempo en un punto de coordenadas (x0, y0, z0), sabiendo que la densidad en el instante inicial en dicho punto es ρ0. Problema 3.3 Dos superficies planas, horizontales y paralelas est´an separadas por una distancia de 1, 5 cm. Entre ellas se introduce un aceite de viscosidad 0, 05 kg m−1 s−1 y una l´amina rectangular muy delgada de dimensiones 30 × 60 cm2 . Dicha l´amina es paralela a ambas superficies y se encuentra a 1, 0 cm de una de ellas. Determine la fuerza que se necesita para desplazarla por el fluido a 0, 4 m s−1 , manteni´endose paralela a ambas superficies. Admita que no hay gradientes externos de presi´on. Problema 3.4 Un tubo en forma de U est´a compuesto por dos cilindros huecos ver- ticales y un codo semicircular de radio R. Todos ellos tienen un radio interior r que es mucho menor que R. El codo semi- circular est´a lleno de un l´ıquido incompresible de densidad ρ y viscosidad despreciable. Determine la ecuaci´on del movimiento para la altura x del l´ıquido sobre el nivel de equilibrio cuando est´a fuera del equilibrio. Suponga que ˙x es peque˜na, de forma que se cumple aproximadamente la ley de Pascal. Problema 3.5 Utilize el balance de momento en un fluido incompresible para obtener la fuerza neta que act´ua sobre un tubo de corriente estacionaria como el de la figura, donde los di´ametros de las caras circulares son d1 = 20 cm y d2 = 10 cm, el caudal es Q = 0,25 m3 /s y la densidad del fluido ρ = 1000 kg/m3 . La velocidad del fluido en cada una de las caras circulares, u1 y u2, son normales a las mismas, uniformes y forman un ´angulo de 45◦ entre ellas, como se indica en la figura. Problema 3.6 Una taza de 10 cm de altura y 6 cm de di´ametro se encuentra sobre el salpicadero de un autom´ovil, y est´a llena de cafe hasta una altura de 7 cm sobre el fondo. El autom´ovil comienza a desplazarse en l´ınea recta con una aceleraci´on de a = 7 m/s2 . Calcule el ´angulo de inclinaci´on de la superficie respecto a la horizontal cuando se alcance el estado estacionario, indicando si se derramar´a el caf´e. Obtenga la presi´on en el fondo de la taza en el punto donde la altura de caf´e es mayor. La densidad del caf´e es ρ = 1010 kg/m3 . Problema 3.7 Un cubo de agua rota con velocidad angular constante Ω en torno a su eje de simetr´ıa axial, que es vertical. Calcule el perfil de la superficie del agua cuando se alcanza el estado estacionario y todos el fluido rota con velocidad angular Ω. Universidad Complutense 7
  • 8. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 3 Curso 2006/07 Problema 3.8 Dos cilindros conc´entricos verticales contienen un fluido incompresible (densidad ρ) y viscoso (viscosidad µ) entre ellos. El cilindro interno tiene un radio exterior R1 y gira con velocidad angular Ω constante. El cilindro externo tiene un radio interior R2 y permanece fijo. Determine el perfil de velocidad del fluido. Problema 3.9 El campo de velocidades de un fluido incompresible y viscoso tiene por componentes u = Kx, v = −Ky y w = 0, siendo K una constante. Despreciando los efectos de la gravedad, compruebe que el flujo satisface la ecuaci´on de Navier-Stokes, calcule el campo de presiones P(x, y) y su relaci´on con el m´udulo cuadrado de la velocidad u2 + v2 . Problema 3.10 La figura representa una bomba de agua. Una l´amina plana se desplaza con velocidad V0 movida por dos cilindros horizontales. Esta l´amina permite bombear el agua desde el nivel inferior al superior, salvando un desnivel de altura h. El agua se canaliza entre la l´amina y una pared vertical fija, siendo l la distancia entre ambas. Admita que el agua tiene viscosidad µ y densidad ρ constantes, que el vector velocidad del fluido se orienta seg´un el eje Z y que es independiente de la coordenada x. Considere tambi´en que el flujo del agua es estacionario. 1. ¿De qu´e variable(s) depende la velocidad? 2. Escriba la ecuaci´on que describe el movimiento del agua en el canal. 3. Demuestre que la presi´on es uniforme en los planos horizontales. 4. La presi´on P0 en la superficie libre de ambos niveles es igual, por lo que se puede suponer que el gradiente de presi´on es nulo. Escriba la ecuaci´on diferencial que rige la velocidad y resu´elvala para las condiciones del problema. Problema 3.11 Un fluido newtoniano e incompresible, de densidad ρ y viscosidad µ, se mueve entre dos planos pa- ralelos horizontales separados una distancia d, como indica el dibu- jo. El plano inferior se encuentra en reposo mientras que el superior se desplaza con velocidad constan- te V = V0 . Adem´as se aplica un gradiente de presi´on uniforme de manera que ∂P ∂x = K mientras que ∂P ∂y = 0. Demuestre que la ecuaci´on de Navier-Stokes en estado estacionario admite una soluci´on de la forma u = u(z) ı+v(z) , y encuentre ∂P ∂z , u(z) y v(z). Problema 3.12 El chorro de agua del Parque Ferial Juan Carlos I est´a alimentado por una canalizaci´on muy grande de radio b = 0,5 m. El radio del orificio de salida es a = 0,1 m y el caudal del chorro es Q = 500 l/s. Universidad Complutense 8
  • 9. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 3 Curso 2006/07 1. ¿Cu´al es la velocidad V0 con la que sale el chorro del orificio? 2. Si se desprecia el rozamiento, ¿cu´al es la altura que alcanza el chorro? 3. ¿Cu´al es la presi´on que suministra la bomba in- cluida en la canalizaci´on? Considere que la ve- locidad del fluido en la entrada de la bomba es despreciable (Ve 0) y que ´esta se encuentra muy cerca de la superficie. Problema 3.13 Se vierten 80 de agua en un recipiente cil´ındrico de radio R = 20 cm, siendo la presi´on por encima del l´ıquido la atmosf´erica, Patm. En un cierto instante se abre un peque˜no orificio B circular de secci´on SB = 15 mm2 , situado en el fondo del recipiente. Admitiendo que el vaciado se lleva a cabo de manera muy lenta, determine: 1. La ecuaci´on de evoluci´on para la altura del agua en el recipiente, zc(t), medida desde el orificio B. 2. El tiempo que tarda en vaciarse la mitad del recipiente. Problema 3.14 Un canal de h = 2 m de profundidad transporta agua a una velocidad V1 en r´egimen estacionario. En un cierto punto del trayecto existe una elevaci´on del fondo de d = 30 cm de altura. En dicho punto se observa una depresi´on de d = 10 cm de la superficie del agua. Determine el valor de V1, admitiendo que los efectos de la viscosidad se pueden despreciar. Problema 3.15 Un fluido incompresible, de densidad ρ = 103 kg/m3 y sin viscosidad, se mueve por el canal curvo mostrado en la figura. El movimiento del fluido puede describirse mediante un campo de velocidades bidimensional, cuya funci´on de corriente es Ψ = 4x(y+ 2), donde las unidades est´an referidas al SI. Determine: 1. El campo de velocidades. 2. La funci´on potencial del movimiento ϕ (poten- cial velocidad). 3. El caudal m´asico que tiene, sabiendo que las coordenadas de los puntos A y B son: A → (5, 0) y B → (5, 2), y que la profundidad del canal es h = 1 m. Universidad Complutense 9
  • 10. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 3 Curso 2006/07 Problema 3.16 Considere un flujo cuyas componentes de la velocidad en el SI vienen dadas por u = 0, v = −y3 − 4z, y w = 3y2 z ¿Es incompresible? ¿Existe la funci´on de corriente? Determ´ınela en caso afirmativo. Problema 3.17 Determine anal´ıticamente la velocidad l´ımite de una esfera de radio R en el viscos´ımetro de Stokes, cuando la viscosidad del fluido es µ. Desprecie cualquier efecto relacionado con las paredes del viscos´ımetro. Problema 3.18 La f´ormula de Stokes para la velocidad l´ımite de la esfera es v´alida siempre que el n´umero de Reynolds sea inferior a la unidad. Se deja caer una esfera de densidad ρe = 1,5 g/cm2 en un viscos´ımetro con glicerina (ρl = 1,26 g/cm3 y µ = 23,3 g/cm s). Determine el valor m´aximo del radio de la esfera para que la f´ormula de Stokes sea v´alida. Problema 3.19 Lejos de un sumidero, el campo de velocidades de un fluido tiene las siguientes componentes: u = −Ay/(x2 +y2 ), v = Ax/(x2 +y2 ) y w = 0, siendo A constante. 1. Obtenga las l´ıneas de corriente y trayectorias de las part´ıculas fluidas. 2. Discuta si existe la funci´on de corriente y en caso afirmativo obt´engala. 3. Calcule la aceleraci´on de las part´ıculas fluidas. Problema 3.20 Un fluido incompresible de densidad ρ y viscosidad µ se encuentra situado entre dos planos horizontales separados una distancia d. El plano superior se mueve con velocidad horizontal V0 cos ωt. Calcule el perfil de velocidad del fluido en ausencia de gradientes externos de presi´on, admitiendo que la componente horizontal de la velocidad es de la forma u(y, t) = V0 [f(y) cos ωt + g(y) sen ωt], donde y es la coordenada vertical. Universidad Complutense 10
  • 11. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 4 Curso 2006/07 Problemas de Mec´anica y Ondas II. Bolet´ın N◦ 4 Problema 4.1 Dos barras homog´eneas y muy delgadas, de longitud y masa m, est´an unidas mediante un muelle ideal de constante recuperadora k y longitud natural , como indica la figura. Los extremos opuestos de las barras se enganchan a sendas argollas de masa despre- ciable, que se introducen en una peque˜na gu´ıa, perpendicular al plano de movimiento horizontal. Calcule la posici´on de equilibrio y las frecuencias normales del sistema. Problema 4.2 Dos part´ıculas de masas 4m y m cuelgan de un mismo punto mediante sendos hilos inextensibles y sin masa de longitudes l y 2l respectivamente. Ambas masas est´an unidas a trav´es de un muelle de longitud natural despreciable y constante recupe- radora k = 3gm/8l. Suponiendo que el movimiento s´olo se produce en el plano vertical, obtenga las frecuencias normales de vibraci´on as´ı como las coordenadas normales. Problema 4.3 Dos p´endulos de la misma masa m y longitud l est´an acoplados mediante un muelle de constante k que une dos puntos situados a una distancia a de los respectivos puntos de suspensi´on. Halle los modos y coordenadas normales de vibraci´on suponiendo que la longitud natural del muelle l0 es igual a la distancia entre los puntos de suspensi´on de los p´endulos. Problema 4.4 Un aro r´ıgido de masa 2m y radio R puede rotar sin deslizar sobre una l´ınea recta horizontal. Una part´ıcula P de masa m puede moverse sin rozamiento a lo largo del aro. Determine las frecuencias de las peque˜nas oscilaciones en torno a la posici´on de equilibrio. Problema 4.5 Un aro de radio R y masa m puede oscilar en un plano vertical suspendido de un punto fijo situado en su periferia. Una masa m est´a ensartada en el aro, de manera que se puede mover sin rozamiento a lo largo del mismo. Determine el Lagrangiano del sistema cerca de la posici´on de equilibrio y las frecuencias normales. Problema 4.6 Halle las frecuencias normales de oscilaci´on de una cadena circular y horizontal formada por N = 3 masas equidistantes iguales enlazadas mediante muelles id´enticos de constante recuperadora k. Generalice el resultado al caso de N arbitrario. Problema 4.7 Consid´erese el sistema de la figura movi´endose en un plano horizontal sin rozamiento. La masa m1 = m se mueve por una gu´ıa perpendicular a las paredes. Est´a conectada al extremo de una barra de masa mb = 6m y longitud l mediante un pivote. El otro extremo de la barra pivota en la masa m2 = m. La longitud natural de los muelles es l0 y la separaci´on entre ambas paredes es 2l0. Calcular las frecuencias y las coordenadas normales del sistema. Universidad Complutense 11
  • 12. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 4 Curso 2006/07 Problema 4.8 Una barra homog´enea y delgada, de longitud 2l y masa m, se mueve en un plano horizontal entre dos l´ıneas paralelas indefinidas separadas por una distancia 2a (a > l). Cada l´ınea ejerce una fuerza atractiva sobre cada uno de los extremos de la barra, en direcci´on perpendicular a la l´ınea, siendo el m´odulo de la fuerza proporcional a la distancia de separaci´on entre el correspondiente extremo y dicha l´ınea. Calcular la posici´on de equilibrio estable, las frecuencias y las coordenadas normales de la barra. Problema 4.9 Tres gu´ıas fijas y horizontales est´an unidas en un mismo v´ertice, formando un ´angulo relativo entre ellas de 120o . En dos de ellas se ensartan dos part´ıculas de la misma masa m. Tres muelles iguales de longitud natural l y constante recuperadora k unen a las part´ıculas y a su vez dos de ellos est´an unidos r´ıgidamente por uno de sus estremos a un punto de la tercera gu´ıa que est´a separado una distancia l/ √ 3 del v´ertice. Calcular la posici´on de equilibrio del sistema as´ı como las frecuencias normales. Problema 4.10 Dos masas iguales m est´an ensartadas en un aro r´ıgido y vertical de radio R. Un muelle ideal de constante recuperadora k y longitud natural une ambas part´ıculas. Determine para que la separaci´on de equilibrio entre ambas part´ıculas sea R y calcule las frecuencias normales de vibracion en ese caso. Problema 4.11 Una barra homog´enea y muy delgada, de longitud y masa m, est´a unida a sendos muelles ideales de constante recuperadora k y longitud natural despreciable. El conjunto se mueve sobre un plano horizontal. Se coloca una argolla, de masa despreciable, en el extremo opuesto de cada muelle. Se introduce una peque˜na gu´ıa P en ambas argollas, y aquella se coloca fija y perpendicular al plano de movimiento, como indica la figura. Desprecie cualquier tipo de rozamiento y determine para este sistema: 1. Grados de libertad y posici´on de equilibrio. 2. Lagrangiano cerca de dicha posici´on. 3. Frecuencia normales de vibraci´on. 4. Coordenadas normales. Problema 4.12 Una mol´ecula diat´omica se encuentra confinada en una trampa magn´eti- ca. Para describir sus modos de vibraci´on longitudinales se propone un modelo donde ambos ´atomos se consideran part´ıculas cl´asicas unidas por un muelle de longitud natural y constante recuperadora k. Adem´as, se admite que los dos ´atomos se mueven sobre la misma l´ınea recta. El potencial de confinamiento de la mol´ecula se sustituye por otro de la forma (1/2)k (x2 1 + x2 2), siendo xi la posici´on de cada ´atomo respecto a centro de la trampa sobre la recta de movimiento y k > 0. Determine 1. Grados de libertad de la mol´ecula en este modelo. 2. Posici´on de equilibrio. 3. Lagrangiano cerca de la misma. 4. Frecuencias normales. Universidad Complutense 12
  • 13. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 4 Curso 2006/07 Problema 4.13 Un disco homog´eneo de masa m y radio R puede girar alrededor del eje ZI, que es perpendicular a su plano y pasa por su centro, C. El centro del disco, que puede moverse a lo largo de dicho eje, se une a un muelle ideal de longitud natural y constante k. El extremo opuesto del muelle se une a un punto A de coordenadas (0, 0, ). Un segundo muelle, tambi´en de constante k pero longitud natural despreciable, une el punto B en el per´ımetro del disco con un punto D de coordenadas (0, R, 0). Despreciando los efectos de la gravedad y el rozamiento, determine para el disco: 1. Grados de libertad. 2. Posici´on de equilibrio y Lagrangiano cerca de la misma. 3. Frecuencias normales. 4. Coordenadas normales. Problema 4.14 Un disco homog´eneo de masa m y radio R puede rotar sin deslizar en movimiento plano sobre una cu˜na de masa M cuyo plano inclinado forma un ´angulo α con la horizontal, como indica la figura. A su vez, la cu˜na puede moverse por un plano horizontal. El eje del disco se une a un muelle ideal de longitud natural 0 y constante k. El extremo opuesto del muelle se une r´ıgidamente a la cu˜na. Despreciando el rozamiento y cualquier movimiento en la direcci´on perpendicular al plano del dibujo, determine para el sistema: 1. Grados de libertad. 2. Posici´on de equilibrio. 3. Lagrangiano cerca de la misma. 4. Frecuencias normales. Problema 4.15 En la figura se muestra una polea, que se puede tratar como un disco homog´eneo de masa m y radio R. Una gu´ıa le permite moverse s´olo en la direcci´on vertical, adem´as de girar sobre su eje. La polea est´a sujeta por una cuerda cuyos extremos se unen a sendos muelles ideales de constante recuperadora k y longitud natural l. Si la cuerda no desliza por la polea, determine las frecuencias y las coordenadas normales del sistema. Describa c´omo son los modos normales de vibraci´on. Problema 4.16 Una part´ıcula de masa m est´a unida a dos muelles ideales de longitud Universidad Complutense 13
  • 14. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 4 Curso 2006/07 natural l y constante recuperadora k/2. Todo el sis- tema est´a montado sobre un bloque de madera de longitud 2l y masa 2m. Cuando se sujeta el bloque se observa que el periodo de las oscilaciones de la part´ıcula es τ. Calcule la distancia recorrida por el bloque para t = τ/ √ 24 cuando se dejan partir del reposo tanto el bloque como la part´ıcula y ´esta se la ha separado una distancia a de su posici´on de equilibrio. Problema 4.17 El sistema de la figura consta de tres muelles de constante recuperadora k y dos masas de valor m que se mueven sobre la misma recta horizontal. El extremo del muelle m´as externo se desplaza una distancia r(t). Las ecua- ciones del movimiento para los desplazamientos son ¨x1 +2α2 x1 −α2 x2 = 0 y ¨x2 +2α2 x2 −α2 x1 = α2 r(t), siendo α2 ≡ k/m. Se sabe que cuando r(t) = A sen ωt existen soluciones particulares de la forma xi(t) = Ai sen ωt (i = 1, 2). Encuentre A1 y A2 en funci´on de ω y explique qu´e fen´omeno f´ısico aparece cuando ω = α ´o ω = √ 3 α. Universidad Complutense 14
  • 15. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 5 Curso 2006/07 Problemas de Mec´anica y Ondas II. Bolet´ın N◦ 5 Problema 5.1 Una cuerda con tensi´on T0 y densidad lineal µ1 est´a unida a otra de densidad lineal µ2 mediante un nudo sin masa. Calcular la reflexi´on y transmisi´on de una onda sinusoidal incidente en el nudo. Compruebe que la potencia incidente es igual a la transmitida m´as la reflejada. Problema 5.2 Dos cuerdas muy largas, con la misma densidad lineal de masa µ, se anu- dan a un peque˜no objeto de masa m. Gracias a una gu´ıa, el objeto s´olo se puede mover sin rozamiento sobre una recta perpendicular a los dos segmentos, que est´a sometidos a la misma tensi´on T0. 1. Discuta cu´ales son las condiciones de contorno de las ondas de peque˜na amplitud en la discontinuidad. 2. Obtenga los coeficientes de reflexi´on y transmisi´on de ondas arm´onicas de la forma exp[i(ωt κx)]. 3. Discuta el significado de dichos coeficientes cuando m → ∞ y cuando m → 0. Problema 5.3 Una onda sonora unidimensional en un medio dispersivo es la superposi- ci´on de dos ondas monocrom´aticas de n´umeros de onda k1 = 6,0 m−1 y k2 = 5,8 m−1 . La amplitud de ambas es 2 × 10−3 cm y la relaci´on de dispersi´on del medio viene dada por ω2 = v2 k2 + α2 , siendo v = 500 m s−1 y α = 300 s−1 . 1. Escriba la ecuaci´on de ambas ondas monocrom´aticas y la resultante de la superpo- sici´on. 2. Calcule la velocidad de fase y la velocidad de grupo de dicha onda resultante. Problema 5.4 Una cuerda de piano con cierta rigidez a la flexi´on tiene una ecuaci´on de evoluci´on para las ondas que se producen al pulsarla dada por v2 ∂2 u ∂x2 − β2 ∂4 u ∂x4 = ∂2 u ∂t2 . 1. Calcule la relaci´on de dispersi´on, la velocidad de fase y la velocidad de grupo. 2. Calcule los modos normales de una cuerda de longitud L sujeta por ambos extremos. Problema 5.5 Encuentre la variaci´on relativa de la frecuencia del d´ecimo modo normal de una cuerda de piano con rigidez a la flexi´on en relaci´on a una cuerda ideal sin rigidez. Tome como valores t´ıpicos β/v = 10−2 m y L = 1 m. Universidad Complutense 15
  • 16. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 5 Curso 2006/07 Problema 5.6 La ecuaci´on de ondas de un sistema f´ısico unidimensional es ∂2 u ∂t2 = α2 ∂2 u ∂x2 − β2 ∂4 u ∂x4 − γ2 u . ¿Cu´al debe ser la longitud de onda para que la velocidad de fase y de grupo coincidan? Problema 5.7 Calcule la energ´ıa necesaria para hacer que una cuerda de longitud L y masa m, cuyos extremos est´an fijos y est´a sometida a una tensi´on T0, vibre en uno de sus modos normales. Realice tambi´en el c´alculo para una onda arbitraria sobre la misma cuerda. Problema 5.8 Una cuerda de longitud L est´a sujeta por ambos extremos y sometida a una tensi´on T0. Se empuja lateralmente una distancia h en su centro y despu´es se deja que vibre. Determine la energ´ıa de las oscilaciones. Problema 5.9 Una cuerda de longitud L est´a sometida a la acci´on de una fuerza externa de forma que la que las ondas resultantes satisfacen la ecuaci´on 1 v2 ∂2 ψ ∂t2 = ∂2 ψ ∂x2 + F cos ωt , siendo F y ω constantes. Suponiendo que la soluci´on es de la forma ψ(x, t) = y(x) cos ωt, con y(0) = 0, y (0) = 0 y que ω = 2πv/L, halle el valor de y(x). Problema 5.10 Una onda arm´onica de amplitud A1 viaja por una cuerda de densidad lineal de masa µ1. En una regi´on larga de la cuerda, de mucha mayor extensi´on que la longitud de onda, la densidad lineal cambia suavemente hasta un valor µ2. En tal caso se puede demostrar que la onda no se refleja. Determine la amplitud de la onda al atravesar dicha regi´on. Problema 5.11 Un pulso de ecuaci´on ψ(x, t) = ψ0 sech x − vt x0 se propaga por una cuerda de densidad lineal de masa µ y tensi´on T0. Sabiendo que x0 = 1 m, T = 10 N y la amplitud del pulso es ψ0 = 1 cm, calcule la energ´ıa que transporta el pulso. Problema 5.12 Considere una onda estacionaria en una cuerda de densidad lineal de masa µ y longitud L con extremos fijos, sometida a una tensi´on T0. Determine el m´aximo de la densidad de energ´ıa cin´etica en un vientre (antinodo) y el m´aximo de la densidad de energ´ıa potencial en un nodo cuando se observa que s´olo existe un nodo, siendo A la amplitud de la onda. Problema 5.13 Una onda plana de frecuencia ν = 50 Hz viaja por una cuerda de densidad lineal de masa µ = 0,10 kg/m que se encuentra bajo una tensi´on T0 = 40 N. La onda entra en una regi´on donde existe una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad transversal de la cuerda, siendo la constante de proporcionalidad β = 0,10 Ns/m2 . Demuestre que se cumple la condici´on de atenuaci´on d´ebil y encuentre la Universidad Complutense 16
  • 17. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 5 Curso 2006/07 longitud de atenuaci´on. Determine la amplitud y la fase de la onda reflejada respecto de los mismos par´ametros de la onda incidente. Problema 5.14 Determine el espectro de frecuencias en x = 0 de un pulso gaussiano ψ(x, t) = ψ0 exp[−(x − vt)2 /x2 0], donde ψ0, x0 y v son constante. ¿Qu´e relaci´on hay entre la anchura temporal del pulso y la anchura del espectro de frecuencias? Universidad Complutense 17
  • 18. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 6 Curso 2006/07 Problemas de Mec´anica y Ondas II. Bolet´ın N◦ 6 Problema 6.1 La relaci´on de dispersi´on de ondas superficiales en aguas profundas es ω2 = gk + (σ/ρ)k3 , donde g es la gravedad, σ la tensi´on superficial del agua y ρ la densidad. Cuando se realizan experimentos en agua pura (σ = 70 din/cm) se observa que para una cierta longitud de onda λc las velocidades de fase y de grupo son iguales. Al a˜nadir jab´on al agua cambia la tensi´on superficial pero la densidad pr´acticamente no se modifica. Entonces se observa que las velocidades de fase y de grupo son iguales para una longitud de onda igual a λc/ √ 2. Calcule la tensi´on superficial del agua jabonosa. Problema 6.2 Un cantante de ´opera canta en el rango de frecuencias de 100 Hz a 300 Hz mientras se ducha en un recinto de dimensiones 1,0 m × 1,0 m × 2,0 m. Si la velocidad del sonido en aire h´umedo es 350 m/s, determine las frecuencias mejor audibles. Problema 6.3 Un altavoz muy peque˜no emite ondas esf´ericas, de manera que el exceso de presi´on sobre el valor en equilibrio viene dado por p(r, t) = A r ei(κr−ωt) . Despreciando la viscosidad del aire y los efectos de la gravedad, obtenga la impedancia ac´ustica del medio y su valor l´ımite cuando κr 1. Suponga tambi´en que la advecci´on es despreciable, lo que es correcto cuando la sensaci´on sonora es inferior a 110 dB. Problema 6.4 Obtenga la densidad de energ´ıa promedio (promediada sobre un periodo) para ondas sonoras planas. Admita que el aire se comporta como un gas ideal de manera que PV γ = cte. Problema 6.5 En la mayor parte de los altavoces de los equipos de alta fidelidad existe una salida en forma de embudo, cuya secci´on transversal crece desde el interior hacia el exterior. Para estudiar el efecto que sobre el sonido tiene este tipo de salidas, se propone un modelo unidimensio- nal donde el ´area de la secci´on transversal crece de forma exponencial, A(x) = A0 exp(2x/ ), siendo x es la coordenada a lo largo de la direcci´on de propagaci´on de la onda. Se puede demostrar que la ecuaci´on de ondas es ∂2 ψ ∂t2 = v2 ∂ ∂x 1 A ∂ ∂x (Aψ) . Aqu´ı v es la velocidad del sonido en aire libre. Tomando como valores t´ıpicos v = 340 m/s y = 0, 4 m, obtenga la frecuencia de corte de esta salida. Problema 6.6 Se pretende resolver num´ericamente la ecuaci´on de ondas en un medio no dispersivo unidimensional con velocidad de fase v. Para ello se define un mallado discreto xn = nh, donde h es el espaciado en el mallado. Introduciendo la notaci´on ψ(xn, t) ≡ ψn(t) se obtiene la siguiente ecuaci´on 1 v2 ∂2 ψn ∂t2 = 1 h2 ψn+1 + ψn−1 − 2ψn . Universidad Complutense 18
  • 19. Mec´anica y Ondas II Bolet´ın N◦ 6 Curso 2006/07 1. Compruebe que admite una soluci´on en onda monocrom´atica de la forma ψn = Aei(κxn−ωt) . 2. Encuentre la relaci´on de dispersi´on e indique si tras la discretizaci´on el medio sigue siendo no dispersivo. 3. Estudie la relaci´on de dispersi´on en el l´ımite h → 0. Problema 6.7 Considere una cadena de p´endulos no lineales de masa m acoplados por muelles ideales. El Hamiltoniano del sistema es H = n 1 2 I ˙θ2 n + 1 2 β (θn+1 − θn)2 + 1 2 mgL(1 − cos θn) siendo L la longitud de cada p´endulo, I = mL2 y β una constante. Cuando la separaci´on a entre ellos es peque˜na, el ´angulo respecto a la vertical de un p´endulo que ocupa la posici´on x viene determinado por la ecuaci´on sine-Gordon ∂2 θ ∂t2 − v2 0 ∂2 θ ∂x2 + ω2 0 sen θ = 0 , v2 0 = βa2 I , ω2 0 = mgL 2I cuya soluci´on en forma de escal´on (kink) es θ(x − vt) = 4 arctan  exp   ω0 v0 x − vt 1 − v2/v2 0     Calcule la energ´ıa del kink en la cadena de p´endulos acoplados. Problema 6.8 Considere una cadena de p´endulos no lineales de masas variables mn = mf(n) acoplados por muelles ideales, donde f(n) es una funci´on conocida. El Lagrangiano del sistema es L = n 1 2 I ˙θ2 n − 1 2 β (θn+1 − θn)2 − 1 2 mgL(1 − cos θn)f(n) Se propone la siguiente soluci´on a la ecuaci´on de movimiento cuando la separaci´on entre los p´endulos es muy peque˜na: θ(x, t) = 4 arctan exp ω0 v0 [x − z(t)] que describe un kink lento centrado en z(t). Encuentre la ecuaci´on de movimiento para la coordenada colectiva z(t). Universidad Complutense 19