UNIVERSIDAD NACIONAL
“HERMILIO VALDIZAN”
FACULTAD DE MATEMATICA Y FÍSICA
CURSO: FISICA I
ANALISIS VECTORIAL
HUÁNUCO - PERÚ...
I. INTRODUCCIÓN
• Es una parte esencial de la matemática útil para
físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos.
• Constitu...
II. VECTORES Y ESCALARES
1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse
necesitan de un número real y su
correspondiente unida...
III. VECTOR
• Ente matemático cuya determinación exige el
conocimiento de un módulo una dirección y un
sentido.
• Gráficam...
Elementos de un vector
1. Dirección:
Gráficamente viene representada por la recta
soporte. En el plano por un ángulo y en ...
III. Elementos de un vector
2. sentido: Es el elemento que indica la orientación
del vector . Gráficamente viene represent...
IV. Clase de vectores
1. Vectores libres : Aquellos que no tienen un
aposición fija en el espacio. Tal cantidad se
represe...
V. Algebra vectorial
Antes de describir las operaciones de suma, resta,
multiplicación de vectores es necesario definir:
1...
Algebra vectorial: Suma vectorial
• Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar med...
Algebra vectorial: Resta vectorial
• Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar me...
Leyes del algebra vectorial
1. Conmutatividad.
2. Asociatividad
Multiplicación de un escalar por un vector
Consideremos la multiplicación de un escalar c por un
vector . El producto es u...
Propiedades de la Multiplicación de un
escalar por un vector
1. Les asociativa para la multiplicación.
Si b y c son dos es...
Propiedades de la Multiplicación de un
escalar por un vector
3. Ley distributiva para la suma escalar.
Si b y c son la sum...
Suma de varios vectores
Para sumar varios vectores se utiliza la ley del
poligono. Esto la aplicación sucesiva de la ley
d...
VI. VECTOR UNITARIO
• Es un vector colineal con el vector original
• Tiene un módulo igual a la unidad
• Se define como el...
VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES
• A cada uno de los ejes coordenado se le asigna
vectores unitarios
• Cada uno de estos vec...
VII. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
Cualquier vector puede descomponerse en infinitas
componentes. El único requisito es que La ...
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL
PLANO
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EL PLANO.
Para ello trace rectas paralelas y a las ori...
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
3.En el espacio. Cualquier vector puede
descomponerse en tres componentes
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
3.En el espacio.
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VIII. PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar o producto punto de dos
vectores A y B denotado por y expresado A
multiplicado ...
Propiedades del producto escalar
1. El producto escalar es conmutativo
2. El producto escalar es distributivo
3. Producto ...
Propiedades del producto escalar
4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales
5. Producto escalar de dos vectores...
Propiedades del producto escalar
7. Producto escalar de dos vectores en forma de
componentes .
Entonces tenemos
8. Si el p...
INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCALER
Geométricamente esta situación se muestra en la
figura
VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL
IX. PRODUCTO VECTORIAL
El producto escalar o producto cruz de dos vectores A y B,
es un tercer vector C el cual es perpend...
REGLA DE LA MANO DERECHA
Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice
con el primer vector y el dedo coraz...
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
1. El producto vectorial no es conmutativo
2. El producto vectorial es distributivo
3. ...
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es
6. La magnitud del producto ...
Ejemplo 01
• La figura muestra un cubo en donde se han
trazado distintos desplazamientos de un abeja
cuando cambia de la p...
Ejemplo 02
En la figura se muestra dos fuerzas actuando
sobre un cuerpo puntual. Si los módulos de ellas
son 200 N y 100 N...
Ejemplo 03
• Un avión viaja en la dirección Este con una
velocidad de 480 km/h y entra a una región
donde el viento sopla ...
Ejemplo 04
La figura muestra un triángulo cuyos lados son
Demuestre el teorema de los cosenos
SOLUCION
Ejemplo 05
Sabiendo que el módulo de los vectores D y G
son 10 y unidades respectivamente.
Determine el vector unitario de...
Ejemplo 06
En la figura mostrada, determine el vector x, en
función de los vectores A y B. Si PQRS es un
cuadrado y PORQ e...
Ejemplo 07
Descomponga el vector fuerza de 400 kN
representado en la figura en dos componentes,
una según la dirección AB ...
Ejemplo 08
La resultante de la tres fuerzas mostradas en la
figura es vertical. Determine: (a) la magnitud de
la fuerza A ...
Ejemplo 09
Determine la resultante del sistema de vectores
fuerza mostrados en la figura
Ejemplo 10
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formado por los vectores
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Ejemplo 11
Halle la ecuación del plano perpendicular al
vector y que pasa por el extremo
del vector
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Analisis vectorial opta

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL “HERMILIO VALDIZAN” FACULTAD DE MATEMATICA Y FÍSICA CURSO: FISICA I ANALISIS VECTORIAL HUÁNUCO - PERÚ 2014
  2. 2. I. INTRODUCCIÓN • Es una parte esencial de la matemática útil para físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos. • Constituye una noción concisa y clara para presentar las ecuaciones de modelo matemático de las situaciones físicas • Proporciona además una ayuda inestimable en la formación de imágenes mentales de los conceptos físicos.
  3. 3. II. VECTORES Y ESCALARES 1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse necesitan de un número real y su correspondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo; la temperatura. 2. VECTORES: Aquellas que para expresarse necesitan de una magnitud, una dirección y un sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc. 3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normal y cortante, la presión
  4. 4. III. VECTOR • Ente matemático cuya determinación exige el conocimiento de un módulo una dirección y un sentido. • Gráficamente a un vector se representa por un segmento de recta orientado • Analíticamente se representa por una letra con una flecha encima. OP uuur
  5. 5. Elementos de un vector 1. Dirección: Gráficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos
  6. 6. III. Elementos de un vector 2. sentido: Es el elemento que indica la orientación del vector . Gráficamente viene representada por la cabeza de flecha. 3. Magnitud : Representa el valor de la magnitud física a la cual se asocia. Gráficamente viene representado por la longitud del segmento de recta
  7. 7. IV. Clase de vectores 1. Vectores libres : Aquellos que no tienen un aposición fija en el espacio. Tal cantidad se representa por un número infinito de vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido. 2. Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y solo una recta a lo largo de la cual actúan. Pueden representarse por cualquier vector que tenga sus tres elementos iguales ubicado en la misma recta. 3. Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo un punto de aplicación
  8. 8. V. Algebra vectorial Antes de describir las operaciones de suma, resta, multiplicación de vectores es necesario definir: 1.Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres elementos idénticos 2.Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto
  9. 9. Algebra vectorial: Suma vectorial • Considere dos vectores A y B como se muestra. • El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo . • La magnitud de la resultante R se detemina mediante la ley de cosenos- • La dirección mediante la ley de cosenos 2 2 2 cosR A B A B θ= + + r rr r r ( ) AR B sen sen senπ θ β ε = = − rr r
  10. 10. Algebra vectorial: Resta vectorial • Considere dos vectores A y B como se muestra. • El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo . • La magnitud del vector diferencia D es • La dirección mediante la ley de cosenos 2 22 2 2 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A Bπ θ θ= + + − = + − r r r rr r r r r ( ) AD B sen sen senθ β α = = rr r
  11. 11. Leyes del algebra vectorial 1. Conmutatividad. 2. Asociatividad
  12. 12. Multiplicación de un escalar por un vector Consideremos la multiplicación de un escalar c por un vector . El producto es un nuevo vector . La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a cA r
  13. 13. Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector 1. Les asociativa para la multiplicación. Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe 2. Ley distributiva para la adición vectorial. si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma de dos vectores se tiene
  14. 14. Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector 3. Ley distributiva para la suma escalar. Si b y c son la suma de dos escalares por el vector A se tiene
  15. 15. Suma de varios vectores Para sumar varios vectores se utiliza la ley del poligono. Esto la aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo o del triángulo. Es decir
  16. 16. VI. VECTOR UNITARIO • Es un vector colineal con el vector original • Tiene un módulo igual a la unidad • Se define como el vector dado entre su modulo correspondiente es decir ˆA A e A = r r ˆAA A e= r r
  17. 17. VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES • A cada uno de los ejes coordenado se le asigna vectores unitarios • Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí. ˆˆ ˆ, ,i j k ˆˆ ˆi j k= =
  18. 18. VII. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El único requisito es que La suma de esta componentes nos de le vector original. La descomposición pude ser en un plan o en el espacio. 1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO
  19. 19. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO ˆ ˆ ˆ ˆcos ˆ ˆ(cos ) ˆ ˆ ˆˆ (cos ) x y x y A A A A A A A i A j A A i Asen j A A i sen j A Ae e i sen j θ θ θ θ θ θ = + = + = + = + = = + r r r r r r r 2 2 x yA A A= + r y x A Atgθ =
  20. 20. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 2. EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO. Para ello trace rectas paralelas y a las originales que pasen por el extremo del vector original formándose un paralelogramo cuyos lados son las componentes a a b bA A A− −= + r r r
  21. 21. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3.En el espacio. Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes
  22. 22. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3.En el espacio. ˆˆ ˆ ˆˆ ˆcos cos cos ˆˆ ˆ(cos cos cos ) ˆ ˆˆ ˆˆ (cos cos cos ) x y z x y z A A A A A A A A i A j A k A A i A j A k A A i j k A Ae e i j k β γ α β γ α β γ α = + + = + + = + + = + + = = + + r r r r r r r r 2 2 2 2 x y zA A A A= + + r cos xA Aα = cos yA Aβ = cos Az Aα =
  23. 23. VECTOR POSICIÓN ˆˆ ˆr OP xi yj zk= = + + uuurr
  24. 24. VECTOR POSICIÓN RELATIVO 1 2 1 2 1 2 ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k∆ = − + − + − r
  25. 25. VIII. PRODUCTO ESCALAR El producto escalar o producto punto de dos vectores A y B denotado por y expresado A multiplicado escalarmente B, se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ángulo que forman ellos.
  26. 26. Propiedades del producto escalar 1. El producto escalar es conmutativo 2. El producto escalar es distributivo 3. Producto de un escalar por el producto escalar 4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector
  27. 27. Propiedades del producto escalar 4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales 5. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes. 6. Producto escalar de dos vectores
  28. 28. Propiedades del producto escalar 7. Producto escalar de dos vectores en forma de componentes . Entonces tenemos 8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares . 0A B A B= ⇒ ⊥ r rr r
  29. 29. INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCALER Geométricamente esta situación se muestra en la figura
  30. 30. VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL
  31. 31. IX. PRODUCTO VECTORIAL El producto escalar o producto cruz de dos vectores A y B, es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es
  32. 32. REGLA DE LA MANO DERECHA Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido nos da el vector producto.
  33. 33. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 1. El producto vectorial no es conmutativo 2. El producto vectorial es distributivo 3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial. 4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios
  34. 34. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es 6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B 7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos. ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )x y z y z z y x z z x x y y z x y z i j k AxB A A A i A B A B j A B A B k A B A B B B B = = − − − + − r r ( ) ( )Area AxB A Bsen A hθ= = = r r
  35. 35. Ejemplo 01 • La figura muestra un cubo en donde se han trazado distintos desplazamientos de un abeja cuando cambia de la posici1,2,3 y 1.¿Cuanto vale cada uno de los desplazamientos?. ¿Cual es el desplazamiento total?.
  36. 36. Ejemplo 02 En la figura se muestra dos fuerzas actuando sobre un cuerpo puntual. Si los módulos de ellas son 200 N y 100 N, respectivamente. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza resultante?.
  37. 37. Ejemplo 03 • Un avión viaja en la dirección Este con una velocidad de 480 km/h y entra a una región donde el viento sopla en la dirección 30° Norte del este con una velocidad de 160 km/h. Determine la magnitud y dirección de la nave SOLUCION
  38. 38. Ejemplo 04 La figura muestra un triángulo cuyos lados son Demuestre el teorema de los cosenos SOLUCION
  39. 39. Ejemplo 05 Sabiendo que el módulo de los vectores D y G son 10 y unidades respectivamente. Determine el vector unitario del vector 20 2 W A B C D E F G= + + + + + + r r rr r r r r
  40. 40. Ejemplo 06 En la figura mostrada, determine el vector x, en función de los vectores A y B. Si PQRS es un cuadrado y PORQ es un cuadrante de círculo
  41. 41. Ejemplo 07 Descomponga el vector fuerza de 400 kN representado en la figura en dos componentes, una según la dirección AB y la otra perpendicular a ella
  42. 42. Ejemplo 08 La resultante de la tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. Determine: (a) la magnitud de la fuerza A y (b) la resultante del sistema
  43. 43. Ejemplo 09 Determine la resultante del sistema de vectores fuerza mostrados en la figura
  44. 44. Ejemplo 10 Halle el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores Usando (a) el producto escalar y (b) el producto vectorial. ˆ ˆ ˆ ˆ2 6 3 4 3A i j k B i j k= − − = + − r rr r
  45. 45. Ejemplo 11 Halle la ecuación del plano perpendicular al vector y que pasa por el extremo del vector ˆ ˆ2 3A i j k= + + rr ˆ ˆ5 3B i j k= + + rr

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