Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 1 de 35
Unidad 2. Propagación de ondas Electromagnéticas
Ing. José Miguel Hern...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 2 de 35
Al tomar el rotacional a ambos lados de la ecuación (3)
SS HjE

...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 3 de 35
Similar para el campo magnético
En esta unidad se estudiará cuatro cas...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 4 de 35
Generalidades de las ondas
Ecuación de onda escalar en un espacio unid...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 5 de 35
Gráfica de f(x, t) en función de x
manteniendo t = constante
: longit...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 6 de 35
)cos(),( xtftxf m  
)cos(),( xtftxf m  
Fase constante: )( xt ...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 7 de 35
)cos(),( xtftxf m  
)cos(),( xtftxf m  
Fase constante: )( xt ...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 8 de 35
.1. Una onda es una función tanto del tiempo como de la posición.
.2. ...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 9 de 35
A frecuencias superiores, correspondientes a Infrarrojo, visible, ultr...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 10 de 35
0)(
)()()( 2
2
2
2
2
2
2









xE
z
xE
y
xE
x
xE
yS
ySyS...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 11 de 35
Si consideramos la onda regresiva
Según se ve en las anteriores figur...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 12 de 35
Entonces    y
xtjx
y
tj
yS aeeEaexEtxE ˆReˆ)(Re),( )(
0
 
...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 13 de 35
La tangente de pérdidas tiene que ver con la relación entre las densi...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 14 de 35
En este caso puede verse que

E y

H están en fase temporal y no ha...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 15 de 35





 2
2
u



2



 4590






...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 16 de 35







jjfj 





 





 

1
2
12
...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 17 de 35


22
2
a
a
a
R
R
cd
ca

Puesto que  << a, a altas frecuencia...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 18 de 35


























t
E...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 19 de 35
La ecuación (37) se conoce como Teorema de Poynting. Y la ecuación
...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 20 de 35
También se puede comprobar que








*
Re
2
1
)( SSprome...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 21 de 35
En la figura se presenta una incidente ( iE

, iH

) viajando en di...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 22 de 35
),0(),0(),0( tHtHtH tri

  000 tri HHH  (58)
Pero
1
0
0

i
i...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 23 de 35
Observe que:
.1. 1+  = 
.2. Tanto  como  son adimensionales y pue...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 24 de 35
  zi axtxtHH ˆ)cos()cos( 1101  

  zi axtsensenxtxtsense...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 25 de 35
.B. Ambos medios dieléctricos cualesquiera con medio 1 carente de pér...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 26 de 35
A la ecuación (69) en la práctica se le denomina onda estacionaria y ...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 27 de 35
    
iaestacionarOnda
yi
viajeraOnda
yi a...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 28 de 35
xjj
i
xj
i
xj
i
xj
i
xj
r
xj
i eeHeHeHeHeHeHxH 
 
0...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 29 de 35
Reflexión de ondas sobre múltiples interfases
Impedancia de entrada
C...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 30 de 35



















 




...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 31 de 35
En la interfaz 2-3
23
23
23




 (83)
En el medio 2 la impeda...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 32 de 35
1
2322
2223
2
sincos
sincos



 



djd
djd
ent Con 2...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 33 de 35
)sin()cos(
)sin()cos(
12
21
2



j
j
ent


 1
2
1
2
0)co...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 34 de 35
Apéndice. Decibelios y Nepers
Consideremos un sistema o un medio en e...
Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 35 de 35
En términos de potencia Razón en bel= 





1
2
log
P
P
En té...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Ema215,unidad2

151 visualizaciones

Publicado el

unidad 2 de Electromagnetismo 2 de UES-EIE

Publicado en: Ciencias
0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
151
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
5
Acciones
Compartido
0
Descargas
0
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Ema215,unidad2

  1. 1. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 1 de 35 Unidad 2. Propagación de ondas Electromagnéticas Ing. José Miguel Hernández Marzo, 2014 En la unidad anterior se vio que según las ecuaciones de Maxwell, para trasportar energía electromagnética se debe hacer por medio de ondas electromagnéticas que se pueden transmitir con ayuda de medios guiados (circuito eléctrico, guía de ondas, etc.) o en forma de propagación libre en algún medio material o en el vacío o aire. Consideremos un medio dieléctrico, disipativo, lineal, isotrópico y homogéneo sin carga (v = 0). Las ecuaciones de Maxwell temporales y en forma armónica son 0  B   HB  0  SH (2) (4) t D JH        EJ    ED  SS EjH   )(  vD     ED  0  SE (1) v = 0 t B E        HB  SS HjE    (3)
  2. 2. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 2 de 35 Al tomar el rotacional a ambos lados de la ecuación (3) SS HjE   )( Si aplicamos la identidad vectorial   AAA 2 )()( SSSS HjEEE   2 )()( Pero SE   = 0, y SS EjH   )(  Entonces SSSSS EjjHjEEE   )()()( 2  Queda SS EjjE   )(2  O sea 022   SS EE  (5) )(2  jj  (6) Similarmente se puede demostrar que 022   SS HH  (7) La constante de propagación es:  jjj  )( (8) Cada una de las ecuaciones (5) y (7) representa tres ecuaciones de onda escalares, así por ejemplo en coordenadas rectangulares
  3. 3. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 3 de 35 Similar para el campo magnético En esta unidad se estudiará cuatro casos principalmente que corresponden a ondas electromagnéticas en los siguientes medios: .1. Dieléctrico disipativo (   0,  = r0,  = r0) .2. Dieléctrico sin pérdidas (o dieléctrico perfecto), (  = 0,  = r0,  = r0, o bien  << ) .3. El Vacío (  = 0,  = 0,  = 0) .4. Buenos conductores (   ,  = r0,  = r0, o bien  >> ) 022  xSxS HH  022  ySyS HH  022  zSzS HH  022   SS HH  022  xSxS EE  022  ySyS EE  022  zSzS EE  022   SS EE 
  4. 4. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 4 de 35 Generalidades de las ondas Ecuación de onda escalar en un espacio unidimensional Supongamos una onda dada por f(x, t) moviéndose en la dirección x. 0 ),(1 ),( 2 2 2 2     t txf u txf  0 1 2 2 22 2       t f ux f (9) Tiene soluciones de la forma )(1 utxff  )(2 utxff  Onda progresiva hacia +x Onda regresiva hacia x Solución general )()( 21 utxfutxffff   (10) Si se adopta dependencia armónica f(x,t) = Re[FS(x) ejt ], fFS, SFj t f    , SF t f 2 2 2    La (9) se convierte en 02 2 2  S S F dx Fd  u    Las soluciones son de la forma xj S AeF   xj S BeF   Onda progresiva hacia +x Onda regresiva hacia x Solución general xjxj SSS BeAeFFF    (11)    )()( ReRe),( xtjxtjtj S BeAeeFtxf    Para definir algunos términos, consideremos solo onda progresiva y que será de la forma )cos( xtff m   . fm: es la amplitud y se mide en las unidades correspondientes de la onda. Así, si f es campo eléctrico, fm se mide en V/m. Si f es campo magnético, fm se mide en A/m. )( xt   : es la fase de la onda y se mide usualmente en radianes. : es la frecuencia angular en radianes/segundo (rad/s) : Constante de fase o número de onda. En radianes/metro (rad/m).
  5. 5. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 5 de 35 Gráfica de f(x, t) en función de x manteniendo t = constante : longitud de onda Gráfica de f(x, t) en función de t manteniendo x = constante T: período Otras relaciones útiles uT fu  f T 1  f : Frecuencia en ciclos/segundo (Hz). Otras relaciones f 2 u     21  f T    2  f(x, t) = fmcos(tx) f(0, t) t T f(x, 0) x 
  6. 6. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 6 de 35 )cos(),( xtftxf m   )cos(),( xtftxf m   Fase constante: )( xt   = constante 0       dt dx  u dt dx    f x 0( ) x f(x,T/2) x f(x,T/4) x
  7. 7. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 7 de 35 )cos(),( xtftxf m   )cos(),( xtftxf m   Fase constante: )( xt   =constante 0       dt dx  u dt dx    Resumen: f x 0( ) x f(x,T/4) x f(x,T/2) x
  8. 8. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 8 de 35 .1. Una onda es una función tanto del tiempo como de la posición. .2. No tiene principio ni fin. El instante t = 0 se escoge arbitrariamente como punto de referencia. .3. Cuando el signo de (t  x) es negativo, la propagación de la onda ocurre en le dirección +x. (Onda progresiva). Cuando el signo es positivo la propagación ocurre en la dirección x. (Onda regresiva). .4. Hay que tomar en cuenta las siguientes equivalencias. )cos()2/(  sen )()(  sensen  )()2/cos(  sen )cos()cos(   Espectro electromagnético La clasificación de las frecuencias en orden numérico se conoce como espectro EM En la tabla que sigue se presenta el espectro de frecuencias. c = f Denominación Banda Frecuencia, f Longitud de onda,  Extremely Low frecuency Very Low frecuency Low frecuency ELF VLF LF < 3 kHz 3 – 30 kHz 30 - 300 kHz > 100 km 100-10 km 10 – 1 km Medium frecuency High frecuency Very High frecuency MF HF VHF 0.3 – 3 MHz 3 – 30 MHz 30 – 300 MHz 1000 – 100 m 100 – 10 m 10 – 1 m Ultra High frecuency Super High frecuency Extremely High frecuency UHF SHF EHF 0.3 – 3 GHz 3 – 30 GHz 30 – 300 GHz 1000 – 100 mm 100 – 10 mm 10 – 1 mm A frecuencias de microondas hay otra subdivisión Banda Frecuencia Longitud de onda L S C X 1 -2 GHz 2 – 4 GHz 4 – 8 GHz 8 -12.4 GHz 300 – 150 mm 150 - 75 mm 75 – 37.5 mm 37.5 - 24.2 mm Ku K Ka .mm 12.4 – 18 GHz 18 – 26.5 GHz 26.5 – 40 GHz 40 – 300 GHz 24.2 – 16.6 mm 16.6 – 11.1 mm 11.1 – 7.5 mm 7.5 – 1 mm
  9. 9. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 9 de 35 A frecuencias superiores, correspondientes a Infrarrojo, visible, ultravioleta y rayos X Denominación Banda Frecuencia Longitud de onda Región submilimétrica Infrarrojo Visible Ultravioleta Rayos X IR V UV 300 – 800 GHz 800 GHz – 400 THz 400 – 750 THz 750 – 25000 THz 1 – 0.4 mm 0.4 mm – 0.8 m 0.8 – 0.4 m 400 nm- 12 nm 120 – 0.6 Å (*) (*) 1 Å = 1 amstrong = 1x10–10 m 1 kHz 1 MHz 1 GHz 1 THz Visible ELF VLF LF MF HF VHF UHF SHF EHF IR IR L S C X K 1000 km 1 km 1 m 1 mm 1 m RADIO Microondas .1. Propagación de ondas EM en medios dieléctricos disipativos Supongamos una onda que se propaga en la dirección x y que el campo eléctrico está orientado en la dirección y. ySyS aEE ˆ  Por la ecuación de onda 022  ySyS EE 
  10. 10. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 10 de 35 0)( )()()( 2 2 2 2 2 2 2          xE z xE y xE x xE yS ySySyS  Como no hay dependencia con respecto a y ni z. La ecuación se reduce a 0)( )( 2 2 2  xE dx xEd yS yS  xx yS eEeEE  '00   (12)  j  jjjjjj  2222 )()2())(( Comparando partes reales  222  (13) 222222 ))((   jj 22222   (14) Sumando (13) + (14)                  112 2 222222222                   11 2 22 2                   11 2 2    (15) Operando (14)  (13)                  112 2 222222222                   11 2 22 2                   11 2 2    (16) Si consideramos solo la onda progresiva
  11. 11. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 11 de 35 Si consideramos la onda regresiva Según se ve en las anteriores figuras, para que el campo sea finito en x =  se impone que E0´= 0. E x t( ) exp  x( ) Emsin  t  x( ) E x t( ) exp x( ) Emsin  t  x( ) 0.5 0 0.5 1 1.5 2 1.2 0.8 0.4 0.4 0.8 1.2 E x 0( ) E x 0.1 T( ) E x 0.2 T( ) x  t=0 t=0.1T t=0.2T Avance 0.5 0 0.5 1 1.5 2 1.2 0.8 0.4 0.4 0.8 1.2 E x 0( ) E x 0.1 T( ) E x 0.2 T( ) x  t=0t=0.1T t=0.2T Avance
  12. 12. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 12 de 35 Entonces    y xtjx y tj yS aeeEaexEtxE ˆReˆ)(Re),( )( 0     y x axteEtxE ˆ)cos(),( 0     (17) Usando (3): SS HjE    00 ˆˆˆ 11 0 x zyx SS eE zyx aaa jE j H              z x z x z x S aeHaeE j aeEjH ˆˆˆ)( 1 000           El cociente          j j jj jj jH E       )(0 0 Se conoce como impedancia intrínseca del medio y se mide en ohmios.                    j j j 1 4 2 1              Argumento de                           11 tan 2 1 tan 2 1 0 0   < 45     tan)2tan(  : tangente de pérdidas z x axte E txH ˆ)cos(),( 0        (18) Note que la onda de campo magnético va en dirección perpendicular al campo eléctrico y ambos en dirección perpendicular a la dirección de propagación. Por eso este tipo de onda se conoce como onda transversal electromagnética (TEM, siglas en inglés). Una atenuación de 1 neper (1 Np) corresponde a una reducción de e1 del valor original. 1 Np = 20log10e = 8.686 dB   u    2 
  13. 13. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 13 de 35 La tangente de pérdidas tiene que ver con la relación entre las densidades de corriente de conducción y de desplazamiento. ScSSS EjE j jEjH             1)( Permitividad compleja '''1        j jj c        (19)  '    '' Forma alternativa de la tangente de pérdidas        tan ' ''      S S Sd S Ej E J J (20) .2. Propagación de ondas EM en medios dieléctricos sin pérdidas En este caso se considera  << ,  = r0,  = r0, o bien 0      0101 2 11 2 2 2                                               101 2 11 2 2 2 0           j j j j Comprobando argumento:   00tan 2 1 1    La tangente de pérdidas tan = 0. yaxtEtxE ˆ)cos(),( 0    (21) zaxt E txH ˆ)cos(),( 0     (22) SS EJ    SSd EjJ    
  14. 14. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 14 de 35 En este caso puede verse que  E y  H están en fase temporal y no hay atenuación.   u    2  .3. Propagación de ondas EM en el vacío En este caso  = 0,  = 0,  = 0 01 0 1 2 2 00                    c                      00 2 00 1 0 1 2 c: velocidad de la luz en el vacío 0 0 0 0 0 0          j j impedancia intrínseca del vacío = 376.73   120  yaxtEtxE ˆ)cos(),( 0    (23) zaxt E txH ˆ)cos(),( 0 0     (24) .4. Propagación de ondas EM buenos conductores En este caso  >> ,  = 0,  = r0, o bien 1   22 1 2 11 2 0 0 0 0 2 0 0                                       22 1 2 11 2 0 0 0 0 2 0 0                                       Así    f 2
  15. 15. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 15 de 35       2 2 u    2     4590          j j j En los buenos conductores  E se adelanta a  H en 45 y x axteEtxE ˆ)cos(),( 0     (25) z x axte E txH ˆ)45cos(),( 0        (26) Según las ecuaciones anteriores, a medida que la onda  E (y  H ) se desplaza en un medio conductor, su amplitud se atenúa por el factor x e  . La distancia x =  a la cual la amplitud decrece en el factor e = e1 se define como la profundidad pelicular. 1   f 11  (27) La profundidad pelicular es una medida del grado de penetración de una onda electromagnética en el medio. x e   x ConductorAire Propagación
  16. 16. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 16 de 35        jjfj                 1 2 12 2 1 45 2 (28) Note que la profundidad pelicular depende de la frecuencia, es decir que a mayor frecuencia, la profundidad pelicular es más pequeña. Es decir que en el interior de un conductor el campo se tiende a anular. Este fenómeno se conoce como efecto pelicular o efecto piel. Así. En un conductor con sección circular, el campo eléctrico (y por la tanto la corriente de conducción) se concentra cerca de la superficie. Para el cobre, la profundidad pelicular, en función de la frecuencia es  = 5.8107 S/m  = 0 = 4107 H/m fff 3 77 100855.66 )108.5)(104( 11         m f 0855.66  mm f en Hz Frecuencia, f, (Hz) 10 60 100 500 10103 100106 10109 Prof. pelicular,  (mm) 20.90 8.53 6.61 2.96 0.66 6.61x103 0.66106 Las expresiones de los campos al interior del conductor midiendo x desde la superficie hacia adentro queda y x a x teEtxE ˆ)cos(),( 0     (29) y x a x te E txH ˆ)45cos(),( 0        (30) La relación entre las resistencias ca y cd es  a 2 a l S l Rcd    a l S l R efectiva ca 2 
  17. 17. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 17 de 35   22 2 a a a R R cd ca  Puesto que  << a, a altas frecuencias, esto indica que Rca >> Rcd. En todos los casos de propagación de una onda TEM en cualquier medio, los campos son mutuamente perpendiculares. Si Eaˆ y Haˆ son las direcciones de las campos eléctrico y magnético, respectivamente, se cumple que kaˆ es la dirección de propagación. HEk aaa ˆˆˆ  EkH aaa ˆˆˆ  HkE aaa ˆˆˆ  Potencia y vector de Poynting La rapidez con que se propaga la energía (potencia) puede calcularse con ayuda de las ecuaciones de Maxwell. t H t B E          (31) t E EH       (32) Tomando en cuenta la identidad )()()(   baabba (33) Haciendo   Ea   Hb )()()(   HEEHHE t H E       t E EH       Eaˆ Haˆ kaˆ Propagación
  18. 18. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 18 de 35                           t E EE t H HHE )( t E EEE t H HHE           )(                           EE t HH t EEHE 22                    222 22 HE t EHE   [W/m3 ] (34) Integrando (35) en un volumen y aplicando teorema de la divergencia     Vol Sup Sdcdvc)( (35)             VolVolSup dvHE t dvESdHE 222 22 )(   [W] (36)             VolVolSup dvHE t dvESdHE 222 22 )(   (37) Potencia que sale del volumen Potencia óhmica disipada en el volumen Rapidez de decrecimiento de la energía almacenada en los campos
  19. 19. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 19 de 35 La ecuación (37) se conoce como Teorema de Poynting. Y la ecuación   HEP (38) Define el vector de Poynting y es una potencia que sale del volumen (en W/m2 ) y x axteEtxE ˆ)cos(),( 0     (39) z x axte E txH ˆ)cos(),( 0        (40) x x axtxte E HE ˆ)cos()cos(2 2 0        P (41) Usando la identidad )cos( 2 1 )cos( 2 1 coscos BABABA  (42)   x x axte E HEtx ˆ)22cos(cos 2 ),( 2 2 0        P (43) Al promediar en el tiempo x x promedio ae E x ˆcos 2 )( 2 2 0       P (44) Psalida Energía eléctrica almacenada Energía magnética almacenada Pérdidas óhmicas Pentrada
  20. 20. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 20 de 35 También se puede comprobar que         * Re 2 1 )( SSpromedio HExP (W/m2 ) (45) La potencia promedio temporal en una sección es    Sup promediopromedio SdxxP )()( P (W) (46) Reflexión de ondas planas Solo se considera por lo pronto la reflexión de ondas con incidencia normal i: incidente r: reflejada t: transmitida y z x S Potencia  E  H  P Medio 1: 1, 1, 1 Medio 2: 2, 2, 2 Interfaz iE  tE  rE  rH  iH  ikaˆ rkaˆ tkaˆ tH  x y z
  21. 21. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 21 de 35 En la figura se presenta una incidente ( iE  , iH  ) viajando en dirección xaˆ en el medio 1. En forma fasorial y x iiS aeEE ˆ1 0    (47) z xi z x iiS ae E aeHH ˆˆ 11 1 0 0      (48) La onda reflejada ( rE  , rH  ) viajando en la dirección xaˆ en el medio 1. En forma fasorial y x rrS aeEE ˆ1 0    (49) z xr z x rrS ae E aeHH ˆ)ˆ( 11 1 0 0      (50) La onda transmitida ( tE  , tH  ) viajando en la dirección xaˆ en el medio 2. En forma fasorial y x ttS aeEE ˆ2 0    (51) z xt z x ttS ae E aeHH ˆˆ 22 2 0 0      (52) En el medio 1 la onda resultante es ri EEE  1 (53) ri HHH  1 (54) En el medio 2 tEE  2 (55) tHH  2 (56) En la interfaz x = 0, las condiciones de frontera requieren que las componentes tangenciales de los campos sean continuas. Como las ondas consideradas son transversales, los campos son tangenciales a la interfaz. Esto es: ),0(),0(),0( tEtEtE tri    000 tri EEE  (57)
  22. 22. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 22 de 35 ),0(),0(),0( tHtHtH tri    000 tri HHH  (58) Pero 1 0 0  i i E H  1 0 0  r r E H  2 0 0  t t E H  Sustituyendo estas relaciones en (58) 2 0 1 0 1 0  tri EEE  1 0 1 0 2 0  irt EEE  1 0 12 0201   irt EEE   020201 irt EEE   (60) De (57) 000 irt EEE  (61) Simultaneando (60) y (61) (60)  (61)x1: 020201 irt EEE   010101 irt EEE   012021 )()( ir EE   0 21 12 0 ir EE      (62) (60) +(61)x2: 020201 irt EEE   020202 irt EEE   02021 2)( it EE   0 21 2 0 2 it EE     (63) Se define el coeficiente de reflexión,  21 12 0 0      i r E E (64) Se puede comprobar que  0 0 i r H H (65) Y el coeficiente de transmisión,  21 2 0 0 2      i t E E (66)
  23. 23. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 23 de 35 Observe que: .1. 1+  =  .2. Tanto  como  son adimensionales y pueden ser complejos .3. 0    1 Casos especiales de interés .A. Medio 1 es dieléctrico sin pérdidas (1 = 0) Medio 2 es conductor perfecto (2  , 2 = 0) 1 0 1 1 0 0      i r E E 0 )0(2 21      Lo anterior indica que la onda se refleja en su totalidad. Es de esperarse ya que los campos en un conductor se anulan rápidamente de modo que en este caso no hay onda transmitida ( 02   E ). Para las ondas EM un conductor actúa como un espejo lo es para la luz visible. La onda reflejada se combina con la incidente para formar como onda total una onda estacionaria con un nodo, ( 0  E ) en la interfaz. Una onda de esta clase no viaja. De donde se desprende el nombre.   y x r x irSiSS aeEeEEEE ˆ11 001     1111  jj  00 ir EE    y xjxj iS aeeEE ˆ11 01         y xtjxtj i tj S aeeEeEE ˆReRe 11 ()( 011       yi axtxtEE ˆ)cos()cos( 1101      yi axtsensenxtxtsensenxtEE ˆcoscoscoscos 111101    yi axsentsenEE ˆ)()(2 101   (67) Para campo magnético 00 ir HH    z xjxj iS aeeHH ˆ11 01    
  24. 24. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 24 de 35   zi axtxtHH ˆ)cos()cos( 1101      zi axtsensenxtxtsensenxtHH ˆcoscoscoscos 111101    z i axt E H ˆ)cos()cos( 2 1 1 0 1     (68) 2 1 0 1 500 500E x 0( ) E x T 8        E x T 4        E x 5T 8        x 2 1 0 1 4 2 2 4 H x 0( ) H x T 8        H x T 4        H x 5T 8        x
  25. 25. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 25 de 35 .B. Ambos medios dieléctricos cualesquiera con medio 1 carente de pérdidas. Medio 2 también sin pérdidas. Lo anterior implica que  es real. Supongamos que  > 0. 1111  jj  Er0 = Ei0 222  j   y xjxj irSiSS aeeEEEE ˆ11 01         y xtjxtj i tj S aeeEeEE ˆReRe 11 ()( 011       yi axtxtEE ˆ)cos()cos( 1101      yi axtsensenxtxtsensenxtEE ˆcoscoscoscos 111101      yi axtsensenxtEE ˆ)1(coscos)1( 1101    (69)   z xjxj irSiSS aeeHHHH ˆ11 01       z xtjxtj i tj SS aeeHeHH ˆRe 11 ()( 011           zi axtxtHH ˆ)cos()cos( 1101      z i axtsensenxtxtsensenxt E H ˆcoscoscoscos 1111 1 0 1       z i axtsensenxt E H ˆ)1(coscos)1( 11 1 0 1     (70)     y xj iy xj ttSS aeEaeEEE ˆˆ 22 002            y xtj iy xtj t tj tS aeEaeEeEE ˆˆRe 22 ( 0 ( 02      yi axtEE ˆ)cos( 202    (71) z i axt E H ˆ)cos( 2 2 0 2      (72)
  26. 26. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 26 de 35 A la ecuación (69) en la práctica se le denomina onda estacionaria y a su envolvente en rojo se le conoce como patrón de onda estacionaria. Se puede demostrar que la onda (69) es parcialmente estacionaria y parcialmente viajera. Para un coeficiente de reflexión j e , se puede demostrar que 2 1 0 1 2 1 1 2 H x 0( ) H x T 8        H x T 4        H x 3T 8        G1 x( ) G2 x( ) x Campo magnético 2 1 0 1 2 1 1 2 E x 0( ) E x T 8        E x T 4        E x 3T 8        F1 x( ) F2 x( ) x Campo Eléctrico
  27. 27. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 27 de 35      iaestacionarOnda yi viajeraOnda yi atxEaxtEtxE ˆ)2/cos()2/cos(2ˆ)cos()1(),( 10101    (73) Determinación de los máximos y mínimos del patrón xjj i xj i xj i xj i xj r xj i eeEeEeEeEeEeExE    000000)( (74) xj i eE  0 Fasor que gira en sentido horario al aumentar x. xjj i eeE  0 Fasor que gira en sentido antihorario al aumentar x. Emax se obtiene cuando los fasores de (74) están en fase, esto es, xmx   con m = 0, 2, 4, . . .      4 2 2 2 kk xm     k = 0, 1, 2, . . . (75) Emin se obtiene cuando los fasores de (74) están con diferencia de fase 180 =  radianes, esto es, xmx   con m = 1, 3, 5, . . .      4 )12( 2     km xm k = 0, 1, 2, . . . (76) Por la ecuación (65), las ecuación para H en el medio 1 es xj i eE  0 )( 0    xj i eE )(1 xE Emax Emin )( 0    xj i eE xj i eE  0 )( 0    xj i eE xj i eE  0
  28. 28. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 28 de 35 xjj i xj i xj i xj i xj r xj i eeHeHeHeHeHeHxH    000000)( (77) Hmax se obtiene cuando los fasores de (77) están con defase de , 3, 5, . . ., xmx   con m = 1, 3, 5, . . . Hmin se obtiene cuando los fasores de (77) están con defase de 0, 2, 4, . . . xmx   con m = 0, 2, 4, . . . Puede verse que los máximos de H corresponden a los mínimos de E y que los mínimos de H corresponden a los máximos de E. (Ver gráficas de página 26) En resumen: Hmin ocurre para Emax y viceversa. La onda transmitida 2 es puramente viajera A la relación min,1 max,1 min,1 max,1 H H E E s  se le conoce como razón de onda estacionaria, también conocida como VSWR (Voltage Standing Wave Ratio), razón de voltaje de onda estacionaria. También se conoce como ROET, ROE o SWR.    1 1 min max E E s (78) 1 1    s s (79) Como 0    1, 1  s <  La razón de onda estacionaria es adimensional y se puede expresar en decibelios )log(20)( ss dB  (80)
  29. 29. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 29 de 35 Reflexión de ondas sobre múltiples interfases Impedancia de entrada Consideremos la reflexión en una interfaz, como se vio antes     y x i x iy x r x irSiSS aeEeEaeEeEEEE ˆˆ 1111 00001    En la región 1 en donde se presenta onda incidente y reflejada, las amplitudes de E y de H cambian con la posición por lo que se tiene una impedancia de onda w. que es función de la posición. Supongamos que los dieléctricos son sin pérdidas. Incidente Reflejada Transmitida x y x = 0 Medio 2Medio 1 |E1(x)| y x |H1(x)| Interfaz 1 2 w=ent
  30. 30. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 30 de 35                           xjxj xjxj xjxj xjxj i i xj i xj i xj i xj i w ee ee ee ee H E eHeH eEeE xH xE 11 11 11 11 11 11 1 0 0 00 00 )( )(        (81) Recordemos que: 12 12      sustituyamos en la ecuación (81)                      )()( )()( )()( )()( 1111 1111 11 11 21 12 1 1212 1212 1 xjxjxjxj xjxjxjxj xjxj xjxj w eeee eeee ee ee                            xjx xjx xjx xjx w 1211 1112 1 1211 1112 1 sincos sincos sin2cos2 sin2cos2       (82) A continuación se presenta la gráfica del valor absoluto de la impedancia de onda para el ejercicio13.5 Hayt (7ª) que se presentó en el folleto de ejercicios resueltos. 73.3761   2407.1779560.6902 j   20 3 1 Ahora consideremos tres medios 1, 2 y 3 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 n x( ) x
  31. 31. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 31 de 35 En la interfaz 2-3 23 23 23      (83) En el medio 2 la impedancia de onda es xjx xjx w 2322 2223 2 sincos sincos       (84) Para poder evaluar la reflexión en la interfaz 1-2 es necesario el valor de la impedancia de onda vista desde dicha la interfaz, o sea la impedancia de onda evaluada en x = d. djd djd djd djd ent 2322 2223 2 2322 2223 2 sincos sincos )sin()cos( )sin()cos(                  (85) Ahora, el coeficiente de reflexión en la interfaz 1-2 es 1 1 12      ent ent (86) Con esta ecuación se puede manipular la zona intermedia 2 para obtener algunos resultados deseados .A. Que no haya reflexión hacia el medio 1, 12 = 0, 0 1 1 12       ent ent 1 ent Incidente Reflejada Transmitida x y Interfaz 2-3 Medio 2Medio 1 Reflejada Medio 3 Transmitida Interfaz 1-2 d Incidente
  32. 32. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 32 de 35 1 2322 2223 2 sincos sincos         djd djd ent Con 2d = /2 1 32 23 2 )2/sin()2/cos( )2/sin()2/cos(         j j ent 1 3 2 2 0 0        j j 1 3 2 2     312   (87) Y el espesor correspondiente es 2 2   d 2 2 2    d 4 2 d 4 )12( 2  md m = 1, 2, 3, . . . (88) Al cumplir los requisitos dados por (87) y (88) se asegura que no haya reflexión hacia el medio 1. Se conoce como acoplamiento de un cuarto de onda. Aplicación: Vidrio antirreflejante. En este caso, d es un número impar de cuartos de longitud de onda correspondientes al medio 2 .B. Cuando el medio 3 es el mismo dieléctrico del medio 1 0 1 1 12       ent ent 1 ent djd djd ent 2122 2221 2 sincos sincos       Con 2d =  Incidente Onda estacionaria x y Medio 2Medio 1 Medio 3 Transmitida d
  33. 33. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 33 de 35 )sin()cos( )sin()cos( 12 21 2    j j ent    1 2 1 2 0)cos( 0)cos(        ent Y el espesor correspondiente es  d2    d 2 2 2 2 d 2 2 md  m = 1, 2, 3, . . . (89) Con la condición (9) se puede transmitir en forma completa a través de un diélectrico. Se conoce como acoplamiento de media onda. Aplicación: cubierta protectora de antenas en los fuselajes de los aviones. En este caso, d es un número entero de semilongitudes de onda correspondientes al medio 2. Incidente Onda estacionaria x y Medio 2Medio 1 Medio 3 Transmitida d Aire Aire
  34. 34. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 34 de 35 Apéndice. Decibelios y Nepers Consideremos un sistema o un medio en el que hay una potencia de entrada P1 y una potencia de salida P2. Neper (e: base de los logaritmos naturales) Bel (10: base de los logaritmos comunes) 3 1 2 e A A  , razón = 3 Np A2= 20.0855A1 3 1 2 10 A A , razón = 3 bel, A2 = 1000A1 2 1 2 e A A  , razón = 2 Np A2= 7.3891A1 2 1 2 10 A A , razón = 2 bel, A2 = 100A1 1 1 2 e A A  , razón = 1 Np A2= 2.7183A1 1 1 2 10 A A , razón = 1 bel, A2 = 10A1 0 1 2 e A A  , razón = 0 Np A2= A1 0 1 2 10 A A , razón = 0 bel, A2 = A1 1 1 2   e A A , razón = 1 Np A2= 0.3679A1 1 1 2 10  A A , razón = 1 bel, A2 = 0.1A1 Atenuación : 1 Np Atenuación : 1 bel 2 1 2   e A A , razón = 2 Np A2= 0.1353A1 2 1 2 10  A A , razón = 2 bel, A2 = 0.01A1 Atenuación: 2 Np Atenuación: 2 bel En general, En general, Razón en Np=       1 2 ln A A Razón en bel=       1 2 log A A P2P1 V1 V1 E1 E2
  35. 35. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 35 de 35 En términos de potencia Razón en bel=       1 2 log P P En términos de voltajes o campo eléctrico Razón en bel=               1 2 2 1 2 2 log2log E E E E En decibelios, dB Razón en dB=10             1 2 1 2 log20log E E P P Para pasar de un sistema al otro. Si e x es la razón en Neper ( en Np/m) Razón en dB =   xexe x  6859.8)log(20log20  )/()/( 6859.8 mNpmdB   (90)

×