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1. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
CAPITULO 1: Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Ejercicios Propuestos 1.1
3 x3 C
1. y( x)  2 x ln x  2 x 2  Cx 2. y ( x)   2
5 x
3. y ( x) 
1
 x cos x  senx  5.96 4. y ( x) 
1

e
x2 x xe x
ex C
5. y( x)  e2 x  1  Ce x 6. y ( x)  
x x
1  x3 x 2 27 
7. y ( x)      8. y( x)  e x  Ce2 x
x 1  3
 2 2 
x3 1 C
9. y ( x)  xC x 10. y ( x)  
5 x x2
1 
11. y( x)  e  Ce
2x 3x
12. y ( x)  ln 1  e x  C 
ex 
 

2 2x2 ln x  2 C
13. y( x)   x  Cx 14. y ( x)  4 
x  12
x  12
x  12
15. x( y)  3 y  3  Ce 16. x( y)  3  ye  Ce
y y y
Ejercicios Propuestos 1.2
1 1
1. y ( x)  2. y ( x) 
2 2 7
 x  1 e2 x C
 
3 6x 2 x x
1 1
3. y ( x)  4. y ( x) 
C 4 2 1 C
  x  x ln x   2
x 2 9 3 x x
Ejercicios Propuestos 1.3
y2 1
1.  ln 1  x3  C
2 3
x4
2. y  x3  5 x  C
4
2 7 2 6 52 3 1 2 7 6 5 3 1
3. y  y  2 y 2  2 y 2  x 2  x 2  2x 2  2x 2  C
7 5 7 5
109

2. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
y3 x3 2
4. y x
3 3 3
5.  e  y  e x  C
1
6.  x  ln x   y  2 ln y  C
x
7. x 2  3x   y 2  2 y  C
8. y  x5  x3  2 x  6
1
9.   x 1
x y
10.
1
x  y   1 sen2x  y   x  C
2 4
11. y ( x)  2 x  1 2 
1 3 14
3 3
Ejercicios Propuestos 1.4
y
y2
1.  ln x  C 2. ln x
 ln x  C
2x2 y
1
x
2
1 y  y 1 x y
3.  ln 1  2     ln x  C 4.    ln   ln x  C
 y
2 x x 2 x 

x
x x
5. ln x  C   6.  ln  2e y  ln x  C
yx y
y 1
7.  ln 1  2  ln x  2
x y
1
x
Ejercicios Propuestos 1.5
1. xy  3 y  y  x  0 2. x y  xy  x  C
3 2 2 2
x3
3.  xy  e y  C 4. y  x y  x  C
2 2
3
x2
5. x  xy  2 xy  C
2 3
6.  xy  y 2  17
2
7. x y  2 xy  C 8. x cos y  y  C
2 2
9. xy  ye  C
2 x
Ejercicios Propuestos 1.6
e3 x 3 1 y2
1. e x y  y 0 2.   C
3x 2
3 x x3
3. x y  xy  4
3 2 3
Ejercicios Propuestos 1.7
1. No es estable. Div erge de 3 2. Si es estable. Converge a 1 5
3. Si es estable. Converge a 12 4. No es estable. Div erge de 119
5. Div erge de 1 y converge a 5 6. Converge a 1 2 y div erge de 0
7. Converge a 3 y div erge de 5
Ejercicios Propuestos 1.8
110

3. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
B 2000
1. I (t )  2. I (t ) 
1  BCe kBt 1  3e0.806t
N
3. S (t )  4. a) p(t )  3  3e0.27t b) p  3
1  19e1.21t
t 3
5. a) p(t )  20  25e 2 b) Div erge 6. a) p(t )  15  5e2t b) p  15
2t
7. a) p(t )  14  6e15t 8. a) p(t )   8  4e 2t b) p  8
e2t
9. a) p(t )  2  t  1 1
3
b) p(8)  55
10. a) I (t )   24  0.08t  600t  b) I  580.608
0.084t
11. a) Q(t )  5000  35000e b) $2285714
.
2
12. a) Q(t )  b) Dentro de seis meses tendrá $4 millones
2t
0.13 t 1
13 a) Q(t )  30  25e ; t 1 b) 28 objetos aproxim adamente
Misceláneos
1 3
1.   e x  ln y 
2x 2
2e
y x   
1
2.
 1 e2 x
2
 Ce  2 x
x 1
3. ln x   
yx 2
1
4. K  t  
 7 e2t  Ce5t
3
5. x y  
1
 y cos y  sin y  C 
y
1
6. y  x   3
2 x  1  Ce x
x2 y2 y4
7.  C
2 4
2 4 2 Ce y
8. x   2  3  3
y y y y
9. y   ln x  1  xC
10. y  x1 sin x  x1C
y
11. e x  ln x  C
12. 
 1  y2   1  x 
1
2 2
1
2
C
y
13. x 1 ey
2
e C
cos 2 x 1
14.  x tan y   
2 2
15. x  1  1
4
y  Cy 3
16. e x y3  ye2 x  C
1 ln y  1  1 ln
y
 1  ln x  C
17. 2 x 2 x
y2 1
18.  3
 C
sin x sin x
x2 y 2
19. x y
3
C
2
111

4. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
y x2
20.  Cx o y 
x y Cx
cos3 y
21.  xy 2  C
3
22. 
2 y  x  2 ln y  x  1  x  C 
23. y( x)   x  Cx
3
24.  1 y 2 
2
1
2
1  x  2
3
2
1
25. 1
2
y 2   1 x2  C
2
PARTE II. PROBLEMAS
dQ
2. a)  kQ ; Q(t )  1000e0.18t b) t  9 años aproximadamente
dt
3. p(t )  6  4e
9 t
2
a b
b3  a3  1 1t
4. a) p(t )   C e a 2  b2 b)  a1  b1    a2  b2  ó  a1  b1    a2  b2 
a1  b1
c) p(t )  6  Ce3t ; p  $6
5. a) Q(t ) 
0.4t  22 b) t  5 años
4
dQ
6. a)  0.064Q b) t  11 apro ximadamente
dt
k
 pA 
7. V ( p)  V0  
 p0  A 
CAPITULO 2: Ecuaciones Diferenciales de Segundo
Orden
Ejercicios Propuestos 2.1
1. y( x)  cos 2 x  1 sin2 x
2
2. y( x)  k1e x  k2 xe x
2 x
3. y( x)  k1 sin3x  k2 cos3x 4. y( x)  e  3xe2 x
5. y( x)  k1e x  k2e x 6. y( x)  e
x
7. y( x)  cos x  sin x 8. y( x)  k1  k 2 e  x
9. y( x)  k1 sin2 x  k2 cos 2 x 10. y( x)  k1e3x  k2 xe3x
Ejercicios Propuestos 2.2
1. y( x )  k1e 2 x  k2e  x  x 3  x
2. y( x)  k1e3 x  k2 xe3 x  1 x2  27 x  27  1 e x
9
4 2
4
1
 x
3. y ( x)  e 2 k sin 3 x  k2 cos 3
x  sin 2 x
1
 2 2 

4. y( x)  k1 sin x  k2 cos x  1 e2 x
2
4 x
5. y( x)  k1e  k2e2 x  1 xe x  1 e x
9 9
112

5. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
1 8
6. y( x)  e2 x  k1senx  k2 cos x   1 e  x 
2
sin 2 x  cos 2 x
65 65
9 1 1 1
7. y( x )  k1e 7 x  k2e 5 x  sin x  cos x  e 3 x 
25 50 32 35
27 2 x 9  x 3 1 1 3
8. y( x)  e  e  cos x  sin x  cos 2 x  sin 2 x
80 20 10 10 20 20
1 4 x 7 3 x 1 x 1 2 x 1
9. y ( x)  e  e  e  e 
60 6 10 6 12
7 x 3 x 1 1
10. y ( x)  e  e  senx  e2 x
12 4 2 3
1589 5 x 25 2 x 1 2 7 161 1 x
11. y( x)   e  e  x  x  e
500 4 10 50 500 4
Ejercicios Propuestos 2.3
1. y( x)  k1e 3x  k 2 xe 3x  k 3 e  x
2. y( x)  k1e2 x  k2e x  k3e x  2
3. y( x)  k1e4 x  e x  k2 senx  k3 cos x
Ejercicios Propuestos 2.4
1. No es estable dinámicamente 2. SI estable 3. No estable
Misceláneos
1 1 5 5
1. a) y( x)  k1e2 x  k2 xe2 x  x3e2 x  x 2 e2 x  x 
6 2 2 2
3 x 4 2 9 3
b) y ( x)  k1e  k2e x  k3e x  x   sen x  cos x
3 9 20 20
1t  3   3  1 2t
c) y(t )  ek1 cos  2 t   k2 sen  2 t   t  1  7 e
2
    
28 3x 1 1
d) y ( x)   e  4 xe 3x  x 2e3x  x 
27 9 27
5t 1t 6 6
2. b) x(t )  k1e  k2e 2  converge a x 
5 5
CAPITULO 3: Ecuaciones en Diferencias de Primer
Orden
113

6. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
Ejercicios Propuestos 3.1
t
1
1. yt  6 3t  1 2. yt     6
2
t t
1 1 3 4
3. yt     5 4. yt     
5 5 2 5
t
16  2  21
5. yt     
5  3 5
Ejercicios Propuestos 3.2
t
1
2. yt  k 2t 
1
1. yt     2t  2 e3t
2 e3  2
   
t
4et 4t 1 4  
  2   2 sen  t  4 cos  t
3. yt    4. yt  
4e 4e 5 2 2 
 
5 2 4 5 2 4
Ejercicios Propuestos 3.3
1. Div erge 2. converge oscilantemente
3. Div erge oscilantemente 4. Converge
Ejercicios Propuestos 3.4
t t
 1  5 3
1. pt  k     5 2. pt  k    
 3  3 2
3. p(t )  k  2  0.6 4 pt  k  2 
t t 7
3
5. pt  0  05 2t  0.6 6. pt  k  1 
t 10
3
7. pt  k  1.4t  3
Misceláneos

t
1. a) yt  1.37 2  0.37e
3
2t
 t
c) y t  k 1  t  3
2
2. a) Div erge b)Converge
t
 1  22
3. pt  k     , Oscilante convergente
 5 6
4. pt  k  2 
t 7
, Oscilante div ergente
3
5. pt  k 21.5  0.8 Div ergente
t
6.  t  10k10.15  1.24k2  0.56  0.2527m
t t
Ut  k10.15t  k2  0.56t  0.0624 0.19m
7. pt  k  2 constante
CAPITULO 4: Ecuaciones en Diferencias de Segundo
Orden
114

7. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
Ejercicios Propuestos 4.1
 2 t 2 cos  t  sen  t  1
t t
31 1 7
1. yt        4 2. yt 
22 2 2 4 4
t t
1 1  38  1
4. yt  4t  cos  t 
25
3. yt  4   2t    8 sen  t  
2 2 3 3
 13 26 3  13
yt  k12t  k2 3t  6. yt  k1 1t  k2t  1t 
5 1 t
5. 3
4 16
yt  k16t  k2  1t  6t  3  k cos
t 1
 4
t
8. yt  
t  k2 sen  t  
t
7.  1 2 2 
21 19
 5  k cos  arctg 2 t   k sen arctg 2 t    1 t
t
9. yt    1    4 2
 5  k cos arctan 2 t   k sen arctan 2 t    1 t  1
t
10. yt    1    2 2
t t
  5  17   
11. yt  k1   k2   5  17   t 2  t  2
 2   2 
   
12 . yt  k1  3  k2  2  3t  3
t t t
      1
13. yt  k1 cos  2 t   k2 sin  2 t   t 2  2t 
 3   3  3
1 t 1 2 3
yt  k1  3  k2  2    4  t  t  4
t t
14.
2 2 2
1 t 3 1
15. yt  k1  k2  2    5  cos 2 t  sin 2 t
t
4 10 10
Ejercicios Propuestos 4.2
t t t
1 1 1
yt  k1  k2  1  k3   2. yt  k1  k2    k3t    4t
t
1.
 2 2 2
Ejercicios Propuestos 4.3
1. No Conv erge 2. Converge
Misceláneos
t t t t
1 1 1 1
yt  k1   k2t    32 2. yt  k11  k2    k3     1
t
1.
2 2 2 2
CAPITULO 5: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
y en Diferencias
Ejercicios Propuestos 5.1
115

8. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
  3e 3t  4e 2t  12  6et  5et  7 
Y t     Y t    t
 2e  5et  8 
1. 2.
 
e 3t  e  2t  4 

  
 3t 10 
 k1e  k2 e  3 
t
3. Y  t    
 k e3t  k et  11 
 1 
 3
2
Ejercicios Propuestos 5.2
  1 t  1 t 
  2      6  
  2  3  
5
 8t  2  2t  8 

2. Yt  
9 3 9
1. Yt   
   
 8t  2  2t  2 
t t 5
1 1 
 3   2   3 
   9 3 9
 2 3 
 11 t 3 3
  23t  6 2t  6   4  3  4  1  2 
t
3. Yt    4. Yt   
 t  3 2t  2 
 43   11  3t  3  1t  1 
4 4 
Ejercicios Propuestos 5.3
 6 3t 1 2t 
 e  e  11 
 x(t )   5 5
1. a)    Punto de silla
 y (t )   12 e3t  1 e 2t  13 
 
 5 10 2
2. a) Nodo convergente
b) Nodo Div ergente
c) Punto de silla
d) Punto de Silla
Ejercicios Propuestos 5.4
 x(t )   k1e  k2e  1 
2t t
1.    Punto de silla
 y (t )   k1´e  k2´e  1
2t t
 
 x(t )   k1e  k2e 
t t
2.    Punto de silla
 y (t )   k1´e  k2´e 
t t
 
 x(t )   k1e  k2e 
t t
3.    Punto de Silla
 y (t )   k1´e  k2´e 
t t
 
Misceláneos
1.
 5t
2  7 

 x(t )   e  k1sen 2 t  k2 cos 2 t   2 
7
  5  Foco convergente
 y (t )    2 t  
e
 k1´sen 27 t  k2´cos 27 t   6 

 
2.
116

9. MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
  12t 1 
 x(t )   k1e  k2e  
12t
   2  Punto de silla
 y (t )   k ´e 12t  k ´e  12t  1
 1 2 
117