3 medidas de tendencia central y de dispersion

Núcleo Monagas, Campus Juanico
Postgrado en Agricultura Tropical
Universidad de Oriente
Ramón Silva-Acuña (Ph. D)
Renny Barrios M. (M. Sc.)
Maturín, Mayo 2015
Estadística Descriptiva:
Medidas de tendencia central y de dispersión

Unidad I. Estadística Descriptiva
Tema 3. Medidas de tendencia central
Media aritmética, mediana, moda, cuantiles.
Tema 4. Medidas de dispersión o de variabilidad
Rango, desviación estándar, varianza, coeficiente
de variación, intervalos de confianza.

• Estadística: Descriptiva e inferencial
a la recolección
Presentación
descripción
análisis e interpretación de una colección de datos
• Resumirlos con elementos de información (medidas
• descriptivas): que caracterizan la totalidad de las
• observaciones.
Y poder elaborar las propias conclusiones

Estadística inferencial
Generalizaciones
del todo
(POBLACIÓN)
Partiendo de lo
especifico
(MUESTRA)
PROCESO PARA LOGRAR
Con riesgos
implícitosCondiciones:
1- Representatividad de la muestra
2- Calidad de la información
3- La probabilidad de riesgo
De la clase anterior

Medidas de tendencia central
• ¿Que significa una temperatura promedio de 21°C?
• Es una medida vaga pero informativa, asociarla con
una de dispersión en publicaciones científicas.
• Medidas de tendencia central
– Moda
– Mediana
– Cuantiles
• La medida de tendencia central mas común y la
mejor en muchos casos es la media aritmética

• Que es la moda: el valor que ocurre con mas
frecuencia en una muestra o en una
población. El investigador muestra el tipo de
observación que ocurre con mas frecuencia
• Caso ocurra distribución de Poisson la moda
y la media serian iguales
• Distribución binomial la moda y la media
están relacionadas, son diferentes

Escor (% de correctos) Frecuencia
58 2
60 2
62 3
64 2
66 3
67 4
68 1
69 1
70 1
93 5
( La moda )

Ventajas de la moda
 Permite visualizar cuando dos o más grupos
distintos aparecen en un mismo grupo de datos.
(Distribuciones bimodales, trimodales)
 Cuando un valor predomina es fácil de detectar

Desventajas de la moda
 No provee información referente a la distribución
de frecuencia de un grupo de datos
 No siempre existe
 Pueden existir dos modas o sea dos grupos de
valores con la misma frecuencia
 Es insensible a la presencia de valores
extremos

• La mediana (Posición)
• Es una medida de tendencia central que divide los datos en
partes iguales, tanto hacia arriba como hacia abajo
• Para su calculo es necesario organizar los datos de mayor a
menor
• El numero de datos puede ser par o impar
• Si el numero de datos es par

2

2
1
2
• Si es impar el calculo se realiza de la siguiente manera

1
2
• Donde n representa el numero de datos

La mediana
• Caso que el numero de datos sea par,
la mediana es el valor promedio de los
dos valores centrales
• La media y la mediana son mas
confiables porque están próximas al
lugar donde se encuentran la mayoría
de las observaciones

Calculo de la mediana
Planta Altura
1 2,06
2 2,05
3 2,00
4 2,00
5 1,95
6 1,90
7 1,80
8 1,71
9 1,70
10 1,70
Para datos pares. N = 10
ó

Calculo de la mediana
Planta Altura
1 2,06
2 2,05
3 2,00
4 2,00
5 1,95
6 1,90
7 1,80
8 1,71
9 1,70
Para datos pares. N = 10

Ventajas de la mediana
• No es muy sensible a la presencia de valores
extremos
• Reduce el efecto de valores extremos para obtener
un valor representativo de centro

Desventajas de la mediana
 Sensible al tamaño del conjunto de datos
 Implica ordenar los datos
 Insensible a la magnitud de los valores

• La necesidad de que ambos tipos de
medidas estén asociadas (tendencia central
y e dispersión) donde se presenten
La media
• Es la medida de tendencia central mas
utilizada es conocida también como media
aritmética.
• La media de una muestra es una estimativa
de la media de la población.
• La diferencia entre una muestra y una
población

• La media aritmética o simplemente la media
+ + + + ……+ )/n

Características de la media
• De las medidas de tendencia central es la
mas confiable, porque ella tiende a variar
menos entre muestras de una misma
población
• Para cualquier distribución, la media es el
punto alrededor del cual todos los valores de
Xi se concentran.
• La suma de los desvíos alrededor de la
media es cero

La suma de los desvíos entorno a la media es
igual a cero
Xi Xi - X
65 (65 – 78) = -13
73 (73 – 78) = -5
77 (77 – 78) = -1
85 (85 – 78) = 7
90 (90 – 78) = 12
 = 0
Rehacer el ejercicio empleando un valor mayor o menor a la media (79 y 76)

La suma de los desvíos entorno a la media es
igual a cero
Xi Xi - X
65 (65 – 79) = -14
73 (73 – 79) = -6
77 (77 – 79) = -2
85 (85 – 79) = +6
90 (90 – 79) = +11
 = - 5

Ventajas de la media
 Extrae el máximo de información de un
conjunto de datos
 Siempre existe
 Es fácil de calcular

Desventaja de la media
• Se ve seriamente afectada por valores extremos en
un conjunto de datos

CUANTILES
• Un cuantil es una medida de posición que
permite determinar que valor de un grupo de
datos es de tal forma que sólo cierto porcentaje
del total de datos está por debajo de dicho valor.

CUANTILES
• Los cuantiles más utilizados son:
• Cuartiles: dividen un conjunto de datos
en subgrupos de 25
• Deciles: dividen un conjunto de datos
en subgrupos de 10
• Percentiles: dividen un conjunto de
datos en subgrupos de 100

CUANTILES
Las fórmulas para cálculo de estos cuantiles son
(Datos no agrupados):
2
1
4

 knk XQ
2
1
10

 knk XD
2
1
100

 knk XP
PercentilesDecilesCuartiles
Donde: k = Cuantil a calcular
n = número de datos

CUANTILES
Como el cálculo es sobre las posiciones de los valores al
ordenarlos de manera ascendente se debe tomar en
cuenta lo siguiente:
• Si la posición calculada es un número entero se toma el
valor que guarda dicha posición.
• Si la posición calculada es un número con decimales
entonces se toma el entero superior próximo.

Ejemplos
Para el siguiente conjunto
de datos obtener.
El cuartil 1 y 3.
El decil 3.
El percentil 95.
n = 70
89 94 96 99 103 107 109
90 94 97 99 103 107 110
90 95 97 99 104 107 110
90 95 97 100 104 108 111
91 95 97 101 104 108 111
92 95 97 101 105 108 112
92 95 97 102 106 108 114
92 96 98 102 106 108 117
92 96 99 102 106 109 117
93 96 99 103 106 109 1202
1
4

 knk XQ
9618
2
1
4
)70)(1(1 

XXQ

Ejemplos
de datos obtener.
El cuartil 1 y 3.
El decil 3.
El percentil 95.
n = 70
89 94 96 99 103 107 109
90 94 97 99 103 107 110
90 95 97 99 104 107 110
90 95 97 100 104 108 111
91 95 97 101 104 108 111
92 95 97 101 105 108 112
92 95 97 102 106 108 114
92 96 98 102 106 108 117
92 96 99 102 106 109 117
93 96 99 103 106 109 1202
1
4

 knk XQ
10753
2
1
4
)70)(3(1 

XXQ

Ejemplos
de datos obtener.
El cuartil 1 y 3.
El decil 3.
El percentil 95.
n = 70
89 94 96 99 103 107 109
90 94 97 99 103 107 110
90 95 97 99 104 107 110
90 95 97 100 104 108 111
91 95 97 101 104 108 111
92 95 97 101 105 108 112
92 95 97 102 106 108 114
92 96 98 102 106 108 117
92 96 99 102 106 109 117
93 96 99 103 106 109 1202
1
10

 knk XD
97225.21
2
1
10
)70)(3(3 

XXXD

Ejemplos
de datos obtener.
El cuartil 1 y 3.
El decil 3.
El percentil 95.
n = 70
89 94 96 99 103 107 109
90 94 97 99 103 107 110
90 95 97 99 104 107 110
90 95 97 100 104 108 111
91 95 97 101 104 108 111
92 95 97 101 105 108 112
92 95 97 102 106 108 114
92 96 98 102 106 108 117
92 96 99 102 106 109 117
93 96 99 103 106 109 1202
1
100

 knk XP
11467
2
1
100
)70)(95(
2
1
100


XXXP knk

• La probabilidad de tener un accidente de tráfico
aumenta con el tiempo que pasas en la calle. Por tanto,
cuanto mas rápido circules, menor es la probabilidad de
que tengas un accidente.
• El 33% de los accidentes mortales involucran a alguien
que ha bebido. Por tanto, el 67% restante ha sido
causado por alguien que no había bebido.
Datos curiosos
Entonces, está claro, que la forma mas
segura de conducir es ir borracho y a gran
velocidad!!!

MEDIDAS DE DISPERSIÓN
• La varianza
• La desviación estándar
• La amplitud
• El error estándar de la media
• El coeficiente de variación

Media es igual a 10
8 8 9 10 11 12 12
5 6 8 10 12 14 15
1 2 5 10 15 18 19
Las medidas de tendencias central solo proporcionan
un resumen parcial de la información de un conjunto
de datos; por lo tanto, es evidente que debe estar
acompañada de una medida de dispersión
• Las medias, similar a otras medidas de tendencia
central no nos dice nada de la variación

8 9 10 10 10 11 12
5 7 9 10 11 13 15
1 5 8 10 12 15 19
8 8 9 10 11 12 12
5 6 8 10 12 14 15
1 2 5 10 15 18 19
• En ambos cuadros el valor promedio es 10
• Observe que ambos grupos tienen dispersiones de 4,
10 y 18
• El primer conjunto presenta mas dispersión en los
extremos
• En el segundo grupo hay mayor concentración hacia la
media
Grupos de datos [La varianza]

La varianza
• Parece deseable tener una definición que utilice todas las
observaciones y que proporcione un valor pequeño cuando
estas se encuentren alrededor de la media y un valor grande
Cuando estén muy dispersas
• Sean los números: 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15
• De acuerdo con nuestra definición estos números no son mas
variables que los números: 105, 106, 108, 110, 120, 140, 115
• Así, nuestra definición no depende del tamaño de los números
en el sentido de relacionar la medida de la dispersión con la
media, dará el mismo valor para los dos conjuntos de datos

s2
=
+(X1 – X ) 2 ( X2 – X )2+ ( Xi –Xn )2
n – 1
s2
=
( Xi – X )
2
n – 1
∑
La Varianza
• La medida numérica de dispersión resultante debe
admitir interpretación en términos de observaciones.
La unidad de la medida debe ser la misma.
• La mejor medida de dispersión y la mas
generalizada es la varianza o su raíz cuadrada la
desviación estándar.

X
3, 6, 8 y 11 s2
=
( Xi – X )
2
n – 1
∑
X = 7
(3 - 7)2 + (6 - 7)2 + (8 - 7)2 + (11 - 7)2
(- 4)2 + (- 1)2 + (- 1)2 + (- 4)2
16 + 1 + 1 + 16
Veamos este ejemplo de calculo de varianza
34 / 3 = 11,33

Otra manera de presentarlo
s2
=
( xi – X )
2
n – 1
∑
Xi Xi Xi – X ( Xi – X )
22
3
6
8
11
9
36
64
121
( 3 – 7 )
( 6 – 7 )
( 8 – 7 )
( 11 – 7 )
- 4
- 1
+ 1
+ 4
16
1
1
16
0 34 / 3 = 11,33
s
2
=
Xi 2 –
2
n – 1
∑
(∑ Xi )
n

Otro ejemplo: con datos menos dispersos
s2
=
( xi – X )
2
n – 1
∑
Xi Xi Xi – X ( Xi – X )
22
4,1
3,7
3,5
4,0
18,81
13,69
12,25
16,00
( 4,1 – 3,825)
( 3,7 – 3,825)
( 3,5 – 3,825)
( 4,0 – 3,825)
0,275 0,07
0,01
0,10
0,03
0
0,21 / 3 = 0,07s
2
=
Xi 2 –
2
n – 1
∑
(∑ Xi )
n
- 0,125
- 0,325
0,175

Veamos la comparación de las varianzas y las medias
con los dos ejemplos
Xi1 Xi2
4,1
3,7
3,5
4,0
3,0
6,0
8,0
11,0
s2
0,07 11,33
X 3,82 7,00
Mas adelante
calcularemos
el coeficiente de
variación, para estos
valores

¿Que representa la varianza, como resumen de la
distribución de frecuencia?
s2=2 s2=1
s2=0.4
26.34 31.46 36.59 41.72 46.84
Variable
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
frecuenciasrelativas
Distribución de frecuencias con varianzas diferentes
Muestra
Distribución de frecuencias con varianzas diferentes
S2 =2 S2 =1
S2 =0,4

[La desviación estándar]
s
2
=
( xi – X )2
n – 1
∑
s2
=
Xi –
2
n – 1
∑ (∑ Xi )
n
2
Varianza
Desviación estándar
s =
( xi – X )2
n – 1
∑√ s =
Xi –
2
n – 1
∑ (∑ Xi )
n
2
√

Otras medida de dispersión:
La diferencia entre el valor mas alto y el mas bajo del
rol de datos
[El error estándar de la media]
[La amplitud]
s y =
s
√ n

Otra medida de dispersión muy importante:
[El coeficiente de variación]
CV( % ) =
100 s
X
Es la medida usada por los investigadores para
evaluar los resultados de diferentes experimentos
con la misma característica y realizadas en diferentes
investigaciones.
La explicación de porque el coeficiente de variación
es alto o bajo

X – t Sx ≤ µ ≤ X + t Sx
Error estándar
de la media

¡¡¡¡¡Ahora si sabemos lo que significan las palanquitas!!!!!

EJERCICIOS DE ESTADISTICA EXPERIMENTAL
(Calculo de estadísticas descriptivas e intervalo de confianza
en rol de datos)
Maturín, Abril-Septiembre, 2015
[Primer periodo]

Ejercicio de estadística descriptiva
Ejemplo : Peso de 14 adultos muestreados al azar en un
salón de aulas
76 75 74 73 72 71 70
69 68 67 66 65 64 63
Calcule la media, la mediana, la moda, la varianza,
la desviación estándar y, el intervalo de confianza
para la media
Agricultura: Altura de plantas, estudios de taxonomia de insectos, etc.

M =
70 + 69
2
= 69,5
2- Calculo de la media
X
∑ Xi
=
N
X =
973
14
=X 69,5
Md = [ (n/2) + (n/2 + 1) / 2 ]
Para datos pares
= [ (14/2) + (14/2 + 1) / 2 ]
= [ (7) + (8) / 2 ]
= 7,5 posición
Distribución normal

1 76 76 - 69,5 6,5 (6,5)2 42,25
2 75 75 - 69,5 5,5 (5,5)2 30,25
3 74 74 - 69,5 4,5 (4,5)2 20,25
4 73 73 - 69,5 3,5 (3,5)2 12,25
5 72 72 - 69,5 2,5 (2,5)2 6,25
6 71 71 - 69,5 1,5 (1,5)2 2,25
7 70 70 - 69,5 0,5 (0,5)2 0,25
8 69 69 - 69,5 -0,5 (-0,5)2 0,25
9 68 68 - 69,5 -1,5 (-1,5)2 2,25
10 67 67 - 69,5 -2,5 (-2,5)2 6,25
11 66 66 - 69,5 -3,5 (-3,5)2 12,25
12 65 65 - 69,5 -4,5 (-4,5)2 20,25
13 64 64 - 69,5 -5,5 (-5,5)2 30,25
14 63 63 - 69,5 -6,5 (-6,5)2 42,25
227,50∑(Xi- X) = 0

1- Calculo de la varianza (S2)
s2
=
( xi – X )2
n – 1
∑
=
13
227,50
s
2
= 17,5
2- Calculo de la desviación estándar (S)
S = √ varianza (S2)
= √ 17,5
= 4,18
s = 4,18

3- Calculo del error estándar de la media ( Sx )
S x =
Desviación estándar(S)
√ N
=
4,18
√14
=
4,18
3,74
1,11S x =

X – t Sx ≤ µ ≤ X + t Sx
Se iguala a la media de
la población

4- Calculo del intervalo de confianza
X – t Sx ≤ µ ≤ X + t Sx
69,5 – 2,16 . 1,11 ≤ µ ≤ 69,5 + 2,16 . 1,11
t = 2,16
13 g l
α 0,05 ó 5%
67,5 ≤ µ ≤ 71,4
t Sx = 2,16 x 1,11 = 2,39
1,11S x =
=X 69,5
69,5 – t 1,11 ≤ µ ≤ 69,5 + t 1,11
69,5 – 2,39 ≤ µ ≤ 69,5 + 2,39
¿Qué significa esto?
Interpretar el intervalo

La frase de la semana
Todo dolor físico es la expresión de un dolor emocional

3 medidas de tendencia central y de dispersion

3 medidas de tendencia central y de dispersion

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (7)

Similar a 3 medidas de tendencia central y de dispersion

Similar a 3 medidas de tendencia central y de dispersion (20)

Más de rbarriosm

Más de rbarriosm (9)

3 medidas de tendencia central y de dispersion