Proceso de Nacimiento y Muerte

PROCESOS DE
NACIMIENTO Y
MUERTE
Ángel M. Carreras Jusino / Rafael A. Vega
Santana

Proceso de Nacimiento y
Muerte
 El proceso de nacimiento y muerte tiene
muchas aplicaciones en la demografía, teoría
de colas y biología.
 En el contexto de teoría de colas, se refiere al
modelo probabilístico que describe las
llegadas (nacimientos) y salidas (muertes) de
clientes, en un sistema de colas.
 El estado del sistema en el tiempo t, que se
denota N(t), es el núm e ro de clie nte s que hay
en el sistema de colas en el tiempo t.

Muerte
 Supuesto 1:
 Dado N(t) = i , la distribución de probabilidad actual
del tiempo que falta para el próximo nacimiento
(llegada) es exponencial con parámetro λi .
 Atención: λi = la tasa media de llegadas cuando hay i clientes
en el sistema

Muerte
 Supuesto 2:
 Dado N(t) = i , la distribución de probabilidad actual
del tiempo que falta para la próxima muerte (salida)
es exponencial con parámetro µi .
 Atención: µi = la tasa media de salidas cuando hay i clientes
en el sistema.

Muerte
 Supuesto 3.
 La variable aleatoria de la suposición 1 (tie m po q ue
falta hasta e lpró xim o nacim ie nto ) y la variable
aleatoria de la suposición 2 (tie m po q ue falta hasta
la pró xim a m ue rte ) son mutuamente
independientes.

Muerte
 Diagrama de tasas para el proceso de
nacimiento y muerte

Proceso de Nacimiento y Muerte:
Ecuaciones de Balance
 Ei(t) = número de veces que el proceso entra
al estado i, hasta el tiempo t.
 Li(t) = número de veces que el proceso sale
del estado i, hasta el tiempo t.

|Ei(t) - Li(t) | ≤ 1
|Ei(t)/t - Li(t)/t | ≤ 1/t → 0 , cuando t → ∞
Lim t → ∞ Ei(t)/t = tasa media a la que el proceso entra al
estado i.
Lim t → ∞ Li(t)/t = tasa media a la que el proceso sale del
estado i.

Por lo tanto se tiene la ecuación de balance
para el estado i
tasa media entrada = tasa media de salida
Atención: vamos a denotar Pi a la probabilidad de que el
sistema se encuentre en el estado i (condición estado
estable)

Estado tasa entrada = tasa salida
0 µ1 P1 = λ0 P0
1 λ0 P0 + µ2 P2 = (λ1+ µ1)P1
2 λ1 P1 + µ3 P3 = (λ2+ µ2)P2
.
.
.
.
i λi-1 Pi-1 + µi+1 Pi+1 = (λi+ µi)Pi
. .
. .

Muerte
Entonces Pi = CiP0 donde
1 2 0
1 1
...
1,2,...
...
i i
i
i i
C para i
λ λ λ
µ µ µ
− −
−
= =
0
0
1
i
i
P
C
∞
=
=
∑

Notación
Símbolo Descripción
λi Tasa de nacimientos
µi Tasa de muertes
ρ Intensidad de tráfico
i Estado
Pi Probabilidad del estado i
P0 Probabilidad del estado inicial (0)
N Número medio de clientes
T Tiempo medio de permanencia en el sistema

Notación
A/B/c/d/e
Donde:
A Es la distribución de tiempo entre
nacimientos;
B Es la distribución de tiempo entre muertes;
c Es el número de servidores;
d Es la capacidad de almacenaje del
sistema;
e Es la población.

Procesos de Nacimiento y Muerte
Aplicaciones

M/M/1/K : Capacidad Finita

M/M/1/K: Capacidad Finita
Tasa de Nacimiento y Muerte

Probabilidades

Finalmente las probabilidades están dadas por:

Ejemplo M/M/1/K
DIMENSIONAMIENTO DE UN BUFFERDIMENSIONAMIENTO DE UN BUFFER
 Se tienen paquetes con distribución de
tamaño exponencial de largo promedio de
1200 bits.
 La línea posee una capacidad de 2400 bps
 Los arribos tienen una tasa media de 1
paquete/segundo.
 Se desea tener una probabilidad de bloqueo
de a lo más 0.001.

Ejemplo M/M/1/K
 Por lo tanto la intensidad de tráfico es: ρ=0.5
 La condición a satisfacer es:
001.1
001.0
5.0001.0
5.01
5.0)5.0(
001.0
1
)1(
001.0
1
1
1
≤⇒≤
−
≤
−
−
⇒≤
+
+
+
K
K
K
K
KBp
ρ
ρρ

Ejemplo M/M/1/K
 De donde se obtiene un K de al menos 9 para que el
sistema no diverja.
 ¿Qué pasa si se aumenta la capacidad a 15?
 Según la relación anterior, se obtiene una probabilidad
de bloqueo
5
105.1 −
⋅=Bp

Ejemplo M/M/1/K
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Prob.bloqueo
i
Probablidaddebloqueovsi

M/M/1//H: Capacidad Infinita-Población Finita

M/M/1//H: Capacidad Infinita-Población
Finita
( )
µµ
λ
λ
=


 ≤≤−
=
i
i
casootroen
HiiH
0
0

Diagrama de transición de estados para M/M/1//H
0 1 2 H-1 H.........
Ηλ (Η−1)λ λ
µ µ µ

El plan es resolver en 2 partes:
Resolveremos para 0 ≤ i ≤ H y i > H,
Se sabe que Pi para i > H es cero

M/M/1//H: Capacidad Infinita-Población
Finita
Solución caso M/M/1//H con 0 ≤ i ≤ H:
( )!
!
0
iH
H
PP
i
i
−





=
µ
λ
( )!
!)(
0
1
0
0
iH
H
P
jH
PP
i
i
j
i
−





=
−
= ∏
−
= µ
λ
µ
λ

Solución caso M/M/1//H con i > H:
0=iP

Solución caso M/M/1//H:
( )
1
1
0
1
1
1
0 1
0
!
!
1
1
−
=
−
∞
=
−
= +








−





+=








+=
∑
∑∏
H
i
i
i
i
j j
j
iH
H
P
P
µ
λ
µ
λ

Solución caso M/M/1//H :
Reemplazando, Pi queda dado por:
( )
( )









≤≤
−





−





=
∑=
.,0
0,
!
!
!
!
0
eoc
Hi
iH
H
iH
H
P H
i
i
i
i
µ
λ
µ
λ

 Una medida importante en un sistema de filas es el
número medio de clientes en el sistema, para el caso
de la M/M/1/H, está dado por la relación:
∑=
⋅=
H
i
iPiN
0

 Número medio de clientes
( ) ( )
( )
0
1
0 1
0
0
! !
1
! !
!
!
H
i
i
j i
H H
i j
i
H
i
N i P
H H
N i
H j H i
H
N P i
H i
λ λ
µ µ
λ
µ
=
−
= =
=
= ×
    
= × +  ÷  ÷
− −     
 
= × ÷
− 
∑
∑ ∑
∑

Dimensionamiento de población de un ServidorDimensionamiento de población de un Servidor
¿Cuál es la máxima población a la cual se puede
asignar a un mismo servidor de manera que
durante más del 20% del tiempo en promedio no
este atendiendo a ningún usuario? .
Datos:
 La tasa media de arribos es de 4 cliente/s.
 La tasa media de atenciones es de 20 cliente/s.
Ejemplo caso M/M/1//H :

 Por lo tanto se requiere que P0 > 0.2
( )∑= −





+
=
H
i
i
iH
H
P
1
0
!
!
1
1
µ
λ

 De donde se obtiene un H menor o igual que 5 se
logra que el sistema cumpla con la restricción
impuesta.
H P0
0 1
1 0,833333333
2 0,675675676
3 0,529661017
4 0,398342894
5 0,284867821
6 0,191847259
7 0,120518635
8 0,070047852
9 0,037457786
10 0,01838457
11 0,008287368
12 0,003441188
13 0,001321784
14 0,000471843
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15
P(0)
H
P(0) en función de H
p(0) en función de H

Bibliografía
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http://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_estacionario
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http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4060015/docs_curso/contenido html
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