2. Resolución de Problemas
“… debe entenderse como la esencia
fundamental del pensamiento y saber
matemático, y en ese sentido ha de impregnar e
inspirar todos los conocimientos que se vayan
construyendo en esta etapa educativa,
considerándose como eje vertebrador de todo el
aprendizaje matemático y orientándose hacia la
reflexión, el análisis, la concienciación y la actitud
crítica ante la realidad que nos rodea en la vida
cotidiana”
Orden 10 agosto de 2007
3. Resolución de problemas
Un problema es una situación que un
individuo o grupo quiere o necesita resolver
y para la cual no dispone, en principio, de
un camino rápido y directo que lleva a la
solución.
Es un reto que debe ser adecuado al nivel
de formación de la persona.
4. Problemas vs ejercicios
Ejercicios Problemas
Se ve claramente lo que hay que hacer Suponen un reto
La finalidad es la aplicación mecánica Finalidad: Usar conocimientos y
de algoritmos experiencias que se poseen, para
llegar a la solución esperada
Tienen una sola solución Puede tener una o más soluciones
Se resuelven en un tiempo Requiere más tiempo para su
relativamente corto resolución
No se establecen lazos especiales Conlleva una implicación emocional de
entre el ejercicio y la persona que lo la persona que lo resuelve
resuelve
Son muy numerosos en los libros de Suelen ser escasos en los libros de
texto texto
5. Metodología tradicional en la
resolución de problemas
Finalidad: aplicar los contenidos y
algoritmos que se estén “dando” en ese
momento.
No potencian la búsqueda de
procedimientos de resolución
Generalmente se resuelven de forma
individual
En muchos casos son tareas para casa
6. Resolución de problemas como
metodología de aprendizaje
“La resolución de problemas es un arte práctico,
como nadar o tocar el piano. De la misma forma
que es necesario introducirse en el agua para
aprender a nadar, para aprender a resolver
problemas, los alumnos han de invertir mucho
tiempo enfrentándose a ellos”
Polya (1949)
7. Resolución de problemas como
metodología de aprendizaje
Enseñar a resolver problemas debe figurar entre
las intenciones educativas del currículo escolar,
ha de ser algo que nos debemos proponer.
Hay que darle un tratamiento adecuado,
analizando estrategias y técnicas de resolución,
verbalizando el pensamiento y contrastándolo
con el de otras personas.
Hay un proceso común a la mayor parte de
problemas, que es el método de resolución, en la
enseñanza del mismo es donde debemos incidir.
8. El método en la resolución de
problemas
George Polya estableció cuatro etapas:
2.Comprensión del problema
3.Concepción de un plan
4.Ejecución del plan
5.Visión retrospectiva
9. El método en la resolución de
problemas
1. Comprensión del problema
Implica entender tanto el texto como la
situación que nos presenta el problema
El resolutor debe decodificar el mensaje
contenido en el enunciado y trasladarlo al
lenguaje matemático
10. El método en la resolución de
problemas
1. Concepción de un plan
Para qué sirven los datos del enunciado
Qué puede calcularse a partir de ellos
Qué operaciones utilizar
En qué orden proceder
Enunciar la planificación por escrito, de
forma clara, simplificada y secuenciada.
11. El método en la resolución de
problemas
1. Ejecución del plan
Puesta en práctica de cada uno de los
pasos diseñados en la planificación
Comunicación y justificación de las
acciones seguidas (Primero calculo…,
luego…, y por último …)
Expresión clara y contextualizada de la
respuesta obtenida
12. El método en la resolución de
problemas
1. Visión retrospectiva
Contrastar el resultado obtenido para saber si
efectivamente da una respuesta válida a la
situación planteada
Reflexionar sobre si se podía haber llegado a esa
solución por otro camino, utilizando otros
razonamientos
Decir si ha habido bloqueos en el proceso y cómo
se ha logrado avanzar a partir de ellos.
Pensar si el camino que se ha seguido se puede
hacer extensible a otras situaciones.
13. Tipología de problemas
Problemas aritméticos
Problemas geométricos
Problemas de razonamiento lógico
Problemas de razonamiento inductivo
Problemas de azar y probabilidad
15. Aditivos-sustrativos de cambio
Ci Modificación Cf Ci crece Ci decrece Operación
Cambio 1
Desarrollo X X ¿ X +
temporal
Cambio 2
Dato X X ¿ X -
Incógnita Cambio 3
X ¿ X X -
Cambio 4
X ? X X -
Cambio 5
? X X X -
Cambio 6
? X X X +
17. Más Menos
Cr D Cc Operación
que que
Comparar 1
X X ? X +
Aditivos- Comparar 2
X X ? X -
sustrativos
Comparar 3
de X ? X X -
comparación Comparar 4
X ? X X -
Comparar 5
? X X X -
Comparar 6
? X X X +
20. Multiplicación-división de reparto
equitativo
Cantidad Nª Elementos Operación
a repartir Grupos por grupo
REPARTIR 1 x x ? ÷
REPARTIR 2 x ? x ÷
REPARTIR 3 ? x x ×
En una fiesta de cumpleaños hay 12 niños. Después
de repartir una bolsa grande de caramelos entre
todos los niños, a cada uno le han correspondido 8
caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía la bolsa?
21. Multiplicación-división de factor N
o de comparación multiplicativa
Cr F C “n veces “n veces Operació
c más” menos” n
Factor 1 x x ? x ×
Factor 2 x x ? x ÷
Factor 3 x ? x x ÷
Factor 4 x ? x x ÷
Factor 5 ? x x x ÷
Factor 6 ? x X x ×
Unos zapatos cuestan 72 euros. Un balón de
baloncesto cuesta 8 veces menos . ¿Cuánto cuesta el
balón?
22. Multiplicación-división de razón
Por un jamón entero hemos pagado 152 €. Si el precio
de esa clase de jamón es de 19 €/kg, ¿Cuántos kilos
pesa el jamón que hemos comprado?
23. Multiplicación-división de producto
cartesiano
C1 C2 T Operación
Cartesiano 1 x x ? ×
Cartesiano 2 ? x x ÷
Cartesiano 3 x ? x ÷
Tengo 4 pantalones que combinándolos con mis
camisas me puedo vestir de 24 formas diferentes.
¿Cuántas camisas tengo?
24. Problemas Geométricos
En ellos se trabajan diversos contenidos y
conceptos de ámbito geométrico. El componente
aritmético pasa a un segundo plano.
Ejemplo: Juntando las piezas 1 y 2 se han hecho
varias construcciones. Encuentra las dos piezas en
cada construcción y luego píntalas
25. Problemas de razonamiento lógico
Permiten desarrollar destrezas para afrontar
situaciones con un componente lógico. Problemas
de este tipo podrían ser criptogramas, enigmas,
análisis de proposiciones o numéricos.
Ejemplo: Rellena el siguiente cuadrado de forma que
cada final, cada columna y cada diagonal sume lo
mismo.
7
14 8 10
26. Problemas de razonamiento
inductivo
Consisten en enunciar propiedades
numéricas o geométricas a partir del
descubrimiento de regularidades.
Ejemplo: En las siguientes series calcula el valor
del término que ocupa el lugar 50
1, 3, 5, 7, 9, ….
1, 4, 9, 16, 25, ….
27. Problemas de azar y probabilidad
Plantean situaciones a través de juegos o
situaciones en las que siguiendo una
metodología de tipo manipulativa y
participativa por parte de los alumnos pueden
sacar conclusiones.
Notas del editor
Como ya vimos en el primer tema, la orden de 10 de agosto de 2007 recoge que la resolución de problemas es uno de los ejes transversales en el aprendizaje de la matemática.
¿qué es un problema? Podemos decir que un problema es <leer la transparencia> El problema debe estar dentro de la “zona de desarrollo próximo” de Vigosky., ya que si es muy complicado desistirán rápidamente de la resolución y si es muy fácil le aburrirá.
Ejercicios: Se ve claramente lo que hay que hacer: No implica una actividad intensa de pensamiento, son actividades de entrenamiento La finalidad es la aplicación mecánica de algoritmos: Son repetitivos y suelen resultar poco interesantes Generalmente tiene una sola solución No se establecen lazos especiales entre el ejercicio y la persona que lo resuelve: Aunque pueden resultar útiles para que el alumnado tome conciencia de los conocimientos que va adquiriendo. Son una actividad muy abundante en los libros de texto, por tanto, como profesores debemos seleccionar cuidadosamente aquellos que nos resultan más útiles para evaluar el grado de comprensión de los conceptos y la adquisición de algoritmos matemático por parte del alumnado. Problemas: No se resuelven con la aplicación de una regla o receta conocida a priori, suponen un reto La finalidad es ahondar en los conocimientos y experiencia que se poseen, para rescatar aquellos que son útiles para llegar a la solución esperada. Pueden tener varias soluciones y, sobre todo, diferentes maneras de llegar a ellas El tiempo que se le dedica a la resolución de un problema es mucho mayor que el que se dedica a hacer un ejercicio Conlleva una implicación emocional de la persona que lo resuelve: El bloqueo inicial, debido a que la situación le desconcierta, dará paso a la voluntariedad y perseverancia para encontrar la solución y, por último, produce gran satisfacción llegar a la solución
<Leer primero la transparencia> El resultado de todo este proceso es que cuando se les propone problemas que hacen referencia a contenidos que estudiaron en un tiempo pasado, que no tiene que ser muy lejano, en muchos casos ya no recuerdan “qué tienen que aplicar” Como profesores, a menudo pensamos que han asimilado contenidos y nos basamos para ello en que resuelven bien las actividades correspondientes. Quizás esto nos deba hacer reflexionar sobre la naturaleza de las mismas.
<Leer la transparencia> La escuela es el lugar donde los alumnos deben aprender a resolver problemas y, sin o dedicamos a ello el tiempo que la actividad requiere, difícilmente se logrará en años posteriores.
Puesto que los problemas matemáticos son las actividades más complejas que se le proponen al alumno al abordar esta área, debemos ser consecuentes en su tratamiento, no basta con que pongamos problemas matemáticos para que los alumnos los resuelvan. <Leer la transparencia>
George Polya estableció cuatro etapas en el proceso de resolución de problemas que después sirvieron de referencia para muchos planteamientos y modelos posteriores, en los que se fueron añadiendo nuevos matices, aunque el esquema básico de todos ellos se mantiene. <Leer transparencia> Al poner en práctica este método en Educación Primaria, es necesario tener en cuenta que su aplicación y la importancia concedida a cada una de las fases debe adecuarse a las edades y desarrollo intelectual de las alumnos con los que se trabaje Estos cuatro pasos podrían aplicarse también a problemas incluso no matemáticos de la vida diaria.
<leer la transparencia> El traslado del enunciado al lenguaje matemático es lo que permite al resolutor avanzar en el proceso de resolución. De aquí se deduce que las dificultades que pueden aparecer en la comprensión del enunciado de un problema son diferentes de las que surgen en la comprensión de un texto de otra índole.
Una vez comprendida la situación planteada y teniendo clara cuál es la meta a la que se quiere llegar, es el momento de planificar las acciones que llevarán a ella. Para ello es necesario plantearse cuestiones como: <leer la transparencia> El paso de enunciar la planificación por escrito servirá, además de para controlar el proceso de resolución por parte del alumno, para que el profesor conozca el pensamiento matemático
Un problema no termina cuando se ha hallado la solución. La finalidad de la resolución de problemas es aprender durante el desarrollo del proceso, y este termina cuando el resolutor siente que ya no puede aprender más de esa situación. Desde este punto de vista es conveniente realizar una revisión del proceso seguido, para analizar si es correcto o no el modo en que se ha llevado a cabo la resolución. <leer la transparencia> Todos estos procesos que normalmente no se trabajan con los alumnos en clase, sistematizan los procedimientos para la resolución de problemas de forma activa. Es muy importante verbalizar los procesos que se dan interiormente. De esta manera, podremos conocer, por un lado, la forma de razonar y proceder de los alumnos y, por tanto, tener acceso a una serie de lagunas o malas interpretaciones referidas a contenido conceptuales o procedimentales, que a vece es difícil detectar.
Existen muchas clasificaciones de tipos de problemas, nosotros presentamos la que hace Isabel Echenique porque nos parece la más apropiada. Con ella se pretende recordar la variedad de problemas que debieran ser tratados dentro de esta etapa educativa. <leer transparencia> A los que dedicaremos más tiempo serán a los llamados aritméticos porque son los propios de Educación Primaria, pero no podemos descuidar los demás tipos en los que se trabajará a modo de iniciación.
Los problemas aritméticos son aquellos que, en su enunciado, presentan datos en forma de cantidades y establecen entre ellos relaciones de tipo cuantitativo, que para resolverse necesitan la realización de operaciones aritméticas. Se clasifican en problemas aritméticos de primer, segundo, o tercer nivel teniendo en cuenta el número de operaciones que es necesario utilizar para su resolución. Los problemas de primer nivel se dividen en problemas aditivo-sustrativos y multiplicación-división. Los problemas aditivos-sustrativos son aquellos que se resuelven por medio de la adición o la sustracción, según la situación planteada en el enunciado pueden ser: <leer la transparencia>
Problemas aditivo-sustrativos de cambio. Se identifican porque en el texto del enunciado incluyen una secuencia temporal (que mostramos con el reloj). Parten de una cantidad inicial, la cual se ve modificada en el tiempo, para dar lugar a otra cantidad final. Vergnaud llama a estas situaciones problemas ETE (Estado Transformación Estado). En el esquema de la primera columna ponemos de gris los datos que tenemos y de blanco el que nos falta. La flecha nos indica lo que ocurre con la cantidad inicial, que unas veces crece y otras decrece, según ocurra la operación con la que se resuelve el problema es de suma o de resta. Cambio 1 y cambio 2: Nos dan Ci y la modificación, de modo que en uno la cantidad inicial crece y en dos decrece. Ventajas del franelógrafo, es que lo pegas y lo puedes dejar mostrado, pero se pueden trabajar con cualquier material de la clase. Con el franelógrafo estás representando todos los procesos mentales que van a tener que desarrollar posteriormente con problemas más difíciles, la diferencia es que ahora las cantidades están ahí, son pequeñas, y eso a ellos les tranquilizan porque saben que no se van a equivocar. Después se puede ir aumentando cantidades. Cambio 3 y 4: Nos dan la Ci y la Cf y nos preguntan la modificación. En el tres aumenta la cantidad inicial y en el 4 decrece. Se les puede plantear en el franelógrafo y luego les decimos que nos verbalicen lo que ha pasado y luego que lo expresen en una cuenta. Si las cantidades son fáciles ellos pueden asociarlo a una operación de sumar porque recomponen la escena, pero lo interesante es que lleguen a poder resolver con un resultado. En este tipo de problemas es fundamental manejar la relación entre las operaciones. Para ello podemos jugar un poco con los Números amigos : dados tres números, la suma o resta entre ellos puede contar la misma historia??? Desarrolla un pensamiento numérico más flexible. Cambio 5 y 6: Nos dan la modificación y la Cf y nos pregunta por la Ci. En el 5 hay un aumento de la cantidad inicial y en el 6 hay un descenso. En estos tipos estamos trabajando pensamiento reversible, por eso son los que más trabajo les cuesta, además, son los que menos aparecen en los libros de texto. Es muy importante en la resolución de problemas que verbalicen los procesos que realizan, porque eso te da pistas de si están usando las estrategias adecuadas.
En su enunciado se describe una relación entre conjuntos P1 y P2, que unidos forman el todo. La pregunta del problema hace referencia a la determinación de una de las partes o del todo, por tanto, solo hay dos situaciones para resolver con una operación Combinar 1: nos dan dos partes y queremos hallar el total, para ello tienen que hacer una operación de suma Combinar 2: Nos dan el total y una de las partes, tienen que hallar la otra parte, para ello tienen que hacer una operación de restar En infantil los trabaja con las tarjetas de puntos.
Cr: Cantidad de Referencia Cc: Cantidad comparada D: Diferencia entre las dos El más que y el menos que están referidos a la cantidad comparada, ed, Cc más que o menos que Cr Comparar 1: Luis tiene 4 años, Miguel tiene 2 años más que Luis. ¿Cuántos años tiene Miguel? Se resuelve con una suma. Comparar 2: Miguel tiene 6 años, su hermano Luis tiene 2 años menos que él. ¿Cuántos años tiene Luis? Comparar 3: Luis tiene 4 años, su hermano Miguel tiene 6 años. ¿Cuántos años tiene Miguel más que Luis? Comparar 4: Miguel tiene 6 años, su hermano Luis tiene 4 años. ¿Cuántos años tiene Luis menos que Miguel? Comparar 5: Miguel tiene 6 años, tiene 2 años más que su hermano Luis ¿Cuántos años tiene Luis? Comparar 6: Luis tiene 4 años, tiene 2 años menos que su hermano Miguel ¿Cuántos años tiene Miguel?
<Transparencia resumen para plantearles problemas y para hacer la actividad que hace Teresa> Dos flores y algunas abejas. En el campo en una flor acuden dos abejas, y llaman a sus compañeras y acuden otras tres abejas. Cuéntame este problema con una cuenta. Cambio 1 Sigue el efecto llamada a otra flor que había allí y llegan otra 4 abejas más Cambio 1 ¿Cuántas hay en total? Combinación 1 ¿Cuántas hay más en la flor rosa que en la amarilla? Al estar viéndolo pueden contar, recontar, recolocar como en los dados, … Es un material muy versátil De la flor amarilla se va una a la colmena (y la quito) ¿cuántas quedan? Es diferente a plantear ¿Qué pasaría si una flor se va a la colmena? (sin quitarla)
Los problemas multiplicación-división son los que se resuelven a través de una multiplicación o una división. Según la situación planteada en el enunciado pueden ser <leer transparencia> Vamos a ver cada uno de ellos con más detalle
Son aquellas situaciones en las que una cantidad debe repartirse equitativamente entre un cierto número de grupos. En el enunciado se hará referencia a tres informaciones Cantidad a repartir Número de grupos a formar El número de elementos por cada grupo Ejemplo: En una fiesta de cumpleaños hay 12 niños. Después de repartir una bolsa grande de caramelos entre todos los niños, a cada uno le han correspondido 8 caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía la bolsa?
Este tipo de problemas es muy similar al de comparación. En ellos intervienen dos cantidades del mismo tipo que se comparan: Cantidad Referente: Cr Cantidad Comparada: Cc Para establecer entre ellas una razón o factor: F También se caracterizan porque en el enunciado aparece cuantificadores del tipo “…veces más que…” y “… veces menos que…” Ejemplo: Unos zapatos cuestan 72 euros (Cr). Un balón de baloncesto cuesta 8 veces menos (F). ¿Cuánto cuesta el balón?
Este tipo de problemas incluyen en el enunciado informaciones que hacen referencia a medidas de tres magnitudes diferentes: Magnitud intensiva o tasa Ci que resulta de relacionar las otras dos que se llaman extensivas. Ejemplo: Por un jamón entero hemos pagado 152 € (Ce2). Si el precio de esa clase de jamón es de 19 €/kg (Ci), ¿Cuántos kilos pesa el jamón que hemos comprado?
En este caso tenemos una combinación de todas las formas posibles (T), los objetos de un tipo C1 con los de otro tipo C2 Ejemplo: Combinando mis pantalones y camisas me puedo vestir de 24 formas diferentes (T). Tengo 4 pantalones (C1 o C2). ¿Cuántas camisas tengo?
